1140 một số vấn đề về hàm ma trận và đạo hàm ma trận luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌCQU YNHƠN NGUYỄNTHỊĐẠO MỘTSỐVẤNĐỀVỀHÀMMATRẬNVÀĐ ẠOHÀMMATRẬN LUẬNV Ă N T H Ạ C S Ĩ Đ Ạ I S Ố V À L Í T H U Y Ế T S Ố BìnhĐ ị n h - N ă m 2 NGUYỄNT HỊ Đ Ạ O MỘTSỐVẤNĐỀVỀHÀMMATRẬNVÀĐ ẠOHÀMMATRẬN Ngành:Đ i s ố v l í t h u y ế t s ố Mã số:8460104 Ngườih n g d ẫ n : P G S T S L Ê C Ô N G T R Ì N H Lờic ả m n Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình củaPGS.TS.LêCơngTrình,TrườngĐạihọcQuyNhơn.Dođó,tơixinbàyt ỏsựkínhtrọngvàlịngbiếtơnsâusắcđếnthầy.Đồngthời,tơicũngxinchân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại họcQuy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê, Khoa Sưphạm quý thầy giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn khố 23, giađìnhv b n b è đ ã t o m ọ i đ i ề u k i ệ n t h u ậ n l ợ i g i ú p t ô i h o n t h n h l u ậ n vănnày BìnhĐịnh,ngày28tháng8năm2022 Họcviên NguyễnThịĐạo Mụcl ụ c MỞĐẦU 1 KIẾNTHỨC C HU ẨNBỊ 1.1 KhaitriểnTaylorvàkhaitriểnMaclaurincủahàmsố 1.2 Mộtsốkiếnthứccơbảnvềmatrận .5 1.2.1 DạngchuẩntắcJordan 1.2.2 Matrậnchéohoáđược 1.2.3 Phổvàgiátrịriêng 1.2.4 Vếtvàđịnhthức .9 1.2.5 Matrậndương 1.2.6 Mộtsốbấtđẳngthứcmatrậncơbản 10 1.2.7 Chuẩnmatrận 11 MỘTSỐHÀMMATRẬN 12 2.1 Hàmmũmatrận 12 2.2 Mộtsốhàmmatrậnkhác 23 ĐẠOHÀMMATRẬN 28 3.1 Đạohàmcủahàmmũvàhàmlogarit 28 3.2 Đạohàmcủahàmvết 30 3.3 ĐạohàmFréchet .36 KẾTLUẬN 39 TÀILIỆUTHAMKHẢO MỞĐ Ầ U Σm i ChoA∈Mn(C)làmộtmatrậnvngphứccấpnvàp(x)= i= cix làmộtđathứcmộtbiếnhệsốphức.Khiđógiátrịp(A)đượcđịnhnghĩamộtcác htựnhiênlà m Σ p(A)= ciAi i=1 Tổngquáthơnvớifl mộthàmchỉnhhìnhvớikhaitriểnTaylorf(z)= Σ∞ k k=0c k (z−a) ,A∈M n (C)saochotốntử∥A−aI∥béhơnbánkínhhộitục ủaf,ngườitacóthểđịnhnghĩahàmf(A)nhưsau: ∞ Σ f(A):= ck(A−aI) k k=0 Cóthểđịnhnghĩagiátrịmatrậncủamộthàmsốbấtkìnhưsau: VớiA∈Mn(C)là ma trận vng phức cấpntự liên hợp vớigiát r ị r i ê n g t h u ộ c k h o ả n g ( a;b)⊆ Rv f : ( a;b) − → Rl m ộ t h m số,m a t r ậ n f (A)đ ợ c đ ị n h n g h ĩ a t h ô n g q u a s ự p hântíchphổvàphép Σ k i= αi PilàsựphântíchphổcủaAvà chéohốcủaA,tứclà,nếuA= ∗ A=U D i a g (α1, ,αk)U làp h é p c h é1o h o c ủ a A ,t h ì f(A)= k Σ f(αi)Pi=UDiag(f(α1), ,f(αk))U∗ i=1 Theo cách ta thực tính tốn giải tích ma trận,chẳnghạn,tacóthểnghiêncứucácphépđạohàmcủamatrận Phéptí n h đ o h m ma t r ậ n đư ợc s d ụ n g t ro ng th ố n g k ê , đ ặ c b i ệ t l đểphântíchthốngkêphânphốinhiềubiến,phânphốichuẩnnhiềubiếnv phân phối eliptic khác.([2],[5],[4]).Phép tính đạo hàm ma trậncịncónhiềuứngdụngtronggiảitíchnhiềubiến([1],2012) Do đó, chúng tơi chọn đề tài"Mộtsốvấnđề hàm ma trậnvàđ o h m m a t r ậ n " đ ể ng hiên cứu trìn hb ày tro n g lu ậnv ăn n ày Mụctiêucủaluậnvănlànhằmtìmhiểumộtsốhàmmatrậnvàđạohàmcủamộ tsốhàmmatrậnđó,đặcbiệtlàđạohàmFréchet Luậnvănbaogồm:Mởđầu,Nộidung,KếtluậnvàTàiliệuthamkhảo Nộidungcủaluậnvăngồmbachương,cụthể Chương1.Kiếnthfícchuẩnbị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức trongGiải tích cổ điển số kiến thức ma trận liên quan đến cácchươngsaucủaluậnvăn Chương2 M ộ t s ố h m m a t r ậ n Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến giátrịmatrậncủacáchàmsố:hàmmũ,hàmluỹthừa,hàmlogarit, Chương3 Đ o h m m a t r ậ n Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến đạohàmm a t r ậ n c ủ a m ộ t s ố h m t h n g g ặ p n h : h m m ũ , h m l o g a r i t , , đặcbiệtlàđạohàmFréchet Mặc dù thân cố gắng lực thân thời giannghiênc ứ u cò n h n c h ế n ê n l u ậ n v ă nk h ô n g t h ể t r n h k h ỏ i n h ữ n g t h i ế u sót Rất mong nhận góp ý quý Thầy, bạn để luậnvănđượchồnthiệnhơn.Xinchânthànhcảmơn Chương1 KIẾNT H Ứ C C H U Ẩ N B Ị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giảitích cổ điển số kiến thức ma trận liên quan đến cácchương sau luận văn Các kết liên quan đến khai triển Taylor củahàm số tìm giáo trình Giải tích cổ điển Các kháiniệm kết ma trận chương tham khảotrongchương1củatàiliệu[3] 1.1 Khait r i ể n T a y l o r v k h a i t r i ể n M a c l a u r i n c ủ a hàms ố Địnhl ý Ch o P(x)làđathứcđạisốbậcnvớihệsốthực n P(x)=a 0+a1x+ +anx = n Σ akxk k=0 Khiđóvớimọix 0∈RđathứcP(x)cóthểbiểudiễnduynhấtdướidạng n (k) Σ P (x0) − P(x)= (x x )k, k! k=0 trongđ ó P (k) (x0)k í h i ệ u c h o đ o h m c ủ a P t i x =x 0.Côngt h ứ c n y đượcgọilàcơngt hứcTaylorvớitâmx0củađathứcP(x) Đốivớicáchàmkhảvicấpntạix 0∈R,tacó Địnhnghĩa1.1.2.Chof:I−→Rlàmộthàmkhảvicấpntạix 0∈I.Đathức n f (k)(x0) k T( (x x) n f;x)= Σ − k! k=0 đượcgọilàđathứcTaylorvớitâmx 0củahàmfkhảvicấpntạix ĐặtR n(f;x)=f(x)−Tn(f;x).Khiđ óc ơn gt hức f(x)=T n(f;x)+Rn(f;x) đượcg ọ i l c ô n g t h ứ c T a y l o r v i t â m x 0củah m f T r o n g t r n g h ợ p x0= 0công thức gọi làcông thức Maclaurin Đại lượngRn(f;x)đượcgọilàphầndưcủacôngthứcTaylor Định lý 1.1.3(Taylor).Giả sử hàm sốfkhả vi liên tục đến cấpn−1trongδ−lân cậnVδ(x0)củax0và có đạo hàm hữu hạn cấpntạix0 Khiđófcóthểbiểudiễndướidạng n (k) Σ f (x0) − f(x) = (x x )k+o((x−x0 )n) k! k=0 khix−→x0.Công thức gọi công thức Taylor(dạng địaphương)vớiphầndưPeano Địnhlý1.1.4(Taylor).Giảsửhàmsốfkhảviliêntụcđếncấpntrong(a;b)v àc ó đ o h m c ấ p n + 1t i m ọ i x ∈( a;b)c ó t h ể t r r a đ i ể m x0∈(a;b).Khi đógi ữ a x 0v x ∈(a;b)bấ t kì t ồnt ại c saocho n (n) Σ f (x0) − f(x) = (x x )k+R k! n+ (f;x), (1.1) k=0 trongđó R(n+1) (f;x)= x p −x0 (x−c)n+1f(n+1)(c),p∈R,p>0 n!p x−c Côngthức(1.1)đượcgọilàcôngthứcTaylorcủahàmfvớiphầndưRn+1 dướidạngS chom i l ch- Roche SauđâylàcôngthứcMaclaurincủamộtsốhàmsốsơcấp (1) Hàmsốf(x)=e xcóđạohàmmọicấptrênRvàf (n)(x)=e x,∀nnêntacó x x2 e= 1+x+ xn θxxn +1 + e + + x 2! n! (n+1)! ,θx∈( ; 1) (2) Hàmsốf(x)=sinxcóđạoh m m ọ i c ấ p t r ê n R v f (n)(x)= π sin x+n 2∀ ,nnêntacó πi sinhθxx+(2n+1) x2n+1 2n−1 x x sinx=x− + +(−1)n−1 + 3! (2n−2) (2n+1)! ! vớiθx ∈( ; 1) (3) Hàmsốf(x)=cosxcóđạohàmmọicấptrênRnêntacó πi coshθxx+(2n) x2n 2(n−1) x x n−1x cosx=1− + − +(−1) + 2! 4! [2(n−1)] (2n)! ! vớiθx ∈(0; 1) (4) Hàmsốf(x)=ln(1+x)cóđạohàmmọicấptạimọix>−1vàtacó ln(1+x)=x− x2 2+ 1.2 .+(−1) nx n−1 n−1+ Rn(x) Mộts ố k i ế n t h f í c c b ả n v ề m a t r ậ n Trongt o n b ộ l u ậ n v ă n , k í h i ệ u M n: = M n(C)c h o t ậ p h ợ p c c m a t r ậ n vu ơngphứccấpn 1.2.1 DạngchuẩntắcJordan MộtkhốiJordan làmộtmatrậncódạng   a1 0 a1 Jk(a)=  0 a  ,   .  0 a trongđ ó a ∈ C.Đ â y l m a t r ậ n t a m g i c t r ê n J k(a)∈ Mk.C h ú n g t a thườn gsửdụngkíhiệuJ k:=Jk(0).Khiđó Jk(a)=aI k+Jk trongđóI kvàJ kgiaohốn Víd ụ M a trậnJ kxácđịnhbởi (Jk ( 1n ế u j=i+1, 0c ò n lại )i = j Dođó ( (Jk )i (Jk )j = j k 1nếuj=i+1vàk=i+2, 0c ò n lại Suyra ( (J )ij k 1n ế u j=i+2, 0c ò n lại = NhậnthấynếuluỹthừacủaJkcàngtăng,dòngchứa1sẽdịchchuyểnlên m càngc a o Cụ t hể J k = k Cácm a tr ậ n J (0≤ k m ≤k −1)l đ ộ c l ập tuyếntính Nếua ̸ =0 t h ì d e t Jk(a)̸ =0 v d o đ ó J k(a)k h ả n g h ị c h T a c ó t h ể t ì m ng hịchđảocủaphươngtrìnhdạng   k−1 Σ j  (aIk+Jk) cjJk=I k j= Phươngtrìnhtrêncóthểviếtlạinhưsau Σ k−1 j acI+ k j=1 (ac+c J)=I.0k j Tatìmđược cj=−(−a)−j−1 Đặcbiệt,vớik=3,tacó  −1 a1   0 a1  0 a (0≤j≤k−1)   a−1 −a−2 a−3  a−1 −a−2 = 0 a−1  □