MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI

ĐẠIHỌCĐÀNẴNGTRƯỜNG ĐẠIHỌCSƯPHẠMKHOATỐN KHĨALUẬN TỐTNGHIỆPĐẠIHỌC Đềtài: MỘTSỐKẾTQUẢVỀHÀMĐIỀUHỊ ADƯỚI Sinhviênthựchiện: PHANNGỌCPHƯƠNGQUỲNHLớ p18ST Giảngviênhướngdẫn: TS.HỒNGNHẬTQUY ĐàNẵng,12–2021 ĐẠIHỌCĐÀNẴNGTRƯỜNG ĐẠIHỌCSƯPHẠMKHOATỐN KHĨALUẬN TỐTNGHIỆPĐẠIHỌC Đềtài: MỘTSỐKẾTQUẢVỀHÀMĐIỀUHỊ ADƯỚI Sinhviênthựchiện: PHANNGỌCPHƯƠNGQUỲNHLớ p18ST Giảngviênhướngdẫn: TS.HOÀNGNHẬTQUYCánbộphảnbiện: TS.CHỬVĂNTIỆP ĐàNẵng,12–2021 Mụclục MỞĐẦU Chương1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm biếnphức 1.1.1 Sốphứcvàmặtphẳngphức C c k h i niệmcơ 1.2 Hàmchỉnhhình,hàmđiềuhịavàmộtsốkếtquảcơbản 1.3 Hàm nửa liên tụctrên 16 Chương2 MỘTSỐKẾTQUẢVỀHÀMĐIỀUHÒADƯỚI 22 2.1 Hàm điều hịadưới cáctính chất cơbản 22 2.2 Một số kết hàm điềuhòa 25 2.2.1 Nguyên lý cực đạicủa hàm điều hịadưới 25 2.2.2 Tính khả tíchcủa hàmđiều hịadưới .31 2.2.3 Tính lồi củahàm điều hòadưới .33 KẾTLUẬN 41 Tài liệu tham khảo 42 MỞĐẦU Lý dochọn đềtài Giải tích phức chuyên ngành cổ điển tốn học,có nhiều ứng dụng nhiều ngành khác tốn học, bắt nguồn từkhoảng kỷ XIX Đối tượng nghiên cứu Giải tích phức hàmchỉnh hình, hàm điều hịa, hàm điều hịa dưới, hàm điều hịa Dựa trênsựpháttriểncủaGiảitíchhàm,Giảitíchphứcđãmởrộngnghiêncứusangcác lớpánhxạgiữacáckhơnggiantopophứcvơhạnchiều,đặcbiệtlàcáckhơnggianđịnhchuẩn.Đâylàcáclớphàmcónhiều ứngdụngtrongtốnứng dụngnói chungvà trongvật lýtốn nóiriêng Trong lớp hàm đối tượng nghiên cứu Giải tích phức, lớphàm điều hịa lớp hàm rộng có nhiều ưu điểm Hàm điềuhịadướiđượcmởrộngvàcómốiliênhệchặtchẽvớicáchàmlồi.Vàđâycũnglàlớphàmmềmmạihơncác hàmchỉnhhìnhthểhiệnởmộtsốđiềukiện u cầu thỏa mãn tính nửa liên tục thỏa mãn bấtđẳngthứctrungbình(tíchphân)dưới.Vìnhữnglýdonàymàlớphàmđiềuhịa có nhiềuứngdụngcảvềmặtlýthuyếtvàứngdụng.Vớimongmuốn tìm hiểu sâu lớp hàm thú vị này, hướng dẫn khoahọc thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em chọn đề tài: "MỘT SỐKẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI" Đề tài tập trung nghiên cứu kết sau hàm điều hịa dưới.Thứnhấtlànghiêncứuvềngunlýcựcđạicủahàmđiềuhịadưới.Đâylàngun lý quantrọngđãcótrêncáclớphàmchỉnhhìnhvàhàmđiềuhịa.Thứ hai nghiên cứu tính khả tích lớp hàm điều hịa Tínhchấtnàychứngtỏrằnglớphàmđiềuhịadướinằmtronglớpcáchàmkhả GVHD:TS.HồngNhậtQuy SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh tích địa phương - lớp hàm có nhiều ứng dụng lý thuyết ứngdụng Cuối nghiên cứu tính lồi của hàm điều hịa vàcác đạilượng trungbình củahàm điềuhịa Mụcđíchnghiêncứu Mụctiêunghiêncứucủađềtàilàcáctínhchấtcủahàmđiềuhịadướinhưng unlýcựcđại,tínhkhảtíchvàtínhlồicủalớphàmđiềuhịadưới Đốitượngvàphạmvinghiêncứu • Đốit ợ n g n g h i ê n c ứ u : H m n a l i ê n t ụ c t r ê n , h m đ i ề u h ị a , h m chỉnhhình,hàmđiềuhịadưới • Phạmvi n g h i ê n c ứ u: Đ ề t i th uộ c l ĩ n h v ự c ng hi ê n c ứ u n g n h to nGiảitíchphức Phươngphápnghiêncứu • Nhận đềtàitừthầygiáo hướngdẫn; • Tìmcáctàiliệuliênquanđếnlĩnhvựcnghiêncứucủađềtài; • Thamgiaseminarvớithầygiáohướngdẫnđểhiểu,xâydựngvàhồn thiện vềvấnđềnghiêncứu; • Hồnthànhkhóaluậnnghiêncứucủađềtài Cấutrúcđềtàikhóaluận Cấutrúccủakhóaluậngồmcácphầnchínhsauđây: • Mở đầu • Chương1.Kiếnthứcchuẩnbị • Chương Một số kếtquả hàm điềuhịa • Kếtluận • Tàiliệu tham khảo Chương1 KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ Nội dung chương nhắc lại khái niệm số kết quảcơ số phức, hàm biến phức, hàm chỉnh hình, hàm điều hịa hàmnửa liên tục Đây kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày cáckết chương hàm điều hòa Các nội dung chương nàyđượcthamkhảotrong cáctàiliệu[1],[2],[3]và[8] 1.1 Hàmbiếnphức 1.1.1 Sốphứcvàmặtphẳngphức a Sốphức Sốp h ứ c z đ ợ c b i ể u d i ễ n d i d n g x +iy,v i x ,y∈Rvài l đ n v ị ảo, thỏamãn điềukiệni2=−1 • Số thựcxđược gọi phần thực sốphứcz, kí hiệu làRez=x • Số thựcyđượcgọi phần ảocủa số phứcz,kí hiệu làImz=y • TậphợpsốphứcđượckíhiệulàC b Mặtphẳngphức Giả sử mặt phẳngR2cho hệ tọa độ vng gócxOy Mỗi điểmM∈R2được xác định hồnh độxvà tung độycủa Điều chophép talậpđược tươngứng1−1giữacácđiểm củamặtphẳngR2v i sốphứcz∈C: M(x,y)∈R2 ›→x+iy=z∈C GVHD:TS.HoàngNhậtQuy SVTH:PhanNgọcPhươngQuỳnh Mặt phẳngR2cùng với tương ứng gọi mặt phẳngphức.NhưvậymộtđiểmM(x,y)∈R2c ó thểđượccoilàmộtsốphứcnếuđồn gnhấtnóvớiz=x+iy 1.1.2 Cáckháiniệmcơbản a Lâncận tập hợp mở Đĩamởtâmz 0∈C,bánkínhr>0đượckíhiệulà∆(z0,r)={z∈C: |z−z0 |0 saocho∆(z0,r)⊂A TậpA⊂Cđượcgọi làtập mởnếu vớimọiz0∈A, tồntạir=r(z0)>0sao cho∆(z0,r)⊂A Nhậnxét: • Tập mởA⊂Ckhivà khitậpAlà lâncận mọiđiểm thuộcnó • Đĩamở∆(z0,r)làtậpmởvớimọiz0∈Cvàmọir>0 • 0/,Clàcáctậpmở • Hợptùyýcáctậpmởlàtậpmở • Giaomộthọ hữuhạn cáctập mởlàtập mở.Tuy nhiên,giao tùcác tậpmởcóthểkhơngmở b Tậphợpđóng TậpA⊂Cđược gọilàtậpđóng nếuphầnbùcủanóC\Alàtậpmở Nhậnxét: • 0/,Clà tập đóng • Giaotùcáctậpđónglàtậpđóng • Hợpmộthọhữuhạncáctậpđónglàtậpđóng.Tuynhiên,hợptù cáctậpđóngcóthểkhơngđóng c Điểmtrongcủamộttập Giả sửAlà tập hợp điểm mặt phẳng phứczvàz0là điểmthuộcA.Nếu tồn sốεlân cận củaz0nằm hoàn toàn trongAthìz0đượcgọi điểm tậpA d Biêncủamộttập Khóaluậntốtnghiệp Điểmξt h u ộ c Ahaykhôngthuộc Ađược gọilà điểmbiêncủatập A nếumọihìnhtrịntâmξđ ề u chứacảnhữngđiểmthuộcAvàkhơngthuộc A.Tập hợp điểm biên tậpAđược gọi biên tậpA.Nếu điểmηkhông thuộcAvà tồn hình trịn tâmηkhơng chứa điểm củaAthìηđược gọilà điểmngồi tậpA Ví dụ: Xét tậpAlà hình trịn|z|1làđiểmngồicủaA e Chutuyến MộtđườngcongLcóđiểmđầuvàđiểmcuốitrùngnhauđượcgọilà đường cong kín Đường cong khơng có điểm tự cắt, tức khơng tồntạit1,t2∈ (a,b)đểϕ(t1) +iψ(t1) =ϕ(t2) +iψ(t2)vàϕ(t1) +iψ(t1)̸=ϕ(a) +iψ(a)đượcgọilàđườngcongJordanhaygọilàchutuyến f Miền,miềnđơnliên,miềnđaliên • TậpU⊂Cđược gọi mộtmiềntrên mặt phẳng phức thỏamãn hai điều kiện sau đây: (i) Ul tậpmở (ii) Ul tậpliênthơng,nghĩalàquahaiđiểmtùthuộcU,baogiờcũngc óthểnốichúngbằngmộtđườngcongliêntụcnằmgọntrongU • MiềnUđược gọi làmiền đơn liênnếu với chu tuyếnγ⊂Utađều cóUγ⊂U Ta nhận thấy bổ sung vào∂Ucác đườngl1,l2, miền thu làmiền đơn liên • MiềnUđ ợ c g ọ i l m i ề n đ a l i ê n n ế u t n t i c c c h u t u y ế n γ 1,γ2, saochocácmiềnUγ1,Uγ2, k h ô n g baohàmtrongU g Hàmbiếnphức Định nghĩa: Giả sửU⊂Clà tập tùy ý cho trước Một hàm biếnphứctrênUvớigiátrịphứclàmộtánhxạf:U−→C.Hàmnhưvậyđượckíhiệu làω=f(z)vớiz∈U Vớiz∈Uta viếtz=x+iy,x,y∈R Khi đó, hàmf(z)có thể coi ≃ hàmhaibiếnx,ycũngxácđịnhtrênU∈R2 C.Vàtanóihàmf ∈ Ck(U)nếunó cóđạo hàmriêng theocác biếnx,yliên tụcđếncấpk 1.2 Hàmchỉnhhình,hàmđiềuhịavàmộtsốkếtquảcơbản Định nghĩa 1.2.1.Cho hàm sốfxác định miềnU⊂C.Đạo hàmphức hàmftạiz∈U, kí hiệu làf′(z), giới hạn sau tồntại f′(z):=l i m f(z+∆z)−f(z) z,z+∆z∈U , Hàmsốf c ó đ o hàm phứctạizđượcgọi ∆ làkhả viphức hayC- khảvi z z Hàmsốf đ ợ c gọilàC-khảvitrênUn ế u vàchỉnếunólàCkhảvitạimọiđiểmz∈U Taviếtf (z)=u(x,y)+v(x,y),z=x+iy∈U.Hàmf đ ợ c gọilàR2 khả vitạiz=x+iynếuvàchỉnếucáchàmu(x,y),v(x,y)khảvitại(x,y)theo địnhnghĩacủahàmthựcnhiềubiến ∆z→0 SauđâylàđịnhlývềmốiquanhệgiữahàmC-khảvivàhàmR2- khảvitạiz Định lý 1.2.2.H m f l C-khảvitạiz=x+iy∈Un ế u vàchỉnếuf l R2 khảvitạizvàthỏamãnđiềukiệnCauchy-Reimannsauđây  ∂y( x,y)=− ∂x( x,y) ∂u( ∂x ∂  u ∂ v( x,y)= x,y); ∂y ∂ v SauđâytabiểudiễnđiềukiệnCauchy-Reimanndướidạngđạohàmriêngtheobiến phức Ta có: ∂ ∂u ∂u ∂f f ∂f ∂v ∂v ∂ (z)=1 2+ i∂ = 1∂ +i 2+ i ∂+i ∂ ∂ ∂ z x y x x y y ∂u ∂u =∂ ∂ + i +∂v ∂ ∂ −∂v x y y x =0 (ápdụngđiềukiệnCauchy-Reimann) VậyđiềukiệnCauchy-Reimannởtrêntươngđươngvớiđiềukiệnsauđây: ∂f ∂z( z)=0 Định nghĩa 1.2.3.Hàmfxác định miềnU⊂Cvà nhận giá trị trongCđược gọi hàm chỉnh hình tạiz0∈Unếu tồn tạir>0 để hàmflàCkhảvitạimọiz∈B(z0,r)⊂U Hàmf đ ợ c gọilàchỉnhhìnhtrênUnếunóchỉnhhìnhtạimọiđiểmz∈U Nhận xét 1.2.4.Chof(z)là hàm chỉnh hình miềnU⊂C.Khiđó, ∂ f( theođiềukiệnCauchy-Reimanntacó: z)=0 ∂z Định nghĩa 1.2.5.ChoUlà tập mở trongC Hàmh:U−→Rđượcgọilàđiềuhịanếuh∈C (U)và∆h=0trênU.Trongđó, ∆hlàtốntử ∂2h ∂2h: Laplaceđượctínhbằngcơngthứclà∆h: h h yy = + x x + = ∂x ∂y Kếtquảsauđâychotamốiliênhệgiữahailớphàmđiềuhịavàhàmchỉnhhình,làcơngcụđể xâydựngcáchàmđiềuhịakhibiếthàmchỉnhhìnhvàngượclại.Hơnnữa,từmốiliênhệnàygiúpchúngtachứngminh cáckếtquảcủahàmđiềuhịadựatrênnhữngkếtquảđãbiếtcủahàmchỉnhhình Địnhlý1.2.6.C h o DlàmộtmiềntrongC.Khiđó (a) Nếuf l hàmchỉnhhìnhtrênDvàh:=Reft h ì hlàhàmđiềuhịatrên D (b) Nếu h hàm điều hòa D D miền đơn liên tồn tạihàmchỉnhhìnhf t r ê n Dsaochoh=Ref.Hơnnữa,hàmf l duynhấtsaikhác hằngsố Chứng minh.(a) Giả sửflà hàm chỉnh hình trênD Ta viếtf=h+ik,ởđóh,klà hàm thực hai biếnx,yvớiz=x+iy∈D.Doflà chỉnh hìnhtrênDnên cáchàmh,k∈C2(D)vàthỏa mãn điều kiệnCauchy Reimann(C-R):hx=kyvàhy=−kx.Vì vậy,tacó: ∆h=hxx+hyy=(hx)x+(hy)y=(ky)x+(−kx)y=kxy−kyx=0