1144 một số vấn đề về đa thức với hệ số nguyên luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌC QU YN HƠN BÙITHẾTRUNG MỘTS Ố V Ấ N Đ Ề VỀĐATHỨCVỚIHỆSỐNGUN LUẬNVĂNTHẠCSĨTỐN HỌC BìnhĐịnh-Năm 2022 BÙITHẾTRUNG MỘTS Ố V Ấ N Đ Ề VỀĐATHỨCVỚIHỆSỐNGUYÊN Chuyên ngành : ĐạisốvàlíthuyếtsốMãsố : 8460104 Ngườihướngdẫn:TS.TRẦNĐÌNHLƯƠNG Lờic a m đ o a n Tôi xin cam đoan kết đề tài“Một số vấn đề đa thfíc vớihệ số ngun”là cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS.Trần Đình Lương chưa cơng bố cơng trình khoa họcnàokhácchotớithờiđiểmhiệntại Cácn ộ i d u n g v k ế t q u ả s d ụ n g t r o n g l u ậ n v ă n đ ề u c ó t r í c h d ẫ n v c h ú thíchnguồngốc.Nếucóđiềugìgianlận,tơixinchịutráchnhiệmvềluậnvăncủamình QuyNhơn,ngày30tháng07năm2022 Họcvi ên th ựch iện đềtài BùiT h ế T r u n g DANHMỤC CÁCKÝHIỆU R :Vànhgiaohốncóđơnvị s(Q) :Tậphợpcácbìnhphươngcủacácsốhữutỷ u(f) :Sốlầnđathứcnhậngiátrị±1 P(f) :S ố lầnđathứcnhậngiátrịnguyêntố Mụcl ụ c Danhmụ c cá c k ý h i ệ u ii Mởđ ầ u 1 Vànhđa t h fí c với h ệ số n g u y ê n 1.1 Mộtsốkiếnthứcchuẩnbị 1.2 Đathứctrênmộtvànhgiaohoán 1.3 Vànhđathứcvớihệsốnguyên 11 Một sốtiêuchuẩnbấtkhảquy 21 2.1 Tiêuc h u ẩ n b ấ t k h ả q u y c h o c c đ a t h ứ c c ó b ậ c n h ỏ h n h o ặ c bằng3 21 2.2 Tiêuchuẩnbấtkhảquychocácđathứcbậcbốn 2.3 Tiêuchuẩnbấtkhảquyrútgọntheomôđunsốnguyêntố 2.4 TiêuchuẩnbấtkhảquyEisenstein 24 29 32 2.5 Tiêuchuẩnbấtkhảquyliênquanđếnsốlầnđathứcnhậngiátrị ±1 34 2.6 Tiêuchuẩnbấtkhảquyliênquanđếnsốlầnđathứcnhậngiátrị nguyêntố Kếtluận 39 47 Danhmụ ct i l i ệ u t h a mk h ả o 49 Mởđ ầ u Đa thức khái niệm quan trọng sử dụngnhiều đại số Các vấn đề đa thức chủ đề nhà toán họcquan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Trongsố học đa thức đóng vai trị tương tự số nguyên, đặc biệt đathức có hệ số nguyên hệ số hữu tỷ, đa thức bất khả quy đóngvaitrịtươngtựnhưcácsốnguntố Luận văn nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến tính chất số họccủa đa thức với hệ số nguyên như: cấu trúc đại số tính chất số học vànhđa thứcZ[x], tiêu chuẩn bất khả quy đa thức với hệ số nguyên nhưtiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn rút gọn theo môđun số nguyên tố, sốtiêuchuẩnkhác.Luậnvăngồmcó 2chương Chương1:Vànhđathfícvớihệsốngun Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề tính chất số học, môtả iđêan nguyên tố, iđêan cực đại vành đa thức với hệ số nguyên Đồngthờic h ú n g t ô i c ũ n g t r ì n h b y m ộ t số k i ế n t h ứ c c h u ẩ n b ị đ ợ c s d ụ n g t r o n g luậnvăn Chương2:Một sốtiêuchu ẩnbấtkhảqu y Trongc h n g n y c h ú n g t ô i t r ì n h b y m ộ t s ố t i ê u c h u ẩ n b ấ t k h ả q u y c h o cácđathứcvớihệsốnguyên:tiêuchuẩnbấtkhảquychocácđathứcbậcthấp, tiêuc h u ẩ n b ấ t k h ả q u y r ú t g ọ n t h e o m ô đ u n s ố n g u y ê n t ố , t i ê u c h u ẩ n b ấ t k h ả quyEisentein,cáctiêuchuẩnbấtkhảquyliênquanđếngiátrịcủađathức Luậnv ă n đ ợ c h o n t h n h n h s ự h n g d ẫ n v g i ú p đ ỡ t ậ n t ì n h c ủ a TS.TrầnĐìnhLương,TrườngĐạihọcQuyNhơn.Nhândịpnàytơixinbàytỏsự kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Chúng xin gửi lời cảmơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đạihọc, Khoa Toán Thống kê quý thầy giáo giảng dạy lớp Cao họcTốn Khóa 23 tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi q trình họctập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn giađình,bạnbèđãlnđộngviênđểchúngtơihồnthànhtốtluậnvănnày Mặcdùluậnvănđượcthựchiệnvớisựnỗlựcvàcốgắngcủabảnthânnhưngdođ i ề u k i ệ n t h i g i a n c ó h n ,t r ì n h đ ộ k i ế n t h ứ c v k i n h n g h i ệ m n g h i ê n c ứ u hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mongnhậnđượcnhữnggópýcủaqthầycơđểluậnvănđượchồnthiệnhơn Chương1 Vànhđathfícvớihệsốngun Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề tính chất số học, môtả iđêan nguyên tố, iđêan cực đại vành đa thức với hệ số nguyên Đồngthờic h ú n g t ô i c ũ n g t r ì n h b y m ộ t số k i ế n t h ứ c c h u ẩ n b ị đ ợ c s d ụ n g t r o n g luậnvăn.Cáckếtquảtrongchươngnàyđượcthamkhảotừcáctàiliệu[1],[2],[3] 1.1 Mộtsốkiếnthfí c chuẩ nbị Trong mục nhắc lại số kiến thức đại số giaohoánvàvềlýthuyếtchiahếttrongmộtmiềnnguyên ChoRlà vành giao hoán có đơn vị Với Mlà tập củaR, giaocủa tất iđêan củaRchứaMlà iđêan bé củaRchứaM Iđêan nàyđượcgọilàiđêansinhbởi M,vàkýhiệulà ⟨M⟩ NếuM = {a1,a2, ,an}t h ì k h i đ ó M= {x1a1+x2a2+···+xnan|xi∈R} Đặcb iệ t ,n ế u M = { a}t h ì iđ êan si n h b i M đ ợ c g ọ il iđ êa n c h í n h s i n h b i phầ ntử a ,vàkýhiệulà ⟨a⟩.Khiđó ⟨a⟩={ax|x∈R} ChoIlà mộtiđêancủaR (i) IđêanI đ ợ c g ọ i l m ộ t i đ ê a n n g u y ê n t ố c ủ a R I ̸ =R v t a b ∈I v i a,b∈R suyra a∈I h o ặ c b∈I (ii) IđêanIđượcgọi làmột iđêancựcđạicủaRnếuI̸=Rvà nếuvớibất kỳiđêanPn o R saocho I⊂P⊂RthìP=RhoặcP=I Mệnhđ ề C h o R làmộtgiaohốncóđơnvị,và I l mộtiđêancủa R Khiđ ó: (i) Il m ộ t i đ ê a n n g u y ê n t ố c ủ a R k h i v c h ỉ k h i v n h t h n g R / I l m ộ t miềnnguyên; (ii) IlàmộtiđêancựcđạicủaRkhivàchỉkhivànhthươngR/Ilàmộttrường ChoD l m ộ t m i ề n n g u y ê n V i a , b∈D v b ̸ =0 ,t a n ó i b ch ia h ế t a (hoặc bl m ộ t c c ủ a a ),k ý h i ệ u l b | a ,n ế u t n t i q ∈D s a o c h o a =b q T a g ọ i mộtp h ầ n t u ∈D l m ộ t đ n v ị củaD nếuu| ,h a y t n g đ n g , n ế u u l mộtp h ầ n t k h ả n g h ị c h c ủ a D V i a , b∈D \ {0},t a n ó i p h ầ n t a liên k ế t v i phầntử b nếuvàchỉnếu a|b b| a ,vàkýhiệulà a∼b Rõrànghaiphầntử a,b∈ D \ {0}làl i ê n k ế t v i n h a u n ế u c h ú n g s a i k h c n h a u m ộ t đ n v ị c ủ a D Vớia ∈ D , a̸ =0 ,r õ r n g c c p h ầ n t l i ê n k ế t v i a c c đ n v ị c ủ a D l c c ước củaa; ta gọi ước cácước tầm thườngcủaa Các ước không tầmthườngcủa a gọilàcácướcthực sực ủ a a Giảs p ∈ D,p̸ =0 v k h ô n g l đ n v ị c ủ a D P h ầ n t p đ ợ c g ọ i l b ấ t khảq u y t r o n g D n ế u n ó k h n g c ó c t h ự c s ự t r o n g D ,n g h ĩ a l n ế u p =ab vớ i a,b∈D thìahoặcblà đơn vị củaD Phần tửpđược gọi lànguyênt ố trongDnếup| abvớia,b∈Dthìp|ahoặcp|b.R õ n g u y ê n tốthìnólàbấtkhảquy ràng phần tử