Đang tải... (xem toàn văn)
CÁCH NHÂN ĐƠN THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A Cách nhân đơn thức với đa thức I Quy tắc Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích của chúng[.]
CÁCH NHÂN ĐƠN THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A Cách nhân đơn thức với đa thức I Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích chúng lại với Với x, y 0;m,n x m x n xm x m ym (xy)m ,m n thì: n II Các dạng Dạng 1: Rút gọn biểu thức sử dụng phép nhân đa thức với đơn thức Phương pháp giải: - Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để phá ngoặc kết hợp với phép toán liên quan đến lũy thừa để rút gọn biểu thức Ví dụ minh họa VD1: Làm tính nhân: a, 2x (3x 2x) = 2x 3x 2x 2x = 6x 4x b, 3x.(x = 3x.x = 3x3 2x 2) 3x.2x 6x 6x c, x (3x 2x = x 3x 1) x 2x x = 2x 3x.2 x 3 x VD2: Rút gọn biểu thức: a, M 2x x x 4x x 2x = 2x x3 = 2x5 2x x 2x 2x 2x 4x.x 4x 8x 4x 4x.2x 4x = 2x 4x 2x = 6x5 10x 2x = x3 x3.2x 2x5 = 2x 3x x5 5x = 4x) x 3.4x 4x 2x 4x 4x b, N = x3 (1 2x = x3.1 8x 3x 3x 4.x 9x 9x 3x (3 x) 3x 4x x3 x3 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức cho trước Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức cho sau thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn Ví dụ minh họa VD2: Thực phép tính tính giá trị biểu thức: a, A = 3x.(2x 1) x = Ta có: A = 3x.(2x 1) = 3x.2x = 6x 3x.1 3x Tại x = thay vào biểu thức A ta được: A = 6.13 - 3.1 = – =3 b, B = 4x (x 2) x = 4x Ta có: B = 4x (x = 4x x = 4x Tại x = 4x 2) 4x 4x 16x 4x 2 8x thay vào B ta được: B = 4 16 2 = 16 16 = +2 +2 = 17 8 c, C = 2x.(3x 5) x = Ta có: C = 2x.(3x 5) = 2x 3x - 2x.5 = 6x 10x Tại x = thay vào C ta được: C = 43 - 10.4 = 384 – 40 = 344 Dạng 3: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức kết thu sau rút gọn khơng cịn chứa biến Ví dụ minh họa: Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x, biết: a, A = 3x 2 x b, B = x.(2x c, C = x.(2x 3x x 1) (3x)2 (x 1) 2) 2x (x x (x 2) x2 1) x3 ( 2x x 2x 9).x 12 Lời giải: a, A = 3x 2 x 3x (3x)2 (x 1) = 2x 9x 9x (x 1) = 2x3 9x 9x 9x 2x 2x ( 2x 9x 12 9x 12 9).x 12 = 2x 2x (9x 9x ) (9x 9x ) 12 = -12 Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến x b, B = x.(2x x = x.2x3 x.2 x.x 2x (x 2) 2x x 1) x2 2x 2x x2 2x = 2x x 2x 2x 2x x 2x = 2x x2 = (2x 2x ) 2x 2x (x 2x 2x x2 x2 ) 2x (2x 2x) =1 Vậy giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị biến x c, C = x.(2x x (x 1) = x.2x + x.1 - x x 2) x 2 x2 x3 x x 3 = 2x x x 2x x x = 2x x x3 = (2x 2x ) 2x (x x3 x x3 ) (x x) =3 Vậy giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị biến x Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước: a Phương pháp giải: - B1: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc - B2: Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm x b Ví dụ minh họa: Tìm x, biết: a, 2.(5x – 8) – 3.(4x – 5) = 4.(3x – 4)+11 2.5x – 2.8 – 3.4x + 3.5 = 4.3x – 16 +11 10x – 16 – 12x + 15 = 12x – -2x – = 12x – -2x – 12x = – -14x = - 4 14 x= 7 Vậy x = 2x ) b, 2x(6x 3x (x 2x.2x 2x.6x 12x 4x (12x 12x ) x3 4) 3x 2.x 3x3 12x (3x 3x 2.4 8 4x ) 8 x3 x = -2 Vậy x = -2 B Cách nhân đa thức với đa thức: I Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với Ta có: (A + B).(C + D) = A.(C + D) + B.(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D II Các dạng bài: Dạng 1: Rút gọn biểu thức Phương pháp giải: Sử dung quy tắc nhân đa thức với đa thức Ví dụ minh họa: VD1: Thực phép tính: a, (2x + 1).(3x – 2) = 2x.(3x – 2) + 1.(3x – 2) = 2x.3x – 2x.2 + 1.3x – 1.2 = 6x - 4x + 3x – = 6x - x – b, (x x 1).(x 2) = x (x – 2) + x.(x – 2) + 1.(x – 2) = x3 2x x - 2x + x – x 2x x 2x x = x3 - x - x – c, x.(xy – 1)(xy + 1) = ( x2y x ).(xy + 1) = x y(xy 1) x(xy + 1) = x y2 x2y = x y2 x x2y x Dạng 2: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức kết thu sau rút gọn khơng cịn chứa biến Ví dụ minh họa: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x, biết: a, P = (x + 2).(x – 3) – x(x – 6) + Ta có: P = (x + 2).(x – 3) – x(x – 1) + = x(x – 3) + 2.(x – 3) - x + x + = x - 3x + 2x – - x + x + = x2 - x – - x2 + x + = ( x - x ) + (x – x) + (7 – 6) =1 Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị biến x b, Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + Ta có: Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + = x.(3x – 1) + 2.(3x – 1) – x.(3x + 3) – 2x + = 3x - x + 6x – - 3x - 3x – 2x + = ( 3x - 3x ) + (6x – x – 3x – 2x) + (7 – 2) =5 Vậy giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị biến x c, T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + Ta có: T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + = 2x.(2x + 3) – 3.(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + = 4x + 6x – 6x – – 3x - 4x + 3x + = ( 4x - 4x ) + (6x – 6x – 3x + 3x) + (1 – 9) = -8 Vậy giá trị biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị biến x Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước: a Phương pháp giải: - B1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc - B2: Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm x b Ví dụ minh họa: a, x x 3 x 3 x 5 x(x 3) x.x x.3 2.x x2 3x (x x 2(x 2x x2 ) (3x 3) x(x 2.3 x.x x2 2x 5x 5x 5) 3(x 5) x.5 3.x 3.5 3x 15 3x) (15 6) 0 0 x= - Vậy x = -9 b, (3x + 2)(x + 4) – (3x – 1)(x – 5) = 3x.(x + 4) + 2(x + 4) – 3x(x – 5) + 1(x – 5) = 3x.x + 3x.4 + 2.x + 2.4 – 3x.x + 3x.5 + x – = 3x + 12x + 2x + - 3x + 15x + x – = ( 3x - 3x ) + (12x + 2x + 15x + x) + (8 – 5) = 30x + = 30x = -3 30 x= Vậy x = 10 10 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức nhau: a Phương pháp giải: Ta chọn hai vế biểu thức để thực phép nhân đa thức với đa thức, sau rút gọn đa thức tích để thu kết vế lại b Ví dụ minh họa: Chứng minh a, x y z b, x y z x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx Giải: a, Xét VT = x y z = (x – y – z).(x – y – z) = x(x – y – z) – y(x – y – z) –z(x – y – z) = x - xy – xz – yx + y + yz – zx + zy + z = ( x + y + z ) – (xy +yx) – (xz + zx) + (yz + zy) = ( x + y + z ) – 2xy – 2xz + 2yz = ( x + y + z ) – 2xy + 2yz – 2xz = VP (đpcm) Vậy x y z b, Xét VT = x x2 y y2 z z2 2xy 2yz 2zx = (x + y – z).(x + y – z) = x(x – y – z) + y(x – y – z) –z(x – y – z) = x + xy – xz + yx - y - yz – zx + zy + z = ( x - y + z ) + (xy + yx) – (xz + zx) - (yz - zy) = ( x - y + z ) + 2xy – 2xz - 2yz = ( x + y + z ) + 2xy - 2yz – 2xz = VP (đpcm) Vậy x y z x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx C Bài tập tự luyện Bài 1: Thực phép tính: a, -2xy2 x y - 2x y2 + 5xy3 b, -2x x – 3x – x + c, 3x 2x – x + 1 y - z - xy d, - 10x + ĐS: a, 2x y3 b, 2x c, 6x 4x y4 10x y5 6x 3x d, 5x y 2x 2x 15x 2 xy xyz Bài 2: Thực phép tính: a, 3x y – 6xy + 9x - xy b, 4xy + 3y – 5x x y c, 3x 2y – – 2x 5y – – 2x x – d, 25x - 3x - + 7x - 2x ĐS: a, 4x y2 b, 4x y2 8x y2 12x y 3x y2 5x y c, 4x y 5x 2x d, 14x 48x Bài 3: Thực phép tính tính giá trị biểu thức sau, biết: a) A = 7x x - + x - với x = b) B = 4x 2x - - 5x x - với x = c) C = a a + b - b a - b2 + 2013 , với a = 1, b = -1 d) D = m m - n + - n n + - m , với m = - ; n = - 3 ĐS: a, A = -6 b, B = c, C = 2013 d, D = Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x, biết: a) A = x 2x + - x x + + x - x + b) B = x x + 2x - 3x + – x + 2x x + 3x x – + x - 12 c) C = 3xy2 4x – 2y – 6y 2x y + + xy3 + y - d) D = 3x x – 5y + y - 5x -3y - - x – y ĐS: a, A = b, B = -12 c, C = -18 d, D = - Bài 5: Tìm x, biết: a, x(x 2) b, (2x)2 (x 1) x 2x x(x c, 3x(x – 2) – 3( x 4x) 3) = ĐS: a, x = b, x = c, x = Bài 6: Thực phép tính: 40 a, (x + 3)(x – 4) b, (x – 4)( x 16 ) 4x c, ( xy2 1)(x y d, x x 5) (4x 2 1) ĐS: a, x x 12 b, x 64 c, x y2 5xy2 x2y d, 16x Bài 7: Rút gọn tính giá trị biểu thức sau: a, A = (3x +2) (9x 6x 4) x = b) B = (x +1)(x - x + x - x + x - x + x -1) x = c) C = (x +1)(x - x5 + x - x3 + x - x +1) x = d) D = 2x(10x - 5x - 2) - 5x(4x - 2x -1) x = -5 ĐS: a, A = b, B = 255 c, C = 129 d, D = -5 Bài 8: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x: a) A = (5x – 2)(x + 1) – (x – 3)(5x + 1) – 17(x + 3) b) B = (6x – 5)(x + 8) – (3x – 1)(2x + 3) – 9.(4x – 3) c) C = x(2x +1) - x (x + 2) + x - x + d) D = (x +1)(x - x +1) - (x -1)(x + x +1) ĐS: a, A = -50 b, B = -10 c, C = d, D = Bài 9: Tìm x, biết: 4x 16) (x + 4) – x(x + 1)(x + 2) + 3x = a, (x b, (8x + 2)(1 – 3x) + (6x – 1)(4x – 10) = -50 c, 3.(1 – 4x)(x – 1)+ 4(3x + 2)(x + 3) = 38 d) 5.(2x + 3)(x + 2) – 2(5x – 4)(x – 1) = 75 ĐS: a, x = 32 b, x = c, x = 17 59 d, x = Bài 10: Chứng minh: a, (x + 2)(x – 2)( x 4) x 16 b, (x y2 )(x y) x3 a, (x + 2)(x – 2)( x 4) x 16 xy y3 ĐS: Ta có: VT = (x + 2)(x – 2)( x = ( x2 2x = ( x2 )( x = x4 4x )( x 2x 4) 4) 4) 4x 16 = x 16 = VP (đpcm) b, (x xy y2 )(x y) x3 y3 Ta có: VT = (x xy y2 )(x = x3 x2y x2y xy2 = x3 y3 = VP (đpcm) y) xy2 y3 Bài 11: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu 52 ĐS: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: x, x + 1, x + (x ) Ta có tích hai số đầu x.(x + 1) Tích hai số sau là: (x + 1)(x + 2) Vì tích hai số sau lớn tích hai số đầu 52 nên ta có: (x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 52 x2 x 2x - x2 x = 52 2x = 52 x = 26 Vậy ba số tự nhiên liên tiếp là: 26, 27, 28 Bài 12: Cho a b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư 1, b chia cho dư Chứng minh ab + chia hết cho ĐS: Ta có a chia cho dư nên ta đặt a = 5x + (x ) Ta lại có b chia cho dư nên ta đặt b = 5y + ( y ) Ta có: ab + = (5x +1)(5y + 4) + = 25xy + 20x + 5y + + = 25xy + 20x + 5y + = 5.(5xy +4x + y + 1) (đpcm) Bài 13: Chứng minh 2n (n nguyên n 1) 2n(n n 3) chia hết cho với số ĐS: Ta có: 2n (n 1) = 2n3 2n 2n(n n 2n3 2n 3) 6n = 6n (đpcm) Bài 14: Chứng minh n(3 – 2n) – (n – 1)(1 + 4n) – chia hết cho với số nguyên n ĐS: chứng minh tương tự 13 ... 3x3 12x (3x 3x 2.4 8 4x ) 8 x3 x = -2 Vậy x = -2 B Cách nhân đa thức với đa thức: I Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với Ta có: (A +... = (x – y – z).(x – y – z) = x(x – y – z) – y(x – y – z) –z(x – y – z) = x - xy – xz – yx + y + yz – zx + zy + z = ( x + y + z ) – (xy +yx) – (xz + zx) + (yz + zy) = ( x + y + z ) – 2xy – 2xz... biểu thức hai vế để tìm x b Ví dụ minh họa: Tìm x, biết: a, 2.(5x – 8) – 3.(4x – 5) = 4.(3x – 4)+11 2.5x – 2 .8 – 3.4x + 3.5 = 4.3x – 16 +11 10x – 16 – 12x + 15 = 12x – -2x – = 12x – -2x – 12x = –