Luận văn thạc sỹ toán một số vấn đề về hàm đơn điệu và hàm lồi ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————– CAO THỊ ÁI LOAN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ HÀM LỒI MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————– CAO THỊ ÁI LOAN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ HÀM LỒI MA TRẬN Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: PGS.TS LÊ CƠNG TRÌNH Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Cơng Trình nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn Đồng thời, xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tất thầy cô Khoa Tốn Thống kê, khoa Sư phạm, phịng Đào tạo sau đại học, nhà trường, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi giúp hồn thành luận văn Bình Định, ngày tháng năm 2022 Học viên Cao Thị Ái Loan i Mục lục Mở đầu iii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giá trị riêng phổ ma trận 1.2 Vết định thức ma trận 1.3 Ma trận dương 1.4 Phân tích Schmidt phân tích phổ 1 Hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận 2.1 Hàm đơn điệu ma trận 2.1.1 Định nghĩa ví dụ hàm đơn điệu ma trận 2.1.2 Tiêu chuẩn đạo hàm cho tính đơn điệu ma trận 2.2 Hàm lồi ma trận 2.2.1 Tập lồi hàm lồi 2.2.2 Hàm lồi ma trận 2.3 Biểu diễn tích phân hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận 2.3.1 Hàm Pick 2.3.2 nh lý Lăowner 2.3.3 Biểu diễn tích phân hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận 2.4 Một số áp dụng 5 9 15 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 34 ii 19 19 22 28 31 Mở đầu Cho (a, b) ⊆ R khoảng mở Một hàm số f : (a, b) −→ R gọi đơn điệu ma trận vuông cấp n f (A) ≤ f (B) với A, B ma trận vuông Hermit cấp n, A B có giá trị riêng nằm (a, b) thỏa mãn A ≤ B Ở đây, A ≤ B có nghĩa B − A ma trận nửa xác định dương Nếu hàm số đơn điệu ma trận vng cấp gọi hàm đơn điệu ma trận hay hàm đơn điệu toán tử Hàm số f : (a, b) −→ R gọi hàm lồi ma trận f (tA + (1 − t)B) ≤ tf (A) + (1 − t)f (B) với A, B ma trận vng Hermit cấp có giá trị riêng thuộc khoảng (a, b) với ≤ t ≤ Nếu −f hàm lồi ma trận, f gọi hàm lõm ma trận Ở đây, với A ∈ Mn (C) ma trận vuông phức cấp n Hermit với giá trị riêng thuộc khoảng (a, b) ⊆ R f : (a, b) → R hàm số, ma trận f (A) định nghĩa thơng qua phân tích phổ phép P chéo hóa A, tức là, A = ki=1 αi Pi phân tích phổ A A = U Diag(α1 , , αk )U ∗ phép chéo hóa A, f (A) = k X f (αi )Pi = U Diag(f (α1 ), , f (αk ))U ∗ i=1 Lý thuyết hàm đơn điệu ma trn c xng bi Karel Lăowner ([6], 1934), khụng lâu sau đó, Fritz Kraus ([5], 1936) phát triển lý thuyết hàm lồi ma trận Sau phát triển số nhà nghiên cứu (chẳng hạn, Bendat Sherman ([1], 1955), Korányi ([4], 1956)), Hansen Pedersen ([2], 1982) thiết lập phương pháp nghiên cứu đại hàm lồi đơn điệu ma trận iii iv Một đặc điểm đáng chỳ ý ca lý thuyt Lăowner l chỳng ta cú đặc trưng khác hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận từ quan điểm khác Các biểu diễn tích phân hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận đóng vai trò quan trọng mặt lý thuyết ứng dụng Trong Giải tích thực, tính đơn điệu tính lồi khơng liên quan trực tiếp với nhau, Giải tích ma trận tình khác Chẳng hạn, hàm đơn điệu ma trận (0, +∞) lõm ma trận Các hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận có nhiều ứng dụng quan trọng, hàm cụ thể, việc xác định tính đơn điệu ma trận tính lồi ma trận khơng dễ dàng Chính thế, việc nghiên cứu đặc trưng ví dụ hàm đơn điệu hàm lồi ma trận cần thiết có ý nghĩa Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu số đặc trưng, tính chất ví dụ hàm đơn điệu lồi ma trận Ngoài mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sử dụng chương sau luận văn, gồm: hàm đơn điệu, hàm lồi; số kiến thức ma trận, có phân tích phổ phép chéo hóa ma trận, số kết khác liên quan Chương Hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận Trong chương trình bày số định lý bất đẳng thức liên quan đến hàm đơn điệu hàm lồi ma trận Đồng thời, chúng tơi trình bày số ví dụ áp dụng Mặc dù tác giả cố gắng tổng hợp tài liệu trình bày nội dung liên quan đến hàm đơn điệu hàm lồi ma trận cách tốt nhất, điều kiện mặt thời gian kiến thức có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ q thầy bạn học viên để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ma trận, chuẩn bị cho chương sau luận văn Các khái niệm kết chương tham khảo sách Hiai Petz ([3]) 1.1 Giá trị riêng phổ ma trận Ký hiệu Mn tập hợp ma trận vuông phức cấp n Cho A ∈ Mn λ ∈ C Ta nói λ giá trị riêng A tồn vectơ v ∈ Cn khác không cho Av = λv Vectơ v gọi vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng λ Ký hiệu σ(A) tập tất giá trị riêng A Do đó, σ(A) = {λ ∈ C | det(A − λI) = 0} 1.2 Vết định thức ma trận Với ma trận (Aij )n×n ∈ Mn , vết A định nghĩa tổng phần tử đường chéo A, tức T rA = A11 + A22 + + Ann Giả sử σ(A) = {λ1 , λ2 , , λn } Khi T rA = n X i=1 λi , det(A) = n Y i=1 λi Định lý 1.2.1 Định thức ma trận dương A ∈ Mn khơng vượt q tích đường chéo det A ≤ n Y Aii i=1 1.3 Ma trận dương Định nghĩa 1.3.1 Với A = (Aij )n×n ∈ M, ký hiệu At ma trận chuyển vị A, ký hiệu A∗ ma trận chuyển vị liên hợp A, tức liên hợp phức ma trận At Ma trận A ∈ Mn gọi Hermit (hay tự liên hợp) A = A∗ Ma trận U ∈ Mn gọi unita U ∗ U = U U ∗ = I Định nghĩa 1.3.2 Ma trận A ∈ Mn gọi dương (hay nửa xác định dương) x∗ Ax ≥ 0, ∀x ∈ Cn , ký hiệu A ≥ Chú ý A ≥ A Hermit Hơn nữa, A1 ≥ 0, A2 ≥ A1 + A2 ≥ Với hai ma trận A, B ∈ Mn , ta viết A ≥ B có nghĩa A − B ≥ Định lý 1.3.3 Cho A ∈ Mn Khi điều kiện sau tương đương (1) A ma trận dương, (2) A = A∗ phổ A nằm R+ = [0, ∞), (3) A viết dạng A = B ∗ B, với B ∈ Mn Chú ý A ∈ Mn dương U AU ∗ dương với U ma trận unita Định lý 1.3.4 Cho A ma trận dương Khi tồn ma trận dương B cho B = A Tập tất ma trận Hermit cấp n ký hiệu Msa n Định lý 1.3.5 Cho A B ma trận vng dương cấp n Khi Cij = Aij Bij (1 ≤ i, j ≤ n) xác định ma trận dương Ma trận C gồm hệ tử Cij định lý gọi tích Hadamard (hoặc tích Schur ) ma trận A B , kí hiệu C = A ◦ B Ma trận dương khả nghịch gọi ma trận xác định dương Nếu A ma trận xác định dương, ta ký hiệu A > 1.4 Phân tích Schmidt phân tích phổ Cho A ∈ Mn ma trận Hermit Khi đó, với σ(A) = {λ1 , , λn }, tồn vectơ riêng v1 , , tạo thành sở trực chuẩn Cn , với Avi = λi vi , ∀i Khi ta có phân tích A= n X λi vi vi∗ (1.1) i=1 Phân tích gọi phân tích Schmidt A Phân tích Schmidt tất giá trị riêng phân biệt Một phân tích khác ma trận phân tích phổ Giả sử ma trận Hermit A có giá trị riêng µ1 > µ2 > > µk Khi A= k X µ j Pj , (1.2) j=1 Pj phép chiếu trực giao lên không gian riêng tương ứng với giá trị riêng µj Từ phân tích Schmidt (1.1), ta có X Pj = vi vi∗ , i tổng lấy tất số i cho λi = µj Phân tích ln Cho f : (a, b) ⊂ R → R hàm số, A ∈ Mn ma trận có P giá trị riêng thuộc (a, b) Nếu A có phân tích phổ A = kj=1 µj Pj , với µ1 , , µk giá trị riêng khác A, ma trận f (A) định nghĩa f (A) := k X j=1 f (µj )Pj 15 Điều nghĩa n X log Aii ≥ T r log A i=1 Lấy mũ hai vế, ta nhận n Y Aii ≥ e(T r log A) = det A i=1 Đây bất đẳng thức Hadamard (Định lý 1.3.5) 2.2.2 Hàm lồi ma trận Định nghĩa 2.2.4 Hàm f : J → R gọi lồi ma trận f (tA + (1 − t)B) ≤ tf (A) + (1 − t)f (B) (2.10) với A, B ma trận Hermit có giá trị riêng J , với ≤ t ≤ Hàm lồi ma trận khoảng (-1,1) có biểu diễn tích phân Z β2 x2 f (x) = β0 + β1 x + dµ(x), −1 − λx (2.11) µ độ đo xác suất β2 ≥ Định lý tổ hợp lồi tA + (1 − t)B, số t − t thay ma trận Định lý 2.2.5 Cho f : [a, b] → R hàm lồi ma trận Ci , Ai = A∗i ∈ Mn cho δ(Ai ) ⊂ [a, b] k X Ci Ci∗ = I i=1 Khi f k X i=1 ! Ci Ai Ci∗ ≤ k X i=1 Ci f (Ai )Ci∗ (2.12) 16 Chứng minh Ta cần chứng minh cho trường hợp k = : f (CAC ∗ + DBD∗ ) ≤ Cf (A)C ∗ + Df (B)D∗ , CC ∗ + DD∗ = I Điều kiện CC ∗ + DD∗ = I nghĩa ta tìm thấy ma trận khối unita " # C D U := X Y hệ tử X Y chọn thích hợp (Thật vậy, |D∗ | = (I − CC ∗ )1/2 , ta có phân tích D∗ = W |D∗ | với W unita Khi đó, chọn X = (I − C ∗ C)1/2 Y = −C ∗ W ∗ thỏa mãn u cầu tốn.) Ta có " # " # # " ∗ ∗ ∗ ∗ A CAC + DBD CAX + DBY A11 A12 U∗ = =: U XAC ∗ + Y BD∗ XAX ∗ + Y BY ∗ A21 A22 B Dễ kiểm tra # " # " " # 1 A11 A12 A11 A11 A12 = V + V 2 A21 A22 A22 A21 A22 " # −I với V = I Suy ma trận " # " # 1 A A Z := V U U ∗V + U U∗ 2 B B ma trận đường chéo, với Z11 = CAC ∗ +DBD∗ f (Z)11 = f (CAC ∗ + DBD∗ ) 17 Tiếp theo ta sử dụng tính lồi ma trận hàm f " # ! " # ! 1 A A f (Z) ≤ f V U U ∗V + f U U∗ 2 B B " #! " #! 1 A A = V Uf U ∗V + U f U∗ 2 B B " # " # 1 f (A) f (A) = VU U ∗V + U U ∗ 2 f (B) f (B) (2.13) Vế bên phải chéo với Cf (A)C ∗ + Df (B)D∗ vị trí (1, 1) Đây xác bất đẳng thức (2.12) với k = Trong chứng minh (2.12) với ma trận vng cấp n, tính lồi ma trận sử dụng cho ma trận vuông cấp 2n Định lý Hansen Pedersen [2] đưa Định lý 2.2.6 Xét hàm f : [a, b] → R a ≤ ≤ b Nếu f hàm lồi ma trận, ||V || ≤ f (0) ≤ 0, f (V ∗ AV ) ≤ V ∗ f (A)V thỏa mãn A = A∗ σ(A) ⊂ [a, b] Nếu f (P AP ) ≤ P f (A)P thỏa mãn với phép chiếu trực giao P A = A∗ với σ(A) ⊂ [a, b], f hàm lồi ma trận f (0) ≤ Chứng minh Nếu f lồi ma trận, ta áp dụng Định lý 2.2.5 Chọn B = W cho V ∗ V + W ∗ W = I Khi f (V ∗ AV + W ∗ BW ) ≤ V ∗ f (A)V + W ∗ f (B)W thỏa mãn, cho điều cần chứng minh Gọi A B ma trận Hermit với phổ [a, b] < λ < Định nghĩa " # " √ # " # √ A λI − − λI I √ C := , U := √ , P := B − λI λI 0 Khi C = C ∗ với σ(C) ⊂ [a, b], U unita P phép chiếu trực giao Do " # λA + (1 − λ)B P U ∗ CU P = , 0 18 nên " # f (λA + (1 − λ)B) = f (P U ∗ CU P ) f (0)I ≤ P f (U ∗ CU )P = P U ∗ f (C)U P " # λf (A) + (1 − λ)f (B) = 0 (2.14) Điều nghĩa f (λA + (1 − λ)B) ≤ λf (A) + (1 − λ)f (B) f (0) ≤ Ví dụ 2.2.4 Từ định lý ta suy f : [0, b] → R hàm lồi ma trận f (0) ≤ 0, f (x)/x đơn điệu ma trận (0, b] Thật vậy, giả sử < A ≤ B Khi B −1/2 A1/2 =: V ma trận co, ∥ V ∥2 =∥ V V ∗ ∥=∥ B −1/2 AB −1/2 ∥≤∥ B −1/2 BB −1/2 ∥= Do đó, theo định lý ta có f (A) = f (V ∗ BV ) ≤ V ∗ f (B)V = A1/2 B −1/2 f (B)B −1/2 A−1/2 , tương đương với bất đẳng thức A−1 f (A) ≤ B −1 f (B) Ví dụ 2.2.5 Giả sử g : [0, b] → R hàm đơn điệu ma trận Khi hàm số f (x) := xg(x) hàm lồi ma trận Thật vậy, theo định lý trước, ta cần P AP g(P AP ) ≤ P Ag(A)P với P phép chiếu trực giao A ≥ Từ tính đơn điệu g , ta có g(A1/2 P A1/2 ) ≤ g(A) Suy P A1/2 g(A1/2 P A1/2 )A1/2 P ≤ P A1/2 g(A)A1/2 P Vì g(A1/2 P A1/2 )A1/2 P = A1/2 P g(P AP ) A1/2 g(A)A1/2 = Ag(A), ta có điều phải chứng minh 19 P Ví dụ 2.2.6 Thay tất số bất đẳng thức Jensen f ( i t i ) ≤ P i ti f (ai ) ma trận, ta có ! X X f A i ≤ f (ai )Ai (2.15) i i P thỏa mãn cho hàm lồi ma trận f i Ai = I với Ai ∈ Mn ma trận dương số ∈ (a, b) Ta chứng minh (2.15) tương đương với tính lồi ma trận f (tA + (1 − t)B) ≤ tf (A) + (1 − t)f (B) Giả sử A= X λi Pi B = X i µj Qj j phân tích phổ A B Khi X X tPi + (1 − t)Qj = I i j Từ (2.15) ta ! X f (tA + (1 − t)B) = f tλi Pi + λj (1 − t)µj Qj i ≤ X i f (λi )tPi + X f (µj )(1 − t)Qj (2.16) j = tf (A) + (1 − t)f (B) Đây bất đẳng thức cần chứng minh 2.3 2.3.1 Biểu diễn tích phân hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận Hàm Pick Định nghĩa 2.3.1 ([3, Theorem 4.30]) Cho C+ nửa mặt phẳng  C+ := {z ∈ C : Imz > 0} = reiφ ∈ C : r > 0, < φ < π Hàm giải tích f : C+ → C+ gọi hàm Pick Lớp hàm Pick ký hiệu P 20 Ví dụ cho ta thấy khái niệm có liên quan đến tính chất đơn điệu ma trận Ví dụ 2.3.1 Cho z = reiθ với r > < θ < π Với p > tham số thực, ảnh hàm số fp (z) = z p := rp eipθ nằm P p ≤ Hàm fp (z) mở rộng liên tục hàm thực ≤ x 7→ xp , hàm đơn điệu ma trận p ≤ Nhắc lại hàm thực < x 7→ log x hàm đơn điệu ma trận Các nhánh log z xác định log z := log r + iθ mở rộng liên tục hàm logarit thực nằm P Tiếp theo, Định lý Nevanlinna sau cho biểu diễn dạng tích phân hàm Pick Định lý 2.3.2 ([3, Theorem 4.31]) Hàm f : C+ → C nằm P tồn α ∈ R, aβ ≥ ν độ đo Borel dương R cho Z +∞ + λz f (z) = α + βz + dν(λ), z ∈ C+ (2.17) −∞ λ − z Cơng thức (2.17) viết dạng  Z +∞  λ f (z) = α + βz + − , z ∈ C+ , λ−z λ +1 −∞ (2.18) với µ độ đo Borel dương R cho dµ(λ) := (λ2 + 1)dν(λ) Z +∞ dµ(λ) < +∞ −∞ λ + Với khoảng mở (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞, ký hiệu P(a, b) tập tất hàm Pick có mở rộng liên tục đến C+ ∪ (a, b) với giá trị thực (a, b) Định lý sau dạng đặc biệt Định lý Nevanlinna cho hàm thuộc P(a, b) 21 Định lý 2.3.3 f : C+ → C hàm P(a, b) f biểu diễn công thức (2.17), với α ∈ R, β ≥ độ đo Borel hữu hạn, dương ν R\(a, b) Ví dụ 2.3.2 Nếu < p < 1, hàm số z p định nghĩa Ví dụ 2.3.1 thuộc P(0, ∞) Biểu diễn tích phân hàm f (z) = z p theo (2.18) sau  Z  pπ sin pπ λ p z = cos + − |λ|p dλ, z ∈ C+ π λ +1 −∞ λ − z Thật vậy, ta cần chứng minh  Z ∞ pπ sin pπ λ xp = cos + − + λp dλ, x ∈ (0, ∞) π x+λ λ +1 (2.19) Hàm số z p−1 rp−1 ei(p−1)θ := , z = reiθ , < θ < 2π, iθ 1+z + re hàm giải tích mặt phẳng cắt C\(−∞, 0] Lấy tích phân hàm dọc theo đường viền    reiθ (ε ≤ r ≤ R, θ = +0),    Reiθ (0 < θ < 2π), z=  reiθ (R ≤ r ≤ ε, θ = 2π − 0),     εeiθ (2π > θ > 0), < ε < < R Áp dụng định lý phần dư cho ε ↘ R ↗ ∞ dẫn đến Z ∞ p−1 t π dt = (2.20) sin pπ 1+t Với x > 0, thay λ/x cho t công thức (2.20) để nhận Z ∞ p−1 sin pπ xλ xp = dλ, x ∈ (0, ∞) π λ + x 22 Do x = + λ+x λ +1  λ − λ +1 λ+x  λ, nên ta nhận  Z Z  sin pπ ∞ λ sin pπ ∞ λp−1 p dλ + − λp dλ, x ∈ (0, ∞) x = 2 π π λ +1 λ+x λ +1 Thay t λ2 công thức (2.20), p thay p/2, ta Z ∞ p−1 λ π dλ = pπ λ +1 sin 2.3.2 Định lý Lă owner Trong phn ny chỳng tụi chng minh nh lý Lăowner núi rng mt hm n iu ma trận (a, b) thuộc P(a, b) Ký hiệu K tập hợp hàm đơn điệu ma trận (−1, 1) cho f (0) = f ′ (0) = Bổ đề 2.3.4 Cho f ∈ K Khi đó: (1) Với α ∈ [−1, 1], (x + α)f (x) lồi ma trận (−1, 1),  α (2) Với α ∈ [−1, 1], + f (x) đơn điệu ma trận (−1, 1), x (3) f khả vi hai lần f (x) − f ′ (0)x f ” (0) = lim x→0 x2 Chứng minh Chứng minh (1) dựa vào Ví dụ 2.2.4, ta phải thay đổi lập luận cho hàm Lấy ε ∈ (0, 1) Vì f (x − + ε) đơn điệu ma trận [0, − ε) nên xf (x − 1) + ε lồi ma trận [0, − ε) Vì (x + − ε)f (x) lồi ma trận (−1 + ε, 1) Cho ε ↘ 0, (x + 1)f (x) lồi ma trận khoảng (−1, 1) Ta lặp lại lập luận tương tự với hàm đơn điệu ma trận −f (−x) nhận tính lồi ma trận hàm (x − 1)f (x) Do 1+α 1−α (x + α)f (x) = (x + 1)f (x) + (x − 1)f (x), 2 23 nên (x + α)f (x) lồi ma trận (2) Hàm số (x + α)f (x) biết đến hàm lồi ma trận, phép chia cho x đơn điệu ma trận (3) Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính khả vi liên tục hàm đơn điệu ma trận Khi đó, từ (2), (1+ )f (x) f (x) C (−1, 1), x hàm h xác định khoảng (−1, 1) công thức h(x) := f (x)/x với x ̸= h(0) := f ′ (0) C Suy f ′ (x)x − f (x) → h′ (0) x → h (x) = x ′ Do f ′ (x)x = f (x) + h′ (0)x2 + ◦(|x|2 ) Vì f ′ (x) = h(x) + h′ (0)x + ◦(|x|) = h(0) + 2h′ (0)x + ◦(|x|) x → Điều chứng tỏ f ”(0) = 2h′ (0) Do f ”(0) h(x) − h(0) f (x) − f ′ (0)x = h′ (0) = lim = = lim x→0 x→0 x x2 Bổ đề 2.3.5 Nếu f ∈ K, x x ≤ f (x) với x ∈ (−1, 0), f (x) ≤ với x ∈ (0, 1), 1+x 1−x |f ”(0)| ≤ Chứng minh Với x ∈ (−1, 1), theo Định lý 2.1.4 ta có   " # f (x) [1] f [1] (x, x) f ′ (x, 0) f (x) x  =  f (x)  ≥ f [1] (x, 0) f [1] (0, 0) x Do f (x)2 ≤ f ′ (x) x (2.21) 24 Theo Bổ đề 2.3.4 (1), đạo hàm d (x ± 1)f (x) = f (x) + (x ± 1)f ′ (x) dx hàm tăng (−1, 1) Vì f (0) ± f ′ (0) = ±1, nên ta có f (x) + (x − 1)f ′ (x) ≥ −1 với < x < 1, (2.22) f (x) + (x + 1)f ′ (x) ≤ với − < x < (2.23) Từ (2.21) (2.22) ta có (1 − x)f (x)2 f (x) + ≥ x2 Nếu f (x) > x với x ∈ (0, 1), 1−x (1 − x)f (x) x f (x) = , x2 1−x x x x f (x) < , mâu thuẫn Do đó, f (x) ≤ với x ∈ [0, 1) 1−x 1−x Một lập luận tương tự, sử dụng (2.21) (2.23) ta nhận f (x) ≥ x với x ∈ (−1, 0] 1+x Hơn nữa, từ Bổ đề 2.3.4 (3) hai bất đẳng thức vừa chứng minh, x −x f ”(0) − x ≤ lim = lim =1 x2 x↘0 x↘0 − x f (x) + > x −x −1 f ”(0) + x ≥ lim = lim = −1, x2 x↗0 x↗0 − x |f ”(0)| ≤ Bổ đề 2.3.6 Tập K lồi compact Chứng minh Rõ ràng K tập lồi Vì {f (x) : f ∈ K} bị giới hạn với x ∈ (−1, 1) theo Bổ đề 2.3.5, nên K compact tương đối Để chứng 25 tỏ K tập đóng, cho {fi } dãy hàm K hội tụ tới hàm f (−1, 1) Rõ ràng f đơn điệu ma trận (−1, 1) f (0) = Theo Bổ đề 2.3.4(2), (1 + )fi (x) đơn điệu ma trận (−1, 1) với x i Vì limx→0 (1 + )fi (x) = fi′ (0) = 1, nên ta có x     1 1− fi (−x) ≤ ≤ + fi (x), x ∈ (0, 1) x x Vì vậy,     1 1− f (−x) ≤ ≤ + f (x), x ∈ (0, 1) x x Vì f C (−1, 1), nên từ bất đẳng thức ta f ′ (0) = Bổ đề 2.3.7 Các điểm cực trị K có dạng: f (x) = x f ”(0) , với λ = − λx Chứng minh Cho f điểm cực trị K Với α ∈ (−1, 1), định nghĩa  α f (x) − α, x ∈ (−1, 1) gα (x) := + x Theo Bổ đề 2.3.4 (2), gα đơn điệu ma trận (−1, 1) Chú ý gα (0) = f (0) + αf ′ (0) − α = α 1+ f (x) − α f (x) − f ′ (0)x ′ ′ x gα (0) = lim = f (0)+α lim = 1+ αf ”(0) x→0 1→0 x x2  theo Bổ đề 2.3.4(3) Vì + αf ”(0) > theo Bổ đề 2.3.5, hàm số  α 1+ f (x) − α x hα (x) := 1 + αf ”(0) 26 thuộc K Vì f=     1 1 + αf ”(0) hα + − αf ”(0) h−α , 2 tính cực trị f suy f = hα ,    α + αf ”(0) f (x) = + f (x) − α x x với α ∈ (−1, 1) Suy f (x) = 1 − f ”(0)x Định lý 2.3.8 ([3, Theorem 4.38]) Cho f hàm đơn điệu ma trận (−1, 1) Khi tồn độ đo Borel µ [−1, 1] cho Z x ′ f (x) = f (0) + f (0) dµ(λ), x ∈ (−1, 1) (2.24) −1 − λx Chứng minh Ta xét trường hợp f ∈ K Đặt ϕλ (x) := x/(1 − λx) với λ ∈ [−1, 1] Theo Bổ đề 2.3.6, Bổ đề 2.3.7 định lý Krein - Milman nói K bao lồi đóng {ϕλ : λ ∈ [−1, 1]} Do tồn fi bao lồi {ϕλ : λ ∈ [−1, 1]} R 1sao cho fi (x) → f (x) với x ∈ (−1, 1) Mỗi fi viết fi (x) = −1 ϕλ (x)dµi (λ) với độ đo µi [−1, 1] xác định Chú ý rằng, tập M1 ([−1, 1]) độ đo Borel [−1, 1] compact yếu xem tập không gian Banach C([−1, 1]) Lấy tập con, ta giả thiết µi hội tụ topo µ ∈ M1 ([−1, 1]) Với x ∈ (−1, 1), ϕλ (x) liên tục λ ∈ [−1, 1], ta có Z Z f (x) = lim fi (x) = lim ϕλ (x)dµi (λ) = ϕλ (x)dµ(x) i i −1 −1 Để chứng minh tính độ đo µ, lấy µ1 , µ2 độ đo xác suất Borel [−1, 1] cho Z Z f (x) = ϕλ (x)dµ1 (x) = ϕλ (x)dµ2 (λ), x ∈ (−1, 1) −1 −1 P∞ Vì ϕλ (x) = k=0 xk+1 λk hội tụ với λ ∈ [−1, 1], với x ∈ (−1, 1) cố định, theo Z Z ∞ ∞ X X xk+1 λk dµ1 (λ) = xk+1 λk dµ2 (λ), x ∈ (−1, 1) k=0 −1 k=0 −1 27 R1 R1 Do −1 xk+1 λk dµ1 (λ) = −1 λk dµ2 (λ) với k = 0, 1, 2, suy à1 = à2 nh lý 2.3.9 (Lăowner) Cho −∞ ≤ a < b ≤ +∞ f hàm giá trị thực (a, b) Khi f đơn điệu ma trận (a, b) f ∈ P(a, b) Do hàm đơn điệu ma trận giải tích Chứng minh Giả sử f ∈ P(a, b) Theo Định lý 2.3.3, (a, b), f có biểu diễn tích phân Z + λx dν(λ) f (x) = α + βx + R\(a,b) λ − x   Z λ = α + βx + (λ2 + 1) − dν(λ), x ∈ (a, b), λ − x λ + R\(a,b) (2.25) α, β ν theo định lý Cho n ∈ N A, B ∈ Msa n với σ(A), σ(B) ⊂ −1 −1 (a, b, ) A ≥ B (λI − A) ≥ (λI − B) với tất λ ∈ R \ (a, b), ta có   Z λ I dν(λ) (λ2 + 1) (λI − A)−1 − f (A) = αI + βA + λ +1 R\(a,b)   Z λ I dν(λ) ≥ αI + βB + (λ2 + 1) (λI − B)−1 − λ +1 R\(a,b) = f (B) (2.26) Do đó, f ∈ P(a, b) đơn điệu ma trận (a, b) Để chứng minh phần ngược lại, cần giả sử (a, b) khoảng mở hữu hạn Bằng cách biến đổi f thành hàm đơn điệu ma trận khoảng (−1, 1), thông qua phép biên đổi tuyến tính, ta cần chứng minh phần ngược lại với (a, b) = (−1, 1) Nếu f hàm khác đơn điệu ma trận (−1, 1), cách sử dụng biểu diễn tích phân (2.24), ta định nghĩa thác triển liên tục f công thức Z z ′ f (z) = f (0) + f (0) dµ(λ), z ∈ C+ −1 − λz Do ′ Imf (z) = f (0) Z Imz dµ(λ) −1 |1 − λz| 28 nên f ánh xạ từ C+ đến Do f ∈ P(−1, 1) Ta có điều phải chứng minh 2.3.3 Biểu diễn tích phân hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận Định lý 2.3.10 Cho f hàm đơn điệu ma trận liên tục [0, ∞) Khi tồn độ đo dương µ (0, β) β ≥ cho Z ∞ λx f (x) = f (0) + βx + dµ(λ), x ∈ [0, +∞) (2.27) x+λ ∞ Z λ dµ(λ) < +∞ 1+λ Chứng minh Xét hàm ψ : (−1, 1) → (0, ∞) xác định ψ(x) := 1+x = −1 + , 1−x 1−x hàm đơn điệu ma trận Cho f hàm đơn điệu ma trận liên tục R+ Do g(x) := f (ψ(x)) đơn điệu ma trận (−1, 1), nên theo Định lý 2.3.8 tồn độ đo xác suất ν [−1, 1] cho Z x g(x) = g(0) + g ′ (0) dν(λ) − λx [−1,1] với x ∈ (−1, 1) Ta giả sử g ′ (0) > 0, khơng g hàm hằng, f hàm Vì g(−1) = lim g(x) = f (0) > −∞, ta x↘0 có Z dν(λ) < +∞, + λ [−1,1] đặc biệt ν({−1}) = Do Z Z 1+x 1+x ′ g(x) − g(−1) = g (0) dµ(λ) = µ ˜(λ), (−1,1] (1 − λx)(1 + λ) (−1,1] − λx d˜ µ(λ) := g ′ (0)(1 + λ)−1 dµ(λ) Định nghĩa độ đo hữu hạn m khoảng (0, ∞) m := µ ◦ ψ −1 Đổi biến biểu thức tích phân 29 x = ψ −1 (t) ta thu Z + ψ −1 (t) dm(ζ) f (t) − f (0) = t˜ µ({1}) + −1 (ζ)ψ −1 (t) − ψ Z (0,∞) t(1 + ζ) = β(t) + dm(ζ), t + ζ (0,∞) (2.28) β := µ˜({1}) Với độ đo dµ(ζ) := ((1 + ζ)/ζ)dm(ζ), ta có biểu diễn tích phân mong muốn f Định lý 2.3.11 Cho f hàm lồi ma trận phi tuyến tính (−1, 1) Khi tồn độ đo Borel xác suất µ đoạn [−1, 1] cho ” (0) Z f x2 f (x) = f (0) + f ′ (0)x + dµ(λ), x ∈ (−1, 1) − λx −1 Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta sử dụng kết Kraus nói rằng, f hàm lồi ma trận khoảng (a, b), f C f [1] [x, α] đơn điệu ma trận khoảng (a, b) với α ∈ (a, b) Khi ta giả sử f (0) = f ′ (0) = cách xét f (x) − f (0) − f ′ (0)x Vì g(x) := f [1] [x, 0] = f (x)/x hàm khác đơn điệu ma trận (−1, 1), theo Định lý 2.3.8, tồn độ đo xác suất µ [−1, 1] cho Z x g(z) = g ′ (0) dµ(λ), x ∈ (−1, 1) − λx −1 Do g ′ (0) = f ”(0)/2, nên ta có Z f ”(0) x2 f (x) = dµ(λ), x ∈ (−1, 1) − λx −1 Tính µ suy từ tính độ đo biểu diễn cho g λ x = 1− hàm đơn điệu ma trận theo x+λ x+λ x Do hàm [0, ∞) có biểu diễn tích phân (2.27) đơn điệu ma trận Định lý sau chứng tỏ hàm đơn điệu ma trận [0, ∞) lồi ma trận Chú ý