Luận văn thạc sĩ toán học một số vấn đề về hàm số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KIỀU OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KIỀU OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ HỌC Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu 1 Hàm số học tích chập Dirichlet 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Tích chập Dirichlet 1.3 Hàm nhân 10 1.4 Công thức nghịch o Măobius 15 1.5 Hàm nhân hoàn toàn 17 1.6 Đa thức vành hàm số học 22 Một số hàm số học 25 2.1 Hàm τ , hàm σ 25 2.2 Hàm Euler 29 2.3 Hàm Liouville λ, hàm Mangoldt Λ 34 2.4 Số mũ số nguyên tố công thức Legendre 37 2.5 Ước lượng hàm số học 40 Kết luận 44 Danh mục tài liệu tham khảo 45 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A tập hợp tất hàm số học C tập hợp số phức Z tập hợp số nguyên N tập hợp số tự nhiên f ˚g tích chập Dirichlet f g τ pnq hàm đếm số ước khác số nguyên dương n σ pnq hàm tính tổng ước s nguyờn dng n pnq hm Euler àpnq hm Măobius λpnq hàm Liouville Λpnq hàm Mangoldt vp pnq số mũ số nguyên tố p phân tích tắc n ep pnq số mũ số nguyên tố p phân tích tắc n! Mở đầu Các hàm số học nhà toán học quan tâm nghiên cứu 400 năm qua Các hàm số học khơng đóng vai trị quan trọng lý thuyết số, chúng cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học như: tổ hợp, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã, Mục đích luận văn hệ thống số vấn đề liên quan đến tính chất chung hàm số học tập trung vào việc khảo sát số hàm số học đặc biệt Luận văn trình bày số vấn đề liên quan đến vành hàm số học tớch chp Dirichlet nh phộp bin i Măobius, cỏc cụng thức liên hệ, biểu diễn hàm số học Luận văn trình bày tính chất số hàm số học như: hàm đếm số ước, tổng cỏc c, hm Euler, hm Măobius, hm Liouville, hm Mangoldt, ., mối liên hệ chúng Luận văn “Một số vấn đề hàm số học” bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Hàm số học tích chập Dirichlet Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến vành hàm số học tích chp Dirichlet: hm nhõn, cụng thc nghch o Măobius, hm nhân hoàn toàn đa thức vành hàm số học Chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị số học dùng luận văn Chương 2: Một số hàm số học Trong chương chúng tơi khảo sát tính chất số hàm số học như: hàm đếm số ước, tổng ước, hàm Euler, hm Măobius, hm Liouville, hm Mangoldt, cụng thc Legendre, mối liên hệ chúng Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp chúng tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán Thống kê quý thầy giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 23 tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên để tơi hồn thành tốt luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, ngày 29 tháng 07 năm 2022 Học viên thực đề tài Nguyễn Kiều Oanh Chương Hàm số học tích chập Dirichlet Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến vành hàm số học tích chập Dirichlet: hàm nhân, cơng thức nghịch o Măobius, hm nhõn hon ton v a thc trờn vành hàm số học Chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị số học dùng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Cho hai số nguyên a, b P Z, b ‰ Số nguyên a gọi chia hết cho số nguyên b tồn c P Z cho a “ bc Thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a b, nói b chia hết a viết b|a Nếu a chia hết cho b ta gọi a bội b hay b ước a Sau số tính chất quan hệ chia hết (i) | a với a P Z (ii) a | a với a P Z, a ‰ (iii) Nếu a | b b | c a | c với a, b, c P Z, a, b ‰ (iv) Nếu a | b |a| ď |b| với a, b P Z, a, b ‰ (v) Nếu a | bi với , bi P Z, i “ 1, n, a | n ÿ bi xi với xi P Z i“1 Định lý 1.1.1 (Định lý phép chia có dư) Với cặp số nguyên a, b P Z, b ‰ 0, tồn cặp số nguyên q, r P Z cho a “ qb ` r với ď r ă |b| Cho số nguyên a1 , a2 , , an P Z không đồng thời (i) Số nguyên d gọi ước chung d | với i “ 1, 2, , n (ii) Số nguyên d gọi ước chung lớn d ước chung d chia hết cho ước chung chúng Ta dùng kí hiệu pa1 , a2 , , an q để ước chung lớn dương a1 , a2 , , an Cho số nguyên a1 , , an P Zz t0u (i) Số nguyên m gọi bội chung m chia hết cho tất với i “ 1, 2, , n (ii) Số nguyên m ‰ gọi bội chung nhỏ m bội chung m chia hết bội chung khác Ta dùng kí hiệu ra1 , a2 , , an s để bội chung nhỏ dương a1 , a2 , , an Một số tự nhiên p ą khơng có ước số dương khác ngồi gọi số ngun tố Số tự nhiên p ą có ước số dương khác gọi hợp số Định lý 1.1.2 (Định lý số học) Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích hữu hạn thừa số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự nhân tử Khi phân tích số tự nhiên n ą thành tích thừa số ngun tố, số nguyên tố xuất nhiều lần Nếu số nguyên tố p1 , p2 , , pr xuất theo thứ tự α1 , α2 , , αr lần, ta viết n p1 p2 ă ă ă prr Ta gọi phân tích phân tích tắc n thành tích thừa số nguyên tố 1.2 Tích chập Dirichlet Trong mục này, chúng tơi trình bày hàm số học, tích chập Dirichlet vành số học tích chập Dirichlet Định nghĩa 1.2.1 Hàm số học ánh xạ từ tập số nguyên dương đến tập số phức Sau số ví dụ hàm số học Ví dụ 1.2.2 (i) Hàm τ đếm số ước khác số nguyên dương n τ pnq “ ÿ d|n (ii) Hàm σ tính tổng ước số nguyên dương n σ pnq “ ÿ d d|n (iii) Hàm u xác định công thức upnq “ với số nguyên dương n (iv) Hàm đơn vị I xác định công thức $ ’ ’ ’ &1 n “ 1, ’ ’ ’ %0 n ą I pnq “ (v) Hàm đồng N xác định công thức N pnq “ n với số nguyên dương n Kí hiệu A tập hợp tất hàm số học Với f, g P A, tổng hai hàm số học f g, kí hiệu f ` g, định nghĩa sau pf ` g qpnq “ f pnq ` g pnq với số ngun dương n Tích thơng thường hai hàm số học f g, kí hiệu f g, định nghĩa sau pf g qpnq “ f pnqg pnq với số nguyên dương n Định nghĩa 1.2.3 Cho hai hàm số học f g Tích chập Dirichlet f g, kí hiệu f ˚ g, định nghĩa sau ˆ ˙ pf ˚ g qpnq “ ÿ f pdqg d|n n d với số nguyên dương n Sau số trường hợp đặc biệt tích chập Dirichlet Ví dụ 1.2.4 (i) Với f hàm số học ˆ ˙ pf ˚ uqpnq “ ÿ d|n f pdqu n d ÿ “ d|n f pdq 31 Cuối cùng, ta xét trường hợp tng quỏt n p1 p2 ă ă ¨ pαs s Vì ϕ hàm nhân cho nên, theo Mệnh đề 1.3.4, ta có ϕpnq “ ϕppα1 p2 ă ă ă ps s q pp1 qpp2 q ă ă ă pps s q 1 ă ă ă pαs s ´ “ pα1 1 ´ p1 ps ˜ “ n 1´ p1 ¸ ˜ ¨¨¨ ´ ps ¸ “n s ź ˜ i“1 1´ pi ¸ Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.2.3 Với số nguyên dương n ÿ ϕpdq “ n d|n Chứng minh Rõ ràng ˆ ˙ pϕ ˚ uqpnq “ ÿ ϕpdqu d|n n d ÿ “ ϕpdq d|n Cho nên công thức cần chứng minh viết lại sau ϕ ˚ u “ N N hàm đồng nhất, u hàm Vì ϕ u hàm nhân ϕ ˚ u hàm nhân theo Mệnh đề 1.3.7 Vì N hàm nhân cho nên, theo Hệ 1.3.5, ta cần chứng minh pϕ ˚ uqppk q “ N ppk q với k ě p số ngun tố Thật vậy, ta có k pϕ ˚ uqpp q “ ÿ d|pα ϕpdq “ k ÿ ϕppj q j “0 “ ϕp1q ` ϕppq ` pp2 q ` ă ă ă ` ppk q “ ` pp ´ 1q ` pp2 ´ pq ` ă ă ă ` ppk pk1 q ` pp 1qp1 ` p ` ă ă ¨ ` pk´1 q ˜ ¸ ´ pk “ ` pp ´ 1q “ pk “ N ppk q 1´p 32 Vậy ta có điều phải chứng minh Kết sau cho ta cơng thức tính nghịch đảo Dirichlet hàm Euler Mệnh đề 2.2.4 ϕ´1 “ u ˚ pµN q u hàm hằng, N l hm ng nht, v l hm Măobius Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3 ta có ϕ ˚ u “ N Từ suy ϕ´1 “ u ˚ N ´1 Vì N hàm nhân hoàn toàn cho nên, theo Mệnh đề 1.5.6, ta có ϕ´1 “ u ˚ N ´1 “ u ˚ pµN q Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.2.5 Nếu n ě hợp số ? ϕpnq ď n ´ n Chứng minh Gọi p1 , p2 , , pk ước nguyên tố phân biệt n Vì n hợp số tồn ước nguyên tố pj ď ? n với ď j ď k Khi đó, ta có ˜ ¸ ´ pk ˜ ¸ ˜ ϕpnq “ n ´ p1 ď n 1´ pj ˜ ¸ ďn 1´ ? n ¸ “n´ ? n Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.2.6 Với số nguyên dương n, n ‰ n ‰ ϕpnq ě ? n Chứng minh Nếu n “ 2m với m ě ta có ϕpnq “ 2m ´ 2m´1 “ 2m´1 ě ? 2m “ ? n 33 Nếu n “ pm với p số nguyên tố lẻ m ě ta có ϕpnq “ pm ´ pm´1 “ pm´1 pp ´ 1q ě Hơn p ě ϕpnq ě a pm “ ? n ? 2n Bây ta xét trường hợp n số lẻ 4|n Giả sử n “ pα1 pα2 ¨ ¨ ¨ pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt α1 , α2 , , αk số nguyên dương Khi pnq pp1 q ă ă ă ppk k q b b p1 ăăă pk k ? n Nếu n “ 2t với t số lẻ, t ‰ t ‰ tất ước nguyên tố t lớn Do ϕpnq “ ϕptq ě ? 2t “ ? n Vậy ta có điều phải chứng minh Các kết sau cho ta điều kiện cần đủ để số số nguyên tố cách áp dụng hàm Euler Mệnh đề 2.2.7 Cho n ą Khi n số nguyên tố τ pnq ` ϕpnq “ σ pnq Chứng minh Vì τ “ u ˚ u, u ˚ ϕ “ N , u ˚ N “ σ τ ˚ ϕ “ pu ˚ uq ˚ ϕ “ u ˚ pu ˚ ϕq “ u ˚ N “ σ Từ suy với n ě ta có pτ ˚ ϕqpnq “ σ pnq Áp dụng Mệnh đề 1.3.9 ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.2.8 Cho n ą Khi n số nguyên tố σ pnq ` ϕpnq “ nτ pnq Chứng minh Vì σ “ N ˚ u u ˚ ϕ “ N σ ˚ ϕ “ pN ˚ uq ˚ ϕ “ N ˚ pu ˚ ϕq “ N ˚ N 34 Với n ě ta có ˆ ˙ pN ˚ N qpnq “ ÿ N pdqN d|n n d “ ÿ n d d|n d “n ÿ “ nτ pnq d|n Do pσ ˚ ϕqpnq “ nτ pnq Áp dụng Mệnh đề 1.3.9 ta có điều phải chứng minh Cuối áp dụng hàm Euler số học Mệnh đề 2.2.9 (Định lý Euler) Cho n số nguyên dương Với a số nguyên nguyên tố với n aϕpnq ” p modnq Chứng minh Gọi a1 , a2 , , aϕpnq số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n Với i ‰ j, i, j “ 1, 2, , ϕpnq rõ ràng paai , nq “ paaj , nq “ aai ı aaj p modnq Do aa1 , aa2 , , aaϕpnq hệ thặng dư thu gọn theo môđun n a1 a2 aϕpnq ” paa1 qpaa2 q paaϕpnq q ” aϕpnq a1 a2 aϕpnq p modnq Từ suy aϕpnq ” p modnq Vậy ta có điều phải chứng minh 2.3 Hàm Liouville λ, hàm Mangoldt Λ Trong mục chúng tơi trình bày số tính chất hàm Liouville hàm Mangoldt Hàm Liouville λ hàm số học xác định công thức $ ’ ’ ’ & n “ 1, λpnq “ ’ ’ α α α ’ % p1q1 `2 `ăăă`k nu n p1 p2 ¨ ¨ ¨ pk k Từ định nghĩa ta thấy hàm Liouville λ hàm nhân hoàn toàn 35 Mệnh đề 2.3.1 Với n số nguyên dương pλ ˚ uq pnq “ ÿ $ ’ ’ ’ & n số phương, λpdq “ d|n ’ ’ ’ % trường hợp lại Chứng minh Với p số nguyên tố α ě ta có pλ ˚ uqppα q “ ÿ λpdq “ d|pα α ÿ λppk q “ k“0 α ÿ p´1qk k “0 “ ´ ` ´ ` p´1qα “ $ ’ ’ ’ & α số chẵn, ’ ’ ’ % α số lẻ Giả sử n p1 p2 ă ă ă pk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt α1 , α2 , , αk số nguyên dương Vì λ u hàm nhân cho nên, theo Mệnh đề 1.3.7, λ ˚ u hàm nhân Do đó, theo Mệnh đề 1.3.4, ta có k ź pλ ˚ uqppαi i q pλ ˚ uqpnq “ i“1 Nếu n số phương αi số chẵn với i “ 1, 2, , k Do pλ ˚ uqpnq “ Trái lại n khơng phương pλ ˚ uqpnq “ Vậy ta có điều phải chứng minh Kết sau cho ta cơng thức tính nghịch đảo Dirichlet hàm Liouville Mệnh đề 2.3.2 λ´1 “ |µ| µ hàm Mo:bius Chứng minh Vì λ hàm nhân hồn tồn nên, theo Mệnh đề 1.5.6, ta có λ´1 “ µλ Hơn µλ “ |µ|, λ´1 “ |µ| Vậy ta có điều phải chứng minh Hàm Mangoldt Λ hàm số học xác định công thức 36 $ ’ ’ ’ & log n n “ pm với p số nguyên tố m ě 1, Λpnq “ ’ ’ ’ %0 trường hợp lại Chú ý hàm Mangoldt khơng phải hàm nhân Thật ta có Λp1q “ ‰ 1, Λp2q “ log 2, Λp3q “ log Λp6q “ ‰ Λp2qΛp3q Mệnh đề 2.3.3 Với n nguyên dương bất bì ÿ Λpdq “ log n d|n Chứng minh Rõ ràng công thức với n “ Giả sử n ą 1, n “ r ź pakk k “1 p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt a1 , a2 , , ak số nguyên dương Ta thấy số hạng khác không tổng ÿ Λpdq xuất từ ước số d n có dạng pm k ď m ď ak với d|n k “ 1, 2, , r Do ÿ d|n Λpdq “ ak r ÿ ÿ Λpppm k q ak r ÿ ÿ “ k“1 m“1 log pk “ k“1 m“1 r ÿ ak log pk “ log n k “1 Vậy ta có điều phải chứng minh Sau công thức biểu diễn hàm Λ cách sử dụng công thức nghịch đảo Mo:bius Mệnh đề 2.3.4 Với n ngun dương Λpnq “ ÿ d|n µpdq log ÿ n “ ´ µpdq log d d d|n Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.4.4 Mệnh đề 2.3.3 ta có Λpnq “ pµ ˚ logqpnq “ n µpdq log d d|n ÿ 37 Áp dụng Mệnh đề 1.4.2 ta có ÿ µpdq log d|n ÿ ÿ n “ log n µpdq ´ µpdq log d d d|n d|n “ I pnq logpnq ´ ÿ µpdq log d pvì I pnq log n “ với n ě 1q d|n ÿ “ ´ µpdq log d d|n Vậy ta có điều phải chứng minh 2.4 Số mũ số nguyên tố công thức Legendre Cho p số nguyên tố Với n số ngun dương bất kì, ta kí hiệu vp pnq số mũ p phân tích tắc n, p khơng chia hết n ta quy ước vp pnq “ Ta kí hiệu ep pnq số mũ số nguyên tố p phân tích tắc n!, nghĩa ep pnq “ vp pn!q Mệnh đề 2.4.1 (Công thức Legendre) Cho p số nguyên tố Với n số nguyên dương ep pnq “ ÿYn] iě1 pi Chứng minh Nếu n ă p rõ ràng ep pnq “ Giả sử n ě p Để xác định ep pnq ta cần xét tích ca cỏc bi ca p tớch 1.2 ă ă ¨ n Tích p1.pqp2.pq ¨ ¨ ¨ pkpq “ pk k! k “ Yn] p Do ep pnq “ Yn] p ` ep ˜ ¸ Yn] p 38 Thay n Yn] p cơng thức ta ˜ ep ¸ Yn] p “ Yn] p2 ˜ ` ep ¸ Yn] p2 Tiếp tục trình ta nhận ep ˜ ¸ Yn] p2 ˜ ep “ Yn] ¸ Y n ] pm´1 p3 ` ep Y n ] “ pm ˜ ¸ Yn] p3 ` ep , , ˜ ¸ Y n ] pm m số nguyên dương nhỏ cho n ă pm`1 Do ep pnq “ Yn] p ` Yn] p2 ` ăăă ` Y n ] pm Vy ta có điều phải chứng minh Sau cách biễu diễn khác cho ep pnq Mệnh đề 2.4.2 Cho p số nguyên tố Với n số nguyên dương ep pnq “ n ´ Sp pnq p´1 Sp pnq tổng tất chữ số n viết hệ số p Chứng minh Giả sử n a0 ` a1 p ` ă ă ă ` ak pk ď ď p ´ với i “ 0, 1, , k ak ‰ Với ď r k ta cú n ar1 pr1 ` ă ă ¨ ` a0 k´r k´1´r “ a p ` a p ` ă ă ă ` a ` k k ´1 r pr pr Vì ď ď p ´ với i “ 0, 1, , k cho nờn ar1 pr1 ` ă ¨ ¨ ` a0 pp ´ 1qppr´1 ` pr´2 ` ¨ ¨ ¨ ` 1q pr ´ ď “ ă 1, pr pr pr với ď r ď k Do Yn] pr “ ak pk´r ` ak1 pk1r ` ă ă ă ` ar , vi ď r ď k 39 Theo Mệnh đề 2.4.1 ta có ep pnq “ Yn] p ` Yn] p2 ` ăăă ` Y n ] pk1 ` Yn] pk ´ “ ak pk´1 ` ak´1 pk´2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2 p ` a1 ´ ` ak p k ´2 k ´3 ` ak´1 p ¯ ` ă ă ă ` a2 ` ă ă ¨ ` ak “ a1 ` a2 pp ` 1q ` a3 pp2 ` p ` 1q ` ă ă ¨ ` ak ppk´1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1q a1 pp ´ 1q ` a2 pp2 ´ 1q ` a3 pp3 1q ` ă ă ă ` ak ppk ´ 1q “ p´1 pa0 ` a1 p ` a2 p ` a3 p ` ă ă ¨ ` ak pk q´ pa0 ` a1 ` ¨ ¨ ¨ ` ak q “ p´1 n ´ Sp pnq “ p´1 Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ 2.4.3 Với n “ pr p số nguyên tố r ě ep pnq “ n´1 p´1 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.4.1 ta có ep pnq “ Yn] ` Yn] ` ăăă ` Y n ] p2 p r pr1 ` pr2 ` ă ă ă ` p ` pr ´ n ´ “ “ p´1 p´1 p ` Yn] pr Vậy ta có điều phải chứng minh Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.4 (i) Với n “ 6, ta có 6! “ 720 “ 24 32 51 Các số mũ e2 p6q, e3 p6q e5 p6q tính cơng thức Legendre sau ÿ Y ] Y6] Y6] ÿ Y ] Y6] e2 p6q “ “ ` “ ` “ 4, e p q “ “ “ 2, 2i 3i iě1 iě1 ÿ Y ] Y6] e2 p6q “ “ “ i 5 iě1 40 (ii) Với n “ 400, số mũ e7 p400q tính cơng thức Legendre sau e7 p400q “ ÿ Y 400 ] iě1 2.5 7i “ Y 400 ] ` Y 400 ] 72 ` Y 400 ] 73 “ 57 ` ` “ 66 Ước lượng hàm số học Trong mục chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến ước lượng hàm số học Trước tiên ta nhắc lại số kí hiệu quen thuộc Cho hai hàm số f, g : R Ñ R với g nhận giá trị dương Nếu tồn số dương C cho | f pxq |ď Cg pxq với x ě x0 ta viết f pxq “ Opg pxqq với x ě x0 Nếu f pxq “1 xĐ8 g pxq lim ta nói f pxq tiệm cận g pxq x Ñ 8, viết f „ g x Ñ Để giải vấn đề liên quan đến ước lượng hàm số học ta thường sử dụng phương pháp sau • Để ước tính kích cỡ hàm nhân f pnq trước tiên ước lượng f ppr q lũy thừa số ngun tố, sau kết hợp thơng tin nhận với kiến thức phân phối số nguyên tố • Để ước tính kích cỡ trung bình hàm số học ta áp dụng cơng thc nghch o Măobius v s dng kt qu sau Mệnh đề 2.5.1 Cho f, g hai hàm số học Nếu g pnq “ ÿ f pdq với d|n n thỡ ă f pdq ÿ ÿ |f pdq|‚ với x P R g pnq “ `O˝ x 1ďnďx d x 1ďdďx 1ďdďx f pnq “ ÿ d|n µpdqg pn{dq 41 Chứng minh Ta có ÿ g pnq “ 1ďnďx ÿ ÿ 1ďnďx d|n ÿ “ ÿ f pdq “ ´ ÿ f pdq ¯ Đổi biến n “ md 1ďdďx 1ďmďx{d f pdq 1ďdďx ÿ 1“ Yx] ÿ f pdq 1ďdďx 1ďmďx{d d Do ˆ ˙ ÿ ÿ x g pnq “ f pdq ` Op1q x 1nx x 1nx d ă f pdq 1ďnďx d ˛ ÿ `O˝ |f pdq|‚ x 1ďdďx Vậy ta có điều phải chứng minh Chú ý 2.5.2 Trong nhiều trường hợp số hạng bên phải công thức Mệnh đề 2.5.1 có bậc lớn số hạng thứ hai, ta có cơng thức sau ÿ f pdq ÿ g pnq „ x 1ďnďx d 1ďdďx Sau số công thức ước lượng liên quan đến hàm số học τ , σ, ϕ Mệnh đề 2.5.3 Với ε ą τ pnq “ Opnε q với n ě Chứng minh Vì hàm τ hàm nhân τ pnq ź j ` “ nε pjε pj |n Cố định số nguyên tố p Hàm pj ` 1q{pjε hàm giảm theo j với j đủ lớn Tính tốn trực tiếp ta ! ) j`1 pε pj ` 1qε log2 p pε ´x : “ ď sup x2 x ě “ Oppε q jε p j ` q ε log p p ε log2 p ε log2 p 42 Do τ pnq ź ď Oppε q “ Opnε q nε pj |n Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.4 Với x ě 1 ÿ τ pnq “ log x ` Op1q x 1ďnďx Chứng minh Ta có τ pnq “ ÿ Vì d|n ÿ ÿ ÿ τ pnq “ 1ďnďx 1ďnďx d|n ÿ “ ÿ 1“ ÿ 1“ 1ďdďx 1ďmďx{d px{d ` Op1qq “ x 1ďdďx ÿ tx{du 1ďdďx ÿ d 1ďdďx ` Opxq Ta lại có ÿ ÿ ˜ż d `1 1ďdďx d “ d 1ďdďx ¸ dt ` Op1{d2 q d “ log x ` Op1q Từ suy ÿ τ pnq “ log x ` Op1q x 1ďnďx Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.5 Với x ě 1 ÿ π2 σ pnq “ x ` Oplog xq x 1ďnďx 12 Chứng minh Ta có σ pnq “ ÿ d Vì d|n ÿ σ pnq “ 1ďnďx ÿ ÿn 1ďnďx d|n “ ÿ 1ďdďx d ÿ ÿ m “ 1ďdďx 1ďmďx{d ˜ tx{duptx{du ` 1q “ ÿ 1ďdďx ¸ x2 ` Opx{dq 2d2 43 Ta li cú ă ˛ π2 2‚ ˝ “ ` O { d “ ` Op1{xq d2 d“1 d2 1ďnďx d ąx ÿ ÿ Từ suy ÿ π2 σ pnq “ x ` Oplog xq x 1ďnďx 12 Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.6 Với x ě 1 ÿ ϕpnq “ Cx ` Oplog xq x 1ďnďx C số Chứng minh Sử dụng công thức ϕpnq “ n ÿ µpdq d|n ÿ ÿ ÿ ϕpnq “ 1ďnďx ÿ µpnqn{d “ 1ďnďx d|n d ÿ µpdq 1ďdďx ta c m 1mx{d x2 àpdq tx{duptx{du ` 1q “ µpdq ` Opx{dq 2d2 1ďdďx 1dx ă àpdq x `O |µpdq|x{d‚ 1ďdďx d2 1ďnďx “ ÿ Ta có nhận xét ÿ 1ďdďx d żx ă1` dt Oplog xq t Hn na ă àpdq 1dx d2 “ ÿ µpdq d“1 d2 `O˝ ˛ ÿ d ąn 2‚ 1{d “ ÿ µpdq d“1 d2 Từ suy ÿ ϕpnq “ Cx ` Oplog xq, x 1ďnďx C “ ÿ µpdq d “1 d2 Vậy ta có điều phải chứng minh ` Op1{xq 44 Kết luận Trong luận văn thực công việc sau 1) Trình bày cách chi tiết có hệ thống vấn đề liên quan đến hàm số học tích chập Dirichlet ‚ Vành hàm số học tích chập Dirichlet (Mệnh đề 1.2.5, Mệnh đề 1.2.6), ‚ Điều kiện cần đủ để hàm số học có nghịch đảo Dirichlet (Mệnh đề 1.2.7), ‚ Một số tính chất đơn giản hàm nhân (Mệnh đề 1.3.7, Mệnh đề 1.3.8), ‚ Công thc nghch o Mă obius (Mnh 1.4.4), Hm nhân hoàn toàn (Mệnh đề 1.5.5, Định lý 1.5.3, Mệnh đề 1.5.4, Mệnh đề 1.5.6), ‚ Đa thức vành hàm số học (Mệnh đề 1.6.1, Mệnh đề 1.6.3) 2) Trình bày chi tiết tính chất số hàm số học ‚ Hàm đếm số ước, hàm tổng ước (Mục 2.1), ‚ Hàm Euler cơng thức tính (Mục 2.2), ‚ Hàm Liouville, hàm Mangoldt (Mục 2.3), ‚ Hàm số mũ số nguyên tố (Mệnh đề 2.4.1), ‚ Công thức ước lượng số hàm số học cụ thể (Mệnh đề 2.5.4, Mệnh đề 2.5.5, Mệnh đề 2.5.6) Danh mục tài liệu tham khảo [1] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số Số học Tập 2, NXB Giáo dục [2] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình Số học, NXB Giáo dục [3] Hua Loo Keng (1982), Introduction to Number Theory, Springer-Verlag [4] Titu Andreescu and Dorin Andrica (2009), Number Theory: Structures, Examples, and Proplems, Birkha:user [5] Alexander Basler, Arithmetric functions and Dirichlet multipliation (Internet) [6] Berkeley (1998-1999), Mobius Inversion Formula - Multiplicative Functions (Internet) [7] Mark Schachner, Algebraic and Analytic properties of Arithmetic (Internet) [8] Lecture 11: Arithmetic functions (Internet)