Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC K[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2018 Mục lục Danh sách kí hiệu Mở đầu Phương trình hàm hàm tổng ước 1.1 Giới thiệu 1.2 Một số ký hiệu kiến thức chuẩn bị 10 1.3 Cấu trúc nghiệm 12 1.4 Nghiệm với ω(n) 13 1.5 Trường hợp n khơng có ước luỹ thừa bậc 17 1.6 Đếm phần tử K ∩ [1, x] 20 1.7 Kết luận Chương 24 Bậc cực trị số hàm số học 26 2.1 Giới thiệu 26 2.2 Chuỗi Dirichlet Vk (n) 28 2.3 Bậc cực trị liên quan đến hàm số học suy rộng cổ điển 30 2.4 Bậc cực trị liên quan đến tương tự đơn σk φk 31 2.5 Bậc cực trị liên quan đến hợp hàm số học 33 2.6 Các toán mở 38 2.7 Kết luận Chương 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Lời cảm ơn Trước hết, tác giả muốn tỏ lòng biết ơn đến người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long), người đặt tốn đề tài, tận tình hướng dẫn để luận văn hoàn thành tốt đẹp Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 10 (2016-2018) Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thủy Nguyên, Hải Phòng, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập 5 Danh sách kí hiệu #X lực lượng tập hợp X dxe trần số x bxc sàn số x a|b b bội a a6| b a ước b σ(n) tổng ước n vp (n) lũy thừa cao p chia hết n φ(n) hàm Euler, φ(n) = n Q p|n 1− p ζ(s) hàm zeta (ζ) Riemann, ζ(s) = Q p s = σ + it ∈ C σ > lim sup giới hạn lim inf giới hạn 1− ps −1 , Mở đầu Có thể nói, Lý thuyết số ngành khoa học sớm nhân loại Trước năm 70 kỷ XX, Lý thuyết số coi ngành túy lý thuyết, Lý thuyết số trở thành lĩnh vực có nhiều ứng dụng sơi động Toán học Trong Lý thuyết số, hàm số học hàm số xác định tập hợp số tự nhiên có tập giá trị tập tập hợp số phức Các điều kiện đặt lên hàm số học phụ thuộc vào mục đích nghiên cứu Như Hardy & Wright yêu cầu, hàm số học phải “thể số tính số học n” Luận văn có mục đích nghiên cứu mối quan hệ hàm số học tổng ước số nguyên cho trước, sau bậc cực trị số lớp hàm số học quan trọng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Phương trình hàm hàm tổng ước Nội dung chương nghiên cứu nghiệm nguyên dương σ(n) = γ(n)2 , σ(n) γ(n) tương ứng tổng ước tích ước nguyên tố phân biệt n • Chương Bậc cực trị số hàm số học Chương dành để trình bày để chuỗi Dirichlet V (n) (số số quy modulo n) xác định bậc cực trị số hàm số học cổ điển, hàm tổng ước đơn n (ước d n gọi đơn n n/d nguyên tố nhau) liên hệ với hàm φ-Euler Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2018 Tác giả Lại Thị Thúy Hải Chương Phương trình hàm hàm tổng ước Chương dành để nghiên cứu số nguyên n > thỏa mãn quan hệ σ(n) = γ(n)2 , σ(n) γ(n) tương ứng tổng ước tích ước nguyên tố phân biệt n Ta chứng minh nghiệm có khơng bốn ước nguyên tố phân biệt n = 1782 Ta không tồn nghiệm khơng có ước lũy thừa bậc 4, số nghiệm nhỏ x không vượt x1/4+ với > với x > x Thêm nữa, số n gọi ngun thủy khơng có ước đơn thực d n thỏa mãn σ(d) | γ(d)2 Ta số nghiệm nguyên thủy phương trình không vượt x nhỏ x với x > x Nội dung chương viết dựa vào tài liệu Broughan A.K et al [3] 1.1 Giới thiệu Tại hội nghị khoa học “Western Number Theory Conference” năm 2000, De Koninck J.-M (tác giả thứ hai cơng trình Broughan A.K et al [3]) đưa câu hỏi tìm nghiệm nguyên dương n phương trình σ(n) = γ(n)2 Hội nghị Lý thuyết số Bờ Tây, https://westcoastnumbertheory.org/ (1.1) (gọi “phương trình De Koninck”), σ(n) tổng tất ước dương n, γ(n) tích tất ước nguyên tố phân biệt n, gọi “cốt lõi” (core) n Dễ thấy, n = n = 1782 nghiệm, nhưng, tình đến năm 2012 - năm xuất cơng trình Broughan A.K et al [3] - người ta thêm nghiệm Một tìm kiếm máy tính với n 1011 không cho thấy nghiệm khác Một giả thuyết tự nhiên (được gọi “Giả thuyết De Koninck”) phương trình khơng có nghiệm khác Nó trình bày Guy R.K (2004) Có kết chứng minh nghiệm khơng tầm thường n phải có ba ước nguyên tố, chẵn, số hồn tồn khơng phương (tạm dịch thuật ngữ squarefree - số khơng có ước phương khác 1) Luca F (2004) số nghiệm mà số ước nguyên tố số cố định cho trước hữu hạn Thật Luca F chứng điều cho lớp rộng nghiệm dương n phương trình σ(n) = aγ(n)K K > a L với K L tham số cố định Tuy nhiên, có tiến nghiên cứu Giả thuyết De Koninck Ở đây, luận văn trình bày kết nói nghiệm n = 1, 1782 số có ω(n) 4, thường lệ, ω(n) số ước nguyên tố phân biệt n Phương pháp chứng minh dựa vào chặn sơ cấp số mũ số nguyên tố xuất phân tích n, sử dụng kết thức để giải hệ phương trình đa thức thu được, mà ẩn ước nguyên tố n Ta chứng minh số ngun n khơng có ước luỹ thữa bậc (fourth power free) (tức p4 - n với số nguyên tố p), n khơng thể thỏa mãn phương trình De Koninck (1.1) Sau đếm số nghiệm tiềm n khơng vượt x Pollack & Pomerance [4], gọi số nguyên dương n nguyên tố–hoàn hảo (prime–perfect) n σ(n) chung tập hợp ước nguyên tố Rõ ràng, nghiệm n phương trình De 10 Koninck số nguyên tố–hoàn hảo Pollack & Pomerance chứng minh tập hợp số nguyên tố–hoàn hảo vơ hạn, hàm đếm số ngun tố–hồn hảo n x có lực lượng nhiều x1/3+o(1) x → ∞ Sử dụng kết Pollack & Pomerance, ta chứng minh số nghiệm n x phương trình De Koninck nhiều x1/4+ với > x > x Bằng cách hạn chế đến nghiệm “nguyên thủy” (“primitive” solutions) sử dụng phương pháp Wirsing E., ta nhận chặn O(x ) với > Khái niệm “nguyên thủy” sử dụng để số ước đơn thực d | n thỏa mãn σ(d) | γ(d)2 Cuối ta có số nhận xét toán liên quan xác định số số nguyên n cho γ(n)2 | σ(n) Tóm lại, mục đích chương trình bày số kiện ủng hộ cho Giả thuyết De Konnick, cấu trúc cần thiết cho phản ví dụ, có Mọi nghiệm khơng tầm thường khác với 1782 phải chẵn, có ước nguyên tố lũy thừa có ước nguyên tố với số mũ đồng dư với mod 4, với ước nguyên tố lẻ khác có lũy thừa chẵn Ít ước nguyên tố phải xuất với số mũ cao Cuối cùng, phản ví dụ, có, phải lớn 1011 1.2 Một số ký hiệu kiến thức chuẩn bị Giả sử n = pα1 · · · pαr r > số nguyên dương giả sử k > số nguyên Trong suốt chương sử dụng ký hiệu sau: • p1 , p2 , — dãy số nguyên tố; • σ(n) hàm tổng ước; ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113... tố phân biệt n • Chương Bậc cực trị số hàm số học Chương dành để trình bày để chuỗi Dirichlet V (n) (số số quy modulo n) xác định bậc cực trị số hàm số học cổ điển, hàm tổng ước đơn n (ước d n... phải “thể số tính số học n” Luận văn có mục đích nghiên cứu mối quan hệ hàm số học tổng ước số nguyên cho trước, sau bậc cực trị số lớp hàm số học quan trọng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu