Một số hàm số học và các ứng dụng

    BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Vinh MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015            BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Vinh MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015           LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn quý Thầy Cô tổ Đại số trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trực tiếp giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn Đặc biệt tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS.TS Mỵ Vinh Quang người trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thiện luận văn Tơi xin cảm ơn phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập Tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè hỗ trợ giúp đỡ tơi tinh thần vật chất để tơi hồn thành luận văn           MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC HÀM SỐ HỌC CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm 1.2 Hàm điểm nguyên r(n) 1.3 Hàm ước d(n) 1.4 Hàm tổng ước σ(n) 16 1.5 Hàm Mobius (n) 19 1.6 Hàm Euler  ( n ) 34 1.7 Hàm von Mangoldt  ( n ) 42 CHƯƠNG SỰ PHÂN BỐ CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỐ 45 2.1 Các hàm Chebyshev 45 2.2 Định lý Chebyshev 48 2.3 Định luật Bertrand 54 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59         MỞ ĐẦU Lý thuyết số hay Số học lĩnh vực cổ xưa Toán học lĩnh vực tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết có nhiều lý thuyết lớn toán học nẩy sinh Trong thập niên gần đây, với phát triển Tin học làm thay đổi nhiều nghành truyền thống lý thuyết số Ngày nay, nhiều thành tựu lý thuyết số có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống, thông tin, mật mã, khoa học máy tính… ngược lại việc sử dụng siêu máy tính nghiên cứu số học thúc đẩy phát triển chuyên nghành Trong lý thuyết số, hàm số học đóng vai trị quan trọng, có nhiều ứng dụng chúng nhiều nghành khác toán học khoa học máy tính Chúng cơng cụ hữu hiệu để giải nhiều toán quan trọng lý thuyết số Chẳng hạn chúng tham gia vào xây dựng L-hàm, nghiên cứu phân bố số nguyên tố, … Xuất phát từ vấn đề trên, định chọn đề tài “MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC ỨNG DỤNG” với hy vọng tìm hiểu sâu lý thuyết ứng dụng hàm số học nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Luận văn gồm chương:  Chương 1: CÁC HÀM SỐ HỌC CƠ BẢN         Trình bày định nghĩa, cơng thức tính tính chất số hàm số học hàm Mobius, hàm số ước, hàm tổng ước, hàm tổng lũy thừa k ước, hàm điểm nguyên đường tròn, hàm von Mangoldt… số ứng dụng  Chương 2: SỰ PHÂN BỐ CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Ứng dụng hàm số học để nghiên cứu phân bố số nguyên tố tập số nguyên Cuối hạn chế thời gian hiểu biết luận văn cịn có sai sót Rất mong nhận góp ý chân thành từ thầy bạn         CHƯƠNG CÁC HÀM SỐ HỌC CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (Hàm số học) Ánh xạ f : ¥  £ gọi hàm số học Như vậy, hàm số học dãy số phức cn với cn = f(n) Tuy nhiên, muốn khai thác tính chất hàm nhiều tính chất dãy nên ta gọi f hàm số học hay hàm lý thuyết số Đa số hàm số học mà xem xét phần nhận giá trị nguyên Ví dụ 1.1.2 Các hàm sau hàm số học 0(n) =  n  ¥ * , u(n) = n  ¥ * N(n) = n  n  ¥ * , Na(n) = na n  ¥ *   1, n  e(n) =      n  0, n  f(n) = n2 + 1, n  ¥ Định nghĩa 1.1.3 Một hàm số học f gọi cộng tính f(mn) = f(m) + f(n) với m, n  ¥ * (m, n) = Trong trường hợp đẳng thức với số nguyên dương m, n hàm f gọi hàm cộng tính hồn tồn Ví dụ 1.1.4 Hàm f(n) = log(n) hàm cộng tính hồn tồn Định nghĩa 1.1.5 Một hàm số học f khác không gọi nhân tính f(mn) = f(m).f(n) với m, n  ¥ * (m, n) = Trong trường hợp đẳng thức với số nguyên dương m, n hàm f gọi hàm nhân tính hồn tồn Ví dụ 1.1.6 Hàm f(n) = n, n  ¥ * hàm nhân tính hồn tồn         Định lý 1.1.7 Cho số nguyên tố p số dương m Nếu f hàm nhân m tính f ( pm) 0 p , ta có f ( n )  n Chứng minh m Vì f ( pm) 0 p , nên: (i) Tồn số dương A cho f  p m   A , với p m (ii) m Tồn số B cho p  B f  p m   (iii) Cho   , tồn N ( ) cho pm  N( ) f  p m    Ta thấy A B số độc lập với , p , m, N ( ) phụ thuộc vào  Cho n > 1, với dạng phân tích tiêu chuẩn n  p1a1 p2a2 pr ar (1) Với pi số nguyên tố khác số nguyên không âm Do f hàm nhân tính nên f (n)  f ( p1a1 ) f ( p2a2 ) f ( pr ar ) (2) Đặt C= # { p a / p nguyen to , a  ¥ * , p a  B} Khi C số không phụ thuộc vào n          Trong vế phải (2), ứng với nhân tử mà pia  B f ( pia )  A , có tối i i đa C nhân tử Các nhân tử lại f(n) có giá trị tuyệt đối nhỏ (theo (ii)) nên ta có f ( n )  AC Ngược lại có hữu hạn số nguyên dạng pa không vượt N ( ) Do có hữu hạn số nguyên mà phân tích tiêu chuẩn có chứa thừa số dạng pa với p a  N ( ) Gọi P( ) số lớn số nguyên kể Chọn số nguyên n  P( ) phân tích tiêu chuẩn n phải chứa a nhân tử dạng p  N ( ) , Theo (iii), ta có f  pa    Vì vậy, n  P( ) , có f  n   AC  Do f (n)  n  Định nghĩa 1.1.8 (Hàm tổng) Nếu f hàm số học hàm tổng f N định nghĩa F(N)   f (n) n1 Định nghĩa 1.1.9 Cho f g hai hàm xác định tập số thực • Big O:         Ta nói f(x) = O(g(x)) x → ∞ tồn số dương M số thực x cho |f(x)| ≤ M|g(x)| với x > x • Small o: Ta nói f(x) = o(g(x)) x → ∞ với  > tồn số dương N cho |f(n)|≤  |g(x)| với n ≥ N Nếu g(x)  điều kiện tương đương lim x 1.2 f  x  g  x Hàm điểm nguyên r(n) Định nghĩa 1.2.1 (Hàm điểm nguyên đường tròn r(n)) Với số nguyên dương n, hàm số học r(n) cho ta số cách biểu diễn n dạng tổng hai bình phương số nguyên Nói cách khác: r(n)  #{(x, y) ¢  ¢ | x2  y2  n} 2 số nghiệm nguyên x,y phương trình x  y  n Ví dụ 1.2.2 r(1) =   1  02  02   1 2 N Định nghĩa 1.2.3 Hàm tổng R(N)  r(n), r(0)  n0       45   CHƯƠNG SỰ PHÂN BỐ CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỐ 2.1 Các hàm Chebyshev Định lý 2.1.1 (Euler) Tổng p tích    11/ p    phân kỳ, p chạy toàn tập số nguyên tố Chứng minh: Trước hết, ta chứng minh tích nêu phân kỳ Với k nguyên dương, ta đặt P(k )   pk 1/ p Khi đó, lấy m nguyên dương, cho k  m , ta có P(k )  (1  p k Mà n phân kỳ, nên  k 1 )     m p p n1 n   11/ p    phân kỳ p chạy qua toàn tập số nguyên tố Ta lại có  1   log  pn p n 1    / p n 1  ,  với p1  p2   pk  dãy tất số nguyên tố Vì thế,    log   p    p         46   Mà    11/ p    phân kỳ, dẫn đến   log   p    phân kỳ, nên p phân kỳ p chạy qua toàn tập số nguyên tố. Định nghĩa 2.1.1 Các hàm   Các hàm Chebyshev   định nghĩa sau (x)  log( p), p x với p số nguyên tố;  ( x)   log( p), pm  x với tổng chạy qua cặp p, m với p nguyên tố m nguyên dương Các công thức khai triển cuả m Ta biết hàm Von Mangoldt định nghĩa ( x)  log( p) n  p  (n)  trường hợp khác Khi  (x)  (n) nx  ( x) Ta có e ( x ) tích tất số nguyên tố p  x, e bội chung nhỏ m số nguyên nhỏ hay x Nếu p  x p  x nên ta có m  k  (x)  (x ) k 1 Chú ý tổng hữu hạn  ( z )  0, z   log( x)  m m1 Nếu p  x  p ln(p) lặp lại m lần m    Do đó, ta có  log( p)        47    log( x)   log p log( ) p p x    ( x)   Bây ta thiết lập mối quan hệ  ( x) ( x)  ( x) x / log x , x , x Định lý 2.1.2 Đặt l1  lim inf  ( x) log( x) ; x  ( x) log( x) ; L1  lim sup x  x  ( x) ; l2  lim inf x  x  ( x) ; L2  lim sup x  x  ( x) ; l3  lim inf x  x  ( x) ; L3  lim sup x  x x  Khi l1  l2  l3 L1  L2  L3 Chứng minh: Do dạng khai triển  ( x) nói trên, ta có đẳng thức sau  ( x)   ( x)   ( x) log( x) Vì L2  L3  L1       48   Ta lại có  log( p)   ( x), x  p  x Và  ( ( x)   ( x ))log( x)   log( p) x  p  x Do đó, chia hai vế cho x, ta ( (x)  (x ))log(x ) (x)  x x Lấy limsup hai vế ý  (x )log(x) x  x1 log(x)  x Vậy, L1  L2 với   (0,1) Cho  1 ta suy L1  L3 Vì thế, L1  L2  L3 Tương tự, ta có l1  l2  l3 2.2 Định lý Chebyshev Bổ đề 2.2.1 Nếu gọi   max{k ¥ | pk | (n!)} n  n   n  n                  s  , s  log p n (**) p p p p      số lần mà p chia hết (n!) Kí hiệu là: ord p (n !) Chứng minh: Giả sử n  a0  a1 p   as p s ,   p, s   log p n  Ta chứng minh       49   n  n  n       ord p (n!)          s  p p p   Trước hết ta có  n     n    p k 1   *  pk    p  ,  ¥       n Thật vậy, đặt m   k  , ta có p  m  n  n n  m   mp  k 1  (m  1) p  mp   k 1   (m  1) p k p p p   n   n    k 1    p k 1  p   n    m  m 1     m   k   p  p p      n    p n  p  !v1 , (v1 , p)      n   n    n  n    ord p ( n !)  ord p  p  p    !v1      ord p    !   p    p   p    n!  p Ta lại có n n n a0 s 1   a1  a2 p  a3 p   as p s 1 suy    a1  a2 p  a3 p   as p  p p  p n Vì   !  1.2.3   nên thừa số, thừa số chia hết cho p  p  p n p, p, ,   p suy p        50    n   2  n  n  p   p !  p  p  !v2 , (v2 , p)        n2   n    n  n   n    ord p    !  ord p  p  p    !v2      ord p    !   p    p   p   p    Lập luận tương tự ta n    n   n   ord p    !     ord p    !  p   p   p    n    n   n   ord p    !     ord p    !  p    p   p   M  n    n   n   ord p   s 1  !   s   ord p   s  !  p    p   p   a n  a a   s   ord p   0s  s11   s 1  as  ! p p p    p n n   s   ord p  as !   s  (0  as  p ) p  p  n  n   n  n     Vậy ta được:   ord p (n!)             s  , s  log p n  p p p p     Định lý 2.2.2 (Chebyshev) Tồn số a A, < a < A, cho a x x   (x)  A với x đủ lớn log x log x Chứng minh: Do Định lý 2.1.2 định nghĩa liminf, limsup, ta cần chứng minh rằng: Có < a < A cho a  lim inf x         ( x) x , 51   lim sup  ( x) x x   A Điều tương đương với việc tìm < a < A cho  (k )  A k ak   (x) với k đủ lớn Trước hết, với N  C n2 n , ta chứng minh bất đẳng thức sau 22n 22n N , với n  n 2n Bất đẳng thức phía bên trái chứng minh trực tiếp quy nạp Thật vậy: 2.1 Với n = 1:   C 21  2 2n Giả sử bất đẳng thức với n>1, tức là:  C n2 n n 2( n 1) n 1 Ta cần chứng minh:  C 2( n 1) n 1 Ta có: n 1 C 2n2  2(2 n  1) n 2(2 n  1) 2 n 22n2 2 ( n 1)    ( vi n  1) n  C 2n n  n ( n  1)2 n n  Để chứng minh cho bất đẳng thức lại, ta đặt P Khi đó, P  1.3.5 (2n 1) 2.4.6 (2n) (2n)! Vậy, 2 n P  N Ta lại có 22n (n!)2       52    (1  1 )(1  ) (1  ) 2 n Bất đẳng viết lại dạng 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)  ( )( ) ( ) (2n)2 2 Từ đó, ta suy  (2n 1)P  2nP  2n 22n N N  , nên Từ đây, ta suy (22n )2 2n log( N )  n log(2)  log(2 n ) Mà N  (2 n )! ( n  1) (2 n )  n !n ! n! nên N chia hết cho số nguyên tố p: n  p  2n Vì thế, ( ( n )   ( n ))  lo g ( N ) Suy ( (2n)   (n))  2n log(2)  log(2n), với n  Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức  (k )  2k log(2) với k  Thật vậy, trước hết, ta kiểm tra đẳng thức cho k = 1,…, 14 sau chứng minh quy nạp theo k cách áp dụng       53   ( (2n)   (n))  2n log(2)  log(2n), với n  ý  (2 i  1)   (2 i  2) Như vậy, ta chứng nửa toán A  log(2)  cho  ( k )  A k với k  n Bây giờ, ta xét nửa lại Do N  C 2n  (2n)! , nên theo cơng thức tính số mũ n !n ! số nguyên tố Bổ đề 2.2.1, ta viết N   p p , pn với   2n   n    r   r  r 1   p   p  p   Khi đó, ta có [2 x]  [x]  , với x  n , nên pr  p  1  t p , r 1 tp 1 với số nguyên không âm thỏa mãn p ước 2n p  log(2n)   Do đó,  log( p)  2n, nghĩa t p   log N    log(2 n )   log( p )    (2 n )   p  n   log( p )          không ước 54   22n  N , nên (2n  1) log(2)  log n   (2n) , với n  Mà 2 n Mặt khác, với n đủ lớn ta có log(n)  n log(2) Khi đó, ( n  1) lo g ( )  n lo g ( )   ( n ) Suy (n  1) log(2)   (2n) , nên  (2n) log(2)  Tương tự trên, ý 2n (m  1) log(2)   (2m)   (2m  1) , ta có  (2 m  1) log(2)  2m  Vậy, ta giải nửa cịn lại tốn a  log(2)  để ak   (k ) với k đủ lớn. 2.3 Định luật Bertrand Định lý 2.3.1 (Chebyshev) Cho n số nguyên dương Khi tồn số nguyên tố p cho n  p  n Chứng minh:       55   Chúng ta chứng minh  (2 n )   ( n )  n > 26 kiểm tra cho trường hợp lại Xét n N  C 2n  (2n)!   p p, n!n! p2n với   2n   n    r   r  r 1   p   p  p   Phân số nguyên tố p tích thành loại  p có giá trị sau loại  Loại 1: n  p  2n Khi đó,  p  2  Loại 2: n  p  n Khi đó, p   nên p  3p  2n Hơn nữa, ta lại có 3 2n n   , suy p p  2n   n        1  p   p p    Loại 3: 2n  p  n Khi đó, p2 > 2n nên  2n   n        p   p p         56    Loại 4: p  2n Khi ta có  log(2n)     log( p)  p   Áp dụng chặn  p trên, ta suy log( N )   log( p)  n p 2 n  n  p 2 n /3 log( p)  t p log( p) p 2n Từ kéo theo  2n  log(N)  (2n) (n)    ( 2n)   ( 2n)log(2n) 3 22n  N mà ta chứng minh định lý 2.3, ta Áp dụng bất đẳng thức n  2n  2n log(2)  log(2)  log(n)  (2n) (n)    ( 2n)   ( 2n)log(2n) 3 Chú ý rằng, ta cần chứng minh  (2n)   (n) với n > 26 Vậy, từ bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh  2n   2n log(2)  log(2)  log(n)    ( 2n)   ( 2n)log(2n) 3       57   Khi đó, bất đẳng thức đề cập chứng minh định lý 2.3 xét n> 26, ta có  2n  4n   log(2) , 3   ( 2n )( log(2)  log(2n))  ( 2n )   ( 2n )log(2) , với 2n log(n) Ta suy để chứng minh bất đẳng thức  2n   2n log(2)  log(2)  log(n)    ( 2n)   ( 2n)log(2n) 3 Ta cần chứng minh  2n log(2)  log(2 n )  4n log(2)  2n log(n) hay viết lại  2n  log(n) log( 4n )  log(2) log(2) 4n Ta chứng minh bất đẳng thức cuối việc khảo sát giá trị hàm số 2x  log( x) log( x )  Cuối cùng, để ý số nguyên tố log(2) log(2) 4x dãy 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 67 nhỏ lần số nguyên tố sau dãy Ta kết thúc chứng minh cho định lý này.       58   KẾT LUẬN Có thể nói luận văn đạt mục tiêu đề ban đầu Cụ thể luận văn thực số nội dung sau: 1) Nghiên cứu tài liệu khác trình bày lại lý thuyết hàm số học theo thể khép kín sở hiểu biết mà chúng tơi tìm tịi 2) Bên cạnh chúng tơi áp dụng lý thuyết hàm số học để tìm hiểu vấn đề có liên quan đến ứng dụng như: số hồn hảo, số Mersenne, cơng thức nghịch đảo Mobius, cơng thức tính số đa thức bất khả quy trường hữu hạn, đa thức n-chia đường tròn Q, … 3) Bước đầu tìm hiểu phân bố số nguyên tố Tuy nhiên đề tài bao gồm nhiều mảng kiến thức liên quan rộng, thời gian lại bị hạn định, mà khả nghiên cứu chúng tơi có hạn nên luận văn chúng tơi chưa có điều kiện cung cấp mở rộng nhiều kiến thức Hướng nghiên cứu luận văn: Tìm hiểu xây dựng thêm hàm số học khác; đọc thêm tài liệu hàm số học ngồi nước để tìm hiểu sâu phân bố số nguyên tố       59   TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Hà Huy Khoái (2004), Số học, Nxb Giáo dục Hà Nội, Hà Nội Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số học, Nxb Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh Chandrasekharan K (1968), Introduction to analytic number theory, Springer, Berlin Chandrasekharan K (1970), Arithmetical functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer, Berlin Serre J P (1996), A course in arithmetic, Springer, London Apostol T.M (1976), Introduction to analytic number theory, Springer, New York Stopple J (2003), A primer of analytic number theory, Cambridge University Press, London       ... hàm Mobius, hàm số ước, hàm tổng ước, hàm tổng lũy thừa k ước, hàm điểm nguyên đường tròn, hàm von Mangoldt… số ứng dụng  Chương 2: SỰ PHÂN BỐ CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Ứng dụng hàm số học để nghiên... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Vinh MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... 1.1.1 (Hàm số học) Ánh xạ f : ¥  £ gọi hàm số học Như vậy, hàm số học dãy số phức cn với cn = f(n) Tuy nhiên, muốn khai thác tính chất hàm nhiều tính chất dãy nên ta gọi f hàm số học hay hàm lý