Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như Môđun trên đại số Steenrod và các ứng dụng

M ở đầu Ì Đ ạ i số Steenrod môđulô 2 Đối đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là một bất biến cơ bản để phân loại đồng luân các không gian tôpô xem [88].. Một cách hình thức hơn, điề

M ụ c lục

Lời cam đoan

1 Đại số Steenrod (môđulô 2) 6

2 Bài toán "hit" và các ứng dụng 8

2.1 Số hạng £2 của dãy phổ Adams 9

2.2 Lý thuyết cobordism l i

2.3 Biểu diễn môđula của nhóm tuyến tính tổng quát 12

2.4 Phâ n tích chẻ ra ổn định của không gian phân loại 14

2.5 Chu trình vĩnh cửu trong dãy phổ Adams 17

2.6 Không gian khuyên vô hạn và giả thuyết về lớp cầu 19

3 N ộ i dung và bố cục của luận án 22

4 Các kết quả chính của luận án 23

4.1 Bài toán "hit" cho các bất biến Dickson 23

4.2 Bài toán "hit" cho các bất biến parabolic 25

4.3 Các phần tử đối bất biến với k = 4 26

4.4 Bài toán "hit" ở bậc đủ tổng quát 28

4.5 SỐ chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng

quát 30 4.6 Áp dụng: Đồng cấu chuyển Singer 32

5 Một số ký hiệu và kiến thức chuẩn bị 33

li.2 Tác động của đại số Steenrod 56

IIL5.3 Mô tả v(0,n) 102

K ế t luận 104

K i ế n nghị về những nghiên cứu tiếp theo 104

Danh mục công trình của tác giả liên quan đ ế n luận án 105

Tài liệu tham khảo 106

M ở đầu

Ì Đ ạ i số Steenrod (môđulô 2)

Đối đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là một bất biến cơ bản

để phân loại đồng luân các không gian tôpô (xem [88]) Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, bất biến này chưa đủ tinh tế Chẳng hạn, cái treo của mặt phang xạ ảnh phức S C P2 và tổng 53 V s 5 của các mặt cầu 3 và 5 chiều có cùng vành đối đồng điều với cấu trúc tích bằng không, nhưng không có cùng kiểu đồng luân

Một trong những công cụ làm tinh tế đối đồng điều là toán tử đối

đồng điều Nói một cách sơ lược, một toán tử đối đồng điều (sơ cấp) là

một họ các ánh xạ <&x : H*x —> H*x giao hoán với các đồng cấu cảm

sinh trên đối đồng điều bởi các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô Trong p h á t biểu này, các ánh xạ $jjf không nhất thiết bảo toàn chiều đối

đồng điều và không nhất thiết tuyến tính, còn H*x = H*(X\¥2) trong

mối quan t â m của luận án này ký hiệu đối đồng điều kỳ dị môđulô 2

của không gian tôpô X Ví dụ đơn giản về toán tử đối đồng điều là ánh

xạ bình phương của H*x

Để giải quyết bài toán phân loại đồng luân các ánh xạ liên tục từ

một phức 71 +Ì chiều vào mặt cầu s n , n ă m 1942 Steenrod [78] đ ư a ra

một lớp t o á n tử đ ố i đồng điều, ngày nay mang t ê n ông, và được ký hiệu

Sq i : H*x — • H* +i X (với ị nguyên k h ô n g â m ) C á c t o á n tử này sau đ ó

được T h o m [101] và W u [102] sử dụng để nghiên cứu các lớp đặc t r ư n g của p h â n thớ véctơ và của đ a tạp, và nhanh chóng t rở t h à n h một trong những công cụ hàng đầu trong nghiên cứu tóp ) đ ạ i số Tác động của các t o á n tử Steenrod lên tích đ ố i đồng điều thỏa m ã n công thức Cartan [94]:

các t o á n t ử đ ố i đồng đi ề u ổn định (theo nghĩa "giao h o á n với đồng cấu

treo") Ngày nay, đ ạ i số các t o á n t ử đ ố i đồng điêu ỗ ì đ ị n h với hệ số F2

được gọi là đ ạ i số Steenrod môđulô 2 và thường được ký hiệu là Ả

N h ư vậy, đ ạ i số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần tuy

đ ạ i số n h ư là t h ư ơ n g c ủ a F2- đ ạ i số kết hợp sinh t ự do b ở i các ký hiệu Sq i

(i n g u y ê n k h ô n g â m ) chia cho iđêan hai phí a sinh b ở i h ệ thức Sq ữ = Ì

và các quan h ệ A d e m Đ ạ i số A có một c ấ u t r ú c p h â n bậc t ự n h i ê n x á c

Sq a Sq b = J2 í !_ 2 )Sq a+b - j Sj

Là một tập hợp các toán tử đối đồng điều, Ả tác động một cách

tự nhiên lên đối đồng điều của mọi không gian tôpô Do đó, đố; đồng điều của các không gian tôpô không chỉ là một F2- đ ạ i số m à còn J à mốt 4-môđun Cấu trúc ^4-mồđun tinh tế hơn cấu trúc F2- đ ạ i số Chẳng hạn, nhờ cấu trúc này ta có thể thấy các không gian E C P2 và ố'3 V ố'5

không có cùng kiểu đồng luân, vì toán tử Sq 2 tác động tầm thường trẽp

#3( S3 V s5) nhưng không tầm thường trên H 3 (ECP 2 ) Nguyên nhân

của sự kiện Sq 2 tác động không tầm thường trên #3( E C P2) là như sau (xem [79]): mặt phảng xạ ảnh phức C P2 có thể thu được bằng cách dán

một ngăn 4 chiều vào mặt cầu s 2 nhờ ánh xạ Hopf h : s 3 —> s 2 ; anh xạ

này không đồng luân tầm thường

2 B à i t o á n "hit" và các ứng d ụ n g

Gọi V = H*(RP°°) k là đại số đối đồng điều môđulô 2 của tích trực

tiếp k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều Theo công thức Kủrmeth [77], V là một F2-đại số đ a thức phân bậc của k biến (hay phần tử sinh), trong đó mỗi biến có bậc bằng 1 Bài toán chúng tôi quan tam là tìm

một hệ sinh cực tiểu cho A-môđun phân bậc V Một cách hình thức

hơn, điều này có nghĩa là tìm một cơ sở cho không gian véctơ phân bậc

¥ 2 ®AV = VỊ ÁP, ở đây à = ker£ là iđêan bổ sung của đại số Steenrod

Bài toán này thường được gọi là bài toán "hit."

Để nhấn mạnh tầm quan trọng của bài toán "hit," sau đây chúng tôi phân tích vai trò của nó trong mối liên quan với những đối tượng sau

đây: số hạng E2 của dãy phổ Adams (hội tụ đến nhóm đồng luân ổn định

của mặt cầu), lý thuyết cobordism, biểu diễn môđula của nhóm tuyến tính tổng quát, phân tích chẻ ra ổn định của không gian phân loại chu trình vĩnh cửu trong dãy phổ Adams, và không gian khuyên vô hạn.QS0

2.1 Sô hạng E2 của dãy phô Adams

Để tiếp cận bài toán nổi tiếng khó là việc tính các nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu, trên cơ sở "dán các dãy phổ Serre vào với nhau," năm

1958 Adams [2] đã đưa ra một dãy phổ hội tụ đến thành phần 2-xoắn

27rf(S°) của các nhóm này với số hạng E 2 là Ext* A (F 2 ,F2) K ể từ đó,

việc tính Ext* A (¥2,¥ 2 ) trở thành một trong những bài toán quan trọng

hàng đầu của lý thuyết đồng luân ổn định

Ý nghĩa của F2 <S>A V được thiết lập lần đầu tiên (có lẽ) trong mội

công trình của Singer, trong đó õng sử dụng lý thuyết bất biến để tìm

hiểu Ext* A (¥ 2 ,¥ 2 )- Singer viết công trình này vào quãng năm 1980 và

nó được lưu hành ở dạng tiền ấn phẩm Ông chính thức công bố [75] vào năm 1989 Bằng những công cụ đại số đồng điều thuần túy, Singer xây dựng một ánh xạ tuyến tính T o r ^ ( F2, F2) —> F2 (Su V Ông chứng

minh rằng ảnh của ánh xạ này bất biến dưới tác động chính quy của

nhóm tuyến tính tổng quát ọc = Ợ£(k, F2) Ánh xạ đối ngẫu

Tr k : Hom((F 2 ® Ả V) ỢC ,F 2 ) —> Ext kA {¥ 2 ,¥ 2 )

được gọi là đồng cấu chuyển Singer

Singer chứng tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển bằng

cách chỉ ra rằng TTk là đẳng cấu khi k = Ì, 2, và rằng 0/->o Trk là một

đồng cấu đại số (bảo toàn phép nhân) Công trình của Singer phần lớn

dựa trên những tính toán cụ thể về không gian véctơ (F2 ®A V) < Có

thể nói công trình của Singer là một trong những công trình đầu tiên đặt nhu cầu nghiên cứu bài toán "hit."

Một thập kỷ sau khi Singer xây dựng đồng cấu chuyển, đến nam 1991 Boardman một lần nữa khẳng định giá trị của nó, cũng như của F2<Su'P, đối với nghiên cứu các nhóm Ext* A {W2^i)- Boardm n [9] chứng minh rằng 7>3 cũng là một đẳng cấu Công trình của ông dựa trên những

tính toán cụ thể về không gian véctơ F2 <8u V cho k = 3 của Kameko

[38] Mục 4.6 sẽ cho thấy hiện nay việc khảo sát dáng điệu của đồng cấu chuyển đang được tiến hành như thế nào

Lưu ý rằng, đồng cấu chuyển Singer, vốn được xây dựng một cách

hoàn toàn đại số, chính là ánh xạ cảm sinh trẽn số hạng E2 của dãy phổ

Adams bởi ánh xạ chuyển hình học

£ ° ° ( R P ~ )A* —> x°°s°

trong lý thuyết đồng luân ổn định (xem [37],[45],[58]) Trong Mục 2.5,

ta sẽ thấy đồng cấu chuyển hình học này được sử dụng và đem lại những kết quả thú vị trong dãy phổ Adams

M có phạm trù Lusternik-Schnirelmann không lớn hơn /ĩ, nghĩa là nếu

M có thể viết dưới dạng hợp của không quá k + Ì tập con mở và co rút

được trong M Peterson [66] khẳng định rằng khi đó, nếu a(d) > k (ở

đây a(d) là số chữ số Ì trong biểu diễn nhị phân của d), thì M là biên của một đa tạp trơn và compact nào đó

Để thiết lập kết quả này, Peterson đã đưa ra giả thuyết nổi tiếng nói

rằng nếu a(d) > k, thì không gian véctơ phân bậc ¥2 (Su y bằng 0 tại

bậc ả — k G i ả thuyết của ông được Wood [90] chứng minh năm 1988

Sau đây chúng tôi giới thiệu sơ lược cách Peterson suy ra khẳng định

nói trên về đa tạp M từ định lý Wood

Trước hết, bằng lập luận hình học, Peterson rút gọn bài toán M là biên về việc chứng minh rằng ảnh của ánh xạ ư* : H*BO{m) —> H*M tại chiều đối đồng điều á là *4-phân tích được (ký hiệu BO(m) chỉ đ a

tạp Grassmann của các không gian véctơ thực m chiều trong M0 0, với m

là số chiều của phân thớ pháp tuyến của M) Còn V : M —• BO(m) là ánh xạ cảm sinh ra phân thớ pháp tuyến của M từ phân thớ véctơ phổ dụng của BO(m) Nhắc lại rằng H*BO(m) = F 2 [ ^ 1 , ^ 2 , • , Wm] 5 trong

đó Wị là lớp Stiefel—Whitney phổ dụng thứ ỉ (xem [53])

Từ giả thiết về các lớp Stiefel-Whitney của phân thớ pháp tuyến của

M suy ra rằng ánh xạ ư* phân tích qua H*BO(m)/I k +\ trong đó I n

là iđêan sinh bởi các tích của ít nhất n phần tử thuần nhất bậc dương của H*BO{m) Do đó chỉ cần chứng minh rằng các phần tử bậc à của

H*BO(m)/I M là 4-phân tích được Peterson khẳng định điều này là

hệ quả của giả thuyết của ông (sau này trở thành định lý Wood) nhờ nhận xét rằng các ánh xạ tuyến tính

w 2 [xu , x j —> I s / I s + \ x i1 • 4- I— w iì+ì • • • (với Ì < 5 < k)

đều là những toàn cấu X-môđun

2.3 Biêu diên môđula của nhóm tuyên tính tông

q u á t

Sau khi chứng minh giả thuyết của Peterson về sự kiện không gian

véctơ phân bậc ¥2 <8u V bằng 0 tại những bậc nào đó, Wood [91] tiếp

tục khai thác cấu trúc của không gian véctơ này xem như một biểu diễn môđula của nhóm tuyến tính tổng quát

Gọi Ai là vị nhóm nhân các ma trận vuông cấp k với phần tử thuộc

F2 Nhóm tuyến tính tổng quát ọc chính là nhóm con các phần tử khả nghịch của M G ọ i v d là thành phần bậc ả của không gian véctơ phân bậc V K h i đó M tác động một cách tự nhiên lên v d bằng các phép thế

biến tuyến tính Do đó v d là một biểu diễn môđula của M và của ọc,

Một kết quả cổ điển của lý thuyết biểu diễn nói rằng mọi biểu diễn bất

khả quy của M hay của QC đều là một nhân tử hợp t h à n h của v d với

ả > 0 nào đó (xem [92])

Tác động của M và của A lên Và giao hoán với nhau, nên (F2 ®A

[91] có nhận xét thú vị là: mọi biểu diễn òáí &/iả quy của M hay của ọc

đều là một nhân tử hợp thành của (F2 <8u *P) d với d > 0 nào đó Nhận

í '*

xét này chỉ ra vai trò quan trọng của F2<8u'P đối với nghiên cứu các biêu

diễn môđula của nhóm tuyến tính tổng quát cũng như vai trò quan trọng

của biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát trong nghiên cứu F2 ®A*P' Sau

đây chúng tồi chi tiết hóa chứng minh của Wood cho trường hợp biểu

diễn của Ợ £

G i ả sử M là một biểu diễn bất khả quy của ọc Nói cách khác, A i

là một F2[ổ£]-môđun đơn Ta đã biết có thể xem M như một nhân tử

hợp t h à n h M 9 /M" của v d với ả > 0 nào đó Hơn nữa, có thể giả thiết

rằng á nhận giá trị bé nhất có thể được

G i ả sử M' n ÁP <t M" M ỗ i phần tử của tập hợp khác rỗng {M 1 n

ÃV)\M n đều có thể viết dưới dạng tổng Sq^Uị -ị h Sq ỉn u n với các số

nguyên Ì < %1 < • • • < in nào đó, và các đa thức thuần nhất U i , , Un G

V nào đó thỏa mãn deg^s = ả — i s Ta hãy chọn một phần tử lí 6

(M'C\ÃV)\M !Ỉ cùng với một cách viết u = Sq il u\ -ị \-Sq in u U) sao cho

n là bé nhất có thể được Ký hiệu G£(u x ) là F2[Ợ£]-môđun con của v d ~ h

sinh bởi phần tử Ui, và ũ là lớp tương đương của u trong M = M ' / M "

K h i đó ánh xạ ỈM : —> M = M l /M", được cho bởi công thức

Ằ g eF 2ĩ geGC X g eF 2 ,geG£

được định nghĩa hợp lý và là một toàn cấu F [i?£]-m0dun

F2[ổ£]-môđun

Là một môđun thương của Ợ£(ui), M do đó cũng là một nhân tử hợp thành của môđun này Mặt khác, vì QC(u\) là một môđun con của

v ả ~ il , nên mọi nhân tử hợp thành của QC{u\) cũng là một nhân tử hợp

thành của p d ~ il Do đó M là một nhân tử hợp t h à n h của v ả ~ ix Điều

này mâu thuẫn với tính bé nhất của d

Vậy M' n AV c M " Từ đây suy ra rằng phối chiếu chính tắc

7T : V —> VỊ ẤP cảm sinh một đẳng cấu F2[ ổ £ ] - m ô đ u n Ai = M l /M" =

K(M')/TT(M"). Vậy M là một nhân tử hợp thành của (F2 ®A v) d Nhận

xét của Wood được chứng minh

2.4 P h â n tích chẻ ra ổn định của không gian p h â n

loại

G i ả sử G là một nhóm tôpô lYong các G-phân thớ chính, tồn tại

một phân thớ với không gian toàn thể là co r ú t Không gian đáy của

phân thớ ấy là không gian phân loại của G và được ký hiệu là BG (xem [30]) K i ể u đồng luân của BG được xác định một cách duy nhất Nếu

G là một nhóm với tôpô rời rạc, thì BG = K(G, 1) chính là không gian

Eilenberg-MacLane t h ứ nhất của G Nói riêng, (RP°°) k = B{Z/2Z) k là

k h ô n g gian p h â n loại c ủ a n h ó m ( Z / 2 Z )

Liên quan đ ế n k h ô n g gian p h â n loại của các n h ó m hữu hạn, c h ú n g tôi tập trung sự chú ý vào một định lý của A t i y a h [8] (I960), và các gi ả thuyết c ủ a Segal [71], Sullivan [80] (1970) Định lý c ủ a Atiyah khẳng

định rằng K°(BG) = [BG,Z X BU} ẼỂ R(Gf Jf trong đó BU là không gian phân loại của nhóm unita vô hạn, R(G) là vành biêu diễn phức của G, còn R(G)Ị = lim R ( G ) / I N là cái bổ sung I-ađíc của R(G) theo iđêan bổ sung I = ker(dim : R(G) —> Z ) G i ả thuyết của Segal nói

rằng A(G)] — 7T°(BG), trong đó A(G) là vành Burnside của G, còn

7Ĩ®(BG) là nhóm đối đồng luân ổn định của BG ( G i ả thuyết Segal được

chứng minh qua nhiều bước, trong đ ó bước cuối c ù n g được thực hiện bởi Carlsson [15],[16].) C ò n g i ả thuyết c ủ a Sullivan (được chứng minh bởi Miller [50],[51], được chứng minh l ạ i bởi Lannes [95],[96] trong trường

hợp G = Z2) nói rằng không gian các ánh xạ liên tục bảo toàn điểm gốc

từ BG đến một CW-phức hữu hạn là co rút yếu Q u á t r ì n h chứng minh các g i ả thuyết Sullivan v à Segal đ ã l à m nảy sinh nhu c ầ u khảo sát cấc

á n h x ạ liên t ụ c giữa khống gian p h â n loại c ủ a các n h ó m hữu hạn Đây

là một hướng nghiên cứu thời sự, và kết quả đ á n g chú ý gần đây theo hướng này là của Oliver [62],[63] ( M ộ t giả thuyết của Martino-Priddy được Oliver [63] chứng minh n ă m 2003 dựa t r ê n sự p h â n loại các n h ó m đơn k h ô n g giải được hữu hạn.)

V ớ i m ỗ i C W - p h ứ c X , t ồ n t ạ i duy nhất một C W - p h ứ c X(2) và một

á n h x ạ liên t ụ c X —> X(2) sao cho 7T*(X(2)) — 7T*(X)(g>z^(2)> trong đó Z(2)

là n h ó m cộng của các p h â n số a/b với a, 6 nguyên và b l ẻ Không gian

tôpô Xị2) được gọi là cái 2-địa phương hóa của X (xem [5]ĩ[10],[81])

Phân tích chẻ ra ổn định một CW-phức có điểm gốc X thành tổng

VieiXi là việc tìm một họ nào đó các CW-phức có điểm gốc Xi(i G /).,

sao cho các phổ treo của X và V ị€/ X ị là các vật tương đương đồng luân

trong phạm trù các CW-phỗ (xem [4])

Giả sử G là một nhóm hữu hạn Một cách phân tích chẻ ra ổn định của BG{2) thu được từ lý thuyết biểu diễn môđula của G theo cách sau

(xem [67], [68]) : xét một hệ các phần tử lũy đẳng trực giao đầy đủ bất

kỳ của vành nhóm F2[AutG], trong đó A u t G là nhóm các tự đẳng cấu

của G Hệ này có thể được nâng thành một hệ các phần tử lũy đẳng

trực giao của vành nhóm Z2[AutG], trong đó z 2 là vành, các số nguyên 2-ađíc Đến lượt mình, hệ vừa nêu được ánh xạ thành một hệ các phần

tử lũy- đẳng trực giao của vành [BG, BG] qua một ánh xạ tự nhiên

Z2[Autơ] -> [BG, BGị trong đó [BG, BG] là vành các lớp đồng luân ổn định của các ánh xạ liên tục từ BG{2) vào chính nó Ký hiệu { e i , ,en}

là hệ mới thu được Đặt eịBG = colim{5G(2) —> BG{2) —> BG(2) —>•••}

(các ánh xạ đều là eì) với ỉ — Ì , , n K h i đó BGị2) phân tích chẻ ra

ổn định t h à n h Vf =l eịBG

Bằng cách áp dụng lý thuyết biểu diễn môđula của Ví (nửa nhóm

các ma trận vuông cấp k), Wood và các tác giả khác (xem [89]) thu được kết quả sau: tồn tại các CW-phức Yp sao cho X ^ M P0 0) ^ vhăn tích chẻ

ra ổn định thành V p Y p d p , trong đó p chạy trên tập các biểu diễn bất khả

quy của My còn dp là số chiều của p Hơn nữa, độ liên thông của Yp

bằng số nguyên không âm ả bé nhất sao cho p xuất hiện trong v d (tập

các đa thức thuần nhất bậc d) như là một nhân tử hợp t h à n h Số nguyên

này đã được xác định bởi Carlisle-Kuhn [13] và Trí [85] số ả này và số nguyên đ bé nhất sao cho ọ xuất hiện trong v d ' như là một môđun con

có "liên hệ với nhau" thông qua các toán tử Steenrod (xem chi tiết trong

[86]) Bài toán tìm đ đã được Trí giải quyết [84]

Từ phân tích trên suy ra rộng A m ô đ u n V = H*(RP°°) k phân tích

thành tổng trực tiếp của các phép treo nào đó của các H*Yp Việc giải bài toán "hit" cho ta những thông tin về H*Yp và cấu trúc 4-môđun của chúng, từ đó có thể hy vọng xác định được Yp Đây chính là ứng dụng

của bài toán "hit" đối với lý thuyết phân tích chẻ ra ổn định của không gian phân loại

2.5 C h u t r ì n h vĩnh cửu trong dãy phô Adams

Việc tính 2?rf (5°) bằng dãy phổ Adams đòi hỏi phải xác định được

số hạng £ 2 , các chu trình vĩnh cửu, và các mở rộng nhóm tại t h à n h phần

Eco Trong mục này, chúng tôi thảo luận vấn đề tìm các chu trình vĩnh

cửu trong dãy phổ Adams, qua đó chỉ ra vai trò của bài toán "hit" (chính xác hơn, của đồng cấu chuyển Singer) đối với vấn đề này

Một trong những giả thuyết táo bạo về chu trình vĩnh cửu được đưa

ra bởi Joel Cohen trong nửa sau của thập kỷ 70 (xem [57]) G i ả thuyết này được Barratt đặt tên là "ngày tận thế," và được Milgram [49] chọn vào danh sách các bài toán mở trong Hội nghị thường niên mang tên Summer Research Institute lần thứ 17 của Hội toán học M ỹ được tổ chức tại Đại học Wisconsin (Madison, Wisconsin) vào năm 1970 G i ả

thuyết "ngày tận thế" nói rằng với mọi k, chỉ có một số hữu hạn các

17

phần tử của Ext kA {¥ 2 ,¥2) là chu trình vĩnh cửu trong dãy phổ Adams

Giả thuyết này đúng khi k = Ì, theo một kết quả nền tảng của Adams

[3] về các phần tử có bất biến Hopf bằng Ì trong 27rf (5°) (Chính từ kết quả của Adams mà giả thuyết được hình thành.)

K h i k = 2, người ta đã biết rằng trong Ext 2A (¥ 2) ¥ 2 ) chỉ có hai họ

phần tử có thể là chu trình vĩnh cửu, đó là h} (với ỉ > 0) và hiht (với

ì > 3) Năm 1976, các phần tử h\hi (i > 3) được chứng minh là chu

trình vĩnh cửu trong một công trình nổi tiếng của Mahowald [44] Như

vậy, giả thuyết "ngày tận thế" là sai trong trường hợp k — 2

Việc tìm hiểu xem các phần tử h 2 ị có là chu trình vinh cửu hay không

được gọi là bài toán về bất biến Kervaire Ten gọi nàv xuât xứ từ công trình của Browder [11] về các phần tử có bất biến Kervaire bằng Ì trong

27ff (5°) Đây vần là một bài toán mở, và đến nay người ta mới chỉ biết

tiị là chu trình vĩnh cửu với ỉ < 5 Một cách truyền thống, người ta tin

rằng nếu hf là chu trình vĩnh cửu, thì phần tử tương ứng với nó trong

2 ^ ( 5 ° ) (được ký hiệu là 9ị) được phát hiện bởi ánh xạ chuyển hình học

X°°(RP™) A2 — • s ° ° 50 nói trong mục trước (xem [57]) Niềm tin truyền thống này bị Minami xóa bỏ [54] Dựa trên khảo sát của Singer [75] về

đồng cấu chuyển, cùng với các tính toán BP-\ý thuyết của K.?^° A]RP^°, Minami chứng minh rằng các phần tử Oi với i > 5, nếu tồn tại, không

thể bị p h á t hiện bởi ánh xạ chuyển hình học

Minami tiếp tục khai thác kỹ thuật của ông trong [55] cho k = 3 và trong [56] cho k tùy ý Với fc = 3, ông sử dụng kết quả của Boardman

[9] về đồng cấu chuyển Singer để tìm ra một danh sách các phần tử của

Ext^(¥ 2ì ¥2) có tính chất: chúng có thể là chu trình vĩnh cửu, và các

phần tử ứng với chúng trong 27rf có thể được phát hiện bởi ánh xạ

chuyển hình học T ừ đó, năm 1993 Minami đưa ra trong [55] giả thuyết

mới về "ngày tận thế." G i ả thuyết này nói rằng với mọi k, tồn tại một

số nguyên n = n(k) sao cho tất cả các phần tử của (Sq°) n (Ext ỉ ^(F2 ì ¥2))

đều không phải là chu trình vinh cửu trong dãy phổ Adams (Xem [43],[61]

về ánh xạ Sq° : Ext k /(¥ 2ì ¥ 2 ) —> £ z í Ị f * ( F2 íF2) )

Năm 1997, vẫn sử dụng các tính toán BP-\ý thuyết và một số kỹ

thuật liên quan đến bài toán ''hit," Minami [56] chứng minh được một

dạng yếu của giả thuyết mới về "ngày tận thế." C ụ thể hơn, ông chứng

minh rằng với mọi kj tồn tại Tí = n(k) sao cho mọi phần tử của 2 7Ĩ *(S°)

tương ứng với các chu trình vĩnh cửu thuộc (Sq ũ ) n (Extj i (¥2j¥2)) đều không bị phát hiện bởi ánh xạ chuyển hình học

Có thể nói, sau công trình của Peterson [66] về cobordism (xem

Mục 2.2), nếu bài toán "hit" thu hút được sự chú ý của những người

nghiên cứu khía cạnh hình học của Tôpô đại số, thì bài báo của Minami

[56] là một trong những công trình quan trọng góp phần tạo nên điều

đó Một công trình khác của N H V Hưng, cũng đã góp phần quan

trọng trong việc nâng cao ý nghĩa của bài toán "hit" sẽ được giới thiệu

trong Mục 2.6

2.6 K h ô n g gian khuyên vô hạn và giả thuyết về lớp

cầu

Không gian khuyên vô hạn Q(-) := l i m ^ o c có liên hệ chặt

chẽ với lý thuyết các phổ, cũng như với các lý thuyết đồng điều và đối

đồng điều suy rộng (xem [4]) Nếu X là một không gian tôpô có điểm gốc, thì các nhóm đồng luân của thành phần liên thông đường QoX của điểm gốc trong QX chính là các nhóm đồng luân ổn định của X Sự kiện này có thể khiến chúng ta nghĩ rằng đồng cấu Hurewicz của QoX chứa những thông tin quan trọng về các nhóm đồng luân en định của X Tuy nhiên, trong trường hợp quan trọng bậc nhất X = 5°, thực tế

dường như không diễn ra như vậy Một trong những phán đoán lớn liên quan đến điều này là giả thuyết cổ điển về lớp cầu (được đưa ra vào

quãng 1970), nói rằng đồng cấu Hurewicz môdulô 2

các chu trình vĩnh cửu / l i , /i2, hs G Ext\(¥ 2 , ¥ 2 ) (theo [3]), còn các phần

tử có bất biến Kervaire bằng Ì ứng với các chu trình vĩnh cửu giả định

h% e Ext^(¥2,¥ 2 ) (theo [li]) Do đó, nói riêng, giả thuyết cổ điển về

lớp cầu khẳng định rằng các phần tử của 2?rf (5°) ứng với các chu trình vĩnh cửu trong £,X Í ^ ( F2, F2) với k > 2 đều nằm trong hạch của đồng

cấu Hurewicz môđulô 2 của QQS Ồ G i ả thuyết này có liên quan bất ngờ đến bài toán "hit" nhờ các công trình của Lannes-Zarati, Goerss và N

H V Hưng

Trước hết, vào năm 1983 Lannes-Zarati [97] xây dựng một ánh xạ

tuyến tính

LZ : Ext kA {¥ 2 , F2) —» Hom (F2 (Su F2)

Họ chứng minh trong [98] rằng ánh xạ này tương thích theo một nghĩa

thích hợp với đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của QoS ồ nói trên thông qua dãy phổ Adams của 5° Muộn hơn họ một chút và bằng kỹ thuật độc lập, Goerss [28] cũng đã chứng minh được tính chất này

Dựa vào các kết quả đó, N H V Hưng đã đưa ra một phát biểu

đại số cho giả thuyết cổ điển về lớp cầu, nói rằng ánh xạ cz bằng 0 tại

các bậc dương nếu k > 2 ô n g đưa ra ý tưởng dùng đồng cấu chuyển

của Singer Tr k : Hom ((F2 ®A V ) g c , F2) —> Ext kA {¥ 2 , F2) , và vào năm

1995 ông tiên đoán [32] rằng cái hợp thành cz o Trỵ bằng 0 tại các bậc dương nếu k > 2 Hơn nữa, ông chứng minh rằng khẳng định trên về

cz o Tru tương đương với sự kiện rằng ánh xạ F2 ®A V G C — • F2 ®A V

được cảm sinh bởi phép nhúng v^ c c —> V bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 Đây là một ý tưởng hiệu quả: tiên đoán đó của ông đã được

chúng tôi chứng minh [3,Danh mục] vào năm 1998 Lưu ý rằng tại thời điểm 1995, ánh xạ vừa nêu được tin là rất khác 0: có tác giả (chẳng hạn như Singer) (lùng miền xác định của ánh xạ này để nghiên cứu miền giá

trị của nó khi k < 2 (xem [75])

Như vậy, giả thuyết của N H V Hưng về cz o TTk đã chỉ rõ vai

trò của bài toán "hit"; quan trọng hơn nữa, nó đặt ra vấn đề tính ảnh của đồng cấu chuyển Công việc tính toán này được chúng tôi thực hiện trong [99]

3 N ộ i dung và bố cục của luận án

Luận án tổng kết một số kết quả nghiên cứu xung quanh bài toán

"hit" mà chúng tôi đ ã thu được từ năm 1998 đến nay, được công bố trong 5 bài báo [Ì,2,3,4,5,Danh mục] Một số kết quả khác đ ã được in dưới dạng tiền ấn phẩm [99] của Đại học Paris 13 và đang được gửi đăng Hầu hết các nghiên cứu này đều đà được chúng tôi báo cáo tại các hội thảo trong nước và quốc tế: Hội thảo châu Âu về Lý thuyết đồng luân hiện đại (Đại học Paris 13, 11/2002 60 phút), Hội nghị quốc tế về Lý thuyết bất biến và những tương tác của nó (Đại học Gõttingen, 3/2003,

45 phút), H ộ i nghị quốc tế về Tồpô đ ạ i số (Hà Nội, 8/2004, 45 phút) Hội nghị toàn quốc về Đại Số-Hình học-Tôpô (Đại học Đà lạt, 11/2003), Hội nghị tổng kết năm 2004 của Khoa Toán-Cơ-Tin học (Trường đ ạ i học khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà N ộ i , 11/2004, báo cáo toàn thể), Xemina ĐAHITÔ (Hà nội, 5/2004), các xemina của Phòng Đại

số thuộc V i ệ n Toán học Hà nội (3/2000), của Khoa Toán các Đại học Nantes (1/2003), Lille I (3/2003), Paris 13 (10/2003) và của Bộ môn Đại Số-Hình học-Tôpô (Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường đ ạ i học khoa học

tự nhiên, Đ ạ i học quốc gia Hà Nội, 10/2004)

Về hình thức trình bày, luận án gồm 4 chương Chương M ở đầu mang tính giới thiệu chung; các ký hiệu dùng trong chương này áp dụng cho toàn luận án B a chương còn lại được trình bày độc lập với nhau Các phát biểu toán học trong các Chương ì, l i , I U được đánh số theo quy tắc: số chương/số mục/số phát biểu Chẳng hạn, Bổ đề li.1.5 là phát biểu thứ 5 của M ụ c Ì trong Chương l i

Chương ì giải quyết bài toán "hit" cho đại số Dickson Kết quả của chương này được công bố trong các bài báo [Ì,3,Danh mục] Chương l i giải quyết bài toán "hit" cho các bất biến dưới tác động của các nhóm con parabolic của nhóm tuyến tính tổng quát K ế t quả của chương này được công bố trong các bài báo [2,4,Danh mục] Chương IU được viết lại từ bài báo [5,Danh mục]; trong chương này chúng tôi giải quyết bài toán "hít" ở bậc đủ tổng quát

4 C á c kết quả chính của luận á n

về nội dung khoa học, luận án gồm 3 kết quả chính được trình bày trong các Định lý C l , C2, C3

4.1 Bài t o á n "hit" cho các bất biến Dickson

Cấu trúc các phần tử của V bất biến dưới tác động tự nhiên của QC

đã được làm sáng tỏ trong [24] bởi Dickson vào năm 1908 Vì thế người

ta ký hiệu V = v^ c là tập hợp con của V gồm các phần tử bất biến này

V là một 4-môđun con của V Định lý trung t â m của Chương l i là

-ó-Đ ị n h lý C l Anh xạ ¥2 <8u V —> ¥2 <8u V, được cảm sinh bởi phép

nhúng V <—* V, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2

Định lý này (đồng thời là kết quả chính của hai bài báo [Ì ,3,Danh mục]) khẳng định một giả thuyết của N H V Hưng [32] và nằm trong bối cảnh sau

(i) Một mặt, các công trình Singer [76], Chen-Shen [18], Monks [59], Silverman [72],[73],[74], Crossley [23], Karaca [41], Meyer [47],[48], Jan-fada-Wood [36] đều có mục đích tìm càng nhiều càng tốt các

phần tử của V có ảnh bằng 0 trong ¥ 2 <8u Ps Định lý C l chỉ ra

một họ lớn các phần tử như vậy, đó là họ các bất biến Dickson

Lưu ý rằng việc tìm càng nhiều càng tốt các đa thức phân tích

được có thể đem lại những hệ sinh của V/ẢV [23],[91],[92,p 502]

Tuy nhiên, những hệ sinh này không phải là cực tiểu và do đó không cho lời giải của bài toán "hit." Để có thêm thông tin về bài toán này, độc giả có thể tham khảo thêm [26],[92]; đó là những bài báo tỏng quan xuất sắc, đặc biệt là Wood [92]

(li) M ặ t khác, theo N H V Hưng [32] thì ánh xạ tự nhiên ¥ 2 ®ÁD —>

F2 (Su p phân tích thành Trị o c z \ trong đó cz* : ¥ 2 ®A V —* Tơr£(F 2 ,F 2 ) là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati [97],

còn Trị : Torỷ(¥ 2 , ¥2) —> F2 <8u V là ánh xạ đối ngẫu của đồng

cấu chuyển Singer [75] Do đó, Định lý C l tương đương với sự kiện:

cái hạn chế của cz trên ảnh của đồng cấu chuyển bằng 0 tại các bậc dương nếu k > 2 Thế mà, như đã nói trong Mục 2.6, việc

cz = 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 chính là một dạng phát

biểu đ ạ i số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu Nhìn từ khía cạnh này, Định lý C l đồng thời là một câu trả lời bộ phận cho dạng đại

số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu

Nói thêm rằng, sau khi đã gửi đăng [3,Danh mục], chúng tôi được Wood và Peterson thông báo rằng họ đã giải quyết được trường hợp

ế = 4 và có thể cả trường hợp k = 5 của Định lý C l Chúng tồi cũng

nhận được từ Tan-Xu một bài viết [82] chứng minh lại trường hợp k = 3

của Định lý C l Chứng minh đầu tiên của trường hợp này đã được N H

V Hưng thực hiện dựa vào công trình của Boardman [9] Đóng góp của Tan-Xu chỉ là đưa ra một chứng minh mới, sơ cấp hơn Tuy ỉihiên, cách tiếp cận của N H V Hưng không thể áp dụng cho trường hợp Ả: > 5

vì ông đã phải sử dụng các kết quả của Hưng-Peterson [34] về F2 <8>A *D

với k < 4 Cho đến nay, ¥2 ®A mới chỉ được biết hoàn toàn với k < 5

(xem [27])

4.2 Bài t o á n "hit" cho các bất biến parabolic

Trong mục này, chúng ta xét các bất biến của các nhóm con parabolic

\A1egckl, ,Amegckm}

trong đó ki + • • • + k m = k Trên cơ sở kết quả của bài toán "hit"

cho các bất biến Dickson, trực giác dẫn chúng tôi đền dự đoán rằng: ánh xạ F2 ®A PG*» km —* F2 ®A V được cảm sinh bởi phép nhúng

V Gk * fcm —• V bằng 0 tại các bậc dương nếu k\>2

Thật ra, kỹ thuật của chúng tôi cho phép chứng minh được một

định lý mạnh hơn thế Với n < ký hiệu ỉk-n là ma trận đơn vị cấp

Ả é \ k-nvầgc n m h-n := {ị \A e ỢCn} G i ả sử kị > 2 Để

0 h-n

ý rằng ợc, • I*_3 c GC kì • Ifc-fc c Gf c l fcm T ừ đó suy ra V Q C ^ D

D pG kl fcm Qị n t r ú c của pgc kỉ *i k - kỉ dê dàng thu được từ các công trình của Dickson và của H Mùi [60] Nhờ đó, chúng tôi chứng

minh trong Chương l i định lý sau đây

Định lý C 2 Ánh xạ F2 «u V GC ** lk ~ z — • F2 ®A V, được cảm sinh bởi phép nhúng 7>C£í»fc-a P } bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2

T ừ định lý này chúng tôi thu được hệ quả: ánh xạ F2£ ỉ u ' pơ f c l fem — •

1B*2 ®A *p được cảm sinh bởi phép nhúng V Gk \ k ™ —> V bằng 0 tại các

bậc dương nếu ki > 2

Định lý C2 cũng là kết quả chính của 2 bài báo [2,4,Danh mục] Vì

đại số Dickson là một trường hợp đặc biệt của V Gk ì *m, từ kết quả trên chúng tôi thu được một chứng minh mới cho Định lý C l Điều đáng nói

là, trong khi các phần tử sinh của đại số Dickson có bậc lớn dần cùng

với k, thì bậc của các phần tử sinh của đại số T ^3*1*- 3 đều không vượt

quá 8 và không phụ thuộc vào k Do đó, lớp các đ a thức phân tích được

đưa ra trong Định lý C2 lớn hơn rất nhiều so với lớp các đa thức phân tích được của Định lý GI

4.3 Các phần tử đ ố i bất biến với k = 4

Peterson [65] khởi đầu việc giải bài toán "hit" bằng việc tính ¥ 2 <8>A V

với k = 1,2 Cũng trong [65], Peterson phát biểu giả thuyết nổi tiếng

của ông về tính phân tích được của các đa thức với bậc nào đó có số biến

k bất kỳ (xem mục tiếp theo) G i ả thuyết này được Wood [90] chứng

minh năm 1988

Với k = 3, không gian véctơ phân bậc F2 (Su V rất phức tạp và đà

được xác định bởi Kameko trong luận án tiến sĩ của anh [38] tại Đại học Johns Hopkins (Baltimore, Mỹ) vào năm 1990 Khoảng 6 tháng sau, kết quả của Kameko được xác nhặn lại bằng một phương pháp đối ngầu với những kỹ thuật độc lập bởi Alghamdi-Crabb-Hubbuck [7] tại Đại học Aberdeen Bản thân chúng tôi cũng đã tìm lại được kết quả của Kameko, với kỹ thuật chứng minh độc lập, trong khóa luận tốt nghiệp Trường đại học khoa học tự nhiên Hà Nội năm 1999 [1]

Có thể vì những khó khăn kỹ thuật, ngoại trừ những kết quả tinh

tế hóa định lý của Wood (xem các trích dần trong Mục 4.1) và các tính

toán cho k < 2 khi trường các hệ số có đặc số lẻ của Crossley ([20],[21]),

suốt trong thập kỷ 90 hướng nghiên cứu do Peterson khởi xướng không

có kết quả gì mới Chỉ rất gần đây F2 <8u V mới được tính cho k = 4 tại bậc ả = 2p + 3 + 2p + 2 - 4 trong công trình của Brưner-Hà-Hưng [12]

(2002) Với việc tập trung vào bậc ả = 2Í ? + 3 + 2?+2 - 4, các tác giả này

đã phủ định một giả thuyết của Minami (1999) Mục đích của tính toán của các tác giả này sẽ được nói rõ trong Mục 4.6 Tại thời điểm viết luận

án này, chúng tôi được biết Kameko đang hoàn tất bài viết mới [40], cho

kết quả hoàn toàn về F2 (Su V khi k — 4

Chúng tôi quan tâ m đến F2 ® Ả V là vì muốn sử dụng nó để xác định

ảnh của đồng cấu chuyển Singer Dựa vào kết quả đ ã được thông báo của Kameko [40] về bài toán "hit" cho đ ạ i số đ a thức 4 biến, chúng tôi

xác định không gian véctơ phân bậc Hom ( ( F 2 ® ^ P )Ợ £ ĨF2) tại những bậc

chẵn cho k = 4 Kết quả này đã được trình bày trong bài [99]

4.4 Bài toán "hit" ở bậc đủ tông quát

Đặc thù các kỹ thuật sử dụng để giải bài toán "hit" là chứa rất nhiều tính toán đ ạ i số khiến việc nhận ra những tính chất mấu chốt trở nên khó khăn Tuy nhiên, nhờ được dẫn dắt bởi những trực giác nào đó, người ta vẫn có thể tìm được những kết quả tổng quát Như đã nói trong Mục 2.2

và Mục 4.3, Peterson phát biểu trong [65] giả thuyết nói rằng không

gian véctơ phân bậc ¥2 (Su V bằng 0 tại các bậc ả thỏa mãn điều kiện a(d + k) > k, trong đó a(d + k) là số chữ số Ì trong khai triển nhị phân của ả + k Được chứng minh bởi Wood [90] vào năm 1988, giả thuyết

này, nay gọi là định lý Wood, cho phép rút gọn nghiên cứu bài toán "hit"

về các bậc có dạng d = 2™1 -ị + 2m f c — k với mi > • • • > ĩĩik > 0

Việc tính toán cụ thể F2 ®A V là rất khó khiến người ta quan t â m

đến việc đánh giá số chiều của không gian véctơ này Sử dụng khéo léo định lý của Wood, Carlisle-Wood [14] đã chứng minh số chiều này bị chặn trên đều Phương pháp này được Crossley [19] mở rộng từ trường F2 sang trường có đặc số lẻ

T ừ một khía cạnh khác, xuất phát từ trực giác rằng nhóm con Borel

Go của nhóm tuyến tính tổng quát ọc phải đóng một vai trò nào đó,

trong luận án của mình, Kameko đã đi đến giả thuyết rằng dim(F2 <8u

V) d < \ỢC/Go\ = ILti^-l). Được gợi ý bởi định lý Wood và giả thuyết Kameko, Crabb-Hubbuck [17] đã phát triển các ý tưởng của họ có từ [7],

và vào năm 1994 đã chứng minh được rằng dim(F2 (Su V ) D > \ỢC/GQ\

nếu 2m i"m 2 > fc, 2m 2"m 3 > k - Ì , , 2m f c-l"m* > 2 Crabb-Hubbuck gọi

những giá trị của ả trong định lý của họ là "đủ tổng quát."

Một kết quả tương tự, nhưng được phát biểu một cách ít tường minh hơn, cũng đã được Repka-Selick [69] tìm ra vào năm 1995 Họ chứng minh rằng dim(IF2 <8u v) d > \QC/G 0 \ nếu mi » m2 » » m*,

trong đó họ xem rằng điều kiện này được thỏa mãn nếu mi — m2 >

& , m2 — m3 > k , , rajfc_i — Tìik > k. Repka-Selick cũng gọi những giá

trị của ả trong định lý của họ là "đủ tổng quát."

Định lý của chúng tôi là kết quả gần đây nhất theo hướng này Với cùng các ký hiệu như trên, chúng tôi chứng minh trong Chương IV định

Theo ý của Crabb-Hubbuck và Repka-Selick, chúng tôi gọi những

giá trị ả trong Định lý C3 là ; tdủ tổng quát.'5 Định lý này cũng là kết quả chính của bài báo [5,Danh mục] Cần nói thêm rằng một định lý

tương tự (trong đó giả thiết được thay thành mi — rrí2> k ì Ĩ712 — mz >

k — Ì , , Ĩĩik-I — Tĩik > 2) đã được chứng minh bởi Wood và độc lập bởi Kameko Chúng tôi biết được điều này khi tham dự Hội nghị quốc tế về

lý thuyết bất biến được tổ chức tại Gõttingen (Đức) tháng 3/2003 Tại hội nghị này, Wood đã đọc bài giảng [93] trong khuôn khổ một giáo trình ngắn về định lý của ông, còn Kameko đã trình bày dưới dạng thông báo ngắn [40] cả Định lý C3 và cái tương tự vừa nêu của nó

4.5 Số chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính

tổng quát

C h ú n g tôi đ ã đề cập đ ế n định lý C r a b b - H u b b u c k trong mục trư ớ c Định lý này là hệ quả của một kết quả tổng q u á t hơn của họ, m à chúng tôi giải t h í c h n h ư sau V ớ i mỗi dãy số nguyên

LU — (r, m i , , mr, k r , d)

thỏa m ã n Ì < r < A:, mi > • • • > m r > 0, 0 < ki < • • • < k r < k

và ả = ki(2 m > - 1) + (k 2 - ^ i ) ( 2 m 2 - 1) H h (fcr - fcr-i)(2 mr - 1),

C r a b b - H u b b u c k xét một n h ó m con parabolic t h í c h hợp Go; c ủ a ọc, một

ổ £ - m ô đ u n con thíc h hợp QC{aJ) của H o m ( ( F 2 ®A * P ) d i IF2), và đặt câu hỏi x á c đ ị n h c ấ u t r ú c c ủ a m ô đ u n này H ọ chứng minh được r ằ n g n ó đẳng cấu với ¥ 2 {QC/G ÙJ ) nếu fci = l , f J f c r = r , 2 m i " m 2 > fc,2 m2 " m3 >

(thực ra là trường hợp quan trọng nhất), khi r = fe, họ suy ra rằng

d i m ( F 2 (SU > níu(2' - !)• Đ â y c h í n h l à định lý Crabb-Hubbuck nói trong mục trư ớ c

Sử dụng các ký hiệu này, chúng tôi chứng minh trong [99] rằng nếu 7721-7722 > k 2 , m2 - m 3 > k^—kị, , mr _ ! — m r > k r —k r -2,m r > k—k r -i, thì GC{a ư ) = ¥ 2 {ỢC/G u; ) K ế t q u ả c ủ a [99] t h ậ t ra tổng q u á t hơn N ó cho các đ á n h giá về cận dưới của dim QC{aJ) và được sử dụng trong các

trường hợp sau đây

(i) C h ú n g tôi đ ã chứng minh trong [5,Danh mục] rằng d i m ( F 2 ®A

V ) D = \QC/GG\ k h i á đ ủ tổng q u á t Do đó, trong trường hợp đ ủ

tổng q u á t ta có

Hom {{F 2 ® A V ) d , F 2 ) = GC{a iú )

Đẳng thức này xác định hoàn t o à n tập các phần tử QC-đối bất

biến H o m ( ( F ? (gù V) d ,¥2)gc, cũng n h ư ảnh của đồng cấu chuyển

Singer t ạ i cát; bậc đ ủ tổng q u á t

(li) K h i k = 4 và (ỉ là số chằn, để ý rằng theo Kameko [38], không gian véctơ Ho m {{¥ 2 ®AV) dl2 ~ 2 , F2 ) có thể n h ú n g vào Hom ((F 2 <8u

V ) d , ¥2)- B ằ n g cách so s á n h số chiều của các k h ô n g gian véctơ có

liên quan, chúng tôi chứng minh được rằng

gc{aj) + H o m ( ( F2 ®A V ) d / 2 - \ F2 ) = H o m ( ( F 2 ® A V ) d , F2 ) ,

trong đ ó khôn g gian véctơ Ho m trong vế t r á i được xét n h ư khôn g gian con của khùng gian véctơ Hom trong vế phải theo p h é p n h ú n g vừa nêu Đẳng thức này cho p h é p xác định bằng quy nạp tập các

p h ầ n t ử ỢC-ăối bất biến H o m ( ( F2 (Su V ) d , ¥ 2 )gc^ và ảnh của đồng

cấu chuyển Singer

(iii) Trong trư ờ n g hợp tới hạn r = k,k\ = Ì , , kr = k, c h ú n g tôi

thu đư ợ c bất đ ẳ n g thức d i m ( F 2 <8u V) d > niu(2* - !) n ế u giả

thiết mi — m2 > l , m 2 — m 3 > Ì , , m ^ _ i — rrik > 1 K ế t quả

n à y m ạ n h hơn đ ị n h lý Crabb-Hubbuck Đi x a hơn , chún g tôi ti n

r ằ n g ước lượng n à y là tốt nhất có t h ể đư ợ c (xem G i ả thuyết 7.1

c ủ a [99]), theo nghĩa: nếu ả k h ô n g có d ạ n g 2m i H h 2 m* - k với

m\—m<i > I,m2—m3 > Ì, ,77ifc-i—ĩUk > Ì , thì dim(F 2 ®A'P} d <

n t i ^ - i )

4.6 Áp dụng: Đông câu chuyên Singer

Đồng cấu chuyển Singer xác định trên Hom {{^2®ÁP) GC , F2) và nhận

giá trị trong H k (A) = Ext^(F 2ì ¥ 2 ) Việc xác định ảnh của nó đã được

thực hiện với k = 1,2 bởi Singer [75] vào năm 1980 và với k = 3 bởi

Boardman [9] vào năm 1991 Trong thập kỷ sau đò không có một tiến

bộ nào theo hướng nghiên cứu này, trừ kết quả của Crossley [22] cho

k < 2 khi trường các hệ số có đặc số lẻ Chỉ đến nám 2002 mới xuất hiện

công trình của Bruner-Hà-Hưng [12], trong đó họ chứng minh rằng các

phần tử gi G H 4 (A) không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển K ế t

quả này giúp họ bác bỏ một giả thuyết của Mirtami [56], nói rằng đồng cấu chuyển Singer là đẳng cấu sau khi địa phương hóa nó bằng cách làm

cho toán tử Sq ồ khả nghịch tại miền xác định và miền giá trị của đồng cấu chuyển này

Bài báo [99] của chúng tôi nối tiếp công trình của Bruner-Hà-Hưng

Một mặt, dựa vào một định lý của Lin [42] chỉ rõ cấu trúc của H 4 (Á),

chúng tôi xác định ảnh của đồng cấu chuyển ứng với k = 4 tại hầu hết

các bậc, qua đó khẳng định một phần giả thuyết [75] về tính đơn ánh của

đồng cấu này K ế t quả này cùng với các kết quả trước đó của Hà-Hưng [12], N H V Hưng [33] và L M Hà [29] chứng minh một phần giả thuyết của N H V Hưng [33] về ảnh của đồng cấu chuyển

Bruner-với k = 4 M ặ t khác, xem như hệ quả của các định lý đã được chúng tôi thiết lập trước đó (xem Mục 4.5), chúng tôi tính ảnh của đồng cấu

chuyển (với k bất kỳ) tại các bậc đủ tổng quát

5 M ộ t số ký hiệu và kiến thức chuẩn bị

Các phần t ử sinh của đ ạ i số đ a thức p h â n bậc V = H*(RP°°) k có bậc bằng Ì và được ký hiệu Xi (Ì < ỉ < k) N h ư vậy V = F 2 [ x u X 2 , , £ * ]

với ảegXị = 1

Tác G ô n g trái của Ả lên V được mô tả [79] n h ư sau:

(i) Ta có công thức Cartan:

được cho [60] bởi công thức

(gP)(xu ,:£*):= P(gx u ., gx k )>9 = (gij)kxk, p e V ,

trong đ ó QXị := J2i<j<k x j9ji với Ì < Z < fc T ừ c ô n g thức n à y d ễ d à n g

thấy các t á c động của Ả v à ọc lên V là giao h o á n với nhau

G ọ i T là n h ó m con của ọc gồm các m a t r ậ n t a m giác t r ê n g — (gij), trong đ ó Qij = 0 nếu ỉ > j Theo H M ù i [60], t ậ p hợp các p h ầ n t ử c ủ a

V bất biến dư ớ i t á c động của T có c ấ u t r ú c c ủ a một đ ạ i số đ a thức:

trong đó Vu (được gọi là bất biến Mùi cơ bản) có bậc 2n 1 và được định nghĩa bằng công thức

Chương I

Bài toán "hit" cho các bất biến

Dickson

Mục đích của chương này là chứng minh Định lý C l , khẳng định

rằng ánh xạ F 2 — * • ^2®AT > được cảm sình bởi yìtép nhúng V V

bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 Điều này tương đương với việc

chứng minh rằng mọi đơn thức Dickson có bậc dương đều thuộc ÁP

L I Tác động của đ ạ i số steenrod

Tác động của đại số Steenrod trên các bất biến Dickson được mô tả một cách tường minh bởi

0 nếu trái lại

Để thuận tiện, trong chương này chúng ta ký hiệu Qs thay cho Qk

T a có

Sq a {Qs) =

Qs -Ì nếu a — 2 s lì

c nếu 0 < a < 25 _ 1 or 2s < a < 2 k ~ l

với mọi 0 < s < k K ế t hợp điều này với công thức Cartan, ta thu được

H ệ q u ả L I 2 Với mọi đa thức R G Vị ta có

(a) Sqa(QsR) = QsSqa(R) nếu 0 < a < 2S~\

(b) Sqa(Q0R) = QQSqa(R) nếu 0 < a < 2*"1

í — 0, J TI

Đ ị n h nghĩa 1.1.3. Giả sử Rị, R2 G V Khi đó ta viết Rị = R2 (mod /n)

nếu Rị + R2 thuộc vào Inv Ta quy ước Rị = R2 (mod In) nghĩa là

Rx = R2 với n < 0

Đây là một quan h ệ tương đương

B ổ đ ề 1.1.4. Với mọi cặp đa thức RiiRto £ VỊ ta có

(a) Sq i (Ri)R2 = RiSq l (R 2 ) (mod/ó),

= Sq 2 (R ì )R 2 + RxSq 2 (R 2 ) (mod /0)

(vì Sq l Sq l =0)

Do vậy, Sq 2 (Ri)R 2 + RiSq 2 (R 2 ) e I{P và từ đó suy ra (b) •

thức của R đều có bậc dương, thì R = 0 (mod lo)

Chứng minh, B ổ đề được chứng minh bằng quy nạp theo k Với fc = Ì , dễ

thấy rằng tất cả các đơn thức của R đều có bậc chằn Vì xỊ n = Sq l (xị n ~ l )

khi n > 0, t a suy ra bổ đề G i ả sử k > Ì và một cách quy nạp giả sử

rằng bổ đề đúng cho mọi đ a thức k - Ì biến Ta hãy viết

0<t<2n

với một số nguyên dương Tí nào đó và một số đa thức Ri (0 < ì < 2n)

Từ bổ đề này lập tức suy ra rằng nếu tất cả các đơn thức của R G V

đều có bậc dương, thì R 2 = 0 (mod 70)

Hệ quả 1.1.6 Giả sử k > Ì và s là một tập con khác rỗng của

{ 0 , , k — 1} sao cho Ì Ệ s Khi đó

QR 2 = 0 (mod/o),

trong đó Q = rises Qs và R là một đa thức bất kỳ của V

Chứng minh Vì k > Ì và Ì ị s , ta có Sq l (Q) = 0 Điều này kéo theo

Sq l (QR 2 ) = 0 Vậy QR 2 = 0 (mod /0) theo Bổ đề 1.1.5 Hệ quả đã được

trong đó n là một số nguyên không âm nào đó và Ai là mót đơn thức

Dickson nào đó chia hết r i Qs với mọi í = 0 , , n, đồng thời A n ^\

Á 0* Định nghĩa 1.2.1 (i) Ta gọi n là độ cao của Q Dơn thức Aị =

Aỉ(QÝ gọi là nhát cắt thúi của Q Nhát cắt này gọi là đầy đủ nếu

Ai chia hết cho ị ị Q s Dơn thức Q gọi là đầy đủ nếu tất cả các

0<s<k

nhát cắt của nó đều là đầy đủ

(ii) Một đơn thức Dickson được gọi là một nhát cắt cơ sở nếu nó là

nhát cắt thứ 0 của một Q Ỷ 0 và Ỷ Ì nào đó

Định lý C l được chứng minh ở cuối mục này bằng hai bổ đề sau Chứng minh của hai bổ đề này sẽ được đưa ra trong hai mục cuối cùng của chương

B ô đ ê 1.2.2 Giả sử k > 2 và R là một đơn thức bát kỳ của V

(a) Nếu Q = l i Ai Ỷ Ì và không là đầy đủ, thì QR 2n+l e ÁP

Nếu Q là đầy đ ủ và Ti = 0, thì Q là nhát cắt cơ sở đầv đủ của chính

nó Vì thế theo B ổ đề 1.2.3, ta có Q = 0 (mod lị) Nói riêng Q e Ãv

Nếu Q là đầy đủ và n > 0, thì An là nhát cắt cơ sở đầy đủ của chính

nó Theo Bỗ đề 1.2.3, ta có An = Sq l (Ri) + Sq 2 (R 2 )> với R U R 2 e V nào

đó Lưu ý rằng ợ = Ị [ Af cũng là đầy đủ và có đô cao Tì - 1 Ta có

B ô đ ê 1.3.1 Giả sử k, m,j là các sô nguyên thỏa mãn k > 2? 0 < TU <

k — Ì và 0 < j < 2m Giả sử Q là một đơn thức Dickson đầy đủ với

độ cao Ti và B là một đơn thức Dickson bất kỳ của Sq 2n+lj (Q) Giả sử

B = Yị Bị*, với Bf là nhát cắt thứ ỉ của B và Bp Ỷ Ì- Ta có

0<i<p

(a) p> n,

(b) Nếu B'= Ỵ[ Bị Ỷ Ì, thì nó không phải là đầy đủ

0<i<n