. í h{T )\ =n
J2 Xự,\I\)Pf = u (III.l)
Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo | / | . Dể bắt đầu, giả sử
/ = {lo}. Gọ i VỊ :V —>V(io) = v / ( x l0) là phép chiếu chính tắc. Để ýrằng ĩĩi(ẴV) c ÁP và 7T/(V(m,0)) c V(m,0). Mặt khác, vì tất cả các rằng ĩĩi(ẴV) c ÁP và 7T/(V(m,0)) c V(m,0). Mặt khác, vì tất cả các
số hạng trong Hệthức (III.l), ngoại trừ XiữPẶ Jvàu, đều bị triệt tiêu
bởi 7T/, nên ta có XtữPỊio} = iĩI(XlũPẶ }) = TỉỊ(ú). T h ế mà, theo định
nghĩa Vi o(m) = V(m,0) n p ( i0) . Do đó XịữPị J= 0 (mod Vi o(m)). Áp
dụng Bổ đề III.2.4(iii), ta thu được Pụữ) = 0 (mod Vj0(m - 1)).
Bây giờ giả sử 0 < s < m - Ì vàPj = 0 (mod Vị (m - |/|)) với mọi
/ = {ĩo > • • •> v } c thỏa mãn 0 < | / | < s. G i ả sử J = {jo > • • •>
js} c E là một tập hợp con bất kỳ. ta cần chứng minh rằng Pj = 0
( m o d V ^ m- l J D ) .
Gọi 7TJ :p —> 'P(js) là đồng cấuđ ạ isố xácđịnh bởiphép thếbiến
eeJ\ịjs}
và giữnguyên các biến còn lại. Dễdàng kiểm tra ĩangĩĩj(X() +X3s e
Vị (1) nếu eeJ,vầ Tĩj(Xe) e Vj.(l) nếu£ e
G i ả sử / = {ỉo > • • • > ^r}c E là một tập hợp con khác rỗng bất
kỳ. Nếu r > ra- Ì, thì {to,.. .,im-i} n (E\J) Ỷ 0 , nên lĩJ{Xit) e Vj,(l)
với 0 < £ < m nào đó.T ừ đó suy ra
*j{xự, \ I \ ) P f ) = ( n * j ( X i f h Ả P i f- 0 ( m o d v^m)).
0<ỉ<r
Nếu r < m - Ì, thì 7 T j( X ( / , | / | ) / f " ) = 0 (mod Vj,(m)) trừ phi
ì c J . Hơnnữa, nếu / c J và/ Ỷ J, t h ì t h e o si ả t h i ế t quyn ạp t a c ó
G iả sử V € V ( m - \I\, 0) là một phầ n tử sao cho Pj = V. Á p dụng Bổ
đề 111.2.4(1) t a có x ụ , \I\)Pf = x ụ , \ I \ y m (mod V ( | / | , 0 ) ) . Rõ ràng
xự, \I\yịn e V ( m , 0 ) , từ đó xụ, \I\)pf = 0 (mod V ( m , 0 ) ) .
Lưu ý rằ n g 7T./(ÃP) c . 4 P và ĩTj(V(m,0)) c Vj,(m). T ừ đây suy ra
n j { X ( I , \ I \ ) P f ) = 0 (mod vjs(m)). M ộ t cách t ư ơ n g tự, nếu I - J, ta có ^(x(j,iJDPf) = (n «Ảxĩ(fhẢPjr 0<i<s = (ĩlXĩ>ẢPjfJI (modern)) 0<í<5 = x f- ^ r (modern)).
Tác đ ộ n g 7TJ vào hai vế của Hệ thức (III. 1). T ừ những lập luận t r ê n
suy ra
x^-'pf = 7Tj(u) (mod Vj,(m)) = 0 (mod VA( r o » . Theo BỔ đề III.2.4(iii), điề u này kéo theo Pj = 0 (mod vjs(m -\J\)).
T a h ã y chứng m i n h p h ầ n còn lạ i c ủ a bổ đề. G i ả sử m = k. T a đã
chứng m i n h t r ê n đ â y r ằ n g (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
J2 Xự,\I\)PỈW = 0 (mod V ( * , 0 ) ) .
Hơn nữa, t a đã chứng m i n h rằng x ụ , \I\)Pjịn = 0 (mod v(k, 0)) với mọ i
ịl ị < k, nghĩa là với m ọ i ì Ỷ E. Suy ra X(E, k)pf = 0 (mod V(k, 0)).
G ọ i 1ĨE • V — • v{\) là đồng cấ u đ ạ i số xác định bởi p h é p thế biến Xi := x-2 + ••• + Xk v à g i ữ n g u y ê n các biến còn l ạ i . Dễ thấy
nE(X(E,k)Pịk) EE x f ^ p f ( m o d Vk(jfc)).Do đ ó
xf-lpịk = 0 (mod V ^ ) ) .
Theo Bổ đề III.2.4(iii), điều nàykéotheo PE = 0. •
ơ/ỉứnợ minh Dinh lýHI. 1.1(ị) G iả sửcó mộtquan hệtuyến tính
X2n-xXỰ,k)2nPỈk+n =0,
0^ĩcE
trong đó Pj là một tổng nào đó (có thể rỗng) các phần tử phân biệt
của B(ir) vớimỗi tập hợpconkhác rỗng / = {i0 > -. • > ỉr} c E. Đặt
Pi ;= Xf-ịn-lP?k-W. K h i đó
£ X 2 " - 1 ^ / , |/|)2npr'" = 0. Áp dụng B ổ đềIU.2.5 (với ra= /í), ta suyra rằng
P/ = 0 ( m o d Vi r( f c - | / | ) )
với mọi0 7^/ c E. Theo Bổ đềIII.2.4(iii), điều nàykéo theo PỊ = 0.
Vì z?(ir) làA đ ộ c lậptuyến tính theo giả thiết, tasuy ra P/làtổng rỗng
với mọi Định lýIU.L I (ỉ) đã được chứng minh. •
III.3 Chứng minh Định lý III.l.l(ii)
B ổ đề I I I . 3 . 1 . Giả sử m,n > 0 là các số nguyên, p £ V vàjt e E
tồn tại duy nhất một tập hợp 0 Ỷ ì = {io >• • • >i f )c E với T < ru sao cho ì = {jo, • • • ĩim-i}' Ngoài ra, ta có hệ thức
I 2 M ( n *rv2m+n = *2 n-1* ( / , m )2>2 m + n (mod V(m,n)).
0 < £ < m
Chứng minh. Tính tồn tại và duy nhất của tập hợp / làrõ ràng. Ta hãy chứng minh quan hệ tuyến tính. Với mọi dãy J = ( j o , . . . ,jm_ i ) , gọi [J]
là lớp tương đương môđulỗ AV+ V(ra,rì) của đơn thức
x2"-l( Ỵ[ x ự ) P 2 M + N . 0<e<m
Bổ đềsuy từmệnh đề sau: lớp [J] không thay đổikhi tathay trong J một bộ phận bất kỳcó dạng {im',..., jfm'+n'-i) = (íí•••5 ị j) bởi . . . , jj> ĩ )
n'-l>0 n ' - l
Thật vậy, dễ dàng kiểm tra rằng bằng các phép thay thế này, ta có thể thu được dãy / = (éo,..., i r- 1 , V , . • • ẠT) từdãy J = (jo, •. - Jm-i)
m—r (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
đã cho.
Ta hãy chứng minh mệnh đề này. G iả sử 0 < mỉ <Trí + rí - Ì < m
và iJeE là hai phần tử phân biệt bất kỳ. Đặt jt = ỉ với ĩrí < í<
mĩ + rí - Ì và jm>+n'-i = 3 Đặt 2*—m—n \ 2m+n~m—n £2 n *r.«:=( n xu)p 0<£<mf m'+n'<t<m Cần chứng minh rằng Q{X?-l-lXf"T R2m+n = Q(xf-l-lXrTR2' (mod v(m,n)). 83
Đặt Y := X / ( xị X j ) . Theo công thức Cartan,
+ ]T XT'-'-\YXif-lR^.
tZE\{ij}
Vì Yxe e V(1,0) với mọi í e E\{i,j}, tasuy ra
Q( J2 J f ' -I-1( 7 xír1iỉ2" ' )2 m' 6 V ( m ' + n ')ũ ) c V ( m , n ) .
e&E\ạ,j}
Mặt khác, theo Bổ đề III.2.4(i) ta có
Q { S q \ X ^ ^ Y 2 n ' ' l R ^ ) f = 0 (modV(m' + n,0))
= 0 (mod V(m, n)).
Các lập luận này kéo theo
Qixf-^xf-1 + xf-1-lXr1)2m'E2m'W = 0 (mod V(m,n)),
từ đó suy ra mệnh đề. •
Nhắc l ạ i rằng / / ( x i , P ) chỉ sốmũ của Xi trong p với mọi đơn thức khác không p Ễ p .
B ổ đề III.3.2, Giả sử p £ V là một đơn thức khác không tùyý. Khi
đó p = Ỵ^P với một số đơn thức P e P thỏa mãn ịi(x\, P) =2m- Ìvà m = ữ ( / i ( t f i , P ) ) .
C%ứn0 minft. Không có gì phải chứng minh khi Ịị[xu P) = 0,nên tagiả
sử fi(xu P) > 0. G ọ i fi(xu P ) = 2*+ -•.+ ý - 1 (io < ••• < jm-i)là
Trước hết nhắc lại phép đối tác động Milnor [52](và [25])
A :¥2[xx] — F2[ x i ] ® A , A(u) - ^ Sq{J){u) ®
trong đó các tích tenxơ được lấytrên trường F2,Ả* = n?2[6,6 -.•]là
đại sốSteenrod đối ngầu, £J chạy trên cơ sở đơn thức thông thưòng của
Ả* và Sq(J) e A chỉ phần tửđối ngẫu của £J đốivới cơ sởnày. Phép đối
tác động À có tính nhân. Nó được xác định trên phần tử sinh Xi bằng
công thức
trong đó ta quy ước £o := Ì € Ả*.
Đặt £J := rio<£<m 0-t ^ dằng kiểmtra được làbiểu thức XịXuP*<8 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
£J ~ a:2J0+...+2Jm-i ^ JỊ0 < Í <^ £ 2 ' ^ xuất hiện trong khai triểncủa
Từ đó a*Xl'PÌ = Sqự)(xT-1).
Ký hiệu Q := P/ x f X l' P ) . Gọ i Xlà phép phản đẳng cấuchính tắc của đ ạ i sốSteenrod [52],[79]. Nhắc lạitính chất sau, thường được gọilà "x-kỹ thuật"[64],[90]:
Bổ đề I I I . 3 . 3 . Chou,v eV vàe e Ả. Khi đó e(u)v = uỵ[d){v).
Áp dụng ỵ-kỹ thuật, ta được
p = x^-P)Q = SqỤ)(xT-l)Q = xT-lx(Sq(J))(Q).
Gọi r là tập cấc cặp (J,P ) , trong đó / c E là mộttập hợpconkhác
rỗng vàp e V là một đơn thức khác không. Vớimọi cặp (J,P) 6 r, gọi
ịi = P) là số mũ củaX m i n / trong p.
Định nghĩa III.3.4. Giả sử( 7 , P ) , ( J , Q ) e r. Tanối(J,Q) < ( / , ? )
new rò c/iỉnếu(min J < m i n / ) hoặc (min J = m i n / vồ ịi{J,Q) <
ịiự,P)).
Chìa khóa đểchứng minh Định lý HI.L I (li) nằmtrong hai bổ đề sau
đây.
Bổ đềIII.3.5. GiảsửTỉ > 0 làmột số nguyên và(I. p) Gr là một cặp bất kỳ. Giảsử k > Ì vàịi= /i(7, P ) > 0. Khi đó, trữ trường hợp I = E và p =Xi J ta có
x2"-lxự,k)2np2n+k = £x2"-1x(j,fc)2 nQ2 n +*
+ Y / X 2 " -l R 2 n (rnod V(k,n))
với các đơn thức R e V nào đó thỏa mãn a(ix(xi,R)) =k - Ì, vàvới các cặp(J,Q) <Ự, P) nào đó của r.
Bổ đềIII.3.6. Giảsửn >0 và 1< k <4 Khi đó
x^x^kfxr = ỵ,xr-*x(j,k)*qrt
+ ^2x2n-lR2n (modV(Jfe,n))
với các đơn thức R e V nào đó thỏa mãn a(fi{xuR)) <k, vàvới các cặp ụ, Q) e r nào đó thỏa mãn (JL(J, Q) = 0.
Chứngminh Bổ đề HI.3.5 Đặt ì = {i0 > • •. > ir}, Ta chứng minh bổ