. í h{T )\ =n
Trường hợp 1 /Ỷ E.
Đặt P' :•-= p/xir. Theo công thức Cartan, ta có
XlrP2 = Xlrxịp'2 = Sq\XP'2)+ XiXĨP'2
i£E\{ir}
i€E\{ir}
Theo Bổ đề III.2.4(i), điều này kéo theo
X2n-lXự,k)2nP2n+k= X^xự^-IÝ^X.P2)2""'1 = X^xự^-IÝ^X.P2)2""'1 = X2"-lX{I>k-\)2\ J2 XlX]P'Y+k'1 (modV(fc,n)) ieE\{ir) = J2 X 2 n - l ự ( I , k - l ) X Ĩ - Ỵ { x x P ' f n + k (modV(fc,n)). » e£ \ { t r }
Giả sử ỉ £ E\{ir} là một chỉ sốtùy ý. Đặt J := Iu{i} và Q := XịP'.
Dễ dàng kiểm tra được rằng ụ, Q) < ự, P). Theo Bổ đề III.3.1, ta có
= Ir-1X ( J , f c )2" Q2"+ i (modVÍAr.n)),
từ đó
X2n-lX(I,k)2nP2n+k= J2 X2"-lXUkfQ2"+k ( m o d V ( M ) ) .
Trường hợp 2. / = E et p Ỷ A-
Trước hết để ý rằng m := a(fi) = a(ịi(xị,P)) > 0 theo giả thiết.
Nếu ịi + 2m - Ì, thì ụ> 2m -1. Theo Bổ đề III.3.2 ta có p = £ P
với các đơn thức P nào đó thỏa mãn //(xi, P ) = 2m - Ì < / Ì . Theo B ổ
đề III.2.4(i), điều đó kéo theo
x2"-lxự,krp^k EE X2n-lXỰ,krJ2P*n+k (modV(n+ fc,0))
= Xĩn-lXỰ,k)2nJ2P2n+k (modV(Jb,n)).
Từ đây suy ra bổ đề.
G i ả sử/X = 2m — 1. Gọ i 2> Ì là số nguyên bé nhất sao cho Xi\p. Đặt P " := p/x< và r := E \ { t } . Vì J = / ' u {0, theo Bổ đề IIL3.1 ta có
X2 n - lX ự , k ) ĩ nP2
= XT-lX{I\k~lfn{XlP2Ỷn+k'1 (modV(fc,n)).
Theo công thức Cartan
XiP2 = Xl{xlP"Ỷ = Sq\XP"2)+ J2 XjixjP")2
jeE\ịi}
ị = £ X^P"?.
j€E\{i}
Theo B ổ đề III.2.4(i), sự kiện đó kéo theo
X 2 n - lX ự , k - l )2 n ( X i P2 ) 2 "+ k ' 1
= £ X2n-l(Xự,k-\)xf-Ỵ(x3P"fn+k (modV(M))
jeE\{i) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
điều này có được do Bổ đề III.3.1 và do / ' = r'u{j} với mọi j eE\{i}.
Giả sử j e E\{i} là một chỉ số tùy ý. Nếu j > Ì, thì ịiự\ XjP") = ạ.
Vì r Ỷ E> Trường hợp Ì trên đây kéo theo
X^Xự\kT{XjP'Tk = Y^X^XỤ^TQ^ (mod V(jfe,n))với các cặp (J,<5) < ự,XjP") nào đó. Từ m i n / ' = Ì, suy ra min J = với các cặp (J,<5) < ự,XjP") nào đó. Từ m i n / ' = Ì, suy ra min J = m i n / ' vớimọi cặp (J, Q) trong tổng này. Suy ra /i(J,Ọ) < / i ( / '5 XjP") =
/ / v à ( J , Q ) < ( / , P ) .
Nếu j = Ì, thì //(xi, XjP") = / i+ Ì = 2m và
a ( / / ( xl ĩX ( // 5Ả : ) ( xJ- P, ,)2 f c) ) = a ( / / ( x1J( r, f c ) ) + a ( ( ^1, xJP, /) )
= a ( / i ( x i , X ( / ' , f c ) ) + Ì = fc- 1.
Bây giờ chỉ cần dặt i? := x ự , k)(xi P")2*.
Trường hợp 3. / = E và p = Xị với ịi > 1.
Trường hợp này đòi hỏi nhiều tính toán, chúng tôi chưa tìm được
cách rút gọn chứng minh. Để ý ngay rằng luôn có thể giả sử ịi = 2m — Ì với ra = a{ụ) > Ì (hãy xem đoạn đầu của Trường hợp 2).
Đặt / := #\{i}. Theo công thức Cartan, ta có
xlX?=sq\xx2r2)+ £ xiXyr2= E Xi*ưr2-
Theo Bổ đề III.2.4(i), điều đó kéo theo X2n-xX{I,kfnP2n+k = X2" -1X ( / , f c - l )2 n( X1xỉ " )2 n + t-1 EE X^xự,k-ir( £ x^*?"-2)2""-1 (modV(M)) ieE\{l} = J2 X2n-lXự,k)2"(xtf-Y+k (modV(fc,n)), ie£\{l} Sự kiện nàylà do B ổ đề III.3.1 và/ = I u {í} V iG £ \ { 1 } . Xét số hạng ứng với chỉsốỉ = 2. Rõràng rằng x2x'ị~l = xịxy'2. T u BỔ đềIII.2.4(i) suy ra X2"-1X(Ị A ; )2 n( x2x r1)2'1 +' ' "
= X2n-lX{I,k)2n{x22a*-2)2n+k (modV(Jfc,n))
= X2 n -1X ( / , f c - l )2 n( X2x ^ - 4)2"+ f c - 1 ( m o d V C M ) ) .
Mặ t khác, theo công thức Cartan, ta có
X2xịxf-A = Sq\Xx\x2r")+ Y, xrfxtfr4
jeE\{2}
jeE\{2}
Áp dụng B ổ đề III.2.4(i), ta được