. í h{T )\ =n
Bài toán "hit" ở bậc đủ tổng quát
Mục đích của chương này là chứng minh Định lý C3, khẳng định
rằng nếu mi - m2 > 2, m2 - m3 > 3 , . . . , mk_i - mk > k, thì
k
dim(F2 ®Ả V)d = \gC/Go\ = Ỵ[(2l - 1).
1=1
Định lý này được phát biểu chi tiết hơn trong Định lý III.1.2(ii) dưới
đây.
IU.Ì Phát biểu các kết quả
TVong chương này, ta ký hiệu E := { 1 , 2 , . . . , k}, X := XịX2 • • •xk,
Xi:=x/Xi (i e E).
Cho trước một tập hợp con khác rỗng / c E\ ta ký hiệu | / | là số
J = ụ0 > . . . > zr} và ru > r, ta đặt
xụ,ru) := ( n * í ) * r -5 r.0 < £ < r 0 < £ < r
Lưu ý rằng bậc của biểu thức này không phụ thuộc vào tập hợp / được
xét: degXự\m) = {2m - ì)(k - 1).
Với mọi ì Ẹ E) ký hiệu 7^(z) c V là đại số con sinh bởi tất cả các
biến khác Xi. Vớimọi số nguyên dương n, ký hiệu a(n) số các chữ số Ì
trong biểu diễn nhị phân của ri.
Gọi 7T : V —> V/ÀV là phép chiếu chính tắc. Cho trước một tập
hợp con B c V và một yl-môđun con V c p , ta nói (i) B là .4-độc lập
tuyến tính nếu 7r(B) là độc lập tuyến tính, (li) B sinh ra V1 nếu 7ĩ(B)
sinh ra TT('P'), và (iii) B là một cơ sở của V* nếu 7ĩ(5) là một cơ sở của
ir(n
Kết quả đầu tiên của chúng tôi là:
Định lý III.1.1. Giả sử n,đ > 0 /ồ các số nguyên. Với mỗi i £ E,
giả sử B(i) c v(i) là một tập hợp con mà tất cả các phần tử đều có
bậc đ. Ký hiệu B là tập hợp các phần tử X2n~lX(I, k)2np2k+n, trong đó
0 Ỷ ỉ = {lo > ' • ' > ÍT} c É et p e B(ir).
(i) Nếu B(ì) là A-độc lập tuyến tính với mọi ỉ e E, thì B cũng thế.
(ii) Ký hiệu ả := 2k+n(d' + k - 1) + 2n - k. Giả sử rằng B(i) sinh ra Á-
môđun vụ) ở bậcđ với mọi ỉ e E và hoặc aự+k-l) = k-l > 0, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hoặc (n = 0 và a(đ + k - 2) > k - 2 > 0). Khi đó B sinh ra A-
Gọi íỉ là tập hợp tất cảcácdãytậphợp cư := ựk Jk Ịỵ JA xác định bởi: 0 Ỷ h c Jk := E và 0 Ịt c J, := J/+ 1\ { m i n / *+ 1} vớiÌ < £<fc.Nếufc> Ì, ta ký hiệu ũ là tập hợp các dãyũ =ựk Jk ... I2 J2)
sao cho h Ỷ h et (Jfc, Jjfc, . . . , /2, ^2, ^2V2, J2V2) e í l
Cho trước các tập hợp khác rỗng / = {z'o> ' " > ir} c J c £ và
một số nguyên n > 0, ta đặt
m,j,n) := ( I i ^ d i í n z;)2'+ n)( n ^)2,ji+n-2r+n,
j€7 0<^<r j € J \ { Í £ } j€J\{ir}
* ( / , J , n ) := ( Ị J x j )2 n-1x ?nn ế u r = 0 v à | J | = 2 < A ; .
Kết quả thứ hai củachúng tôivà lời giải ở bậc đủ tổng quát của bài toán "hit" được cho bởi:
Đ ị n h lýIII.1.2. Giả sửả =( 2m i- 1)+ (2™2 - 1) + . ( 2 m * - 1) với
rrtk > 0 vàm(-ị — mi >£ với2< í <k.
(i) Nếuk = Ì, thì £ ,mi) = x f1*1 - 1 /àp/iổn tó sinh khác không
duy nhất của A-môđun ¥2[x\\ ởbậcd. Nếu k =2vàmi— TT12 =ĩ , thì hai phần tử
* ( { l } , £ , m2) = xp-^r-1,
*({2},£,m2) = x T - ' a f1-1.
/áp ÍMTI/Ỉ m ộ i /lể sm/i cực tóáí của F2[xi,X2] ở tóc (ỉ.
(ri) G i ả -sử Ả; > Ì và rai - ĨĨĨ2 > Ì . D ặ t
với mõi v e n . Khi đó, tập hợpB := {<ỉ>(u) ị LO e n} là một hệ sinh cực tiểu của A-môđun V ởbậcả. Vìvậy
dìm(V/ẢP)d= n ( 2e - l )
l<i<k
(iii) Giả sử k > 2 và mi - ???2= 1. Dặt
*(<a) := $ựkìJkìmk) [Ị $ựi-UJt-Ume-i-mt-e)2mt+i
z<e<k
x * ( /2, J 2: m2- m3- 3 )2 m 3 + 3
với mỗi ữ e Ũ. Khi đó, tập hợpê := {^(cữ) Icữe Q} /à m ộ i /lệ
5zn/ỉ cựcíiểu của A-môđun V ở bậcả. Vìvậy
dim(V/ÃP)d=--2 l i ự - l ) .
3<ũ<k
Nhận x é t HI.1.3. Một cách viết khác các đơn thức của B và B với
k = 3 đã được đưa ra trong [9],[23],[39]. Một cách tường minh, ba phần (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tử củaB trong trường hợpk —2là:
a*:= ({1},£,{2},{2}); $M ^ r ^ x f 1 - 1 ,
u2:= ({2},E,{l},m * M = x ri-1x f2-1,
0,3 := (E,E,{2},{2}), =xr+1-14mi-2m2-1-