. í h{T )\ =n
III.2 Chứng minh Định lý III.l.l(i)
Với mọi đơn thức khác không p e V và mọi i e E, ký hiệu n(xu P)
là số mũ của Xi trong p. Giả sử
ịi{xh P) = 2ữ{jL0(xi, P) + 2V i ( S i , P) +22ti2(xu P) +• • •
(với P) £ {0.1}) làkhai triển nhị phân của ụ.(xu P).
Định nghĩa III.2.1. (i) Giả sử p £ V là một đơn thức khác không.
Ta gọi là tầng thứ í của p vàký hiệu P( đơn thức
ieE •
(li) Giả sửm, ri > 0 làcác sốnguyên. Tađịnh nghĩa v(m,n) c V là
không gian con sinh bởi các đơn thức p thỏa mẫn
min deg-P^ < Ả: hoặc min degi^ < k — 1.
0<c<n n<£<m+n
Ta đặtVi(m):= v(i)n v(m,0) với mỗi ỉ e E.
Nhận x é tIII.2.2. Ký hiệu Pi trong Định nghĩa IIL2.1(i) được lý giải
bằng đẳng thức p = n^>0 pf Cácký hiệu tương tự cũng được dùng
trong [3,4,Danh mục],[4tf [?]• v ề Phần 111.2.1(a), lưu ý rằng V(0,0) =
Vj(0) = {0}. Ta sẽ thấy trong Mục HI.5 rằng v(0,n) có thể đuợc hiểu
như là hạch của cái hợp thành Tí lần của một ánh xạ Sq° được xâydựng
bởiKameko [38].
Định nghĩa IIL2.3. Giả sử P,Q eV là các phần tử bất kỳ, m , n>0
(i) p = Q nếu và chỉ nếu p + Q e ÁP,
(ri) P = Q (mod V(m,ri)) nếu và chỉ nếu p + ọ e ÁP + V(m, n), (iii) p = Ọ (mod v,(m)) nếu và chỉ nếu p + Q e ÃP + Vi(m).
Bô đẽ III.2.4. Giả sử p > lĩ > 0 là các số nguyên và p e V là một
phần tử tùy ý.
(i) Nếu p = 0, thì ọp2" = 0 (mod V(n.O)) VINmọz đơn í/iức QeV
thỏa mãn Qi — Ì V í > 77.
(li) Giảsửm > 0 là một số nguyên. NếuX2n~lP2n = 0 (mod V(m,p)),
thì p ~ 0 (mod V(m,p —n)). TVổi hểný p = 0 nếu m = p —n — 0.
(iii) Giả sủi eE. GiảsửPeV(i)vàX?n-lP2n=0 {mod Viip)). Khi
đó p = 0 (mod Vị(p — n)). M n hểný p = 0 nếu p =Tí.
(xem [1],[í2]Ị[38]Ị[39].[56]ĩ ở đó bổ đề này được sử dụng dưới nhiều dạng
khác nhau.) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. (i) G i ả sử p = Sql(ui) + Sq2(u2) -ị với U i ,« 2 ,. . . là
các phần tử của V. Nhắc lại công thức Sq2iSq0 = SgoSV (trong đó
Sq0(u) := 5 ^d e g u( u ) = u2 với mọi lí) biểu diễn tác động của đại số
Steenrod trên các A-đạì số không ổn định [70]. Vì V là một A-âại số không ổn định, từ công thức Cartan suy ra
Sq2ni{QuT) = Q(Sqi{ui)fn+ J2 SqP{Q){S<t-1(ĩH)f
với mọi i > 0. Từ đó Q(Sq\ui)f = E o < i < iS q ^ i Q ) ( S t f - l f a ) )T. Vì
<9 = rio<^<n Qĩ theo giả thiết, ta suy ra rằng
0 ( * ) ) p = _EẸ li {sj'iQe))2' (Sq^iUi))2",
0<j<i Ej 0<e<n
trong đó £ỳ (0 < j < í) chỉ tập hợp tất cả các bộ số nguyên không âm
UoJu • • • Jn-ì) thỏa mãn jo + ji2 + . . . + jn-i2n'1 = j2n.
G i ả sử 0 < j < ỉ là một chỉ số tùy ý và (jo, j i , . . . , j n - i ) 6 £ , là một
dãy t ù y ý. Ký hiệu ợ > 0 là số nguyên bé nhất sao cho jg > 0. Thế thì
jq là một số chẵn, do đó Sq3q(Qq) e V(1,0) và
n {Sq^(Qe)f{Sq^(ui)f EV(n,0).
0<£<n
Lập luận này chứng tỏ Q(Sq*(ui))2 = 0 (mod v(n, 0)). Suy ra
Ọ P2" = J ] Q W ( « « ) )2 B = 0 (mod V(n,0)).
i>0
(li) G i ả sử u e v(m,p) thỏa mãn x2n-lp2n + li= 0. Theo giả thiết, ta có thể tìm được các phần tử V e V ( m , p - n),w e V(0,n),V£ eV,wt e
V(0,rì) sao cho
u = x2"-lv2n+w,
£>0 i>0
Trước hết để ý rằng v(0, rì) ổn định dưới tác động của đại số Steenrod. Nói riêng, ta có £*>0 Sqe(we) e v(0,n).
Tiếp theo, dễ thấy rằng Sq^x2"-1) e V(0,n) với mọi ỉ > 0. Do đó, theo công thức Cart an,
= E E ^ " ( X2" - W -ỉ ) / 2> ) f e v ( 0 , n ) .
e>0 2n\ự-i)>0
Các lập luận này chứng tỏ
X2 « - l p 2 " = X2 - - lw2 "+ X2 " - 1 £ Sq'tân),
từ đó p = V + £ í > 0 Sqe^n(ve) = 0 (mod V(m,p - n)). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(iii) Bổ đềnày chính là Bổ đề111.2.4(h) được áp dụng (với ra = 0) cho
đại số7^(2) thay vìchoV. •
B ổ đề III.2.5. Giả sửm,n > 0 làcác số nguyên. Giả sử với mỗi tập
hợp con khác rỗng ì = {lo > • • •>ir} c E tacó một phần tử Pj G V(ir) và
£ x2n-lxự,\l\fpr[n=0 (mod V(m,n)).
M i đó PỊ= 0 (mod vz (m — |/|)) vđỉ mọi íập /iơp con khác rỗng I c E thỏa mãn \I\ < ra. Ngoài raPE — 0 nếum = k.
Chứng minh. Trước hết, ápdụng Bổ đề111.2.4(h) ta có
J2 X ( / , | / | ) P r2 l i l = 0 (mod V(m,0)).
0^ỈCE
G i ả sử 7/ e Vim, 0) là một phần tử thỏa mãn