gc{aj) + H o m ( ( F2 ®A V ) d / 2 - \F2) = H o m ( ( F2 ®A V )d,F2) ,
trong đó không gian véctơ Hom trong vế t r á i được xét n h ư không gian con c ủ a k h ù n g gian véctơ Hom trong vế p h ả i theo p h é p n h ú n g vừ a n ê u . Đẳ n g thức này cho p h é p xác định b ằ n g quy nạp tập các p h ầ n t ử ỢC-ăối bất biến H o m ( ( F2 (Su V )d,¥2)gc^ và ảnh của đồng cấu chuyển Singer.
(iii) Trong trườ n g hợp tới hạn r = k,k\ = Ì , . . . , kr = k, c h ú n g tôi thu đượ c bất đ ẳ n g thức d i m ( F2 <8u V)d > niu(2* - !) n ế u giả thiết mi —m2 > l , m2 — m3 > Ì , . . . , m ^ _ i — rrik > 1. K ế t q u ả n à y m ạ n h hơn đ ị n h lý Crabb-Hubbuck. Đi xa hơn, chúng tôi tin
r ằ n g ước lượng n à y là tốt nhất có t h ể đượ c (xem G i ả thuyết 7.1 c ủ a [99]), theo nghĩa: nếu ả k h ô n g có d ạ n g 2m i H h 2m* - k với
m\—m<i > I,m2—m3 > Ì,...,77ifc-i—ĩUk > Ì , thì dim(F2®A'P}d <
4.6 Áp dụng: Đông câu chuyên Singer
Đồng cấu chuyển Singer xác. định trên Hom {{^2®ÁP)GC, F2) và nhận
giá trị trong Hk(A) = Ext^(F2ì¥2). Việc xác định ảnh của nó đã được
thực hiện với k = 1,2 bởi Singer [75] vào năm 1980. và với k = 3 bởi Boardman [9] vào năm 1991. Trong thập kỷ sau đò không có một tiến bộ nào theo hướng nghiên cứu này, trừ kết quả của Crossley [22] cho
k < 2 khi trường các hệ số có đặc số lẻ. Chỉ đến nám 2002 mới xuất hiện công trình của Bruner-Hà-Hưng [12], trong đó họ chứng minh rằng các
phần tử gi G H4(A) không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển. K ế t quả này giúp họ bác bỏ một giả thuyết của Mirtami [56], nói rằng đồng cấu chuyển Singer là đẳng cấu sau khi địa phương hóa nó bằng cách làm cho toán tử Sqồ khả nghịch tại miền xác định và miền giá trị của đồng cấu chuyển này.
Bài báo [99] của chúng tôi nối tiếp công trình của Bruner-Hà-Hưng.
Một mặt, dựa vào một định lý của Lin [42] chỉ rõ cấu trúc của H4(Á),
chúng tôi xác định ảnh của đồng cấu chuyển ứng với k = 4 tại hầu hết các bậc,qua đó khẳngđịnh một phần giả thuyết [75] về tính đơn ánh của đồng cấu này. K ế t quả này cùng với các kết quả trước đó của Bruner-
Hà-Hưng [12], N . H. V . Hưng [33] và L. M Hà [29] chứng minh một phần giả thuyết của N . H . V . Hưng [33] về ảnh của đồng cấu chuyển với k = 4. M ặ t khác, xem như hệ quả của các định lý đã được chúng tôi thiết lập trước đó (xem Mục 4.5), chúng tôi tính ảnh của đồng cấu
5 Mộ t số ký hiệu và k i ế n thức chuẩn bị Các phần tử sinh của đạ i số đ a thức p h â n bậc V = H*(RP°°)k có bậc Các phần tử sinh của đạ i số đ a thức p h â n bậc V = H*(RP°°)k có bậc bằng Ì và được ký hiệu Xi ( Ì < ỉ < k). N h ư vậy V = F2[ xuX 2 , . . . , £ * ]
với ảegXị = 1.
Tác G ô n g t r á i của Ả lên V được m ô t ả [79] n h ư sau: (i) Ta có công thức Cartan:
Sq^(PlP2)= S^(P1)Sq^(P2), với mọ iPi,p2e V. (ri) T a có Sqi(xi) = Ị Xi n ế u j = 0, xf nếu j = Ì, với m ọ i Ì < ỉ < Tí, 0 nếu j > Ì,
Tác động t r á i lên V của các ma t r ậ n v u ô n g cấp k với h ệ số thuộc F2
được cho [60] bởi công thức
(gP)(xu ...,:£*):= P(gxu ..., gxk)>9 = (gij)kxk, p e V ,
trong đó QXị := J2i<j<kxj9ji với Ì < Z< fc. Từ c ô n g thức n à y dễ d à n g thấy các t á c động của Ả v à ọc lên V là giao h o á n với nhau.
G ọ i T là n h ó m con của ọc gồm các m a t r ậ n t a m giác t r ê n g — (gij),
trong đó Qij = 0 nếu ỉ > j . Theo H . M ù i [60], t ậ p hợp các p h ầ n t ử c ủ a