. í h{T )\ =n
II.3 Chứng minh Định lý C
Sau đây là hai bổ đềthen chốt đểchứng minh Định lý C2.
B ổ đề li.3.1. Giả sử R 7^ Ì là một tích các phần tửphân biệt trong tập
hợp {Qo,Qi,Q2, Wị,.. ., wk}. Khi đó Re Sqlv + Sq2V.
Chứng minh. Tahãyviết R = RS với R ị Q1Q2 và s ị Q0W4 • • • Wk.
Nếu Ọ i ỴR, thì từ Mệnh đề II.2.1, Sql(R) = Sq^RS) = 0. Vì vậy, theo [3,Danh mục,Bổ đề 2.5], R Ẽ Sqlv.
Nếu R = Qi, thì theo Mệnh đề II.2.1,
R = Q1S = Sq2(Q2)S = Sq2(Q2S) G Sq2V.
Cuối cùng, nếu R = Q1Q2,thì theo [3,Danh mục,Bổ đề B],ta có
Q1Q2= Sq1Ui.+ Sq2u2 với cácphần t ử í í i , ĩ í2 Ẽ? nào đó. T h ế thì
R —Q1Q2S = (Sq1^ + Sq2u2)S
= Sq^UvS) +Sq2{u2S) e Sqlv + Sq2V.
T ừ dâysuyra bổ đề. • Chứng minh của bỗ đềsau sẽ được choởmụccuối cùng của chương.
B ố đề li.3.2. GiảsửR là một H-đơn thức củaV H , u ^ Ì làmột phần
tử tùy ý củaV và n là một số nguyên dương.
(i) Nếu s(R) < n, thì Ru2" e ẦV.
f , _ / mm , „ . , on T.
(iii) Nếu i2(R) = 2" - Ì > h(R), h(R) = 2n - Ì (mod 2") và ĩí 6
Sợ1: ? + 5 ợ2P , í/iì Ru2" e ÁP.
Chứng minh Định lý C2 C hỉ cần chứng minh rằng mọ i phần tử bậc
dương trong V H = ¥2[Qo, Qi,Q2, w4,..., wk\ đề u là A-phẫĩi tích được
với m ọ i k > 2.
G iả sử R là một H-đơn thức bậc dương trong V H . Đặt Ti := s(S).
K h i đó, theo định nghĩa, i2(R) = 2" - Ì (mod 2n + 1) . X é t bố n d ườ n g hợp sau đây.
Trường hợp 1. Q2" chia hết R.
K ế t hợp điề u này với g i ả thiết i2(R) = 2"— Ì (mod 2n + 1) , suy ra rằng
Qịn+1 chia hết R. Ký hiệu fí := RỊQf+\ ta có i2(S) = i2{R) - 2n + 1 =
2" - Ì, (mod 2n + 1) . V ậ y s(R) = n < n + 1. Á p dụ n g Bỗ đề II.3.2(i) cho bộ ba (R, Q2, n + 1), t a được R = RQịn+ì e ÁP.
Trường hợp 2. Tồn tại u e {Qo, Qi, W4,.... Wk) sao cho u2"+l chia hết
R.
Đặ t R := R/u2"+1, t a có s(R) = s(R) = n < lĩ + 1. Á p dụng Bổ đề
11.3.2(1) cho b ộ ba (Ẽ, u, n + 1), ta được R = Ru2"+l e ÁP.
Trường hợp 3. i0(R), ii(R), Ì2{R), U{R),-. •, ik{R) tất cả đều < 2n+1 -1
và tồn tại u e {Qo, Qi, Q2, W4,..., wk} sao cho V?" chia hết R.
Theo Trườ n g hợp Ì, u JẺ Q2. Ngoài ra, vì i2(R) < 2 "+ 1 - Ì và i2(R) =
2n — Ì (mod 2n + 1) , suy ra rằng i2(R) = 2" - 1. X é t ba trườ n g hợp con
Trường hợp 4a. n = 1.
Khi đó, theo Bổ đề 11.34, R Gs^ p + Sq2V
h(R)
Trường hợp 4b. n > 2 và tôn tại ru vói 0 < ru < Tivà ị ị = 0
2*1-1
Hiển nhiên rằng i2(R) = 2m - Ì (mod 2m) . Đặt iỉ := fí/Qf, ta
, / *(Ẹ) \ / h(R) -2m \ = Ị h(R)
I 2m - l I I 2™"1 I I 2m"1
IL3.2(ii) cho bộ ba Q2,rrì), ta được i? = ^ ' Q f1 e ^"P
có í •? V 0. Áp dụng Bố đề Trường hợp 4c. n > 2 và ( h(R) \ V >m-l ) Ì fđz mọi m mà 0 < m < lĩ
Suy ra rằng = 2"-1 - 1 (mod 2n~1). Ta hãy viết Ì? một cách duy
nhất dưới dạng R = Ru2" 1, trong đó u ệ Ì là một tích các phần tử phân
biệt nào đó của tập hợp {Qo, Qi, Q2, W4,..., Wk} sao cho Ỉ2ÌÙ) = Ì, còn
R là một H-đơn thức nào đó với io(R), ii{R), iĩ(R), H(R), • • •, ik{R) tất
cả đều < 2n _ 1 - 1. Lưu ý rằng
Z2(Ã) = i2(R) - 2n-1i2{u) = 2 n - l - 2 n - 1 = 2 n - l - l > i l ( R ) ,h(R) = h(R)-2n-1h(u) = 2 n ~ l - \ ( m o d 2n-1) . h(R) = h(R)-2n-1h(u) = 2 n ~ l - \ ( m o d 2n-1) .
Theo BỔ đề II.3.1, ta có u e SqlV + Sq2V. Áp dụng Bổ đề II.3.2(iii) cho bộ ba (R, u,n- 1), ta thu được R = Rú2"'1 e ÃV.