. í h{T )\ =n
II.4 Chứng minh Bổ đề II.3
Bổ đề được chứng minh bằng quy nạp. Bước đầu tiên của phép quy nạp được thực hiện bằng bổ đề sau.
Bố đề II.4.1. Giả sử R là mót H-đơn thức của V H với s(R) = 0 và u Ỷ Ì là một phần tử tùy ý của V. Khi đó
Ru2 e Sqlv + Sq2V. Chứng minh. Xét hai trường hợp sau đây.
Trường hợp 1. ii(R) = 0 (mod 2). Theo Mệnh đề n.2.1, ta có
Sql{Ru2) = Sq\R)u2 = 0. Nên, theo [3,Danh mục,Bổ đề 2.5], ta có Ru2 G Sqlv.
Trường hợp 2. iị(R) = Ì (mod 2).
Đặt s = R/Q1Q2 với i2 = iĩ{R). Vì s(R) = 0, số i2 là chẵn. Do vậy ta có
Ru2 = {SỢỉu2)Qx = {SỢịu2)Sq\Q2) = Sq2(SQ%u2Q2) + Sq2{SỢỉu2)Q2
= Sq2{SỢỉ+lu2) + Sq2{Su2)QÌỈ+l.
Dễ thấy rằng Sq2(Su2) = Sq2{S)u2 + S(Sqlu)2. K ế t hợp với sự kiện
[3,Danh mục,Bổ đề 2.5], điều này cho thấy Sq2(Su2) = Sqlv với V G V
nào đó. Vì vậy
Sq\Su2)Ợỉ+l = SqlvỢfl =S q \ v Ợ f l ) .
Như thế, trong mọi trường hợp, ta có Ru2 e Sqlv + Sq2V.
Bổ đề đã được chứng minh. •
Chứng minh Bổ đề li.3.2. Chứng minh được chia làm ba bước.
Bước 1. Nếu II.3.2(i) và 11.3.2(a) đều đúng cho mọi Ti < N, thì li. 3.2(Ui) củng đúng cho mọi n < N.
Giả sử u = Sqlv\ + Sq2V2 với V i , Vi € V nào đó. Ta có Ru2" = RiSqhi + Sq2v2fn = RiSq'v,)2" + R(Sq2v2)2" = [sqr(Rvr)+sq2n(R)vr] + [Sq2n+\RvT) + Sq2n(R)(Sqlv2r + Sq2n+1(R)v?} = [Sq2\RvT) + Sq2n+\RvỊ") + Sq^mSqW] + [Sq2n(R)vT + Sq2n+1(R)vr}. Lưu ý rằng Sq2n(R)(Sqlv2)2n = Sq2n[R(Sq1v2)2n} + RiSq'Sq^r = Sq^iRiSq^fiviSq'Sq^O. Vậy Ru2" + Sq2\R)vf + Sq2n+1(R)v? e ẤT.
Đặt R := R/Ql" l. Hiển nhiên R là một i ĩ -đơn thức của V H không
chia hết cho Q2, với h(R) = h{R) - (2n - 1) = 0 (mod 2n) và i^R) =
h(R) < 2n - 1. Theo BỔ đề II.2.4, ta có
S<T(R) = Sq2"(RQf-1) = ZSi + ETu
Sqr+\R) = Sq^ĨRQỈ"-1) = £ S 2 + £ T 2,
trong đó mỗi số hạng Si và 52 là một //-đơn thức với s(Sị) < ri và
5(52) < n, còn mỗi số hạng Ti và T2 là một H-dơn thức với Ì2(Tị) =
i2(T2) = 2n - Ì (mod 2n) và ^ j - h ^ T ỹ \ = Q, Vì vậy
/ỉ u2" + £ S x t f + £ s2t,f + J2 TivT +£ T2vT e ÁP.
Theo giả thiết, Bổ đề II.3.2(i) đúng cho cácbộba (Si, Vị,rì) và (62, V2, rì)]
điều đó có nghĩa S\vỊn và S2V91 đều thuộc vàoÁP với mọi S i , 1S2. Cũng
theo giả thiết, B ổ đề 11.3.2(11) đúng cho các bộ ba (Ti, Vi. rì) và (T2,
f2, n), nên cả T iVi" và 72^1" đều thuộc vào AV vớimọi T i ,T2. Do đó (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ru2" e ÁP.
Bước Ì đã được chứng minh.
Bước 2. Nếu IL3.2(i) đúng cho mọi n < N, thì 11.3.2(a) cũng đúng cho mọi n < N.
Áp dụng B ổ đề II.2.3, ta được
R=sq*n+\M2{Ry2n~l)+ỵ;s>
trong đó R := R/Qị{R) và mỗisố hạng s trong tổng là một H-ãơn thức với s(S) < n. Cho nên
Vì s(S) < n, theo giả thiết, Bổ đề II.3.2(i) đứng cho bộ ba (5, u, n), có nghĩa là SvF 6 .ÁP với mọi s trong tổng.
Đặt i? := i?Q2 •Theo công thức Cartan, ta có
Sqr+\R)Ur = Sq2n+\Ru>") + Sq>n(R)(SQlur + R(Sq\r
= Sqĩn+1(Ru2n) + Sq2r{R(SSuf} + RiSq'Sq'uf
+ R(Sq2uf
= Sq2n+\Ru2n) + Sq2n[R(Sqlu)2n] + R(Sq2u)2".
Vậy
Sq2n+1(R)u2n + R(Sq2u)2n £ẢV.
Dễ thấy s(R) = s{Qị2[R)~2"~l) = n - Ì < n. Do đó, theo giả thiết, Bổ
đề II.3.2(i) đúng cho bộ ba {Ế, (Sq2u)2, n - 1), có nghĩa là R(Sq2u)2n
e ẢP. Như vậy Sq2n+\R)u2" e ẤP. Cuối cùng, ta có
Ru2" = Sq2n+1(R)u2" +]TStr G ÁP.
Bước 2 đã được chứng minh.
Bướ c 3, li.3.2 (i) đúng cho mọi n.
Điều này được chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = Ì, từ giả thiết s(iỉ) < Ì suy ra s(R) = 0. Theo Bỗ đề IL4.1,
Ru2 GSqlv + Sq2r. Nên Bổ đề IL3.2(i) đúng cho n = L
Bây giờ xét n > Ì và giả sử quy nạp rằng II.3.2(i) đúng cho tất cả các giá trị bé hơn của Tí.Theo các Bước Ì và 2 trên đây, II.3.2(ii) và
II.3.2(iii) cũng đúng cho tất cả các giá trị bé hơn của n. Xét ba trường
Trường hợp 1. s(R) = 0.
K h i đó, theo Bổ đề II.4.1,
Ru2" = R(u^')2 —2 1\ 2 e ÁT
Trường hợp 2. Tồn tại ra sao cho 0 < m < s(R) và h{R) ũ.
(Ti! (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết hợp các sự kiện ra < s(R) < nvầi2(R) = 2 5 ^ - l (mod 2S^+ 1)
ta được TU + Ì < n và ỉ2( i ỉ ) = 2m + 1 - Ì (mod 2m + 1) . Do ru Ị-Ì < n
và giả thiết quy nạp, ta có thể áp dụng Bổ đề II.3.2(ii) cho bộ ba (R,
i n— m — Ì
u ,m + 1) và thu được flu2" = JR ( u2" "m"1)2 m + 1 6 ÁP
Trường hợp 3. s(iỉ) > 0 rà
m < s ( f í ) .
= Ì với mọi m thỏa mãn 0 <
Suy ra rằng h(R) = 2SW - Ì (mod 2SW ) . Đặt p := s(R) > 0. Ta hãy
viết R một cách duy nhất dưới dạng R = RS2", trong đó R và s là các #-đơn thức nào đó với i0(R), ii(R), Ì2{R), i4(R),..., ik(R) all < 2P - 1.
Lưu ý rằng z'2(ĩ!) = i2(#) (mod 2") = 2? - Ì (mod 2"), vì p = s ( f í ) .
Kết hợp điều này với sự kiện i2{R) < 2?- Ì, ta thu được i2(R) = 2P - 1.
Vì p = s(i?), nên 2P không xuất hiện trong khai triển nhị phân của
i2(R) = i2(R) + T>i2{S) = 2P - Ì + 2"z2(S). Vì thế suy ra s(S) = 0. Áp dụng Bổ đề II.4.1 cho H-đơn thức 5 và V:= ù2""""1 ^ Ì, ta được
Mặt khác, để ý rằng
h{R) = h(R)-2ph{S) = h{R) (mod 2P) = 2P - Ì (mod 2P),
i2(R) = 2p- l > z x ( l ) .
Sử dụng giả thiết quy nạp và giả thiết p = s(R) < 71, ta có thể áp dụng
Bổ đề IL3.2(iii) cho bộ ba (R. Sv2, p) và thu được
Ru2n =R(Sv2f £ẢV.
Bước 3 đã được chứng minh. Như thế, Bổ đề li.3.2 cũng đã được
Chương III