một số vấn đề về tập sinh cực tiểu của đại số đa thức bốn biến như modun steenrod

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG NGUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP SINH CỰC TIỂU CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC BỐN BIẾN NHƯ MÔĐUN STEENROD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG NGUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP SINH CỰC TIỂU CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC BỐN BIẾN NHƯ MÔĐUN STEENROD Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN SUM Bình Định - Năm 2013 Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số 1.2 Đại số Steenrod 1.3 Nhóm tuyến tính tổng quát trường F2 Một số vấn đề toán hit đại số Steenrod 2.1 Hàm β tính chất 2.2 Đơn thức chấp nhận tính chất 10 2.3 Toán tử squaring Kameko 13 Cơ sở chấp nhận đại số đa thức bốn biến bậc n thỏa mãn α(n + β(n)) = 17 3.1 Các đơn thức không chấp nhận P4 bậc 2s+1 − 17 3.2 Các đơn thức không chấp nhận P4 bậc 2s+1 − 28 3.3 Các đơn thức không chấp nhận P4 bậc 2s+1 − 39 KẾT LUẬN 63 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 65 Mở đầu Kí hiệu Pk = F2 [x1 , x2 , , xk ] đại số trường nguyên tố F2 có hai phần tử với k biến x1 , x2 , , xk biến có bậc Đại số môđun đại số Steenrod modulo 2, A Tác động A Pk xác định tường minh công thức   xj i Sq (xj ) = x2j  công thức Cartan Sq n (f g) = n i = 0, i = 1, i > 1, Sq i (f )Sq n−i (g) với f, g ∈ Pk (xem i=0 Steenrod-Epstein [5]) Một đa thức f Pk gọi hit biểu diễn f dạng Sq i (fi ), với đa thức fi ∈ Pk , i ∈ N tổng hữu hạn f = i>0 Một toán quan tâm nhiều tác giả nghiên cứu Tôpô Đại số xác định tập sinh cực tiểu Pk xét môđun đại số Steenrod modulo 2, A Bài toán gọi toán hit đại số Steenrod Nếu xét F2 A-môđun tầm thường toán hit tương đương với việc xác định sở không gian vectơ QPk = F2 ⊗A Pk F2 Bài toán nghiên cứu Peterson [3], Singer [4], Wood [9], người mối quan hệ toán hit với số toán cổ điển lý thuyết đồng biên (bordism) đa tạp, lý thuyết biểu diễn modulo nhóm tuyến tính, dãy phổ Adams đồng luân ổn định mặt cầu Trong [3], Peterson đưa giả thuyết rằng, môđun đại số Steenrod A, đại số đa thức Pk sinh đơn thức bậc n thỏa mãn α(n + k) k , α(n) số hệ số khai triển nhị phân n chứng minh giả thuyết với k Vào năm 1989, Wood [9] chứng minh giả thuyết trường hợp tổng quát Đây công cụ có hiệu toán xác định tập sinh cực tiểu A-môđun Pk Kí hiệu GLk = GL(k, F2 ) nhóm tuyến tính tổng quát trường F2 Nhóm tác động thông thường đại số đa thức Pk Khi Pk GLk môđun Các tác động A GLk giao hoán nên đại số bất biến PkGLk Pk GLk A-môđun Pk Một công cụ để nghiên cứu toán hit đối ngẫu toán tử Squaring Kameko Sq∗0 : (F2 ⊗ Pk )n −→ (F2 ⊗ Pk ) n−k , A A k cho n − k số chẵn Kameko [2] β(n) = k Sq∗0 đẳng cấu F2 -không gian vectơ, β(n) = min{m ∈ Z : α(n + m) m} xác định với n Từ kết Kameko định lý Wood, toán hit rút gọn việc tính toán bậc n thỏa mãn β(n) < k Không gian vectơ QPk tính toán tường minh Peterson [3] với k = 2, Kameko [2] với k = Trường hợp k = tính toán chi tiết công trình chưa công bố Sum [6] với k = Gần kết với k = công bố Sum [8] Trong luận văn tìm hiểu trình bày lại kết Kameko [2] Sum [7] tính toán tường minh sở chấp nhận đại số đa thức biến bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = Tức n có dạng: 1) n = 2s+1 − 3; 2) n = 2s+1 − 2; 3) n = 2s+1 − 1, s số nguyên dương Nội dung luận văn chia làm chương Chương Chúng nhắc lại số định nghĩa kết cần thiết đại số trường, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trường nguyên tố có hai phần tử tác động đại số đa thức Chương Trình bày chi tiết số kết [1], [2] hàm β , tính chất đơn thức hit, đơn thức chấp nhận Pk Chương Trình bày lại kết Kameko [2] Sum [7] tính toán tường minh sở chấp nhận đại số đa thức biến bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = Tức n có dạng: 1) n = 2s+1 − 3; 2) n = 2s+1 − 2; 3) n = 2s+1 − 1, s số nguyên dương Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Sum Chúng xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giáo Khoa Toán, Phòng sau đại học Trường Đại Học Quy Nhơn, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập hoàn thành luận văn Do điều kiện thời gian khả thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng mong góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Bình Định, năm 2013 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức đại số trường, đại số Steenrod trường nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trường nguyên tố có hai phần tử tác động đại số đa thức 1.1 Đại số Định nghĩa 1.1.1 Một đại số trường K tập hợp không rỗng A với ba phép toán, gồm : (a) Phép cộng + : A × A −→ A, (x, y) −→ x + y, (b) Phép nhân : A × A −→ A, (x, y) −→ xy, (c) Phép nhân với vô hướng : K × A −→ A, (α, x) −→ αx, thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) A với hai phép toán cộng nhân lập thành vành (ii) A với hai phép toán cộng nhân với vô hướng lập thành không gian vectơ K (iii) Hai cấu trúc vành không gian vectơ ràng buộc điều kiện α(xy) = (αx)y = x(αy), với α ∈ K, x, y ∈ A Nói cách khác, A đại số K vừa vành vừa không gian véctơ K, phép cộng vành A trùng với phép cộng không gian vectơ A, phép nhân vành A liên hệ với phép nhân với vô hướng không gian vectơ A công thức (iii) Ví dụ 1.1.2 Vành đa thức K[x1 , x2 , , xn ] hệ số trường K với biến x1 , x2 , , xn đại số K Ví dụ 1.1.3 Tập hợp M (n, K) ma trận vuông cấp n với phần tử K, lập nên đại số trường K phép toán thông thường ma trận Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A đại số K Một tập A gọi đại số vừa vành vừa không gian vectơ A Định nghĩa 1.1.5 Cho tập M ⊂ A Giao tất đại số A chứa M gọi đại số sinh M đại số nhỏ A chứa M Định nghĩa 1.1.6 Tập N ⊂ A gọi iđêan đại số A vừa iđêan vành A vừa không gian vectơ A Khi định nghĩa đại số thương A/N theo cách thông thường Định nghĩa 1.1.7 Đại số thương A/N với phép toán sau đây, tập lớp ghép N A : (x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N, (x + N ).(y + N ) = (xy) + N, α(x + N ) = (αx) + N, x, y ∈ A, α ∈ K Định nghĩa 1.1.8 Giả sử A, B đại số K, ánh xạ ϕ : A → B gọi đồng cấu đại số vừa đồng cấu vành vừa đồng cấu K-không gian vectơ đồng cấu ϕ gọi đơn cấu (toàn cấu; đẳng cấu) ϕ đơn ánh (toàn ánh; song ánh) Định nghĩa 1.1.9 Số chiều không gian vectơ A K định nghĩa số chiều đại số A kí hiệu dimK A Định nghĩa 1.1.10 Đại số A gọi tự A sinh tập hợp S ⊂ A tập hợp tất đơn thức {a1 a2 an | ∈ S, i = 1, 2, , n, n 0} độc lập tuyến tính A Nếu A trang bị ba phép toán nói định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii) loại trừ điều kiện tính chất kết hợp phép nhân ta nói A đại số không kết hợp 1.2 Đại số Steenrod Trong phần này, trình bày sơ lược cấu trúc đại số đại số Steenrod mod Cấu trúc đại số trình bày chi tiết Steenrod Epstein [5] Kí hiệu A đại số kết hợp, tự trường F2 gồm phần tử sinh tập hợp kí hiệu Sq i bậc i, với i số nguyên không âm Gọi B iđêan A sinh tập tất phần tử có dạng [a/2] Sq a Sq b − j=0 n k b−1−j Sq a+b−j Sq j , < a < b Sq − 1, a − 2j n k = n < k Đại số thương A = A/B gọi đại số Steenrod mod Kí hiệu Sq i lớp A có đại diện Sq i Khi đại số A có quan hệ hệ số nhị thức tính theo mod quy ước [a/2] a b Sq Sq = j=0 b−1−j Sq a+b−j Sq j , với < a < b Sq = a − 2j Các quan hệ gọi quan hệ Adem đại số Steenrod A Các kí hiệu Sq i gọi toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i Nhắc lại đại số đa thức Pk trường F2 môđun đại số Steenrod A với tác động A Pk cho phần mở đầu Kí hiệu A+ iđêan A sinh tất Sq i với i > A+ Pk tập hợp tất đa thức hit Pk Tức đa thức biểu diễn dạng tổng i>0 Sq i (fi ), fi ∈ Pk hầu hết trừ số hữu hạn i Kí hiệu A+ s không gian vectơ A sinh tất Sq với < i < 2s A+ s Pk tập hợp tất đa thức Pk biểu diễn dạng tổng 0 ∆59 a1,3 c2s,37 với Nếu x = cs,i , i 53 s = 3, ∆59 a1,3 c2s,43 với j > 3; ∆60 z1 b2s,j với j = 4, 6, 16, 25; ∆61 z1 b2s,j với j = 5, 7, 10, 17, 20, 24, 26, 29; ∆62 z1 b2s,j , ∆63 z2 b2s,j với j = 8, 9, 11, 12, 18, 21, 22, 23, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 35; ∆64 a1,2 c2s,1 ; ∆65 a1,3 c2s,2 ; ∆66 a1,3 c2s,j với j = 3, 11; ∆67 a1,4 c2s,4 ; ∆68 z1 b2s,j với j = 5, 12; ∆69 z1 b2s,j với j = 6, 13, 14; ∆69 z1 b2s,37 với s = 3, ∆69 z1 b2s,43 với s > 3; ∆70 z2 b2s,6 ; ∆71 z2 b2s,7 ; ∆72 z3 b2s,9 ; ∆73 z3 b2s,12 ; ∆74 z2 b2s,25 ; ∆75 z2 b2s,26 ; ∆76 z3 b2s,27 ; ∆77 z3 b2s,28 ; ∆78 z3 b2s,25 ; ∆79 z4 b2s,26 ; ∆80 z4 b2s,27 ; ∆81 z4 b2s,28 ; ∆82 z3 b2s,22 ; ∆83 z2 b2s,24 ; ∆84 z4 b2s,25 ; ∆85 z3 b2s,26 ; ∆86 z4 b2s,31 ; ∆87 z4 b2s,33 ; ∆88 z3 b2s,31 ; ∆89 z3 b2s,33 ; ∆90 z3 b2s,34 , với s = 3, ∆90 z3 b2s,j với j = 34, 35 s > 3; ∆91 z4 b2s,34 với s = 3, ∆91 z4 b2s,j với j = 34, 35 s > 3; ∆92 z3 b2s,30 , ∆93 z3 b2s,32 với s > Mệnh đề chứng minh xong hoàn toàn Bây giờ, chứng minh ρ3 (s) phần tử cho Định lý 3.3.2 độc lập tuyến tính Mệnh đề 3.3.14 Các phần tử [d2,j ], j 9, độc lập tuyến tính (F2 ⊗ R4 )7 A Chứng minh Giả sử có quan hệ tuyến tính γj [d2,j ] = 0, (3.3.14.1) j với γj ∈ F2 Dưới tác động đồng cấu fi , i 5,các ảnh (3.3.14.1) tương ứng γ{1,2,5,6,7,8,9} [1, 2, 4] + γ3 [3, 1, 3] + γ4 [3, 3, 1] = 0, γ{2,3,4,5,7,8,9} [1, 2, 4] + γ1 [3, 1, 3] + γ6 [3, 3, 1] = 0, γ{1,3,4,6,7,8,9} [1, 2, 4] + γ2 [3, 1, 3] + γ5 [3, 3, 1] = 0, γ{2,4,5,6,7,9} [1, 2, 4] + γ{1,3} [1, 3, 3] + γ8 [3, 3, 1] = 0, γ{1,3,5,6,8,9} [1, 2, 4] + γ{2,4} [1, 3, 3] + γ7 [3, 3, 1] = 54 Từ điều , có γj = 0, j Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.3.15 Các phần tử [d3,j ], j 37, độc lập tuyến tính (F2 ⊗ R4 )15 A Chứng minh Giả sử có quan hệ tuyến tính sau γj [d3,j ] = 0, (3.3.15.1) j 37 với γj ∈ F2 Chúng ta cần chứng minh γj = với j 37 Dưới tác động đồng cấu fi , i = 1, 2, , 6, ảnh (3.3.15.1) tương ứng a1 [1, 2, 12] + γ{3,32} [7, 1, 7] + γ{4,33} [7, 7, 1] + γ9 [3, 5, 7] + γ10 [3, 7, 5] + γ{23,36} [7, 3, 5] = 0, a2 [1, 2, 12] + γ{1,16} [7, 1, 7] + γ{6,34} [7, 7, 1] + γ13 [3, 5, 7] + γ11 [3, 7, 5] + γ{22,29} [7, 3, 5] = 0, a3 [1, 2, 12] + γ{2,17} [7, 1, 7] + γ{5,18} [7, 7, 1] + γ14 [3, 5, 7] + γ15 [3, 7, 5] + γ{21,30,31} [7, 3, 5] = 0, a4 [1, 2, 12] + γ{1,3,9,13} [1, 7, 7] + γ{8,35} [7, 7, 1] + γ{16,32} [3, 5, 7] + γ{25,28,29,36} [3, 7, 5] + γ12 [7, 3, 5] = 0, a5 [1, 2, 12] + γ{2,4,10,14} [1, 7, 7] + γ{7,20} [7, 7, 1] + γ{17,33} [3, 5, 7] + γ{24,30} [3, 7, 5] + γ19 [7, 3, 5] = 0, a6 [1, 2, 12] + γ{5,6,11,15} [1, 7, 7] + γ{7,8,12,19} [7, 1, 7] + γ{26,27,28,31} [3, 5, 7] + γ{18,34} [3, 7, 5] + γ{20,35} [7, 3, 5] = a1 = γ + γ{3,4,9,10,23,32,33,36} , a3 = γ + γ{2,5,14,15,17,18,21,30,31} , a2 = γ + γ{1,6,11,13,16,22,29,34} , a4 = γ + γ{1,3,8,9,12,13,16,25,28,29,32,35,36} , a5 = γ + γ{2,4,7,10,14,17,19,20,24,30,33} , a6 = γ + γ{5,6,7,8,11,12,15,18,19,20,26,27,28,31,34,35} 55 với γ = 37 j=1 γj Tính toán trực tiếp,từ điều ta nhận  = 0, i = 1, 2, , 6, γj = 0, j = 9, 10, , 15, 19,     γ = γ{4,33} = γ{23,36} = γ{1,16} = γ{6,34} = 0,    {3,32} γ{22,29} = γ{2,17} = γ{5,18} = γ{21,30,31} = 0, γ{1,3} = γ{8,35} = γ{16,32} = γ{25,28,29,36} = 0,     γ = γ{7,20} = γ{17,33} = γ{24,30} = γ{5,6} = 0,    {2,4} γ{7,8} = γ{26,27,28,31} = γ{18,34} = γ{20,35} = (3.3.15.2) Từ (3.3.15.2), đồng cấu g1 , g2 biến (3.3.15.1) thành γ{25,27,28} [1, 2, 12] + γ27 [7, 7, 1] + γ25 [3, 7, 5] + γ28 [7, 3, 5] = 0, γ{21,23,26} [1, 2, 12] + γ26 [7, 7, 1] + γ{21,23,31} [3, 7, 5] + γ31 [7, 3, 5] = Bằng tính toán trực tiếp,từ điều ta thu γj = 0, j = 25, 26, 27, 28, 31, γ{21,23} = (3.3.15.3) Từ (3.3.15.2) (3.3.15.3), đồng cấu g3 , g4 biến (3.3.15.1) thành tương ứng γ{21,22,24} [1, 2, 12] + γ24 [7, 7, 1] + γ{21,22,24} [3, 7, 5] + γ24 [7, 3, 5] = 0, γ{21,22,24} [1, 2, 12] + γ{21,22,23} [7, 7, 1] + γ22 [3, 7, 5] + γ{22,23,24} [7, 3, 5] = Những điều có nghĩa γj = 0, j = 21, 22, 23, 24 Kết hợp (3.3.15.2), (3.3.15.3) (3.3.15.4), có  γj = 0, j = 1, 2, , 8, 16, 17, 18, 20, 32, 33, 34, 35, γ1 = γ3 = γ16 = γ32 , γ2 = γ4 = γ17 = γ33 ,  γ5 = γ6 = γ18 = γ34 , γ7 = γ8 = γ20 = γ35 (3.3.15.4) (3.3.15.5) Thay (3.3.15.5) vào quan hệ (3.3.15.1), có γ1 [θ1 ] + γ2 [θ2 ] + γ5 [θ3 ] + γ7 [θ4 ] = 0, (3.3.15.6) θ1 = d3,1 + d3,3 + d3,16 + d3,32 , θ2 = d3,2 + d3,4 + d3,17 + d3,33 , θ3 = d3,5 + d3,6 + d3,18 + d3,34 , θ4 = d3,7 + d3,8 + d3,20 + d3,35 56 Bây giờ, chứng minh γ1 = γ2 = γ5 = γ7 = Chứng minh chia thành bước Bước Xét đồng cấu ϕi , i = 1, 2, 3, 4, định nghĩa Chương Dưới tác động đồng cấu ϕ4 , ảnh (3.3.15.6) γ1 [θ1 ] + γ2 [θ2 ] + γ5 [θ3 ] + γ7 [θ4 ] + γ7 [θ3 ] = (3.3.15.7) Kết hợp (3.15.6) (3.15.7), có γ7 [θ3 ] = (3.3.15.8) Nếu [θ3 ] = đa thức θ3 hit Do đó, có θ3 = Sq (A) + Sq (B) + Sq (C), với đa thức A ∈ (R4 )14 , B ∈ (R4 )13 , C ∈ (R4 )11 Cho Sq Sq Sq tác động lên vế đẳng thức Chúng ta có Sq Sq Sq (θ3 ) = Sq Sq Sq Sq (C), Bằng tính toán trực tiếp, thấy đơn thức (8, 7, 4, 2) số hạng Sq Sq Sq (θ3 ) Đơn thức số hạng Sq Sq Sq Sq (y) với đơn thức y ∈ (R4 )11 Do đó, Sq Sq Sq (θ3 ) = Sq Sq Sq Sq (C), với C ∈ (R4 )11 có điều mâu thuẫn Vì vậy, [θ3 ] = quan hệ (3.3.15.8) cho ta γ7 = Bước Vì γ7 = 0, đồng cấu ϕ1 biến (3.3.15.6) thành γ1 [θ1 ] + γ2 [θ2 ] + γ5 [θ4 ] = (3.3.15.9) Sử dụng quan hệ (3.3.15.9) sử dụng lập luận Bước 1, thu γ5 = Bước Vì γ7 = γ5 = 0, đồng cấu ϕ2 biến (3.3.15.6) thành γ1 [θ1 ] + γ2 [θ3 ] = (3.3.15.10) Sử dụng quan hệ (3.3.15.10) lập luận tương tự Bước 2, có γ2 = 57 Bước Vì γ7 = γ5 = γ2 = 0, đồng cấu ϕ3 biến (3.3.15.6) thành γ1 [θ2 ] = Sử dụng quan hệ lập luận tương tự Bước 3, có γ1 = Mệnh đề chứng minh xong Mệnh đề 3.3.16 Các phần tử [d4,j ], j 47, độc lập tuyến tính (F2 ⊗ R4 )31 A Chứng minh Giả sử có quan hệ tuyến tính γj [d4,j ] = 0, (3.3.16.1) j 47 với γj ∈ F2 Tác động đồng cấu fi , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, quan hệ (3.3.16.1), thu a1 [1, 2, 28] + 1γ3 [15, 1, 15] + γ4 [15, 15, 1] + γ9 [3, 13, 15] + γ10 [3, 15, 13] + γ23 [15, 3, 13] + γ{32,38} [7, 11, 13] = 0, a2 [1, 2, 28] + γ{1,16} [15, 1, 15] + γ6 [15, 15, 1] + γ13 [3, 13, 15] + γ11 [3, 15, 13] + γ{22,29,45,46} [15, 3, 13] + γ{33,44} [7, 11, 13] = 0, a3 [1, 2, 28] + γ{2,17} [15, 1, 15] + γ{5,18} [15, 15, 1] + γ14 [3, 13, 15] + γ15 [3, 15, 13] + γ{21,30,31,40,41,47} [15, 3, 13] + γ35 [7, 11, 13] = 0, a4 [1, 2, 28] + γ{1,3,9,13} [1, 15, 15] + γ8 [15, 15, 1] + γ16 [3, 13, 15] + γ{25,28,29,38,39,44,46} [3, 15, 13] + γ12 [15, 3, 13] + γ{34,45} [7, 11, 13] = 0, a5 [1, 2, 28] + γ{2,4,10,14} [1, 15, 15] + γ{7,20} [15, 15, 1] + γ17 [3, 13, 15] + γ{24,30,42,47} [3, 15, 13] + γ19 [15, 3, 13] + γ36 [7, 11, 13] = 0, a6 [1, 2, 28] + γ{5,6,11,15} [1, 15, 15] + γ{7,8,12,19} [15, 1, 15] + γ18 [3, 15, 13] + γ{26,27,28,31} [3, 13, 15] + γ20 [15, 3, 13] + γ37 [7, 11, 13] = 58 a1 = γ + γ{3,4,9,10,23,32,38} , a2 = γ + γ{1,6,11,13,16,22,29,33,44,45,46} , a3 = γ + γ{2,5,14,15,17,18,21,30,31,35,40,41,47} , a4 = γ + γ{1,3,8,9,12,13,16,25,28,29,34,38,39,44,45,46} , a5 = γ + γ{2,4,7,10,14,17,19,20,24,30,36,42,47} , a6 = γ + γ{5,6,7,8,11,12,15,18,19,20,26,27,28,31,37} , với γ = j 47 γj Bằng tính toán trực tiếp,từ điều trên, thu  = 0, i = 1, , 6,     γj = 0, j = 1, 2, , 20, 23, 35, 36, 37, γ{32,38} = γ{22,29,34,46} = γ{33,44} = 0,   γ = γ{25,28,29,32,33,39,46} = 0,    {21,30,31,40,41,47} γ{34,45} = γ{24,30,42,47} = γ{26,27,28,31} = (3.3.16.2) Nhờ vào (3.3.16.2), đồng cấu g1 , g2 biến (3.3.16.1) tương ứng thành γ{22,25,27,28,29,39,46} [1, 2, 28] + γ27 [15, 15, 1] + γ{22,25,29,46} [3, 15, 13] + γ28 [15, 3, 13] + γ39 [7, 11, 13] = 0, γ{21,24,26,30,32,41,42,47} [1, 2, 28] + γ26 [15, 15, 1] + γ{21,24,30,31,32,40,41,42,47} [3, 15, 13] + γ31 [15, 3, 13] + γ40 [7, 11, 13] = Bằng tính toán trực tiếp,từ điều (3.3.16.2), có γj = 0, j = 26, 27, 28, 31, 39, 40, γ{22,25,29,46} = γ{21,24,30,32,41,42,47} = (3.3.16.3) Nhờ vào (3.3.16.2) (3.3.16.3), đồng cấu g3 , g4 biến (3.3.16.1) tương ứng thành γ{21,22,24,25,33,34} [1, 2, 28] + γ{24,25,34} [15, 15, 1] + γ41 [7, 11, 13] + γ{21,29,30,33,34,41,42,46,47} [3, 15, 13] + γ{22,29,30,34,42,46,47} [15, 3, 13] = 0, γ{21,22,24,25,33,34} [1, 2, 28] + γ{21,22,32,33} [15, 15, 1] + γ42 [7, 11, 13] + γ{24,29,30,33,34,41,42,46,47} [3, 15, 13] + γ{25,29,30,32,33,41,46,47} [15, 3, 13] = 59 Từ điều này, kết  γ41 = γ42 = γ{21,22,24,25,33,34} = γ{21,29,30,33,34,46,47} = 0, γ = γ{22,29,30,34,46,47} = γ{21,22,24,25,33,34} = 0,  {24,25,34} γ{21,22,32,33} = γ{24,29,30,33,34,46,47} = γ{25,29,30,32,33,46,47} = (3.3.16.4) Kết hợp (3.3.16.2), (3.3.16.3) (3.3.16.4), có  γj = 0, với j = 22, 25, 29, 30, 33, 34, 44, 45, 46, 47, γ = γ29 = γ44 , γ25 = γ34 = γ45 ,  22 γ{30,47} = 0, γ{22,25,29,46} = Thay đẳng thức vào quan hệ tuyến tính (3.3.16.1), có γ22 [θ1 ] + γ25 [θ2 ] + γ46 [θ3 ] + γ47 [θ4 ] = 0, (3.3.16.5) θ1 = d4,22 + d4,29 + d4,33 + d4,44 , θ2 = d4,25 + d4,29 + d4,34 + d4,45 , θ3 = d4,29 + d4,46 , θ4 = d4,30 + d4,47 Bây giờ,chúng ta chứng minh γ22 = γ25 = γ46 = γ47 = Chứng minh chia làm bước Bước Đồng cấu ϕ4 biến (3.3.16.5) thành γ22 [θ1 ] + γ25 [θ2 ] + γ46 [θ3 ] + γ47 [θ4 ] + γ25 [θ1 ] = (3.3.16.6) Kết hợp (3.3.16.5) (3.3.16.6) ta thu γ25 [θ1 ] = (3.3.16.7) Bằng lập luận tương tự việc chứng minh Mệnh đề 3.3.15, đa thức θ1 không hit Vì vậy, [θ1 ] = γ25 = Bước Tác động đồng cấu ϕ1 lên (3.3.16.5), có γ22 [θ2 ] + γ46 [θ3 ] + γ47 [θ4 ] = Sử dụng (3.3.16.8) lập luận Bước 1, có γ22 = (3.3.16.8) 60 Bước Dưới tác động đồng cấu ϕ2 , ảnh (3.3.16.5) γ46 [θ2 ] + γ47 [θ4 ] = (3.3.16.9) Sử dụng (3.3.16.9) lập luận tương tự Bước 2, thu γ46 = Bước Vì γ22 = γ25 = γ46 = 0, đồng cấu ϕ3 biến (3.3.16.5) thành γ47 [θ3 ] = Từ điều lập luận tương tự Bước 3, thu γ47 = Mệnh đề chứng minh xong Mệnh đề 3.3.17 Với s 5, phần tử [ds,j ], j 43, độc lập tuyến tính (F2 ⊗ R4 )2s+1 −1 A Chứng minh Giả sử có quan hệ tuyến tính γj [ds,j ] = 0, (3.3.17.1) j 43 với γj ∈ F2 Dưới tác động đồng cấu fi , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ảnh (3.3.17.1) tương ứng 61 a1 us,7 + γ3 us,9 + γ4 us,10 + γ9 us,11 + γ10 us,12 + γ23 us,13 + γ{32,38} us,14 = 0, a2 us,7 + γ{1,16} us,9 + γ6 us,10 + γ13 us,11 + γ11 us,12 + γ{22,29} us,13 + γ33 us,14 = 0, a3 us,7 + γ{2,17} us,9 + γ{5,18} us,10 + γ14 us,11 + γ15 us,12 + γ{21,30,31,40,41} us,13 + γ35 us,14 = 0, a4 us,7 + γ{1,3,9,13} us,8 + γ8 us,10 + γ16 us,11 + γ{25,28,29,38,39} us,12 + γ12 us,13 + γ34 us,14 = 0, a5 us,7 + γ{2,4,10,14} us,8 + γ{7,20} us,10 + γ17 us,11 + γ{24,30,42} us,12 + γ19 us,13 + γ36 us,14 = 0, a6 us,7 + γ{5,6,11,15} us,8 + γ{7,8,12,19} us,9 + γ18 us,12 + γ{26,27,28,31} us,11 + γ20 us,13 + γ37 us,14 = a1 = γ + γ{3,4,9,10,23,32,38} , a2 = γ + γ{1,6,11,13,16,22,29,33} , a3 = γ + γ{2,5,14,15,17,18,21,30,31,35,40,41} , a4 = γ + γ{1,3,8,9,12,13,16,25,28,29,34,38,39} , a5 = γ + γ{2,4,7,10,14,17,19,20,24,30,36,42} , a6 = γ + γ{5,6,7,8,11,12,15,18,19,20,26,27,28,31,37} , với γ = j 43 γj Bằng tính toán trực tiếp,từ điều ta thu  = 0, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6,    γj = 0, j = 1, 2, , 20, 23, 33, , 37, γ = γ{22,29} = γ{21,30,31,40,41} = 0,    {32,38} γ{22,25,28,32,39} = γ{24,30,42} = γ{26,27,28,31} = (3.3.17.2) 62 Nhờ vào (3.3.17.2), đồng cấu g1 , g2 biến (3.3.17.1) tương ứng thành γ{25,27,28,39} us,7 + γ27 us,10 + γ25 us,12 + γ28 us,13 + γ39 us,14 = 0, γ{21,24,26,30,32,41,42} us,7 + γ26 us,10 + γ{21,24,30,31,32,40,41,42} us,12 + γ31 us,13 + γ40 us,14 = Từ điều , thu γj = 0, j = 25, 26, 27, 28, 31, 39, 40, γ{21,24,30,32,41,42} = (3.3.17.3) Nhờ vào (3.3.17.2) (3.3.17.3), đồng cấu g3 , g4 biến (3.3.17.1) tương ứng thành γ{21,22,24} us,7 + γ24 us,10 + γ{21,22,30,41,42} us,12 + γ{30,42} us,13 + γ41 us,14 = 0, γ{21,22,24} us,7 + γ{21,22,32} us,10 + γ{22,24,30,41,42} us,12 + γ{22,30,32,41} us,13 + γ42 us,14 = Từ điều này, kết γj = 0, j = 21, 22, 24, 30, 32, 41, 42 (3.3.17.4) Kết hợp (3.3.17.2), (3.3.17.3) (3.3.17.4), thu γj = với j Mệnh đề chứng minh xong 63 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày chi tiết kết Kameko [2] Sum [7] Cụ thể là: Trình bày chi tiết hàm β tính chất nó, tính chất đơn thức hit, đơn thức chấp nhận Pk Trình bày tổng quan số kết toán hit đại số Steenrod A Trình bày tính toán tường minh sở chấp nhận đại số đa thức biến bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = 64 Tài liệu tham khảo [1] N H V Hưng (2005), "The cohomology of the Steenrod algebra and rep-resentations of the general linear groups", Trans Amer Math Soc (357), 4065-4089 [2] M Kameko (1990), Products of projective spaces as Steenrod modules, Ph D Thesis, Johns Hopkins University [3] F.P Peterson (1987), "Generators of H ∗ (RP ∞ × RP ∞ ) as a module over the Steenrod algebra", Abstracts Amer Math Soc No (833) [4] W M Singer (1991), "On the action of Steenrod squares on polynomial algebras, Proc Amer Math Soc (111), 577-583 [5] N E Steenrod and D B.A Epstein (1962),Cohomology operations Ann of Math No (50), Princeton University Press [6] N Sum (2007), "The hit problem for the polynomial algebra of four variables", University of Quy Nhơn, Preprint, 240 pages [7] N Sum (2010), "The negative answer to Kameko’s conjecture on the hit proplem", Adv Math (225), 2365-2390 [8] N Sum, (2013), "On the hit problem for the polynomial algebra", C R Math Acad Sci Paris, Ser I, (351), 565-568 [9] R M W Wood (1989), "Steenrod squares of polynomials and the Peterson cọnjecture", Math Proc Cambriges Phil Soc (105), 307-309 65 [...]... Chương 2 Một số vấn đề cơ bản về bài toán hit đối với đại số Steenrod Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số học β ,một số kết quả về cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức được xét như môđun trên đại số Steenrod, bao gồm các kết quả trong Kameko [2], Singer [4], Sum [7], Wood [9] Trước tiên, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của hàm số học β được... 1, 2, , r Một đơn thức x được gọi là chấp nhận được nếu nó không phải là đơn thức không chấp nhận được Như vậy, tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được trên Pk là một tập sinh cực tiểu của Pk như môđun trên đại số Steenrod A Định nghĩa 2.2.5 Lấy M là một s × k -ma trận và x là đơn thức tương ứng với M Ma trận M được gọi là không chấp nhận được chặt nếu và chỉ nếu tồn tại các đơn thức y1 , y2... tập hợp các số nguyên không âm Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự trên tập các đơn thức trong Pk như sau 11 Định nghĩa 2.2.2 Cho x, y là các đơn thức trên Pk Ta nói rằng x < y nếu và chỉ nếu một trong các điều sau đúng: (i) τ (x) < τ (y), (ii) τ (x) = τ (y) và σ(x) < σ(y) Để thuận tiện cho việc sử dụng, chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản về tác động của các toán tử Steenrod trên đại số đa thức. .. là một đơn thức bậc n, trong đó α(n + k) là hit k và z là đơn thức spike cực tiểu bậc n Nếu τ (x) < τ (z) thì x Từ định lý này, chúng ta thấy rằng nếu z là đơn thức Spike cực tiểu thì Lk (τ (z)) ⊂ A+ Pk 15 Chúng ta kết thúc chương này bằng việc định nghĩa một số đồng cấu Amođun từ P4 đến P3 và một số tự đồng cấu của P4 để sử dụng trong chương sau Kí hiệu Vk là F2 - không gian vectơ con của Pk được sinh. .. A-môđun con của Pk Hơn nữa, chúng ta có mệnh đề dưới đây Mệnh đề 2.2.14 Chúng ta có một phân tích thành tổng trực tiếp của các F2 -không gian vectơ F2 ⊗ Pk = (F2 ⊗ Qk ) ⊕ (F2 ⊗ Rk ) A A A Từ mệnh đề này, nếu chúng ta biết tập tất cả các đơn thức chấp nhận được của Pk−1 thì chúng ta dễ dàng xác định được một cơ sở của F2 ⊗ Qk Vì A vậy, để xác định F2 ⊗ Pk , chúng ta chỉ cần xác định một cơ sở của F2 ⊗... kết quả trong Kameko [2] để chứng minh một tập sinh của F2 ⊗ P4 là độc lập tuyến tính Cụ thể hơn, để A chứng minh một tập con của F2 ⊗ P4 là độc lập tuyến tính, chúng ta xét một A quan hệ tuyến tính của các phần tử trong tập hợp con này với hệ số trong F2 Bằng cách sử dụng Định lý 2.3.5,chúng ta xác định được các ảnh của quan hệ tuyến tính này dưới tác động của các đồng cấu fi , gj , h Từ những 16... tính toán tường minh cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức bốn biến tại các bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = 1.Tức là tại các n có dạng: 1) n = 2s+1 − 3; 2) n = 2s+1 − 2; 3) n = 2s+1 − 1, trong đó s là số nguyên dương 3.1 Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1 − 3 Trước tiên, chúng ta nhắc lại một kết quả trong Kameko [2] về số chiều của F2 -không gian vectơ (F2 ⊗ P3 )2s+1 −3 ... chúng ta giả sử ma trận (εij (x)) tương ứng với đơn thức x, trong đó εij (x) = αi−1 (aj ), là hệ số thứ (i − 1) trong khai triển nhị phân của aj với i = 1, 2, và j = 1, 2, , k Từ đây về sau, nếu chúng ta nói M là một ma trận thì ta giả sử hệ số của nó thuộc {0, 1} và số hệ số khác không của nó là hữu hạn Nếu M = (εij ) là một ma trận thì đơn thức x = xa11 xa22 xakk tương ứng với M được xác... là một đơn thức và ∆ = (δij ) là một s × k -ma trận Nếu có một số nguyên không âm r sao cho δij = εi+r,j (x) với 1 1 j i s và k thì ta viết ∆ x Định lý sau là một trong những công cụ chính của chúng ta Định lý 2.2.8 (Kameko [2]) Cho x là một đơn thức và ∆ = (δij ) là một s × k -ma trận Nếu ma trận ∆ không chấp nhận được chặt và ∆ x thì x là không chấp nhận được Định nghĩa 2.2.9 Cho x là một đơn thức. .. 31 Từ chứng minh của Mệnh đề 3.1.3, Bổ đề 2.2.12 và Bổ đề 3.2.4, chúng ta có các kết quả sau đây Bổ đề 3.2.5 Cho x là một đơn thức có bậc 2s − 3 trong P4 với s 3 Nếu x là không chấp nhận được thì có một ma trận không chấp nhận được ∆ sao cho ∆ x Bổ đề 3.2.6 Cho x là một đơn thức chấp nhận được có bậc 2s+1 − 2 trong P4 Chúng ta có 1 Nếu s = 1 thì τ (x) = (2; 0) 2 Nếu s 2 thì τ (x) là một trong các dãy ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG NGUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP SINH CỰC TIỂU CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC BỐN BIẾN NHƯ MÔĐUN STEENROD Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 01 04... số định nghĩa kết cần thiết đại số trường, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trường nguyên tố có hai phần tử tác động đại. .. nhóm GLk Chương Một số vấn đề toán hit đại số Steenrod Trong chương này, trình bày số khái niệm tính chất hàm số học β ,một số kết sở chấp nhận đại số đa thức xét môđun đại số Steenrod, bao gồm