số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc sĩ Phan Quang Như Anh đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành đề tài này.

Xin cảm ơn các thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm- Đại học Đà Nẵng và tập thể lớp 09ST đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến và tạo điều kiện cho việc hoàn chỉnh đề tài

Đà Nẵng, ngày tháng năm 2012 Trương Thị Uyên

CHƯƠNG I: SỐ PHỨC 7

1.1 Sự hình thành khái niệm số phức 7

1.2 Định nghĩa số phức 7

1.3 Dạng đại số của số phức 9

1.3.1 Quan hệ giữa R và C 9

1.3.2 Đơn vị ảo 10

1.3.3 Mệnh đề 10

1.3.4 Các khái niệm liên quan 10

1.3.5 Các phép toán trên dạng đại số 10

1.3.6 Số phức liên hợp và môđun của số phức 11

1.4 Dạng lượng giác của số phức 13

1.4.1 Tọa độ cực của số phức 13

1.4.2 Biểu diễn lượng giác của số phức 15

1.4.3 Phép toán trong dạng lượng giác của số phức 16

1.5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức 19

1.5.1 Căn bậc n của số phức 19

1.5.2 Căn bậc n của đơn vị 21

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 26

2.1 Phương trình bậc hai 26

2.2 Phương trình bậc ba 31

2.3 Phương trình bậc bốn 35

2.4 Phương trình bậc cao 38

2.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số 39

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC 42

3.1 Phương trình hàm trong đa thức……… .42

3.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy 44

3.2.1 Định lý: (Tiêu chuẩn Eisenstein) 44

3.2.2 Định lý : (Tiêu chuẩn Perron) 47

3.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức 48

CHƯƠNG IV: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC 50

4.1 Ứng dụng của công thức Moivre ……… … 50

4.1.1 Nhắc lại 50

4.1.2 Một số ví dụ 50

4.2.2 Một số ví dụ 53

4.3 Ứng dụng số phức giải các bài toán phân thức, tổ hợp, rời rạc 56

4.3.1 Nhắc lại 56

4.3.2 Một số ví dụ 56

4.4 Ứng dụng số phức để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 57

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Số phức được biết đến như một số ảo nhưng trường số phức lại đóng vai tròquan trọng trong đời sống thực tế của chúng ta Với vai trò như một công cụ đắclực giúp giải quyết các bài toán đại số, hình học hay trong các bài toán về điệnxoay chiều, số phức tỏ ra rất hiệu quả khi đưa ra những lời giải ngắn gọn và đầyđủ mà chỉ qua những phép biến đổi cơ bản Chính vì vậy số phức đã được đưa vàogiảng dạy trong chương trình giải tích lớp 12 Hầu hết các đề thi tốt nghiệp, tuyểnsinh đại học, cao đẳngnhững năm gần đây thường chú ý khai thác triệt để các ứngdụng của số phức bằng các dạng toán phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm đượccác đặc trưng và tính chất để đưa ra lời giải và ứng dụng phù hợp Tuy nhiên dotính mới mẻ và sự hạn chế của tài liệu mà đa số học sinh thường gặp khó khăntrong việc nhận dạng bài tập và sử dụng linh hoạt các ứng dụng này

Đề tài “ Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số” là một trong

những đề tài được nghiên cứu nhằm giúp cho các em học sinh có kiến thức mộtcách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số phương pháp giải điển hìnhcho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổthông, sinh viên khoa Toán cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài “ Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số” được nghiên

cứu với mục đích trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ bản vềphương pháp sử dụng số phức để tiếp cận các bài toán giải phương trình, hệphương trình, các bài toán về đa thức và các dạng toán khác trong đại số

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Biên soạn hệ thống lý thuyết phù hợp với nội dung sách giáo khoa và theochương trình của Bộ giáo dục và đào tạo

ví dụ dễ hiểu giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách vững chắc, phát triển nănglực tư duy.

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài đã được vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học sau:

+ Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập

+ Đưa ra ví dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng

+ Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô, bạn bè cùng chuyên môn

+ Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách nói về kiếnthức cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài

V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài bao gồm 4 chương:

Chương I: Số phức

1.1 Sự hình thành khái niệm số phức

1.2 Định nghĩa số phức

1.3 Dạng đại số của số phức

1.4 Dạng lượng giác của số phức

1.5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức

Chương II: Ứng dụng số phức để giải phương trình và hệ phương trình

2.1 Phương trình bậc hai

2.2 Phương trình bậc ba

2.3 Phương trình bậc bốn

2.4 Phương trình bậc cao

2.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số

Chương III: Ứng dụng số phức giải các bài toán đa thức

3.1 Phương trình hàm trong đa thức

3.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy

3.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức

Chương IV: Một số ứng dụng khác

4.1 Ứng dụng của công thức Moivre

4.3 Ứng dụng số phức giải các bài toán phân thức, tổ hợp, rời rạc 4.4 Ứng dụng số phức để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

CHƯƠNG I: SỐ PHỨC1.1 Sự hình thành khái niệm số phức

Việc mở rộng các tập hợp số để được một tâp hợp trong đó mọi phươngtrình đại số đều có nghiệm đã dẫn đến sự hình thành của các trường số theo thứ tự

    với các bao hàm thức       Ta nhận thấy rằng trong

 một lớp khá rộng các phương trình bậc cao đều có nghiệm Tuy nhiên mộtphương trình bậc hai đơn giản như x  2 1 0 lại không tồn tại nghiệm, hay có thểchứng minh được phương trình x3 3x 1 0 có đến 3 nghiệm nhưng không thểtìm nghiệm bằng phương pháp Cardano do   Chính vì thế số phức ra đời để0giải quyết các mâu thuẫn này

Lịch sử số phức gắn liền với những cái tên như R.Bomberlli, ReneDescarter, Euler, De Moivre, Wallis, Hamilton, Gauss, Cauchy…

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích khi đưa số phức vào toán học là nhà toánhọc Italy R.Bombelli Trong cuốn “đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phéptính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lý thuyết các số

“ảo”

Năm 1746, nhà toán học Pháp D’Alembert đã xác định dạng tổng quát

“a+bi” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại nghiệm của phươngtrình bậc n Năm 1777, L.Euler đã đưa kí hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của -1 và kíhiệu này đã được Gauss sử dụng lại vào năm 1801

Chứng minh: Để chứng minh , ,.  là một trường ta chứng minh các vấn đềsau:

(i)- Phép cộng có tính giao hoán:  z1 a b z1, 1; 2 a b2, 2 

(v)- Phép nhân có tính giao hoán:

Hay số phức i là nghiệm của phương trình x   Ta gọi i là đơn vị ảo.2 1 0

Mệnh đề 1.1 Mỗi số phức tùy ý z a b, có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

z a bi  Với a,b là những số thực tùy ý và trong đó i 2 1 Biểu thức a bi làdạng đại số của số phức  z a b, 

b z gọi là phần ảo của số phức z

i gọi là đơn vị ảo.

Nếu số phức có phần thực a=0 gọi là thuần ảo

1.3.4 Các phép toán trên dạng đại số

Tương tự, ta cũng định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau:

1.3.5 Số phức liên hợp và môđun của số phức

Định nghĩa 1.2 Cho số phức z a ib, số phức có dạng a ib được gọi là sốphức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z, nghĩa là z a ib và

Định nghĩa 1.3 Cho số phức z a bi khi đó a2b2 gọi là modulus (trị tuyệt

đối) của số phức z ký hiệu | |z  a2 b2.

Ngoài ra: |z1 z2| |z1 ( z2) | | | |z1   z2| | | |z1  z2|

Trong mặt phẳng Oxy cho a b,  khác gốc tọa độ.

Số thực r a2b2 gọi là bán kính cực của điểm M, số đo 0, 2

củagóc lượng giác Ox,OM  

gọi là argument của M, cặp có thứ tự r, gọi là tọa

độ cực của điểm M, viết M r,

Trong đó: r được gọi là bán kính cực,  được gọi là góc cực của số phức z.Điểm gốc O là điểm duy nhất có r  và  không xác định.0

Mỗi điểm M trong mặt phẳng có duy nhất điểm 1, là giao điểm của tia

OM với đường tròn đơn vị tâm O

Theo định nghĩa sin và cosin: a r cos; b r sin

M(x,y) P(1,t°) 0

t°

a) Nếu a  từ 0 tan

b a

 

, được arctan

b k a

3

0

2

khi b khi b

 

Tọa độ cực của M2 là 2

2, 6

M   

 

M   

1.4.2 Biểu diễn lượng giác của số phức

Cho số phức z a bi  Ta có thể viết z dưới dạng cực:

Ta có: z z1 2 r r1 2cos1isin1 cos2isin2

r r1 2cos1cos2 sin1sin2icos1sin2cos2sin1 r r c1 2 os12isin12

Chú ý:

a) |z z1 2| | ||z z1 2|

b) argz z1 2 argz1argz2 2k

Trong đó:

0,arg arg 21,arg arg 2

d) Mở rộng với n  số phức Nếu 2 z k r kcosk isink,k1,2, ,n

21sin

Mệnh đề:   , ,1 2  ta có:

1) e e i 1 i 2 e i 1   2

2) e i2 e i.

Cho số phức  rcos isinvới r 0,0,2 khi đó căn bậc n của

số phức  gồm n số phân biệt xác định bởi phương trình:

Xét dạng lượng giác của số phức zp c osisin

Khi đó z n p ncosnisinn

Ta có: z n  suy ra  p ncosnisinn r c os isin

Biểu diễn hình học của các căn bậc n của   , 0 n  là đỉnh của một n3

giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n r r, | | 

Bởi vì các cung M M M M0 1, 1 2, ,M M n1 0 có số đo bằng nhau nên đa giác

y

x O

M0

M1

M2

1.5.2 Căn bậc n của đơn vị

Một nghiệm phương trình z   gọi là một căn bậc n của đơn vị n 1 0

Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác, 1cos0 isin 0 từ công thức tìm căn bậc

n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là:

Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị n  là các điểm tạo thành3

một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1

-i O

Nếu  là căn nguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức k k p 1,

nghiệm chung duy nhất là 1 nếu và chỉ nếu UCLN(m,n) = 1

Định lý 1.2: Nếu U n là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì cácnghiệm của phương trình z   là: n 1 0

, , ,

r r r n

      , r là một số nguyên dương cho trước

Chứng minh: Cho r là một số nguyên dương và h0,1, ,n1 Khi đó( r h n) ( n r h) 1

       Đối chiếu với 0 h h 1 2  và  là một căn nguyênn

thủy bậc n của đơn vị, ta có mâu thuẫn

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai có dạng chính tắc là ax2 bx c   0   1

Trong đó a,b,c là các tham số thực a 0.

Xét tam thức bậc hai f x =ax2 bx c a x2 b x c

Biệt thức:   b2 4 ac của phương trình có thể xảy ra ba trường hợp

a) Nếu   , phương trình (1) có 2 nghiệm thực.0

2

b x

a

  

Khi các hệ số của phương trình bậc 2 là các hệ số phức ta vẫn sử dụng cácphép biến đổi đồng nhất thức như trong trường hợp số thực và thu được kết quả

i A

Vậy phương trình có hai nghiệm là z1   và 3 i z2  1 i

Ví dụ 2: Giải phương trình hệ số phức.

z   i z  i

Giải:

  2  '

88

x

y xy

Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số phức khác 0 phân biệt với a b c

a) Chứng minh rằng nếu 1 nghiệm phương trình az2bz c 0 (1) cómôđun bằng 1 thì b2 ac

b) Nếu mỗi phương trình az2 bz c 0,bz2 cz a 0 có 1 nghiệm cómôđun bằng 1 thì a b  b c  c a.

c z

nghiệm của phương trình (2) trênlà:

Từ (5) kết hợp với điều kiện của u v thỏa hệ (3),(4) ta được:1, 1

v uv

 (vì vai trò của u, v như nhau)

Theo công thức Cácđanô thì y u v  3831=3

Vậy các nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z3 2 1 i z 24 1 i z  8i0 1 

a) Chứng minh rằng  1 nhận 1 nghiệm thuần ảo

2

22

y y

y y

Vậy hệ trên có nghiệm y 2 duy nhất.

Do đó phương trình  1 có 1 nghiệm z2i là nghiệm thuần ảo

2.1 Phương trình bậc bốn

Phép giải một phương trình bậc bốn x4ax3bx2cx d 0 1 

với hệ sốphức tùy ý sẽ đưa về phép giải một phương trình phụ bậc ba gọi là giải phươngtrình bậc ba

Ngoài ra phương trình bậc bốn còn có thể giải tổng quát theo phương phápcủa Luđôvicô Ferari (nhà toán học người Italia) đưa ra vào giữa thế kỉ XVI nhưsau:

Hai phương trình này cho ta bốn nghiệm 1,2,i,-i.

Ví dụ 2: Giải phương trình ax4bx3cx2dx e 0  1

Với điều kiện ad2 eb2 a e, 0  2

Phương trình (1) với điều kiện (2) được gọi là phương trình hồi quy

Thay vào phương trình  1 ta được phương trình:

2

2 2

00

Giải và biện luận phương trình bậc hai trên để tìm t sau đó tính x

Ví dụ 3: Cho phương trình bậc bốn hệ số thực:

Ta biết rằng nếu một phương trình đa thức hệ số thực nhận z làm nghiệm1

phức, không thực, z1 x yi x y , ,y0thì z1 x yicũng là nghiệm củaphương trình Vậy phương trình  1 nhận 2 nghiệm là z12i và z2  2i

2.2 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số

Một đặc trưng của phương trình với ẩn phức f z ( ) 0 và với nghiệm

z x iy

là có thể giải bằng cách tách phần thực và phần ảo, ta luôn có thể đưa về

dạng hệ phương trình:

( , ) 0( , ) 0

Ta thu được hệ phương trình

Ví dụ : Giải hệ phương trình

Vì u2v2 là bình phương của mô-đun số phức z u iv  , bằng cách cộngphương trình thứ nhất với phương trình thứ hai (sau khi nhân với i), ta được

trong dạng toán này Ở đây để biểu diễn P(x) ở dạng (*) ta sử dụng mệnh đề sau: “Mọi

đa thức bậc n>0 với hệ số phức có n nghiệm phức”

Thay x bởi x-1 trong  1 : P x  1  P x P x 2 x1 

Lý luận tương tự: x cũng là nghiệm của 0 P x  thì   0 2

x x  cũng lànghiệm của P x    0

Trong các nghiệm của P x  , chọn  là nghiệm phức có môđun lớn  0nhất

Vì 2 1 và 2  1 cũng là nghiệm của P x  nên theo cách  0chọn  ta có:

Lúc đó các lớp đa thức thỏa mãn  1 là: P x  x21 m

Ví dụ 2: Tìm tất cả các đa thức P x thỏa mãn điều kiện: 

hữu hạnthì   0   1

Hoàn toàn tương tự   là nghiệm của 1 P x và lý luận như trên thì 

3.1 Các bài toán về đa thức bất khả quy

Ở phần này ta xét các ứng dụng của số phức để chứng minh tính bất khả quycủa đa thức với hệ số nguyên trên Q x 

.Việc xét tính bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên được giải quyếtthông qua một tiêu chuẩn quen thuộc là tiêu chuẩn Eisenstein

Định lý 3.1: (Tiêu chuẩn Eisenstein)

i) a không chia hết cho p n

ii) Tất cả các hệ số còn lại đều chia hết cho p

iii) a không chia hết cho 0 p2

Khi đó đa thức P x bất khả quy trên   Q x  .

Theo giả thiết a0 b c0 0 chia hết cho p, mà p nguyên tố do đó b chia hết0

cho p hoặc c chia hết cho p.0

Giả sử b p0 thì c p0 vì nếu c p0 thì b c p0 0 2  a p0 2 (trái giả thiết)

i

b không thể chia hết cho p, i 1, r

(vì nếu b p i i , 1,r thì b c p r s do đó a b n (trái giả thiết))

Gọi b t 0 t r là hệ số đầu tiên tìm được trong dãy các hệ số b b0, , ,1 b r

của g x mà   b không chia hết cho p t

Nghĩa là b b0, , ,1 b t1 đều chia hết cho p.

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu p nguyên tố thì đa thức

k p p p

Ví dụ 3 : Tồn tại một đa thức bất khả quy, mà nó không có một cách biến đổi thứ

tự của ẩn nào có thể chuyển nó thành đa thức Eisenstein

+ Từ

44

Vậy không tồn tại p

Qua ví dụ trên không phải lúc nào cũng dùng tiêu chuẩn Eisenstein để xéttính bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên trên Q[x] Với việc ứng dụng sốphức, ta có một tiêu chuẩn xét tính bất khả quy của đa thức với hàm số nguyên,Q[x] khác 0 Mà với tính chất này hầu như mọi đa thức đều có thể chứng minhbất khả quy

Bổ đề 3.1 : Cho  là một số phức sao cho

1Re

b b