số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số
TRNG I HC S PHM I HC NNG KHOA TON BO CO TI NGHIấN CU KHOA HC TấN TI: S PHC V CC NG DNG CA S PHC TRONG I S Giỏo viờn hng dn: Th.S Phan Quang Nh Anh Sinh viờn thc hin: Trng Th Uyờn Nng, thỏng nm 2012 LI CM N Tụi xin chõn thnh by t lũng bit n sõu sc n Thc s Phan Quang Nh Anh ó tn tỡnh hng dn sut quỏ trỡnh thc hin v hon thnh ti ny Xin cm n cỏc thy cụ khoa Toỏn trng i hc s phm- i hc Nng v th lp 09ST ó giỳp , úng gúp ý kin v to iu kin cho vic hon chnh ti Nng, ngy thỏng nm 2012 Trng Th Uyờn MC LC M U I Lí DO CHN TI S phc c bit n nh mt s o nhng trng s phc li úng vai trũ quan trng i sng thc t ca chỳng ta Vi vai trũ nh mt cụng c c lc giỳp gii quyt cỏc bi toỏn i s, hỡnh hc hay cỏc bi toỏn v in xoay chiu, s phc t rt hiu qu a nhng li gii ngn gn v y m ch qua nhng phộp bin i c bn Chớnh vỡ vy s phc ó c a vo ging dy chng trỡnh gii tớch lp 12 Hu ht cỏc thi tt nghip, tuyn sinh i hc, cao ng nhng nm gn õy thng chỳ ý khai thỏc trit cỏc ng dng ca s phc bng cỏc dng toỏn phong phỳ, ũi hi hc sinh phi nm c cỏc c trng v tớnh cht a li gii v ng dng phự hp Tuy nhiờn tớnh mi m v s hn ch ca ti liu m a s hc sinh thng gp khú khn vic nhn dng bi v s dng linh hot cỏc ng dng ny ti S phc v cỏc ng dng ca s phc i s l mt nhng ti c nghiờn cu nhm giỳp cho cỏc em hc sinh cú kin thc mt cỏch chi tit hn v s phc cng nh tip cn mt s phng phỏp gii in hỡnh cho mt s bi toỏn c th, ng thi cng l ti liu b ớch cho hc sinh ph thụng, sinh viờn khoa Toỏn cng nh giỏo viờn quỏ trỡnh ging dy II MC CH NGHIấN CU ti S phc v cỏc ng dng ca s phc i s c nghiờn cu vi mc ớch trỡnh by y cỏc kin thc tng quan, cỏc k thut c bn v phng phỏp s dng s phc tip cn cỏc bi toỏn gii phng trỡnh, h phng trỡnh, cỏc bi toỏn v a thc v cỏc dng toỏn khỏc i s III NHIM V NGHIấN CU Biờn son h thng lý thuyt phự hp vi ni dung sỏch giỏo khoa v theo chng trỡnh ca B giỏo dc v o to Phõn dng cỏc ng dng mt cỏch khoa hc, cht ch kt hp vi cỏc bi vớ d d hiu giỳp hc sinh lnh hi kin thc mt cỏch vng chc, phỏt trin nng lc t IV PHNG PHP NGHIấN CU ti ó c dng cỏc phng phỏp nghiờn cu khoa hc sau: + Phõn tớch lý thuyt, phõn dng cỏc loi bi + a vớ d phự hp vi tng ni dung ng dng + Trao i kinh nghim vi thy cụ, bn bố cựng chuyờn mụn + Tham kho ti liu t sỏch giỏo khoa, sỏch tham kho, cỏc sỏch núi v kin thc c bn v m rng cú liờn quan n ti V NI DUNG NGHIấN CU Ngoi phn m u v kt lun, ti bao gm chng: Chng I: S phc S hỡnh thnh khỏi nim s phc nh ngha s phc Dng i s ca s phc Dng lng giỏc ca s phc Cn bc n ca n v v biu din hỡnh hc ca s phc Chng II: ng dng s phc gii phng trỡnh v h phng trỡnh 2.1 Phng trỡnh bc hai 2.2 Phng trỡnh bc ba 2.3 Phng trỡnh bc bn 2.4 Phng trỡnh bc cao 2.5 Cỏc bi toỏn v phng trỡnh, h phng trỡnh i s Chng III: ng dng s phc gii cỏc bi toỏn a thc 3.1 Phng trỡnh hm a thc 3.2 Cỏc bi toỏn v a thc bt kh quy 3.3 Bi toỏn v s chia ht ca a thc Chng IV: Mt s ng dng khỏc 4.1 ng dng ca cụng thc Moivre 4.2 ng dng ca cụng thc -le 4.3 ng dng s phc gii cỏc bi toỏn phõn thc, t hp, ri rc 4.4 ng dng s phc chng minh ng thc, bt ng thc S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh CHNG I: S PHC 1.1 S hỡnh thnh khỏi nim s phc Vic m rng cỏc hp s c mt tõp hp ú mi phng trỡnh i s u cú nghim ó dn n s hỡnh thnh ca cỏc trng s theo th t Ơ Â Ô Ă vi cỏc bao hm thc Ơ Â Ô Ă Ta nhn thy rng Ă mt lp khỏ rng cỏc phng trỡnh bc cao u cú nghim Tuy nhiờn mt phng trỡnh bc hai n gin nh x + = li khụng tn ti nghim, hay cú th chng minh c phng trỡnh x 3x + = cú n nghim nhng khụng th tỡm nghim bng phng phỏp Cardano < Chớnh vỡ th s phc i gii quyt cỏc mõu thun ny Lch s s phc gn lin vi nhng cỏi tờn nh R.Bomberlli, Rene Descarter, Euler, De Moivre, Wallis, Hamilton, Gauss, Cauchy Ngi u tiờn nhỡn thy li ớch a s phc vo toỏn hc l nh toỏn hc Italy R.Bombelli Trong cun i s (1572) ụng ó nh ngha cỏc phộp tớnh s hc trờn cỏc i lng o v ú ụng ó sỏng to nờn lý thuyt cỏc s o Nm 1746, nh toỏn hc Phỏp DAlembert ó xỏc nh dng tng quỏt a+bi ca chỳng, ng thi chp nhn nguyờn lý tn ti nghim ca phng trỡnh bc n Nm 1777, L.Euler ó a kớ hiu i ch cn bc hai ca -1 v kớ hiu ny ó c Gauss s dng li vo nm 1801 1.2 nh ngha s phc Xột Ă = Ă ì Ă = { ( a, b ) | a , b Ă } Hai phn t ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) Ă c gi l bng nu v ch nu a1 = a2 v b1 = b2 Xõy dng cỏc phộp toỏn nh sau: SVTH: Trng Th Uyờn Trang S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) Ă - Phộp cng: - Phộp nhõn: nh ngha 1.1 Tp Ă z1 + z2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) z1 z2 = ( a1a2 b1b2 , a1b2 + a2b1 ) cựng vi hai phộp toỏn cng v nhõn c nh ngha a, b ) Ê nh trờn gi l s phc Ê , phn t ( l mt s phc nh lý 1.1 ( Ê , +,.) l mt trng ( ngha l trờn Ê vi cỏc phộp toỏn ó nh ngha cú cỏc tớnh cht tng t nh trờn Ă vi cỏc phộp toỏn cng nhõn thụng thng) Chng minh: chng minh ( Ê , +,.) l mt trng ta chng minh cỏc sau: (i)- Phộp cng cú tớnh giao hoỏn: Ta cú: z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) Ê z1 + z2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) = ( a2 + a1 , b2 + b1 ) = z2 + z1 (ii)- Phộp cng cú tớnh kt hp: z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) Ê ( z1 + z2 ) + z3 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) + ( a3 , b3 ) = ( a1 + a2 + a3 , b1 + b2 + b3 ) = ( a1 , b1 ) + ( a2 + a3 , b2 + b3 ) = z1 + ( z2 + z3 ) (iii)- Tn ti phn t 0: z = ( a, b ) Ê , xột = ( 0,0 ) Ê z + = ( a + 0, b + ) = ( a, b) = z (iv)- Tn ti phn t i: z = ( a, b ) Ê , z = ( a, b ) Tht vy: l phn t i z + ( z ) = ( a, b ) + ( a, b ) = ( a + (a ), b + (b) ) = ( 0,0 ) SVTH: Trng Th Uyờn Trang S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh (v)- Phộp nhõn cú tớnh giao hoỏn: z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) Ê Ta cú: z1 z2 = ( a1 , b1 ) ( a2 , b2 ) = ( a1a2 b1b2 , a1b2 + a2b1 ) = ( a2 a1 b2b1 , a2b1 + a1b2 ) = z2 z1 (vi)- Phộp nhõn cú tớnh kt hp: z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) , z3 = ( a3 , b3 ) Ê ( z1 z2 ) z3 = ( a1a2 b1b2 , a1b2 + a2b1 ) ( a3 , b3 ) = ( ( a1a2 b1b2 ) a3 ( a1b2 + a2b1 ) b3 , ( a1a2 b1b2 ) b3 + ( a1b2 + a2b1 ) a3 ) = ( a1a2 a3 b1b2 a3 a1b2b3 a2b1b3 , a1a2b3 b1b2b3 + a1b2 a3 + a2b1a3 ) Tng t ta cng cú: z1 ( z z3 ) = ( a1 , b1 ) ( a2 a3 b2b3 , a2b3 + a3b2 ) = (a (a a =( b2b3 ) b1 ( a2b3 + a3b2 ) , a1 ( a2b3 + a3b2 ) + ( a2 a3 b2b3 ) b1 ) a1a2 a3 a1b2b3 a2b1b3 b1b2 a3 , a1a2b3 + a1b2a3 + a2b1a3 b1b2b3 ) iu ny chng t: ( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 ) (vii)- Phộp nhõn phn t n v: Tn ti phn t n v Tht vy: = ( 1,0 ) C z1 = ( a, b ) Ê 1.z = ( 1,0 ) ( a, b ) = ( 1a 0b,1b + 0a ) = ( a, b ) ; = ( a, b ) ( 1,0 ) = z.1 = z (viii)- Tn ti phn t nghch o: z1 = ( a, b ) Ê , z , phn t nghch o b a z = , 2 ữ a + b a + b ca z l Tht vy: b a (b) (b ) a a z.z = ( a, b ) , = a b ,a +b ữ 2 ữ 2 a +b a +b a +b a +b a + b2 a +b SVTH: Trng Th Uyờn Trang S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh a + b ab + ba = , = 1,0 ) 2 ữ ( a + b a + b (xi)- Phộp nhõn phõn phi vi phộp cng: z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) ; z3 = ( a3 , b3 ) Ê Ta cú: z1 ( z2 + z3 ) = ( a1 , b1 ) ( a2 + a3 , b2 + b3 ) = ( a1 ( a2 + a3 ) b1 ( b2 + b3 ) , a1 ( b2 + b3 ) + b1 ( a2 + a3 ) ) = ( a1a2 + a1a3 b1b2 b1b3 , a1b2 + a1b3 + b1a2 + b1a3 ) = ( a1a2 b1b2 + a1a3 b1b3 , a1b2 + b1a2 + a1b3 + b1a3 ) = ( a1a2 b1b2 , a1b2 + b1a2 ) + ( a1a3 b1b3 , a1b3 + b1a3 ) = z1 z2 + z1 z3 Vy ta ó chng minh c ú ( Ê , +,.) ( Ê , +,.) Tha cỏc tiờn ca trng Do l mt trng s Dng i s ca s phc Quan h gia Ă v Ê Xột ỏnh x f : R C 1.3 1.3.1 a a f ( a ) = ( a,0 ) D dng chng minh c f l mt n ỏnh v bo ton cỏc phộp toỏn: f ( a + b) = f ( a) + f ( b) f ( a.b ) = f ( a ) f ( b ) iu ú cho phộp ta cú th ng nht mi s phc ( a,0 ) = a 1.3.2 ( a,0 ) vi s thc a v Ă tr thnh mt b phn ca Ê n v o i = ( 0,1) ( 0,1) = ( 0.0 1.1,0.1 + 1.0 ) = ( 1,0 ) i = ( 0,1) t tacú: Theo trờn ta ó ng nht s phc (-1,0) vi s thc -1 Vy i = Hay s phc i l nghim ca phng trỡnh x + = Ta gi i l n v o SVTH: Trng Th Uyờn Trang 10 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh = cos n x Cn2 cos n x sin x+Cn4 cos n x sin x- +i[Cn1cos n x sinx Cn3cos n x sin x + ] n n 2 n4 T ú suy ra: cos nx = cos x Cn cos x sin x + Cn cos x sin x sin nx = Cn1cos n x s inx Cn3cos n x sin x + +) Vi n chn, ta cú: cos nx = cos x C cos n n n n x sin x + + ( 1) sin n x n 2 =cos x Cn tan x + + ( 1) tan n x n n cos nx 2 = Cn tan x + + (1) tan n x n Do ú, cos x Li cú: n sin nx = C cos x sinx C cos n n n x sin x + + ( 1) n Cnn cos x sin n x n n n = sin x Cn cot x Cn cot x + + (1) Cnn1 cot x n Do ú: n sin nx n n = C c ot x C c ot x + + ( 1) Cnn1 cot x n n n sin x +) Vi n l ta cú: cos nx = cos x C cos n n n x sin x + + ( 1) n Cnn1cosx sin n1x n 2 =cos x Cn tan x + + ( 1) Cnn tan n1 x n n cos nx 2 = Cn tan x + + (1) Cnn1 tan n1 x n Do ú, cos x Li cú: n sin nx = C cos x sinx C cos n SVTH: Trng Th Uyờn n n x sin x + + (1) Trang 58 n sin n x S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh n n n = sin x Cncot x Cn cot x + + (1) n n sin nx n n3 = Cncot x Cn cot x + + (1) n sin x Do ú, 4.2 ng dng ca cụng thc -le 4.2.1 Nhc li Ă ta cú: ei = cos + i sin cos = ei + e i ei e i ; sin = 2i Ngoi ra, cụng thc -le c xem l cụng c ti u tỡm nghim tng quỏt mt s phng trỡnh vi phõn Xột phng trỡnh vi phõn bc hai vi h s hng y ''+ py '+ qy = 0, ( 1) Ta cú mnh sau : Nu y = u + iv = u ( x ) + iv ( x ) thỡ phn thc u ( x) v phn o l nghim ca phng trỡnh (1) Hay v ( x) L[ y] = cng l nghim ca (1) Chng minh : Ta cú : = L [ y ] = L u ( x ) + iv ( x ) = L u ( x ) + iL v ( x ) L u ( x ) = L v ( x ) = ( ) (2) suy u ( x) ;v( x) l nghim ca phng trỡnh L [ y ] = c bit, nu r1 = a + ib; r2 = a ib vi b cú dng phc ca phng trỡnh rx ax r + pr + q = Khi ú hm y = e = e ( cos bx + i sin bx ) l nghim ca phng trỡnh (1) SVTH: Trng Th Uyờn Trang 59 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh ax ax Cỏc hm u = e cos bx v v = e sin bx l nghim thc ca (1), chỳng c u = cot bx const lp tuyn tớnh vỡ v Do ú y = e ax ( c1 cos bx + c2 sin bx ) l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1) 4.2.2 Mt s vớ d i i Vớ d 1: a) Phõn tớch thnh nhõn t e theo e n 1) b)Vi mi s thc x 2k v n l mt s t nhiờn ( Tớnh: S1 = + cos x + cos x + + cos nx S2 = sin x + sin x + sin x + + sin nx Gii: a) Ta cú i i ia ei = e e e ữ i b) Xột i = e 2i sin ữ = 2i sin e 2 S1 + iS2 = + ( cos x + i sin x ) + ( cos x + i sin x ) + + ( cos nx + i sin nx ) S1 + iS2 = + e + e ix Hay ix + + e e ( ) S1 + iS = ( *) eix i n +1 x nix ix iu kin e n + 1) x i( n+21) x ( ( n +1) ix = 2i sin e e ix eix = 2i sin x e p dng kt qu cõu a ta cú: SVTH: Trng Th Uyờn Trang 60 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s ( *) S1 + iS2 = e nix sin GVHD: Phan Quang Nh Anh ( n + 1) x x sin ( n + 1) x sin nx nx = cos + i sin ữ 2 sin x Cõn bng phn thc v phn o v ta cú: ( n + 1) x sin nx S1 = cos x sin ( n + 1) x sin nx S2 = sin x sin f x = cos x Vớ d 2: H bc ( ) Gii: Ta cú: eix + e ix f ( x ) = cos x = = ( e 4ix + 4e 2ix + + 4e 2ix + e 4ix ) = ( e 4ix + e 4ix ) + ( e2 ix + e2 ix ) + 16 = ( 2cos x + 4.2cos x + ) 16 1 f ( x ) = cos x + cos x + 8 Vy ; ữ 2 Xột phng trỡnh sau: Vớ d 3: Cho l mt s thc, ( E ) : ( + iz ) ( i tan ) = ( iz ) ( + i tan ) SVTH: Trng Th Uyờn Trang 61 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh E Cho bit z l nghim ca ( ) + iz = iz Chng minh rng: nu thỡ z l mt s thc + i tan i Biu din i tan theo e < < Chng minh (E) Cho z l mt s thc, t z = tan vi a b c tng ng vi mt phng trỡnh n v gii phng trỡnh y Gii: a Bng cỏch ly mụun mi v ca phng trỡnh (E) ta c: 3 + iz i tan = iz + i tan Ta cú: i tan = + i tan Vy: iz = + iz i ( z 1) = i ( z + i ) z = z + i MA = MB Trong ú: M ( z ) , A ( i ) , B ( i ) Vy M nm trờn ng trung trc ca on AB, tc M thuc trc honh ú z l s thc b Ta cú: i i e i tan = e cos cos v + i tan ei = i = e2i Do ú: i tan e z = tan , < < ữ c z l mt s thc, t Khi ú phng trỡnh (E) tr thnh: + i tan = SVTH: Trng Th Uyờn Trang 62 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh ( E ) ( + i tan ) ( i tan ) = ( i tan ) ( + i tan ) 3 + i tan + i tan e3i ei = = ữ e 3i e i i tan i tan e6i = e 2i = + k = + k ( k  ) 3 + ; ữ ; ; 2 3 Vỡ nờn + ; tan ; tan 3 Vy nghim ca (E) l Vớ d 4: Tỡm nghim tng quỏt ca phng trỡnh: y ''+ y '+ y = (*) tan Gii: r = i Phng trỡnh c trng: r + 2r + = cú nghim 1,2 , ú nghim tng quỏt tỡm c l: y = e x c1cos x + c2 sin x ( ) 4.3 ng dng s phc gii cỏc bi toỏn phõn thc, t hp, ri rc 4.3.1 Nhc li Nh thc Newton: ( a + b) n n = Cnk a n k b k k =0 (1+ i) c bit: i k i = i Vi n vi n Ơ ; n n = Cnk i k k =0 khi khi k = 4p k = p +1 k = 4p + k = 4p +3 p Ơ 4.3.2 Mt s vớ d x + Vớ d : Phõn tớch phõn thc sau thnh tng cỏc phõn thc n gin: Gii: x + = ( x + 1) ( x x + 1) Ta cú: SVTH: Trng Th Uyờn Trang 63 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh Mt khỏc: x x + = ( x + 1) 3x 2 ( )( ) = x + 3x x2 + + 3x 1 = x + ( x + 1) x x + x + x + ( Do ú: = )( ) Ax + B Cx + D Mx + N + + x + x 3x + x + 3x + Qui ng mu s v b mu s chung, ta c: ( )( ) ( ) = ( Ax + B ) x x + x + x + + ( Cx + D ) ( x + 1) x + 3x + ( ) + ( Mx + N ) x x + ( x + 1) ( 1) = 3( Ai + B ) + Thay x = i vo (1) ta c: A= B = ng nht thc hai v ta cú: + Thay x= ( ( +i ) ( 1 = + 3i ) vo (1) ta c ) ( ) + i C + D = 3D + 6C + 3D i D= 3D = 6C + 3D = C = ng nht thc hai v ta cú: + Thay x= ( ) 3+i vo (1) ta c: SVTH: Trng Th Uyờn Trang 64 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s ( ) ( GVHD: Phan Quang Nh Anh ) = 3i + i M + N ( ) = N + 6M 3i N= N = M 3 = M = ng nht thc hai v ta cú: 1 3x + 3x + = + + 2 x + ( x + 1) x x + x + x + ( Vy ) ( ) 4.4 ng dng s phc chng minh ng thc, bt ng thc Vớ d 1: Chng minh ng thc t hp sau C 2011 +C 2011 +C 2011 + + C 2010 2011 22011 + = Gii: Gi l cn bc nguyờn thy ca n v, tc = = cos 2 + isin 3 Khi ú: + + = v 3n = 3n+1 = , 3n+ = Khai trin nh thc Newton ( + 1) 2011 ; nƠ (1+ ) 2011 (1+ ) ; 2011 ta c: 2010 2011 + C2011 + C2011 + + C2011 + C2011 ( + 1) = C2011 2011 2010 2010 2011 2011 + C2011 + C2011 + + C2011 + C2011 ( + ) = C2011 2011 2010 2011 = C2011 + C2011 + C2011 + + C2011 + C2011 (1+ ) 2011 2010 = C2011 + C2011 + C2011 + + C2011 ( ) 2010 2011 + C2011 ( ) 2010 2011 = C2011 + C2011 + C2011 + + C2011 + C2011 SVTH: Trng Th Uyờn Trang 65 2011 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh Cng v theo v cỏc s hng ca tng trờn ta c 2010 ( C2011 + C2011 + + C2011 ) = ( + 1) 2011 + (1+ ) 2011 + (1+ ) 2011 Mt khỏc: ( + 1) 2011 (1+ ) 2011 (1+ ) = 22011 2011 2011 2 = + cos + i sin ữ = cos + i sin ữ 3 3 2011 2011 = cos + isin = cos + i sin 3 3 2011 2011 4 = + cos + i sin ữ = cos - i sin ữ 3 3 2011 2011 = cos -i sin = cos -isin 3 3 2011 Do ú: 2010 ( C2011 + C2011 + C2011 + + C2011 ) = 22011 + 2cos C 2011 +C 2011 +C 2011 + + C = 22011 + 22011 + = 2010 2011 Vớ d 2: chng minh ng thc sau: cos + cos + cos = 33 7 ( ) Gii: Ta thy phng trỡnh x = cú cỏc nghim l xk = cos 2k 2k + isin k = 0,6 7 ( ) Do ú xk (k=0, 1,,6) l nghim ca phng trỡnh: x + x5 + x + x3 + x + x + = x + ữ+ x + ữ+ x + ữ+ = x x x SVTH: Trng Th Uyờn Trang 66 ( 1) S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh y = x+ ; y x t ú phng trỡnh (1) tr thnh : y3 + y y = ( 2) M Nờn t cos k = xk + xk = 2cos k = 0,6 xk ( xk + Mt khỏc: ) 12 10 = cos ; cos = cos ; cos = cos 7 7 7 2cos 2cos k (k=1, 2, 4) l nghim ca phng trỡnh (2) = ; 2cos = ; 2cos = 7 , , l cỏc nghim ca phng trỡnh (2) ú theo nh lý Viộte ta cú: + + = + + = = t A3 = ( +3 +3 = + + +3 ( ) =3 ( ( ( Tng t B3 = ( 3) ( ) + + + 3 ) )( 3 +3 +3 ) ) + + + + + 3 ) + + = AB SVTH: Trng Th Uyờn ( + + 3 + + = AB ) + + + + + + = + + + 3 + 3 A = + + ; B = + + Trang 67 ( 4) S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh 3 2 Nhõn hai v ca (3) v (4) ta cú A B A B + 27 AB 20 = t AB=Z, phng trỡnh tr thnh : Z Z + 27 Z 20 = ( Z + 3) = Z = + Do ú Hay (53 7) A= cos + cos + cos = 33 7 7 ( ) Vớ d : Chng minh rng vi mi s phc z, cú ớt nht mt hai trng hp bt ng thc sau xy 2 hoc z + z +1 Gii : Gi s ta cú : z +1 < 2 v z + < a, b Ă ) t z = a + bi ( ( a + 1) + b < 2 2 ( + a b ) + 4a b < Ta cú : ( a + b ) + 4a + < ( 1) 2 ( a + b2 ) + ( a b2 ) < ( ) Cng v theo v (1) v (2) ta cú : (a + b ) + ( 2a + 1) < 2 vụ lý Suy iu phi chng minh Vớ d : SVTH: Trng Th Uyờn Trang 68 S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh Z1 + Z + Z + Z Z i + Z j Cho Z1 , Z , Z , Z Ê Chng minh vi i j Gii : p dng bt ng thc Ta cú: a + b a + b a, b Ê Z1 Z1 + Z Z1 + Z + Z Z1 + Z + Z1 + Z Z1 Suy : Z2 Tng t : Z1 + Z + Z1 + Z + Z + Z Z1 + Z + Z1 + Z + Z + Z Z3 Z1 + Z + Z1 + Z + Z + Z Z4 Z1 + Z + Z1 + Z + Z + Z Z1 + Z + Z3 + Z Z1 + Z + Z1 + Z + Z + Z3 = Z i + Z j vi i j ( Z1, Z , Z3 , Z ) l Du = xy nu v ch nu ( a , a, a , a ) mt hoỏn v ca vi a Ê Vớ d : Re Chng minh rng ( Z + Z + + Z n 2 ) Re ( Z ) n k k Z1 , Z , , Z n Ê Gii : t : Z k = xk + iyk ; Z12 + Z 2 + + Z n = a + bi 2 n n a b = xk yk k =1 k =1 n ab = x y k k k =1 SVTH: Trng Th Uyờn Trang 69 ú xk , yk , a, b Ă S phc v cỏc ng dng ca s phc i s GVHD: Phan Quang Nh Anh p dng bt ng thc Bunhiacopski ta cú: n n xk yk n xk k =1 k =1 a > Suy nu x b< k thỡ n n k =1 k =1 k =1 y k =1 n y n xk k =1 n k =1 n yk ab k =1 k k a b > xk yk Mõu thun vi a Vy n n k =1 k =1 a b = xk yk n xk Re k =1 SVTH: Trng Th Uyờn ( ) n Z12 + Z 2 + + Z n Re ( Z k ) Trang 70 k KT LUN ti S phc v cỏc ng dng ca s phc i s ó thc hin c cỏc nhim v nh sau: Nhc li, h thng v b sung nhng kin thc cn thit v hm s, mt kin thc mi m nhng khỏ quan trng chng trỡnh ph thụng Khai thỏc ti u cỏc ng dng ca s phc a li gii ngn gn cho nhiu bi toỏn phc a vớ d in hỡnh v phng phỏp gii chi tit, c th nhm minh rừ nht tng ng dng Tỡm thy nhng m rng sõu hn ca s phc mt s dng toỏn c bit Qua ti ny tụi ó phn no cng c v h thng li nhng kin thc ó hc trc õy, m rng v hon thin hn Tuy nhiờn, nng lc v thi gian cú hn ti nghiờn cu khỏ rng nờn chc chn s cú nhiu sai sút Vỡ vy rt mong nhn c s gúp ý ca thy cụ v tt c cỏc bn 71 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Vn Mu (2009), Bin phc nh lý v ỏp dng, Trng i hc Khoa hc T nhiờn, i hc Quc gia H Ni [2] Nguyn Tin Ti, Nguyn Hu Hoan (1998), S hc, Nh xut bn Giỏo Dc [3] Hong K, Hong Thanh H (2005), i s s cp v thc hnh gii toỏn, Nh xut bn i hc S phm [4] Titu Andreescu, Dorinandrica, Complex numbers from A to Z [5] Ti liu tham kho t Internet 72 [...]... Trương Thị Uyên Trang 27 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh ω r + h ≠ 0 ⇒ ω h − h = 1 Đối chiếu với 0 < h1 − h2 < n và ω là một căn nguyên 2 1 2 thủy bậc n của đơn vị, ta có mâu thuẫn SVTH: Trương Thị Uyên Trang 28 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.1.. .Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số Mệnh đề 1.1 Mỗi số phức tùy ý ∀z = ( a, b ) GVHD: Phan Quang Như Anh có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z = a + bi Với a,b là những số thực tùy ý và trong đó i 2 = −1 Biểu thức a + bi là dạng đại số của số phức Do đó: 1.3.3 ∀z = ( a, b ) £ = { a + bi / a, b ∈ ¡ , i 2 = −1} Các khái niệm liên quan a = Re z gọi là phần thực của số phức z b... phương trình (1) vô nghiệm trên ¡ nhưng có 2 nghiệm phức liên hợp trên £ Vậy 2 nghiệm phức nhận được là : x1,2 = −b ± i ∆ 2a Khi các hệ số của phương trình bậc 2 là các hệ số phức ta vẫn sử dụng các phép biến đổi đồng nhất thức như trong trường hợp số thực và thu được kết quả SVTH: Trương Thị Uyên Trang 29 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh b b 2 − 4ac (ax + ) 2... phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh Cho z1 = −5 + 6i, z2 = 1 − 2i Tính z1 z2 , z1 + z2 Giải: Ta có: z1 z2 = ( −5 + 6i ) ( 1 − 2i ) = ( −5 + 12 ) + ( 10 + 6 ) i = 7 + 16i z1 + z2 = ( −5 + 6i ) + ( 1 − 2i ) = −4 + 4i 1.3.5 Số phức liên hợp và môđun của số phức Định nghĩa 1.2 Cho số phức z = a + ib , số phức có dạng a − ib được gọi là số phức liên hợp của số phức z,... Trang 20 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh i ( α + 2π ) = eiα 2) e iα − iα 3) e = e iα 4) | e |= 1 Chứng minh: Đối với mệnh đề (1),(2),(4) suy trực tiếp từ định nghĩa và tính chất của lũy thừa Xét (3) ta có: eiα = cosα + i sin α = cosα − isin α = cos ( −α ) + isin ( −α ) = e− iα 1.5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức 1 Căn bậc n của số phức. .. r = 0 và ϕ không xác định Mỗi điểm M trong mặt phẳng có duy nhất điểm ( 1,ϕ ) OM với đường tròn đơn vị tâm O Theo định nghĩa sin và cosin: a = r cos ϕ ; b = r sin ϕ SVTH: Trương Thị Uyên Trang 14 là giao điểm của tia Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh uuuur Độ dài r của OM được gọi là môđun của z, kí hiệu là: r =| z |= a 2 + b 2 ≥ 0 Do đó argument của số phức. .. 4 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh 7π M 1 2 2, ÷ 4 Vậy tọa độ cực của M 1 là: 2 1 π r2 = 3 + 12 = 2;α1 = arctan ÷= 6 3 ( ) ii) π M 2 2, ÷ 6 Tọa độ cực của M 2 là r2 = iii) ( −2 ) 2 + 22 = 2 2;α1 = arctan ( −1) + π = − π 3π +π = 4 4 3π M 3 2 2, ÷ 4 Tọa độ cực của M 3 là 1.4.2 Biểu diễn lượng giác của số phức Cho số phức. .. z b = Im z gọi là phần ảo của số phức z i gọi là đơn vị ảo Nếu số phức có phần thực a=0 gọi là thuần ảo Số phức có phần ảo b=0 gọi là số thực Re ( z1 ) = Re ( z2 ) Im ( z1 ) = Im ( z2 ) Hai số phức và gọi là bằng nhau nếu Số phức z ∈ ¡ ⇔ Im ( z ) = 0 Im ( z ) ≠ 0 Số phức z ∈ £ \ ¡ nếu 1.3.4 Các phép toán trên dạng đại số Tương tự, ta cũng định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau: £ = { a +... vì các cung M 0 M 1 , M 1M 2 , , M n−1M 0 có số đo bằng nhau nên đa giác M 0 M 1 M n−1 đều SVTH: Trương Thị Uyên Trang 22 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh Ví dụ: Tìm các căn bậc ba của z = 1 + i và biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức Giải: z= ( 2 ) cos π4 + isin π4 ÷ π 2π zk = 3 2 cos + k 3 12 2π π ÷+ i sin + k 3 12 Dạng lượng giác của. .. căn bậc hai của 4 27 Gọi u1 là một căn q q 2 p3 q q 2 p3 − + + − − + 4 27 và v1 là một căn bậc ba của 2 4 27 ta có bậc ba của 2 nghiệm của phương trình (2) trên £ là: y1 = u1 + v1 2 y2 = u1ε + v1ε y = u ε2 +vε 1 1 3 hai căn bậc ba phức của đơn vị SVTH: Trương Thị Uyên Trang 34 1 3 ε = − + i 2 2 ( 5) ε = − 1 − i 3 2 2 là với Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan ... Hamilton, Gauss, Cauchy Ngi u tiờn nhỡn thy li ớch a s phc vo toỏn hc l nh toỏn hc Italy R.Bombelli Trong cun i s (1572) ụng ó nh ngha cỏc phộp tớnh s hc trờn cỏc i lng o v ú ụng ó sỏng to nờn lý... z1 z2 z1 z2 + | z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) 1.4 Dng lng giỏc ca s phc 1.4.1 Ta cc ca s phc Trong mt phng Oxy cho ( a, b ) khỏc gc ta 2 [ 0, ) S thc r = a + b gi l bỏn kớnh cc ca im M,... uuu r uuuu r Ox,OM ) cc ca im M, vit M gi l argument ca M, cp cú th t ( r , ) gi l ta ( r , ) Trong ú: r c gi l bỏn kớnh cc, c gi l gúc cc ca s phc z im gc O l im nht cú r = v khụng xỏc nh