Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là
Trang 1LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Ta biết sự ra đời của
số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ +1=0) Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán
để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên
có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ
Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học
để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Một trong các vấn đề
tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các k C ” trên cơ sở n
khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton
Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng dạy chung của nhà trường, rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung của các đồng chí trong tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác
Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 5 năm 2009
Người thực hiện
Lê Hồng Thái
Trang 2NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:
1- Khai triển nhị thức Newton:
Với mọi x và với mọi n∈N* ta có:
(1 + x)n = C0n +xC1n +x2C2n + +xn-1Cnn-1+xnCnn
2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:
* Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/
* z = r(cosϕ + isinϕ) ⇒ zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn(cosnϕ + isinnϕ)
* Giải phương trình: x3 – 1 = 0
Ta được các nghiệm là x1 = 1; i
2
3 2
1 2
2
3 2
1 3
x =− − Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1
2
3 2
1
2
3 2
1 2
ε =− +
⇒ và ε có các tính chất sau:
1) ε + 2ε = -1
2) ε3=1
3) ε3k =1
4) ε3k+1=ε
5) ε3k+2 =ε2
(k – nguyên)
3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các k C ? n
Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng của các knC khi tổng này có hai đặc điểm:
* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau
* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2)
Trang 34- Các tổng của k C được tính như thế nào ? n
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính
* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là
6
π
4
π
3
π
± ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai
cách tính
* Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị Cộng vế theo
vế các đẳng thức thu được Suy ra giá trị của tổng cần tìm
Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một
trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các k C trong tổng Để nói chi tiết n
được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?
II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:
Dạng 1:Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức
Ví dụ 1:
Tính tổng A = C 0 2009 −C 2 2009 +C 4 2009 −C 6 2009 + +C 2004 2009−C 2006 2009+C 2008 2009
Trang 4B = −C 1 2009+C 3 2009−C 5 2009+C 7 2009− −C 2005 2009 +C 2007 2009 −C 2009 2009
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)2009 = C02009+xC12009 +x2C22009+ +x2008C20082009+x2009C20092009
Cho x = - i ta có:
(1 – i )2009 = C02009+iC12009+i2C22009 + +i2008C20082009+i2009C20092009
= (C02009−C22009+C42009−C62009+ +C20042009−C20062009+C20082009) +
+ (−C12009+C32009−C20095 +C72009− −C20052009+C20072009−C20092009)i
Mặt khác:
=
−
=
− +
−
=
4
2009π isin
4
2009π cos
2009 ) 2 (
2009 4
π isin 4
π cos 2009 ) 2 ( 2009
i)
(1
= ( 2)2009 cos4π−isin4π =( 2)2009 22−i 22=21004−21004i
So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )2009 trong hai cách tính trên ta được:
A = C02009−C22009+C42009−C62009+ +C20042009−C20062009+C20082009 = 21004
B = −C12009+C32009−C52009+C72009− −C20052009+C20072009−C20092009 = - 21004
Ví dụ 2:
Tính tổng: C = 2 50 1 C 0 50−3C 2 50+3 2 C 4 50− −3 23 C 46 50+3 24 C 48 50−3 25 C 50 50
Giải:
Xét khai triển:
Trang 5= +
− + +
−
= +
50 C 50 ) 3 (i
49 50 C 49 ) 3 (i
2 50 C 2 ) 3 (i
1 50 )C 3 (i
0 50
C 50 2 1
50 i
2
3
2
1
+
− +
−
− +
−
= 2501 C050 ( 3)2C502 ( 3)4C450 ( 3)46C4650 ( 3)48C4850 ( 3)50C5050
+ 50 3C150 ( 3)3C350 ( 3)5C550 ( 3)47C4750 ( 3)49C5049 i
2
1
Mặt khác:
2
3 i 2
1 3
100π isin
3
100π cos
50 3
2π isin 3
2π cos
50 i 2
3 2
−
So sánh phần thực của
50 i 2
3 2
1
+
− trong hai cách tính trên ta được:
C = 50 C500 3C250 32C504 323C4650 324C5048 325C5050 12
2
Ví dụ 3:
Tính tổng: D = 3 10 C 0 20−3 9 C 2 20+3 8 C 4 20−3 7 C 6 20+ +3 2 C 16 20−3C 18 20+C 20 20
Giải:
Xét khai triển:
20 C
19 20 C 3 i
18 20 C 2 ) 3 (
2 20 C 18 ) 3 (
1 20 C 19 ) 3 i(
0 20 C 20 ) 3 (
20
i
= (310C020−39C220+ 8C420−37C620+ +32C1620−3C1820+C2020) +
( 3)19C120−( 3)17C320+ +( 3)3C1720− 3C1920
Mặt khác:
6
20π isin 6
20π cos 20 2
20 6
π isin 6
π cos 20 2
20 2
1 i 2
3 20 2
20
i
3
i 3 19 2 19 2 i 2
3 2
1 20 2 3
4π isin 3
4π
cos
20
Trang 6So sánh phần thực của ( )20
i
3+ trong hai cách tính trên ta có:
D = 310C020− 9C220+ 8C420−37C620+ +32C1620−3C1820+C2020 = - 219
Dạng 2: Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những
số phức thích hợp
Ví dụ 1:
Tính tổng: D = C 1 30 −3C 3 30 +5C 5 30−7C 7 30+ +25C 25 30−27C 27 30+29C 29 30
E = 2C 2 30−4C 4 30+6C 6 30−8C 8 30 + +26C 26 30−28C 28 30 +30C 30 30 Giải:
(1 + x)30 = C030+xC130+x2C302 +x3C330+ +x28C2830 +x29C2930 +x30C3030
Đạo hàm hai vế ta có:
30(1 + x)29 = C130 +2xC230+3x2C330+ +28x27C3028+29x28C3029+30x29C3030
Cho x = i ta có:
30(1 + i)29 = (C130−3C330+5C530−7C730+ +25C3025−27C3027+29C3029) +
+ (2C302 −4C304 +6C306 −8C830+ +26C3026−28C2830+30C3030)i
Mặt khác:
30(1 + i)29 = ( ) + = ( ) + =
4
29π isin 4
29π cos
29 2 30
29 4
π isin 4
π cos
29 2 30
( ) i 15.215 15.215i
2
2 2
2 29
2
So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:
D = C130−3C330+5C530−7C730+ +25C2530−27C2730+29C2930 = - 15.215
E = 2C230−4C430+6C630−8C830+ +26C2630−28C3028+30C3030 = - 15.215
Trang 7Ví dụ 2:
Tính tổng S = 2.3C 2 20−4.3 2 C 4 20+6.3 3 C 6 20− +18.3 9 C 18 20−20.3 10 C 20 20
Giải:
Xét khai triển:
(1 + 3x)20 =
= C020+( 3x)C120+( 3x)2C220+( 3x)3C320 + +( 3x)19C1920 +( 3x)20C2020 Đạo hàm hai vế ta có:
20 3(1+ 3x)19 =
= 3C120 +2.3xC220+3.( 3)3x2C320 + +19.( 3)19x18C1920+20.310x19C2020 Cho x = i ta có: 20 3(1+ 3i)19=
20 C
19 3 19
17 20 C
17 3 17
5 20 C
5 3 5
3 20 C
3 3 3
1
20
C
3
i
20 20 C 10 20.3
18 20 C 9 18.3
6 20 C 3 6.3
4 20 C 2 4.3
2
20
Mặt khác: 20 3(1+ 3i)19= + = + =
3
π isin 3
π cos 19 2 3 20
19 i 2
3 2
1 19 2 3 20
i 19 30.2 19
.2 3 10
i 2
3 2
1 19 2 3 20
3
19π isin 3
19π cos 19
.2
3
So sánh phần ảo của 20 3(1+ 3i)19trong hai cách tính trên ta có:
S = 2.3C220−4.32C420+6.33C620− +18.39C1820−20.310C2020 = 30.219
Ví dụ 3:
Tính các tổng sau: M = C 15 0 −3C 15 2 +5C 15 4 −7C 15 6 + +13C 12 15−15C 14 15
N = 2C 1 15−4C 15 3 +6C 15 5 −8C 15 7 + +14C 13 15−16C 15 15
Trang 8Xét khai triển:
(1 + x)15 = C150 +xC115+x2C152 +x3C153 + +x13C1315+x14C1415+x15C1515
Nhân hai vế với x ta có:
x(1 + x)15 = xC150 +x2C115+x3C152 +x4C153 + +x14C1315+x15C1415+x16C1515
Đạo hàm hai vế ta có:
(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =
15 15 C 15 x 16
14 15 C 14 x 15
13 15 C 13 x 14
3 15 C 3 x 4
2 15 C 2 x 3
1 15 xC
2
0
15
C
=
Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =
C150 −3C152 +5C154 −7C156 + +13C1215−15C1415 +
+ 2C115−4C153 +6C155 −8C157 + +14C1315−16C1515i
Mặt khác:
(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = ( ) + + ( ) + =
4
π isin 4
π cos
14 2 15i
15 4
π isin 4
π cos
15 2
2
2 2
2 15 2 4
14π isin 4
14π cos i 7 15.2 4
15π isin 4
15π cos
15
2
i 7 2 8 7.2 i 7 2 7 14.2 7
15.2 i
7
2
7
−
=
So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:
M = C150 −3C152 +5C154 −7C156 + +13C1215−15C1415 = 7.28
N = 2C115−4C153 +6C155 −8C157 + +14C1315−16C1515 = -27
Dạng 3: Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị
Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc
ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):
Trang 9Giải phương trình: x3 – 1 = 0
Ta được các nghiệm là x1 = 1; i
2
3 2
1 2
2
3 2
1 3
x =− − Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1
2
3 2
1
2
3 2
1 2
ε =− +
⇒ và ε có các tính chất sau:
1) ε + 2ε = -1
2) ε3=1
3) ε3k =1
4) ε3k+1=ε
5) ε3k+2 =ε2
(k – nguyên)
Sử dụng các tính chất trên của ε ta có thể tính được các tổng sau:
Ví dụ 1:
Tính tổng: S = C 0 20+C 3 20 +C 6 20 + +C 3k 20 + +C 15 20 +C 18 20
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = C020+xC120 +x2C220+x3C320 + +x18C1820+x19C1920+x20C2020
Cho x = 1 ta có:
220 = C020+C120 +C220+C320 + +C1820+C1920 +C2020 (1)
Cho x = ε ta có:
(1 + ε )20 = C020+εC120 +ε2C220 +C320+ +C1820 +εC1920+ε2C2020 (2) Cho x = 2ε ta có:
Trang 10(1 + 2ε )20 = C020+ε2C120+εC220+C320 + +C1820+ε2C1920+εC2020 (3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
220 + (1 + ε )20 +(1 + 2ε )20 = 3S
Mặt khác: (1+ε)20 =(−ε2)20 =ε40 =ε; (1+ε2)20 =(−ε)20 =ε20 =ε2
Do vậy: 3S = 220 – 1 Hay S =
3 1 20
2 −
Ví dụ 2:
Tính tổng T = C 1 20+C 4 20+C 7 20+ +C 3k 20+1+ +C 16 20 +C 19 20
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = C020+xC120 +x2C220+x3C320 + +x18C1820+x19C1920+x20C2020
Nhân hai vế với x2 ta có:
x2(1 + x)20 = x2C020 +x3C120+x4C220 +x5C320 + +x20C1820 +x21C1920+x22C2020
Cho x = 1 ta có:
220 = C020+C120 +C220+C320 + +C1820+C1920 +C2020 (1)
Cho x = ε ta có:
2
ε (1 + ε )20 = 2ε C020+C120 +εC220+ε2C320+C420 +ε2C1820+C1920 +εC2020 (2) Cho x = 2ε ta có:
ε (1 + 2ε )20 = ε C020+C120 +ε2C220 +εC320 + +εC1820+C1920 +ε2C2020 (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:
220 + 2ε (1 + ε )20 +ε (1 + 2ε )20 = 3T
Mặt khác: 2ε (1 + ε )20 = ε42 =1; ε (1 + 2ε )20 = ε21=1
Trang 11Do vậy: 3T = 220 + 2 Hay: T =
3 2 20
2 +
Ví dụ 3:
Tính tổng: P = C 0 20 +3C 3 20+6C 6 20 + +3kC 3k 20 + +15C 15 20 +18C 18 20
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = C020+xC120 +x2C220+x3C320 + +x18C1820+x19C1920+x20C2020
Đạo hàm hai vế ta có:
20(1 + x)19 = C120+2xC220+3x2C320+ +18x17C1820+19x18C1920+20x19C2020 (*) Nhân hai vế (*) với x ta có:
20x(1 + x)19 = xC120 +2x2C220+3x3C320 + +18x18C1820 +19x19C1920+20x20C2020 Cho x = 1 ta được:
20.219 = C120+2C220+3C320+4C420+ +18C1820+19C1920 +20C2020 (1) Cho x = ε ta có:
20ε (1 + ε )19 = εC120+2ε2C220+3C320+4εC420 +18C1820+19εC1920+20ε2C2020 (2) Cho x = 2ε ta có:
20ε2(1 + ε2)19 = ε2C120 +2εC220+3C320 +4ε2C420 +18C1820 +19ε2C1920 +20εC2020 (3) Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:
20[219 + ε (1 + ε )19 + ε2(1 + ε2)19
] = 3P - 020C Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε(−ε2)19 =−ε39 =−1
ε2(1 +ε2)19 = ε2(−ε)19=−ε21=−1
Trang 12Vậy 3P = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy ra P = 13
3
20 10.2 −
III- MỘT SỐ BÀI TẬP:
1- Tính các tổng sau:
30 C
29 3 29
27 30 C
27 3 27
5 30 C
5 3 5
3 30 C
3 3 3
1
30
C
3
1
30 30 C 15 30.3
28 30 C 14 28.3
6 30 C 3 6.3
4 30 C 2 4.3
2
30
2.3C
2
Hướng dẫn: Xét khai triển: ( )30
x 3
1+ Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của hai số phức
ĐS: A1 = 15 3.229; A2 = - 45.229
2- Tính các tổng sau:
24 25 23.24C
22 25 21.22C
8 25 7.8C
6 25 5.6C
4 25 3.4C
2 25 2C
0
25
C
1
25 25 24.25C
23 25 22.23C
9 25 8.9C
7 25 6.7C
5 25 4.5C
3 25 2.3C
1
25
C
2
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau
ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)
3- Tính các tổng sau:
20 20 21C
18 20 19C
16 20 17C
6 20 7C
4 20 5C
2 20 3C
0
20
C
1
19 20 20C
17 20 18C
15 20 16C
7 20 8C
5 20 6C
3 20 4C
1
20
C
2
2
Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i
ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210
4- Tính các tổng sau:
99 100 C 2 99
97 100 C 2 97
95 100 C 2 95
7 100 C 2 7
5 100 C 2 5
3 100 C 2 3
1
100
C
2
1
Trang 13100 100 C 2 100
98 100 C 2 98
96 100 C 2 96
8 100 C 2 8
6 100 C 2 6
4 100 C 2 4
2
100
C
2
2
2
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250
5- Tính tổng sau:
E = 2C225+5C525+8C825+ +20C2025+23C2325
Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau đó nhân hai vế với x2 Cho
x lần lượt bằng 1, ε,ε2(ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta tìm được E
ĐS: E =
3 1) 24 25(2 −
6 – Tính các tổng sau:
40 40 C 2 40
37 40 C 2 37
10 40 C 2 10
7 40 C 2 7
4 40 C 2 4
1
40
C
1
38 40 C 2 38
35 40 C 2 35
11 40 C 2 11
8 40 C 2 8
5 40 C 2 5
2
40
C
2
2
2
39 40 C 2 39
36 40 C 2 36
9 40 C 2 9
6 40 C 2 6
3 40 C 2 3
0
40
C
3
Hướng dẫn: Xét khai triển của ( 1+ x)40 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế
Để có F1 ta cho x lần lượt là 1, ε,ε2(ba căn bậc ba của 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được
Làm thế nào để có F2, F3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS:
3 1) 38 40.41(2
1
3
1) 38 39.40(2 1)
39 40(2
2
3
1 2) 38 39.40(2 1)
39 40(2
3
Trang 147- Tính các tổng sau:
39 40 40C
36 40 37C
33 40 34C
9 40 10C
6 40 7C
3 40 4C
0
40
C
1
40 40 41C
37 40 38C
34 40 35C
10 40 11C
7 40 8C
4 40 5C
1
40
C
2
2
38 40 39C
35 40 36C
11 40 12C
8 40 9C
5 40 6C
2
40
C
3
3
Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế
Để có G1 ta cho x lần lượt là 1, ε, ε2(ba căn bậc ba của 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được
Làm thế nào để có G2, G3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28