Việc tính tổng của một dãy số chúng ta có khá nhiều phương pháp khác nhau. Bài viết sau chúng tôi xin trình bày thêm một phương pháp khác mà ở đó chúng ta vận dụng kiến thức lượng giác v[r]
(1)Hoàng Minh Quân - GV THPT Ngọc Tảo - Hà Nội Email: Hoangquan9@gmail.com
SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ DÃY SỐ
Việc tính tổng dãy số có nhiều phương pháp khác Bài viết sau xin trình bày thêm phương pháp khác mà vận dụng kiến thức lượng giác đạo hàm hiệu việc tính tổng số dãy số nguyên
I KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
Trước hết xin nhắc lại số kết tổng lượng giác sau: 1.1)sinx+ sin 2x+ + sin(n−1)x+ sinnx=cos
1
2x−cos n+
x
2 sin1 2x
1.2)cosx+ cos 2x+ + cos(n−1)x+ cosnx=sin n+
1
x−sin12x
2 sin12x
1.3)sinx−sin 2x+ sin 3x− ∓sin(n−1)x±sinnx= sin
2x±sin n+
x
2 cos12x
(Trong tổng sử dụng dấu hay dấu tùy thuộc vàonlẻ hoặcnchẵn ) 1.4)cosx−cos 2x+ cos 3x− ∓cos(n−1)x±cosnx= cos
1
2x±cos n+
x
2 cos12x
Chứng minh 1.1) Chúng ta có
cos1 2x−cos
3 2x
+
cos3 2x−cos
5 2x
+ + [cos (n−1)x−cos (n+ 1)x] = sin1
2x[sinx+ sin 2x+ + sin(n−1)x+ sinnx] Từ đẳng thức 1.1) chứng minh
1.2) Việc chứng minh đẳng thức 2) thực tương tự chứng minh đẳng thức 1) 1.3) Chúng ta chứng minh vớinlẻ, trường hợpnchẵn chứng minh tương tự Xét vớinlẻ, có
sin1 2x+ sin
3 2x
−
sin3 2x+ sin
5 2x
+ + [sin (n−1)x+ sin (n+ 1)x] = cos1
2x[sinx−sin 2x+ −sin(n−1)x+ sinnx] Vậy đẳng thức 3) chứng minh
1.4) Việc chứng minh đẳng thức 1.4) thực tương tự chứng minh đẳng thức 1.3) II.Áp dụng
Áp dụng đẳng thức lượng giác tính số tổng sau vớin≥1 Thí dụ
Tính tổngS1= + + +n Lời giải
Đặtf(x) = sinx+ sin 2x+ + sin(n−1)x+ sinnx Khi có:
f0(x) = cosx+ cos 2x+ + + (n−1) cos(n−1)x+ncosnx
f00(x) =−
sinx+ 22sin 2x+ + (n−1)2sin(n−1)x+n2sinnx
f000(x) =−
cosx+ 23cos 2x+ + (n−1)3cos(n−1)x+n3cosnx
Chúng ta dễ nhận thấy
f(0) = 0,
f0(0) = + + +n,
f00(0) = 0,
f000(0) =−(13+ 23+ +n3). Từ1.1 có2 sin12x
f(x) = cos12x−cos n+12 x
Đạo hàm hai vế cos12xf(x) + sin12xf0(x) =−1 2sin
1
2x+ n+
sin n+12x, Đạo hàm tiếp đẳng thức ta
−1 sin
x
f(x)+ cosx2f0(x)+212 cosx2f0(x) + sinx2f00(x)=−1 4cos
x 2+ n+
1
2
cos n+12x
Chox= 0chúng ta có 2f0(0) =−1
4+ n+
2
=−1 4+n
2+n+1 =n
2+n.
Vậyf0(0) =n(n+ 1)
2 hay + + +n=
n(n+ 1)
2
(2)Nhận xét:
1 Bằng cách thực đạo hàm liên tiếpf(x) 4lần tính tổng 13+ 23+ +n3=n
2(n+ 1)2
4
2 Với ý tưởng hồn tồn mở rộng để tính tổng 15+ 25+ +n5;17+ 27+ +n7, ,1k+ 2k+ +nk vớiklà số nguyên dương lẻ. Thí dụ
Tính tổngS2= 12+ 22+ +n2 Lời giải
Đặtg(x) = cosx+ cos 2x+ + cos(n−1)x+ cosnx.Chúng ta có:
g(0) =n
g0(0) =
g00(0) =−(12+ 22+ +n2).
g000(0) =
g(4)(0) = 14+ 24+ +n4
Từ đẳng thức(1.2)chúng ta có2sinx
g(x) = sin
n+1
2
x−sinx Đạo hàm hai vế
cosx
g(x) + sinx
g0(x) =
n+1
2
cos n+1
x−1
2cos x Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức ta
−1 sin
x
g(x) + cosx
g0(x) + cosx
g0(x) + sinx
g00(x) =−
n+1
2
sin n+1
x+1
4sin x Lấy đạo hàm hai vế
−1 cos
x
g(x)−3
2 sin x
g0(x)+3 cosx
g00(x)+2 sinx
g000(x) =− n+1
3
cos n+1
x+1
8cos x Chox= 0ta có−1
4g(0) + 3g
00(0) =− n+1
3
+1 Vìg(0) =nnêng00(0) =−2n
3+ 3n2+n
6 =−
n(n+ 1)(2n+ 1)
mặt khácg00(0) =−(12+ 22+ +n2)nên 12+ 22+ +n2= n(n+ 1)(2n+ 1)
6
Nhận xét:
1 Bằng cách thực đạo hàm liên tiếpg(x) 5lần tính tổng 14+ 24+ +n4= n(n+ 1) (2n+ 1) 3n
2+ 3n−1
30
2 Với ý tưởng hoàn toàn mở rộng để tính tổng
16+ 26+ +n6;18+ 28+ +n8, ,1k+ 2k+ +nk vớiklà số nguyên dương chẵn. Thí dụ
Tính tổngS= 1−2 + 3− +n, vớinlà số nguyên dương lẻ Lời giải
Xét hàm sốh(x) = sinx−sin 2x+ sin 3x− −sin(n−1)x+ sinnx, (vớinlà số nguyên dương lẻ) Chúng ta dễ nhận thấyh(0) = 0, h0(0) = 1−2 + 3− +n
Từ đẳng thức3.1, có2 cosx
h(x) = sinx
2+ sin n+
x Lấy đạo hàm hai vế có
− sinx
h(x) + cosx
h0(x) = 2cos
x
2+ n+
cos n+1
x
Chox= 0chúng ta được2h0(0) =n+ Vậyh0(0) = n+ Thí dụ
Tính tổngS= 1−2 + 3− −n, vớinlà số nguyên dương chẵn Lời giải
Xét hàm sốh(x) = sinx−sin 2x+ sin 3x− + sin(n−1)x−sinnx, (vớinlà số nguyên dương chẵn) Chúng ta dễ nhận thấyh(0) = 0, h0(0) = 1−2 + 3− + (n−1)−n
Từ đẳng thức3.1, có2 cosx2
h(x) = sinx2−sin n+12 x Lấy đạo hàm hai vế có
− sinx2
h(x) + cosx2
h0(x) = 12cosx2− n+12
cos n+12 x
Chox= 0chúng ta được2h0(0) =−n Vậyh0(0) =−n
(3)Nhận xét:
1 Từ thí dụ thí dụ chúng thu gọn sau
Pn
k=1(−1) k+1
k=
n+
2 n lẻ
−n
2 n chẵn
2 Với cách làm tương tự thu số tổng sau 2.1)Pn
k=1(−1) k+1
k2=
n(n+ 1)
2 n lẻ
−n(n+ 1)
2 n chẵn
2.2)Pn
k=1(−1) k+1
k3=
(n+ 1)2(2n−1)
4 n lẻ
−n2(2n+ 3)
4 n chẵn
2.3)Pn
k=1(−1) k+1
k4=
n(n+ 1)(n2+n−1)
2 n lẻ
−n(n+ 1)(n2+n−1)
2 n chẵn
và cách làm không hạn chế với tổng mà cịn tính nhiều tổng khác , mời bạn đọc tiếp tục khai thác tìm hiểu thêm
Tài liệu tham khảo Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Tạp chí Crux
Tạp chí AMM