SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Mục lục Phần I : Mở đầu trang Phần II : Nội dung trang Cơ sở lý luận trang 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến trang Các giải pháp trang Hiệu sáng kiến………………………………………………trang 16 Phần III : Kết luận trang 17 Tài liệu tham khảo trang 19 Phụ lục trang 20 PHẦN I: MỞ ĐẦU 1-Lí chọn đề tài: Nhiệm vụ trọng tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố nâng cao kiến thức phổ thông, đặc biệt mơn Tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn Trong hoạt động dạy học nhà trường, vấn đề tìm tịi đúc kết nâng tầm giải tốn theo hướng tổng qt, từ làm rõ nội dung toán dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu có nhiều hội sáng tạo, đổi phương pháp dạy học Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng kiến thức lượng giác học sinh mẻ, chưa thành thạo Tuy nhiên với số toán bất đẳng thức đại số ta sử dụng kiến thức lượng giác vào giải lại dễ dàng.Với lý đó, tơi nghiên cứu thực đề tài: ‘ Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số’’ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại số Đối tượng nghiên cứu Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại số Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn, tham khảo tài liệu liên quan - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình giảng dạy - Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp năm học 2017-2018 2018-2019 PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN Cơ sở lý luận sáng kiến 1.1 Tập xác định, tập giá trị, chu kỳ hàm số lượng giác Hàm số y = sinx : -Tập xác định : R 1;1 -Tập giá trị : -Chu kì : 2π Hàm số y = cosx : -Tập xác định : R 1;1 -Tập giá trị : -Chu kì: 2π Hàm số y = tanx π -Tập xác định: D \ kπ, k -Tập giá trị: R -Chu kì: π Hàm số y = cotx -Tập xác định: D \ kπ, k -Tập giá trị: R -Chu kì: π Chú ý: Áp dụng BĐT Bunhiacơpski, ta có kết sau Vậy ta có: sin x cos x sin x cos x sin xcos x 2 sin2 x cos2 x 22 22 (*) Kết (*) áp dụng nhiều đề tài 1.2 Các dấu hiệu: Dựa vào số dấu hiệu sau để ứng dụng lượng giác vào giải số tốn đại số 1) Nếu có điều kiện x x a (a 0) , ta đặt: với0; x a.sin với ; x a.cos Trong trường hợp riêng:  Nếu x a, ta đặt: x a.sin với0; hoặcx a.cos với0;  Nếu a x 0, ta đặt : ; x a.cos x a.sin với với ; 2)Nếu có điều kiện x x a, ( a 0) , ta đặt: a a x với , \0 x với0; sin cos 2 3)Nếu x R , ta đặt: \ x tan Nếu x với ;2 x cot với 0; , ta đặt: x tan với0; x cot với 0;  Nếu x , ta đặt : x tan với 4) Nếu x , y thỏa mãn điều kiện a x ax ; 0hoặc x cot với ; 2 với a , b, c , ta : b y c2 by c c đặt ax sin x c sin by với0; a c c cos cos y b Trong trường hợp cần sử dụng tới dấu x y ta hạn chế góc Ngồi học sinh cần nắm vững cách giải phương trình lượng giác Chú ý : Vì hàm lượng giác tuần hồn nên đặt điều kiện biểu thức lượng giác thật khéo léo cho lúc khai khơng có giá trị tuyệt đối, có nghĩa ln ln dương c 5) Các biểu thức thường lượng giác hóa Biểu thức a2 x2 2 x a2 a x2 x x x Cách lượng giác hóa biểu thức ; x a cos a sin với 2 a sin a tan với ; 2 ; với 2 \ x x a với0; với0; \ cos a cot với0; 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Hầu hết học sinh kể với học sinh giỏi em cảm thấy “ngại” gặp toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhỏ nhất.Quá trình giảng dạy trường THPT Lê Viết Tạo giúp thấy thực trạng đáng buồn gần 100% học sinh xem “khơng có” bất đẳng thức việc học tập ôn luyện môn tốn Qua tìm hiểu khảo sát với câu hỏi “Bất đẳng thức gì? Có quan tâm đến toán bất đẳng thức kỳ thi hay không?” nhận kết sau: Trả lời Số HS hỏi 100 Không không tâm biết, Biết chút Có quan tâm Biết, quan tâm quan khơng thấy muốn quan tâm q khó nghiên cứu 81 11 Từ thực tế “đáng buồn” dẫn đến việc giáo viên học sinh thường hay bỏ qua chủ đề bất đẳng thức việc ôn luyện, ảnh hưởng không nhỏ đến kết cuối việc thi cử Với mong muốn phần khắc phục vấn đề tơi thực thí điểm đề tài lớp 11A, 11C tiết tự chọn sẵn có Các giải pháp Để thay đổi hình thức toán từ việc chứng minh bất đẳng thức đại số thành việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, ta thực theo bước sau đây: -Bước 1: Từ toán với cách đặt hợp lý, ta chuyển từ toán bất đẳng thức đại số toán bất đẳng thức lượng giác -Bước 2: Thực việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác Chú ý: Để thực đề tài cách hiệu quả, ta phân loại thành dạng cụ thể, qua cách phân loại áp dụng đề tài giảng dạy cho học sinh học sinh dễ dàng tiếp thu hình thành kỹ sử dụng lượng giác vào chứng minh số toán bất đẳng thức đại số cách rõ ràng Trong khuôn khổ đề tài phân thành số dạng sau: 1- Dạng 1: Nếu cho x Ta đặt: x cos với ( đặt x sin với Các ví dụ minh họa dạng 1: Ví dụ 1: Chứng minh x (1 x )33(x x2 ) Giải Điều kiện: – x2 ³ Û ½x½ £ Đặt x = cosa với a Ỵ [0; p] Khi bất đẳng thức (1) biến đổi dạng: cos3(1 cos2 )33(cos1 cos2 ) [0;π] [ π π 2; 2] ) (1) (2) Û ½4(cos3a - sin3a) – (cosa - sina)½ £ Û ½(4cos3a - 3cosa) + (3sina - 4sin3a)½£ Û½cos3a + sin3a½£ (đúng) Û cos(3α- π ) Vậy (1) chứng minh Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ tốn bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt x cos , ta chuyển chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2) Sử dụng kiến thức lượng giác ta chứng minh bất đẳng thức (2), có nghĩa bất đẳng thức (1) chứng minh Ta xét tiếp ví dụ sau Ví dụ : Chứng minh : Giải (1) 6x x 8x2 x1 Điều kiện: Đặt: x = cos với Khi (1) 6x x 4(2x2 1) 5 trở thành: (luôn đúng) Thật theo BĐT Bunhiacopxki 3sin cos 32 sin 2 cos 2 Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Chứng minh : hx x k (2 x 1) h k (1) cos cos24(2 cos21)53sin 24 cos 25 Giải Điều kiện: x Đặt: x = cos với Khi (1) trở thành: 2h cos sin k (2cos2 1) h sin k cos h k h k2 (2) Theo BĐT Bunhiacơpski (2) ln đúng, (1) chứng minh Ví dụ : Chứng minh : Nếu x y xy (1 x2 )(1 y2) Giải Từ giả thiết: x 1, x cos , y cos (2 x 1)(2 y 1) (1) y nên ta đặt với ,0; Khi (1) trở thành: cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos cos 21 cos(22 ) (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh (a 0) 2- Dạng 2: Nếu cho x a Ta đặt: x a cos với[0;π] π π ( đặt x a sin với Các ví dụ minh họa dạng 2: Ví dụ : Chứng minh : x 15 x [ ; ]) 2 (1) Giải Điều kiện: x Đặt x = 3sin với ; 2 9 sin 24.3.sin Khi (1) trở thành : 15 cos12 sin (ln ) 15 Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Chứng minh rằng: với a >0 h a x kx (1) a h k Giải Điều kiện: x a Đặt: x asin với ; Khi (1) trở thành: h a a sin 2ka sin a h cosk sina h cos h2 a h2 k2 k2 k sin h2 k2 a2 ) a2 (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Với a > Chứng minh 2hx Giải Điều kiện: x a Đặt: x acos với a2 x2 k (2 x2 (1) h2 k 0; Khi (1) trở thành: cos a (1 cos ) ka (2 cos 1) a2 h2 k2 a 2 h cos sin k cos a h k h sin k cos h k Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Chứng minh : Với a > 0, ta có h ( x x y y a x ) k ( xy (a x )(a y ) Giải Điều kiện: x a , Đặt: x = a sin , a2 (1) trở thành: y a y = a sin với , ; 2 Khi (sin cos a2 h2 k2 (1) sin cos ) ka (sin sin cos cos ) h sin() k cos() a2 h2 (luôn ) Vậy (1) chứng minh 3- Dạng 3: Nếu cho x + y2 =1 Ta đặt: k2 a2 h2 h sin() k cos() x cos ( đặt x sin y cos h2 k2 k2 y sin ) Các ví dụ minh họa dạng 3: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu x2+y2 = x y Giải x cos 2 Khi đó, ta có: Vì x +y = 1, nên ta đặt: xy = cos sin y sin sin( ) Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = ; u2 + v2 = Chứng minh a) ½xu + yv½£ b) ½xv + yu½£ c) –2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ Giải Đặt x = cos a ; y = sin a ; u = cosb ; v = sinb £ a, b £ 2p Khi a) ½xu + yv½=½cos(a – b)½£ b) ½xv + yu½=½sin(a + b)½£ c) (x – y)(u + v) + (x + y) (u – v)=(cosa – sina)(cosb+sinb)+(cosa + sina)(cosb – sinb) sin( a ) sin( b) 2cos( a) 2cos( b) = 2cos(a + b) Rõ ràng –2 £ 2cos(a + b) £ nên –2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ Ví dụ : Chứng minh rằng: Với a, b ta có (a b)(1 ab) (1) (1 a2 )(1 b2 ) a b Giải Ta có : ) ( Nên ta ab (1 a 2 )(1 b )2 ( ) (1 a đặt: (1 a )(1 b ) (1 a )(1 b2 ) sin cos )(1 b ) a b sin , 2 (1 a )(1 b ) ab a b (1) sin 2 ab (1 a )(1 b ) cos sin (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với x , y ta có : 2x(1 y2 ) y(1 x2 ) (1) (1 x2 )(1 y2 ) 2x Giải Ta có : ( x 2 )2 ( x cos Nên ta đặt: )2 1,( x 2y y Khi (1) trở thành : , sin cos sincos sin sin() )2 1 y2 y2 2y y2 y x2 x , sin x x2 cos y )2 ( 1 (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho a 1, b Chứng minh : b Giải (1) a2 1b2 ab 1 2 ab 1 a 2 (1) ab a 21 a b b2 1 b a (2) Ta có: ( a )2 ( )2 a a nên ta đặt: cos a , ( b2 )2 b 1, sin , sin a cos b b Khi (2) trở thành: (1 )2 b , a b cos sinsin cos 1 sin() (luôn đúng) Vậy (2) nên (1) chứng minh x a cos y a sin 4- Dạng 4: Nếu cho x +y =a2 Ta đặt: ( đặt x a sin y a cos ) Các ví dụ minh họa dạng 4: Ví dụ : Cho x y2 Chứng minh 20 (1) 3x 8xy 3y2 Giải Đặt: x 2cos , y 2sin Khi (1) trở thành : 12cos232sin cos 12sin2 20 20 12(cos2sin2 ) 16.2sin cos 12 cos 16 sin 20 (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho x y R2 Chứng minh (1) hx 2kxy hy R h k Giải Đặt: x R cos , y R sin Khi (1) trở thành: hR (cos R2 sin ) kR 2 sin cos R2 h2 k2 h cos k sin R h k h cos k sin h k (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho x y2 Chứng minh : (1) x 3x 3y y3 2 Giải Đặt: x 2cos , y 2sin 10 Khi (1) trở thành : cos cos 2(4 cos 6sin 8sin 3cos ) 2(3sin cos 2sin 2 2 sin ) 2 (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh 5- Dạng 5: Nếu cho (ax) + (by) = Ta đặt: ax = sin , by = cos ( đặt ax = cos , by = sin ) Các ví dụ minh họa dạng : Ví dụ : Cho 4x + 9y = 25 Chứng minh x 12 y 25 Giải (1) (x 4x + 9y = 25 3y )2 ( Đặt: sin 2x , cos = )2 3y sin 12 cos 25 15sin20 cos 25 (luôn đúng) Khi (1) trở thành : Vậy (1) chứng minh x Ví dụ : Cho ax by a2 b2 y 2 2 Chứng minh (1) x Giải sint Đặt: cost xsint y y cost a sin t b cos t a 2 b2 Khi (1) trở thành: Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho x y2 Chứng minh : x y 12 xy Giải Đặt : 2x = cos , 3y = sin Khi (1) trở thành : cos 2sin 22sin cos cos sin 2 (luôn đúng) (luôn đúng) 12 (1) Vậy (1) chứng minh 11 Ví dụ : Cho a x b y2 Chứng minh : (1) Giải Đặt: ax = cos , by = sin Khi (1) trở thành: h (cos h(a2 x2 b y2 ) sin ) k sin cos h cos h2 k sin k 2abxy h2 k2 h2 k2 ( ) k2 Vậy (1) chứng minh 6- Dạng 6: Nếu cho x a , (a 0) a cos Ta đặt: x = với [0; ]\ a với [ 2; ]\0 ) sin Các ví dụ minh họa dạng 6: Ví dụ : Cho x Chứng minh : x2 x Giải ( đặt x = Vì giả thiết x nên ta đặt x , 0; x Ta có = x x2 cos ; cos = cos (tan + cos cos sin (1) )= cos sin (luôn đúng) x Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho x Chứng minh rằng: x2 x Giải Vì x (1) 1 nên ta đặt x x2 x cos t , t 0; 2 ; cost (tan t)cost sin t 12 x cos t sin t (luôn đúng) x Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho x Chứng minh rằng: 2 (1) x2 22 x Giải Vì x nên ta đặt x2 x ,t cos t 0; ; 2 tan t = = x cos t cos t( tan t2 ) sin t2 cos t (ln đúng) 22 Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho a 1, b Chứng minh rằng: a2 Giải (1) a b2 1 b2 ab (1) (2) ab Vì a 1, b nên ta đặt a , b cos Khi (2) trở thành : cos cos (tan tan tan cos cos tan ) 1 cos 2 sin() Vậy (2) nên (1) chứng minh Ví dụ 5: Chứng minh rằng: Giải x2 Điều kiện: x2 – ³ Û ½x½ ³ với ,0; x (luôn đúng) (1) ; 13 t: ẵxẵ = cos , vi a ẻ [0; ) Khi bất đẳng thức (1) biến đổi dạng: 2 1 cos tg3 cos cos2 Û sina + cosa £ Û sina + cosa £ 2 Û sin (a + ) £ (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ : Cho a Chứng minh : a2 12 a2 Giải Đặt a Khi cos t , t 0; ; 2 A = 12 a2 (5 12 tan t ) c os2t 5cos t 12 sin t cos t a2 5 (1+cos2t) 6sin2t = 2 cos2t 6sin2t cos 2t sin 2t 2 Vì Nên 13 A5 2 (5 )2 13 = 13 A Ví dụ : Cho x c Chứng minh (a a2 b c ) a b x2 c2 (a a b c2 ) Giải c 2 c2 2 Vì nên đặt : x = c x x2 c cos t , với t a bc tan t a b x c = c2 x2 cos2 t Khi A = 0; 2 ; (a bc tan t) cos t c2 1 a = c (a.cos2 t bc tan t.cos2 t) c [ (1 cos 2t ) bc sin t cos t ] = c a [ 2 ( a cos 2t bc sin 2t )] 14 Vì a a cos 2t bc sin 2t 7- Dạng 7: Nếu cho x a2 b2c2 ) A nên ( a 2 bc c2 Ta đặt: x = tan (a c2 ( với ; a2 b c2 ) ) 22 Các ví dụ minh họa dạng 7: (hoặc ta đặt x = cot với (0; )) ta có Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với x (1) 5x 24x 13(x2 1) Giải Ta có (1) Đặt x 5( x2 = 13 1) 24x x2 tan với 5(tan (2) ( Khi ;2 ) 5cos 12sin 13 1) 12.2 tan tan Vậy (2) nên (1) chứng minh Ví dụ : Chứng minh : Với x ta có ax2 Giải (1) a( x2 2kbx k 2a k ) 2kbx x 2k Đặt x = k tan a a2 b (x (1) k ) (2) ; ) 1) k b tan a 2b a cos b sin (1)1 81 ( a với – a thỏa mãn a b c Chứng minh a b c 2 3abc Bài 15: Cho x, y, z x Chứng minh (Poland 1999) y z x yz y zx z xy Bài 16: Cho a , b, c (0;1) thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng: x y z a b c a2 b2 c2 31 a2 4( a b2 b c2 c ) Bài 17: Cho £ £ , i = 1, 2, …, n Chứng minh (1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) £ 22 Bài 18: Cho số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt Chứng minh chọn số cho: a j