Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong cấu trúc đề thi Đại học – Cao Đẳng và các kỳ thi học sinh giỏi thường

có phần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hoặc chứng minhbất đẳng thức Tuy nhiên việc giải quyết các bài tập phần này thường khó và không

có một “công thức” chung cho các bài Đôi khi các công cụ học sinh đã biết không

đủ để giải quyết các bài tập này, hoặc để sử dụng được các công cụ đã học ngườihọc phải vượt qua được các bước biến đổi phức tạp mới giải quyết được bài toánđó

Một trong các ứng dụng của số phức là có thể dùng để chứng minh bất đẳngthức và tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Mặc dù số phức đã được đưa vào chương trình phổ thông song nội dung cònkhá đơn giản, các tài liệu về phần ứng dụng của số phức cho học sinh phổ thôngcòn chưa nhiều Nên việc nghiên cứu thêm những điều lý thú của số phức đối vớihọc sinh phổ thông là thực sự cần thiết

Vì những lý do trên, tôi đã đưa ra sáng kiến:”Ứng dụng số phức để chứng

minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ” nhằm giúp

học sinh giải một lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức(hoặc tìm cực trị của biểuthức) góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và giúp học sinh đạt kết quả tốttrong các kỳ thi

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT Làm cho học

sinh hiểu, dễ nhớ và áp dụng được số phức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giátrị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Từ đó học sinh nắm được các cách giải quyếtkhác nhau của cùng một bài toán và thấy được sự tiện lợi của của số phức

3 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu và ứng dụng số phức để chứng minh một lớp bài toán về bất đẳngthức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh trường THPT ,khối lớp 12

B NỘI DUNG

+ | | | | |z z1 2 z1 z2 | + | |z 2z z  z2 a2 b2

+ z1 z2  z1 z2 ; z1  z2  z1 z2

+ | | |z1  z2| | z1z2| | | | z1  z2| + | | |z1  z2||z1 z2| | | |z1  z2|

Tổng quát: Cho n số phức z z1 , , , 2 z n ta luôn có bất đẳng thức

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

- Mỗi chúng ta đều nhận thấy Toán hoc là môn học khó, không phải học sinhnào cũng tiếp thu tốt kiến thức toán học Bất đẳng thức và các bài toán cực trịthường là những bài khó, rất dễ gặp trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng,thi học sinh giỏi Khi học sinh giải quyết một bài toán dạng này thường lúngtúng, dễ rơi vào bế tắc, không biết làm thế nào khi đó sẽ dẫn đến mất hứng thú họctập của học sinh

- Trên thực tế, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh (về vấn đề chứngminh bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) và đã thu được kết qua nhưsau:

SL % SL % SL % SL % SL %

Như vậy rõ ràng số lượng học sinh nắm bắt dạng toán này không nhiều với lý

do không nhận dạng, không định hướng được cách giải như thế nào

3 Các biện pháp thực hiện

a, Các yêu cầu chung

- Điều tra học lực của học sinh qua các bài kiểm tra

- Tổ chức ôn tập vào các buổi ngoại khoá nhằm tăng thời lượng luyện tập giải toán

- Khi ra bài tập cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện đầy đủ một sốnội dung sau:

+) Đọc kỹ nội dung bài toán

+) Nhận dạng bài toán thuộc dạng toán nào, thực hiện phép "quy lạ về quen"

+) Xác định rõ yêu cầu bài toán

+) Xác định đúng giả thiết, kết luận (có thể viết giả thiết dưới dạng khác đượckhông?)

+) Tự mình tiến hành giải bài toán

+) Kiểm tra xem đã vận dụng hết giả thiết chưa, trong bài sử dụng những kiến thứcnào?

+) Đối chiếu với cách giải của bạn, của thầy

+) Tìm thêm các lời giải khác cho bài toán (nếu có)

+) Rút ra kinh nghiệm cho bản thân

Cách giải: - Biến đổi các căn thức đó về dạng 2 2

1 2

a a , 2 2

1 2

b b , sau đó tachọn số phức z1 a1 a i z2 ; 2  b b i1 2 , sao cho 2 2 2 2

z  a a z  b b ,

- Áp dụng bất đẳng thức sau suy ra điều phải chứng minh (Giá trị lớn nhất, nhỏnhất)

| | |z1  z2| | z1z2| | | | z1  z2| | | |z1  z2 ||z1 z2| | | |z1  z2|

Tổng quát: Cho n số phức z z1 , , , 2 z n ta luôn có bất đẳng thức

|z1z2  z n | | | | z1  z2|   z n

Ví dụ 1. Cho các số thức a b c, , Chứng minh rằng:

a2 ab b 2  a2 ac c 2  b2 bc c 2

Lời giải thường gặp Sử dụng phương pháp hình học

Chọn tọa độ 3 điểm A, B, C sao cho

2

2 ab b

a

AB   ; BC  a2 acc2; AC b2 bcc2

Sau đó sử dụng tính chất ABBC AC suy ra kết quả

Nhận xét Rõ ràng cách giải trên việc chọn tọa độ các điểm A, B, C không dễ đối

với nhiều học sinh Vậy có cách khác không?

Lời giải đề xuất Ta có:

Lời giải thường gặp:

Nhận xét: Đây là bài toán khó, nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải bài này.

Trong lời giải việc chứng minh 2 2 2 3 5 ( )2 0

4

a ab b    a b  không tựnhiên Có cách nào chứng minh bài toán này đơn giản không?

Nhận xét: Như vậy cách giải này chúng ta đã sử dụng kiến thức số phức để giải.

lời giải tự nhiên hơn và nhẹ nhành hơn

Ví dụ 3 Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn a b c  3 Chứng minh rằng: a2 ab b 2  b2 bc c 2  c2 ca a 2 3 3

Lời giải thường gặp Ta có

a ab b  a b  a b  a b (1)

Cộng vế theo vế của (1); (2); (3) ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Rõ ràng cách giải trên không dễ đối với nhiều học sinh việc biến đổi

chọn các số phức thích hợp z z z và áp dụng bất đẳng thức1; ;2 3

| | |z  z | | z | | z z z | Từ đó ta có lời giải sau

Lời giải đề xuất Đặt u 1,v 1;w 1

Vậy (1) luôn đúng Ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi 1 3

3

Ví dụ 5 Chứng minh rằng 2 cosx  sinxcosx 1 (1)

Nhận xét Để vận dụng số phức chứng minh bất đẳng thức (1) chúng ta biến đổi

2 cosx  sinxcosx  cos2 xcos2 x (sinxcos )x 2

Đặt z1  cosx cos ;x i z2  sinx cosx

Lời giải đề xuất Ta có

2 cosx sinxcosx  cos xcos x (sinxcos )x

Đặt z1  cosx cos ;x i z2  sinx cosx Khi đó

1

2 2

Đẳng thức xẩy ra khi chỉ khi cosx = 0 ,

z  b b i z   b a   b i z   a  ai ta có lời giải sau:

Lời giải đề xuất Ta có

Do vậy với các bài toán trên chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp toạ

độ trong mặt phẳng để giải Song nhằm hiểu rõ hơn về tính chất cũng như ứng dụng của số phức nên việc áp dụng số phức để giải cũng làm phong phú hơn phương pháp giải bất đẳng thức.

Ví dụ 8 Cho các số thực dương x y z, , thoả mãn x y z  1

Nhận xét Đây là bài toán có nhiều cách giải, song các cách đều đưa về việc áp

dụng bất đẳng thức AM-GM Vì vậy “cái khóa” ở đây chính là đưa được ra nhậnxét

Ví dụ 9 Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm gá trị nhỏ nhất của biểu thức

Như vậy cả 2 trường hợp trên a luôn có A  2 3, x y R, 

Vậy Min A= 2  3 đạt tại (x,y)=(0; 1

Nhận xét: Mấu chốt ở đây là chúng ta đã đưa kiến thức số phức để làm xuất hiện

2

2 1y  y 2

Ví dụ 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x6 3y4  y6 3x4

trong đó x y, là các số dương thay đổi thoả mãn 1 1 2

Vậy MinP = 4 đạt được khi x y z  1

Ví dụ 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

trong đó x y, là các số dương thoả mãn xyz=8

Lời giải đề xuất Đặt z1  log 2x i ; z1  log 2 y i ; z1  log 2z i

(log log log ) 4 (log ) 16 9 16 5

xyz

Như vậy P nhỏ nhất bằng 5 khi chỉ khi x y 4 8;z 2 2

Ví dụ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Như vậy P nhỏ nhất bằng 2 2 khi chỉ khi x 0

Ví dụ 13 Cho cặp số (x;y) thỏa mãn 3x 4y 26

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Vậy Pmin=10 khi (x;y)=(6;2)

Ví dụ 14 Cho cặp số (x;y) thỏa mãn x2 y2  14x 10y 58 0  (1)

Đẳng thức xẩy ra khi chỉ khi (8-x)(10-y)=(x+2)(y-6) tức là: 2x+5y=46 (3)

Từ (1) và (3) ta có hệ

2 2 14 10 58 0 (1) 2x 5y 46 (3)

180 2 415 29

Nhận xét Từ giả thiết ta chuyển biểu thức P về biểu thức có chứa tổng bình

phương của a và b và gọi số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thoả mãn điềukiện (1) Như vậy bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P ta quy về bài toántìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z từ đó ta có lời giải sau

Lời giải đề xuất Từ (1) ta có 1 2 2

Giả sử số phức z = a+bi, a, bR thoả mãn (1): (a-4)2 + (b-3)2 = 9 (C) Khi đó tậphợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(4;3), bán kính r = 3 GọiM(a;b) thuộc đường tròn (C) như vậy

P nhỏ nhất  a2 +b2 nhỏ nhất  z nhỏ nhất OM nhỏ nhất

P lớn nhất  a2 +b2 lớn nhất  z lớn nhất OM lớn nhất

Như vậy 0M1 nhỏ nhất, 0M2 lớn nhất

Ta đã tìm được 1

8 6 ( ; )

5 5

32 24 ( ; )

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: P = (a c ) 2  (b d ) 2

Nhận xét Từ giả thiết ta gọi số phức z1 = a + bi, với a, b là các số thực thoả mãnđiều kiện (1), z2 = c + di, với c, d là các số thực thoả mãn điều kiện (2)

Gọi z = z1 – z2 Như vậy bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P ta quy về bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z từ đó ta có lời giải sau

Lời giải đề xuất Từ giả thiết ta có (1) 2 2

(a 1) (b 1) 1

     (C1) (2)  (c 6) 2  (d 6) 2  36 (C2)

Giả sử số phức z = a + bi; a, b là các số thực thoả mãn điều kiện (1) và

z2 = c + di; c, d là các số thực thoả mãn điều kiện (2) Khi đó tập hợp các điểmbiểu diễn số phức z1 nằm trên vòng tròn tâm I1(1;1) bán kính r1 = 1; tập hợp cácđiểm biểu diễn số số phức z2 nằm trên vòng tròn tâm I2(6;6) bán kính r1 = 6; ta đặt

z = z1 – z2 =(a-c) +(b-d)i Như vậy bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P taquy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z Giả sử M(a;b)(C1) là điểmbiểu diễn cho số phức z1 N(c;d)(C2) là điểm biểu diễn cho số phức z2 Khi đó z

Bài toán 2(dấu hiệu 2) Một số bất đẳng thức hình học mà tổng của các tích giữa độ dài các cạnh a, b, c và MA, MB, MC lớn hơn hoặc bằng tích 3 cạnh Cách giải: - Chuyển đổi các quan hệ trong mặt phẳng thành các điều kiện liên

quan đến số phức

- Sử dụng các công thức

*1) ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = -(a-b)(b-c)(c-a)

*2) a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) = - (a-b)(b-c)(c-a)

*3) a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b) = - (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (với mọi a, b, c)

Ví dụ 17 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng Chứng minh

rằng: a MB MC b MC MA c MA MB abc    (1) với a BC b AC c AB ,  , 

Nhận xét Để vận dụng số phức chứng minh bất đẳng thức (1) chúng ta cần

chuyển đổi MA, MB, MC và các cạnh a,b,c trong mặt phẳng thành các điều kiệnliên quan đến số phức mà để dễ dàng trong chuyển đổi ta cần chọn vị trí thích hợpcho điểm M sau đó chúng ta sử dụng các công thức (*1) và một số bất đẳng thức

đã biết ta suy ra điều phải chứng minh

Lời giải đề xuất Xét mặt phẳng phức có M là gốc tọa độ Tọa độ các điểm là

A(x), B(y), C(z) Khi đó ta có MAx MB, y MC, z và

nên bài toán được chứng minh

Ví dụ 18 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng

Chứng minh rằng a MA 2 b MB 2 c MC 2 abc với a BC b AC c ,  , AB

Lời giải đề xuất Xét mặt phẳng phức có M là gốc tọa độ Tọa độ các điểm là

A(x), B(y),C(z) Khi đó ta có MAx MB, y MC, z

Ví dụ 19 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng

nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 20 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M là một điểm bất kì trong mặt

phẳng Chứng minh rằng a MA 3 b MB 3 c MC 3  3abc MG.

với a BC b AC c ,  , AB

Lời giải đề xuất Xét mặt phẳng phức với M là gốc tọa độ Tọa độ các điểm là

A(x), B(y), C(z) Tọa độ của điểm G là

Sử dụng *3) và bất đẳng thức tam giác ta có điều phải chứng minh

Bài toán 3(dấu hiệu 3) Trong các bài toán bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất) trong tam giác có chứa bình phương độ dài của các đoạn thẳng

Cách giải: - Chọn đường tròn đơn vị (0;R) ngoại tiếp ABC

- Giả sử tọa độ các đỉnh là A z( ) 1 , B z( ) 2 , C z( ) 3

- Sử dụng kiến thức số phức suy ra kết quả

Ví dụ 21 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c.

Chứng minh rằng a2 b2 c2  9R2 (1)

Nhận xét Trong bất đẳng thức (1) có chứa bình phương độ dài của các đoạn

thẳng Các đại lượng đó cũng chính là bình phương môđun của các số phức tươngứng Từ đó áp dụng các kiến thức về số phức ta dễ dàng suy ra yêu cầu của bàitoán Để vận dụng số phức chứng minh bất đẳng thức (1) chúng ta cần chọn đườngtâm 0 (0 là gốc tọa độ) là đường tròn đơn vị ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải đề xuất: Ta chọn đường tròn tâm (0,R) ngoại tiếp tam giác ABC là

đường tròn đơn vị với gốc tọa độ 0

Giả sử tọa độ các đỉnh là A z( ) 1 , B z( ) 2 , C z( ) 3 , khi đó theo bài ra ta có

  , hay ABC đều

Ví dụ 22 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (0;R) cho trước Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P BC 2  CA2  AB2, tính giá trị đó theo R

Lời giải đề xuất: Ta chọn đường tròn tâm (0,R) ngoại tiếp tam giác ABC là đường

tròn đơn vị với gốc tọa độ 0 Giả sử tọa độ các đỉnh là A z( ) 1 , B z( ) 2 , C z( ) 3 , khi đó

0 ' 0A B 0C 0

   

(2)

mà (2) xẩy ra khi chỉ khi A BC' đều hay ABC cân ở đỉnh A và BAC 120o Từ

đó ta có AB = AC = R Vậy Pmax = R2 khi chỉ khi ABC thỏa mãn AB = AC = R

Ví dụ 23 Cho ABC với trọng tâm là G, M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng tam giác Chứng minh rằng:

a, AB2 BC2 CA2  3(GA2 GB2 GC2 )

b, MA2 MB2 MC2 GA2 GB2 GC2  3MG2 Hãy tìm trong ABC điểm Msao cho MA2 MB2 MC2 là nhỏ nhất

Nhận xét Bài toán ta có thể sử dụng kiến thức véc tơ để giải Tuy nhiên ta cũng có

thể sử dụng kiến thức số phức để giải bài toán này

Lời giải đề xuất Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng trọng tâm

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = a+b+c+d

Bài tập 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a, ngoại tiếp đường tròn tâm 0 Cho P là

điểm bất kỳ trên đường tròn đó Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = PA2+PB2+PC2+PC2

C KẾT LUẬN

1 Kết luận về phương pháp đề xuất.

Đề tài đã được kiểm nghiệm trong quá trình dạy học toán trong nhà trường, đặc

biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi đại học-cao đẳng và đã thuđược kết quả khả quan trong những năm gần đây So với phương pháp thường gặpthì phương pháp ứng dụng số phức mà tôi đề xuất có những ưu điểm sau

- Có định hướng nhận dạng bài toán tìm cách giải và quy trình giải rõ ràng

- Các bài toán giải một cách tự nhiên, phù hợp với tư duy toán học

- Giải được lớp bài toán rộng hơn, hơn nữa nó áp dụng cho một số lớp bài toánmới

- Gây hứng thú học tập cho học sinh, học sinh tự tin hơn khi gặp các dạng toánnày

Tuy nhiên trong một số ví dụ đơn giản của dạng toán này có thể dùng phươngpháp tọa độ để giải một cách ngắn gọn hơn.

2 Kiến nghị áp dụng vào thực tiễn giảng dạy

Để giúp học sinh giải các lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức (tìm giá trị lớnnất, nhỏ nhất) bằng phương pháp số phức, trong quá trình dạy số phức người dạycần chú ý làm rõ các nội dung sau:

- Khi dạy về các công thức (tính chất) số phức ngoài việc áp dụng một chiều tacần cho học sinh tập suy luận ngược lại

- Mỗi lớp bài toán đã nêu trên, cần định hướng rõ cho học sinh biểu thức dướicăn thức bậc hai chuyển sang tổng các bình phương

- Đối với học sinh khá giỏi, khuyến khích từ các dữ liệu bài toán này để đặt racác bài toán mới, như thế tạo hứng thú học tập trong học sinh

3 Khả năng ứng dụng của đề tài.

Đề tài có nhiều hướng để mở rộng, không chỉ dừng lại ở việc khai thác một sốdạng bài toán đã có trong sách giáo khoa Chúng ta có thể xây dựng nhiều bất đẳngthức về tính chất môđun của số phức Chúng ta cũng có thể xây dựng và hoàn thiệntheo hướng ứng dụng số phức để tìm cực trị trong các bài toán hình học ở mức độcao hơn

Nội dung đề tài phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh, nó giúp quy “khó thành dễ” để giải các bài toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 30 năm tạp chí Toán học và tuổi trẻ, NXBGD, 2000

2 Sách giải tích 12, NXB GD

3 Sách bài tập giải tích 12, NXB GD

4.Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo Toán học, NXBGD,2002

5 Nguyễn Thái Hòe, Tìm tòi lời giải bài toán, NXBGD, 1990

6 Tuyển tập các bài toán sơ cấp, NXBGD, 1975

7 Tuyển chon theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ, Quyển 2, NXBGD, 2006

8.Titu Andreescu, Dorinandrica, Complex numbers from A to Z

9 Joseph Bak, Donald Newman, Complex Analysis