Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dun[r]
(1)S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình toán học phổ thông và giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức là nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ ) Số phức là vấn đề hoàn toàn và khó học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng nó Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mẻ Vì đưa vào chương trình SGK nên có ít tài liệu số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập các dạng bài tập số phức SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng số phức, quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác toán học để xây dựng các dạng bài tập cho học sinh tư duy, giải Một các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng các Ck n ” trên sở khai thác tính chất số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton Để nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn công tác giảng dạy chung nhà trường, mong đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung các đồng chí tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác Vĩnh Yên, ngày 20 tháng năm 2009 Người thực Lê Hồng Thái -1Lop12.net (2) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT: 1- Khai triển nhị thức Newton: Với x và với nN* ta có: (1 + x)n = C 0n xC1n x 2C 2n x n-1C nn-1 x n C nn 2- Các tính chất số phức dùng đề tài: * Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ và x = x/ và y = y/ * z = r(cos + isin) zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn) * Giải phương trình: x3 – = 3 i;x i Ta các nghiệm là x1 = 1; x 2 2 Các nghiệm đó chính là các bậc ba 1 3 i ε2 i và ε có các tính chất sau: Đăt: ε 2 2 1) ε + ε = -1 2) ε3 3) ε 3k 4) ε 3k ε 5) ε 3k ε (k – nguyên) 3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng các C nk ? Đây là vấn đề lớn cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng các Ck n tổng này có hai đặc điểm: * Các dấu tổng xen kẽ * k luôn lẻ, luôn chẵn chia k cho số ta luôn cùng số dư (trong chương trình phổ thông ta cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2) -2Lop12.net (3) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 4- Các tổng C nk tính nào ? * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo cùng số phức hai cách tính * Khai triển trực tiếp các số phức (thường xét các số phức có argument là , , ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo cùng số phức hai cách tính * Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo cùng số phức hai cách tính * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các bậc ba đơn vị Cộng vế theo vế các đẳng thức thu Suy giá trị tổng cần tìm Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có đặc điểm gì để lựa chọn các cách trên Chủ yếu là vào hệ số các C nk tổng Để nói chi tiết điều này đòi hỏi phải có lượng lớn nhận xét, vượt quá khuôn khổ cho phép đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi đưa số ví dụ minh hoạ cho dạng, qua đó người đọc tự trả lời câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì? II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ: Dạng 1:Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là số phức thích hợp khai triển trực tiếp các số phức Ví dụ 1: C2 C4 C6 C 2004 C 2006 C 2008 Tính tổng A = C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C3 C5 C7 C 2005 C 2007 C 2009 B = C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 -3Lop12.net (4) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn Giải: Xét khai triển: xC1 x 2C x 2008C 2008 x 2009C 2009 (1 + x)2009 = C 2009 2009 2009 2009 2009 Cho x = - i ta có: iC1 i 2C i 2008C 2008 i 2009C 2009 (1 – i )2009 = C 2009 2009 2009 2009 2009 C2 C4 C6 C2004 C2006 C2008 ) + = ( C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C3 C5 C7 C2005 C2007 C 2009 )i + ( C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 Mặt khác: π π (1 i) 2009 ( ) 2009 cos isin 4 2009 ( ) 2009 cos 2009π 2009π isin 4 π π 1004 1004 = ( )2009 cos isin ( )2009 i 2 2 i 4 2 So sánh phần thực và phần ảo (1 – i )2009 hai cách tính trên ta được: C2 C4 C6 C2004 C2006 C2008 = 21004 A = C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C3 C5 C7 C2005 C2007 C2009 = - 21004 B = C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 Ví dụ 2: Tính tổng: C = 2 23 46 24 48 25 50 C50 3C50 C50 C50 C50 C50 50 Giải: Xét khai triển: i 2 50 2 49 49 50 50 C50 (i )C50 (i ) C50 (i ) C50 (i ) C50 50 2 4 46 46 48 48 50 50 C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 250 -4Lop12.net (5) ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm + 3 5 47 47 49 49 3C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 i 50 50 Mặt khác: i 2 So sánh phần thực i 2 C= 50 2π 2π isin cos 100π 100π isin i 2 cos 50 hai cách tính trên ta được: 1 2 23 46 24 48 25 50 C50 3C50 C50 C50 C50 C50 250 Ví dụ 3: Tính tổng: D = 310 C0 39 C2 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 20 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: i 20 ( ) 20 C i( )19 C1 ( )18 C ( ) C18 i 3C19 C 20 = 20 20 20 20 20 20 = ( 310 C0 39 C2 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 ) + 20 20 20 20 20 20 20 + ( )19 C1 ( )17 C3 ( )3 C17 3C19 i 20 20 20 20 Mặt khác: i 20 220 cos 1 220 i 2 20 π π 220 cos isin 6 20 220 cos 20π 20π isin 6 4π 4π isin 220 i 219 219 i 3 So sánh phần thực i 20 hai cách tính trên ta có: D = 310 C0 39 C2 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 = - 219 20 20 20 20 20 20 20 -5Lop12.net (6) ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là số phức thích hợp Ví dụ 1: Tính tổng: D = C1 3C 5C5 7C7 25C 25 27C 27 29C 29 30 30 30 30 30 30 30 E = 2C 4C4 6C6 8C8 26C 26 28C 28 30C 30 30 30 30 30 30 30 30 Giải: (1 + x)30 = C xC1 x 2C x 3C3 x 28C 28 x 29C 29 x 30C30 30 30 30 30 30 30 30 Đạo hàm hai vế ta có: 30(1 + x)29 = C1 2xC 3x 2C3 28x 27 C 28 29x 28C 29 30x 29C30 30 30 30 30 30 30 Cho x = i ta có: 30(1 + i)29 = ( C1 3C3 5C5 7C7 25C25 27C27 29C29 ) + 30 30 30 30 30 30 30 + ( 2C2 4C4 6C6 8C8 26C26 28C28 30C30 )i 30 30 30 30 30 30 30 Mặt khác: 30(1 + i)29 = 30 29 π π cos isin 4 29 30 29 29π 29 cos 29π isin 4 30 2 i 15.215 15.215 i 2 So sánh phần thực và ảo 30(1 + i)29 hai cách tính trên ta có: D = C1 3C3 5C5 7C7 25C25 27C27 29C29 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 E = 2C2 4C4 6C6 8C8 26C26 28C28 30C30 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 Ví dụ 2: Tính tổng S = 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310 C20 20 20 20 20 20 -6Lop12.net (7) ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = = C ( 3x)C1 ( 3x) C ( 3x)3 C3 ( 3x)19 C19 ( 3x) 20 C 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20 (1 3x)19 = = 3C1 2.3xC 3.( )3 x 2C3 19.( )19 x18C19 20.310 x19C 20 20 20 20 20 20 Cho x = i ta có: 20 (1 3i)19 = 17 19 = 3C1 3 C3 C5 17 C17 19 C19 20 20 20 20 20 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310 C20 i 20 20 20 20 20 19 19 1 π π 19 19 19 Mặt khác: 20 (1 3i) = 20 3.2 i 20 3.2 cos isin 3 2 1 19π 19π 20 3.219 cos isin i 10 3.219 30.219 i 20 3.219 3 2 So sánh phần ảo 20 (1 3i)19 hai cách tính trên ta có: S = 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310 C20 = 30.219 20 20 20 20 20 Ví dụ 3: Tính các tổng sau: M = C0 3C2 5C4 7C6 13C12 15C14 15 15 15 15 15 15 N = 2C1 4C3 6C5 8C7 14C13 16C15 15 15 15 15 15 15 Giải: Xét khai triển: -7Lop12.net (8) ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm (1 + x)15 = C xC1 x 2C x 3C3 x13C13 x14C14 x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta có: x(1 + x)15 = xC x 2C1 x 3C x 4C3 x14C13 x15C14 x16C15 15 15 15 15 15 15 15 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = C 2xC1 3x 2C 4x 3C3 14x13C13 15x14C14 16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = = C0 3C2 5C4 7C6 13C12 15C14 + 15 15 15 15 15 15 + 2C1 4C3 6C5 8C 14C13 16C15 i 15 15 15 15 15 15 Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 15 15 cos π4 isin π4 14 14 cos π4 isin π4 15i 15 15π 14π 14π 15 cos 15π isin isin 15.27 i cos 2 4 4 2 i 15.27 2 27 27 i 15.27 14.27 27 i 7.28 27 i So sánh phần thực và ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính trên ta có: M = C0 3C2 5C4 7C6 13C12 15C14 = 7.28 15 15 15 15 15 15 N = 2C1 4C3 6C5 8C7 14C13 16C15 = -27 15 15 15 15 15 15 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các bậc ba đơn vị Để tiện cho việc theo dõi biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề bậc ba đơn vị (đã trình bày phần I đề tài): Giải phương trình: x3 – = -8Lop12.net (9) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 3 i;x i Ta các nghiệm là x1 = 1; x 2 2 Các nghiệm đó chính là các bậc ba 1 3 i ε2 i và ε có các tính chất sau: Đăt: ε 2 2 1) ε + ε = -1 2) ε3 3) ε 3k 4) ε 3k ε 5) ε 3k ε (k – nguyên) Sử dụng các tính chất trên ε ta có thể tính các tổng sau: Ví dụ 1: Tính tổng: S = C0 C C6 C 3k C15 C18 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C xC1 x 2C x 3C3 x18C18 x19C19 x 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta có: 220 = C C1 C C3 C18 C19 C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: (1 + ε )20 = C εC1 ε 2C C3 C18 εC19 ε 2C 20 20 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: (1 + ε )20 = C ε 2C1 εC C3 C18 ε 2C19 εC 20 20 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: -9Lop12.net (3) (10) ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 220 + (1 + ε )20 +(1 + ε )20 = 3S Mặt khác: (1 ε) 20 (ε ) 20 ε 40 ε ; (1 ε ) 20 (ε) 20 ε 20 ε Do vậy: 3S = 220 – Hay S = 20 Ví dụ 2: Tính tổng T = C1 C4 C7 C 3k 1 C16 C19 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C xC1 x 2C x 3C3 x18C18 x19C19 x 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 Nhân hai vế với x2 ta có: x2(1 + x)20 = x 2C x 3C1 x 4C x 5C3 x 20C18 x 21C19 x 22C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta có: 220 = C C1 C C3 C18 C19 C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: ε (1 + ε )20 = ε C C1 εC ε 2C3 C ε 2C18 C19 εC 20 20 20 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: ε (1 + ε )20 = ε C C1 ε 2C εC3 εC18 C19 ε 2C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có: 220 + ε (1 + ε )20 + ε (1 + ε )20 = 3T Mặt khác: ε (1 + ε )20 = ε 42 ; ε (1 + ε )20 = ε 21 Do vậy: 3T = 220 + Hay: T = 20 - 10 Lop12.net (3) (11) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn Ví dụ 3: Tính tổng: P = C0 3C 6C6 3kC3k 15C15 18C18 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C xC1 x 2C x 3C3 x18C18 x19C19 x 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20(1 + x)19 = C1 2xC 3x 2C3 18x17 C18 19x18C19 20x19C 20 (*) 20 20 20 20 20 20 Nhân hai vế (*) với x ta có: 20x(1 + x)19 = xC1 2x 2C 3x 3C3 18x18C18 19x19C19 20x 20C 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta được: 20.219 = C1 2C 3C3 4C 18C18 19C19 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: 20 ε (1 + ε )19 = εC1 2ε 2C2 3C3 4εC4 18C18 19εC19 20ε 2C20 20 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: 20 ε 2(1 + ε 2)19 = ε C1 2εC 3C3 4ε C 18C18 19ε C19 20εC 20 (3) 20 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: 20[219 + ε (1 + ε )19 + ε 2(1 + ε 2)19 ] = 3P - C0 20 Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε(ε )19 ε 39 1 ε 2(1 + ε 2)19 = ε (ε)19 ε 21 1 Vậy 3P = + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy P = - 11 Lop12.net 10.2 20 13 (12) ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm III- MỘT SỐ BÀI TẬP: 1- Tính các tổng sau: 27 29 A 3C1 3 C3 C5 27 C27 29 C29 30 30 30 30 30 A 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 28.314 C28 30.315 C30 30 30 30 30 30 Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3x 30 Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo hai số phức ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229 2- Tính các tổng sau: B C0 2C2 3.4C4 5.6C6 7.8C8 21.22C22 23.24C24 25 25 25 25 25 25 25 B C1 2.3C3 4.5C5 6.7C 8.9C9 22.23C 23 24.25C 25 25 25 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3- Tính các tổng sau: C C0 3C2 5C4 7C6 17C16 19C18 21C20 20 20 20 20 20 20 20 C 2C1 4C3 6C5 8C 16C15 18C17 20C19 20 20 20 20 20 20 20 Hướng dẫn: Xét khai triển: ( + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210 4- Tính các tổng sau: D 12 C1 32 C3 52 C5 C7 952 C95 97 C97 992 C99 100 100 100 100 100 100 100 D 2 C C C 82 C8 96 C96 982 C98 100 C100 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 - 12 Lop12.net (13) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 5- Tính tổng sau: E = 2C2 5C5 8C8 20C20 23C23 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau đó nhân hai vế với x2 Cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận ta tìm E 25(2 24 1) ĐS: E = – Tính các tổng sau: F C1 42 C4 C7 102 C10 37 C37 402 C40 40 40 40 40 40 40 F 2 C 52 C5 82 C8 112 C11 352 C35 382 C38 40 40 40 40 40 40 F C 32 C3 C C9 36 C36 39 C39 40 40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Xét khai triển ( 1+ x)40 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Để có F1 ta cho x là 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận Làm nào để có F2, F3 mong độc giả cùng tìm tòi chút ! ĐS: F 40.41(238 1) F 40(239 1) 39.40(238 1) 40(239 1) 39.40(238 2) 1 F 3 - 13 Lop12.net (14) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 7- Tính các tổng sau: G C0 4C3 7C6 10C9 34C33 37C36 40C39 40 40 40 40 40 40 40 G 2C1 5C 8C 11C10 35C34 38C37 41C 40 40 40 40 40 40 40 40 G 3C 6C5 9C8 12C11 36C35 39C38 40 40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Để có G1 ta cho x là 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận Làm nào để có G2, G3 mong độc giả cùng tìm tòi chút ! ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28 - 14 Lop12.net (15)