Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng số phức để tính tổng của các Ckn

Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dun[r]

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình toán học phổ thông và giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức là nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ   ) Số phức là vấn đề hoàn toàn và khó học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng nó Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mẻ Vì đưa vào chương trình SGK nên có ít tài liệu số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập các dạng bài tập số phức SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng số phức, quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác toán học để xây dựng các dạng bài tập cho học sinh tư duy, giải Một các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng các Ck n ” trên sở khai thác tính chất số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton Để nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn công tác giảng dạy chung nhà trường, mong đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung các đồng chí tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác Vĩnh Yên, ngày 20 tháng năm 2009 Người thực Lê Hồng Thái -1Lop12.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT: 1- Khai triển nhị thức Newton: Với x và với nN* ta có: (1 + x)n = C 0n  xC1n  x 2C 2n   x n-1C nn-1  x n C nn 2- Các tính chất số phức dùng đề tài: * Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ và x = x/ và y = y/ * z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn) * Giải phương trình: x3 – = 3 i;x    i Ta các nghiệm là x1 = 1; x    2 2 Các nghiệm đó chính là các bậc ba 1 3 i  ε2    i và ε có các tính chất sau: Đăt: ε    2 2 1) ε + ε = -1 2) ε3  3) ε 3k  4) ε 3k   ε 5) ε 3k   ε (k – nguyên) 3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng các C nk ? Đây là vấn đề lớn cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng các Ck n tổng này có hai đặc điểm: * Các dấu tổng xen kẽ * k luôn lẻ, luôn chẵn chia k cho số ta luôn cùng số dư (trong chương trình phổ thông ta cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2) -2Lop12.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 4- Các tổng C nk tính nào ? * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo cùng số phức hai cách tính * Khai triển trực tiếp các số phức (thường xét các số phức có argument là    ,    , ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo cùng số phức hai cách tính * Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo cùng số phức hai cách tính * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các bậc ba đơn vị Cộng vế theo vế các đẳng thức thu Suy giá trị tổng cần tìm Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có đặc điểm gì để lựa chọn các cách trên Chủ yếu là vào hệ số các C nk tổng Để nói chi tiết điều này đòi hỏi phải có lượng lớn nhận xét, vượt quá khuôn khổ cho phép đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi đưa số ví dụ minh hoạ cho dạng, qua đó người đọc tự trả lời câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì? II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ: Dạng 1:Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là số phức thích hợp khai triển trực tiếp các số phức Ví dụ 1:  C2  C4  C6   C 2004  C 2006  C 2008 Tính tổng A = C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009  C3  C5  C7   C 2005  C 2007  C 2009 B =  C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 -3Lop12.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn Giải: Xét khai triển:  xC1  x 2C   x 2008C 2008  x 2009C 2009 (1 + x)2009 = C 2009 2009 2009 2009 2009 Cho x = - i ta có:  iC1  i 2C   i 2008C 2008  i 2009C 2009 (1 – i )2009 = C 2009 2009 2009 2009 2009  C2  C4  C6   C2004  C2006  C2008 ) + = ( C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009  C3  C5  C7   C2005  C2007  C 2009 )i + (  C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 Mặt khác:  π π  (1  i) 2009  ( ) 2009  cos    isin      4    2009   ( ) 2009  cos  2009π 2009π   isin  4   π π  1004 1004 = ( )2009  cos  isin   ( )2009  i 2 2 i  4 2    So sánh phần thực và phần ảo (1 – i )2009 hai cách tính trên ta được:  C2  C4  C6   C2004  C2006  C2008 = 21004 A = C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009  C3  C5  C7   C2005  C2007  C2009 = - 21004 B =  C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 Ví dụ 2: Tính tổng: C =  2 23 46 24 48 25 50   C50  3C50  C50   C50  C50  C50  50   Giải: Xét khai triển:     i  2    50   2 49 49 50 50   C50  (i )C50  (i ) C50   (i ) C50  (i ) C50   50    2 4 46 46 48 48 50 50   C50  ( ) C50  ( ) C50   ( ) C50  ( ) C50  ( ) C50    250  -4Lop12.net ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm +  3 5 47 47 49 49    3C50  ( ) C50  ( ) C50   ( ) C50  ( ) C50 i 50   50   Mặt khác:    i 2       So sánh phần thực    i 2   C= 50  2π   2π     isin          cos  100π   100π    isin      i 2      cos 50 hai cách tính trên ta được: 1  2 23 46 24 48 25 50   C50  3C50  C50   C50  C50  C50     250  Ví dụ 3: Tính tổng: D = 310 C0  39 C2  38 C4  37 C6   32 C16  3C18  C20 20 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển:  i 20  ( ) 20 C  i( )19 C1  ( )18 C   ( ) C18  i 3C19  C 20 = 20 20 20 20 20 20 = ( 310 C0  39 C2  38 C4  37 C6   32 C16  3C18  C20 ) + 20 20 20 20 20 20 20 +  ( )19 C1  ( )17 C3   ( )3 C17  3C19 i 20 20 20 20   Mặt khác:  i   20  220  cos   1  220   i  2  20 π π  220  cos  isin  6  20   220  cos  20π 20π   isin  6   4π 4π    isin   220    i   219  219 i 3   So sánh phần thực  i 20 hai cách tính trên ta có: D = 310 C0  39 C2  38 C4  37 C6   32 C16  3C18  C20 = - 219 20 20 20 20 20 20 20 -5Lop12.net ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là số phức thích hợp Ví dụ 1: Tính tổng: D = C1  3C  5C5  7C7   25C 25  27C 27  29C 29 30 30 30 30 30 30 30 E = 2C  4C4  6C6  8C8   26C 26  28C 28  30C 30 30 30 30 30 30 30 30 Giải: (1 + x)30 = C  xC1  x 2C  x 3C3   x 28C 28  x 29C 29  x 30C30 30 30 30 30 30 30 30 Đạo hàm hai vế ta có: 30(1 + x)29 = C1  2xC  3x 2C3   28x 27 C 28  29x 28C 29  30x 29C30 30 30 30 30 30 30 Cho x = i ta có: 30(1 + i)29 = ( C1  3C3  5C5  7C7   25C25  27C27  29C29 ) + 30 30 30 30 30 30 30 + ( 2C2  4C4  6C6  8C8   26C26  28C28  30C30 )i 30 30 30 30 30 30 30 Mặt khác: 30(1 + i)29   = 30 29  π π  cos  isin  4   29    30  29 29π   29  cos 29π  isin  4   30 2   i   15.215 15.215 i 2  So sánh phần thực và ảo 30(1 + i)29 hai cách tính trên ta có: D = C1  3C3  5C5  7C7   25C25  27C27  29C29 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 E = 2C2  4C4  6C6  8C8   26C26  28C28  30C30 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 Ví dụ 2: Tính tổng S = 2.3C2  4.32 C4  6.33 C6   18.39 C18  20.310 C20 20 20 20 20 20 -6Lop12.net ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = = C  ( 3x)C1  ( 3x) C  ( 3x)3 C3   ( 3x)19 C19  ( 3x) 20 C 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20 (1  3x)19 = = 3C1  2.3xC  3.( )3 x 2C3   19.( )19 x18C19  20.310 x19C 20 20 20 20 20 20 Cho x = i ta có: 20 (1  3i)19 =         17 19   =  3C1  3 C3  C5   17 C17  19 C19   20 20 20 20 20     2.3C2  4.32 C4  6.33 C6   18.39 C18  20.310 C20 i 20 20 20 20 20   19 19 1  π π  19 19 19   Mặt khác: 20 (1  3i) = 20 3.2   i  20 3.2  cos  isin    3  2 1 19π 19π     20 3.219  cos  isin i   10 3.219  30.219 i   20 3.219    3    2 So sánh phần ảo 20 (1  3i)19 hai cách tính trên ta có: S = 2.3C2  4.32 C4  6.33 C6   18.39 C18  20.310 C20 = 30.219 20 20 20 20 20 Ví dụ 3: Tính các tổng sau: M = C0  3C2  5C4  7C6   13C12  15C14 15 15 15 15 15 15 N = 2C1  4C3  6C5  8C7   14C13  16C15 15 15 15 15 15 15 Giải: Xét khai triển: -7Lop12.net ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm (1 + x)15 = C  xC1  x 2C  x 3C3   x13C13  x14C14  x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta có: x(1 + x)15 = xC  x 2C1  x 3C  x 4C3   x14C13  x15C14  x16C15 15 15 15 15 15 15 15 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =  C  2xC1  3x 2C  4x 3C3   14x13C13  15x14C14  16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = =  C0  3C2  5C4  7C6   13C12 15C14  + 15 15 15 15 15   15 +  2C1  4C3  6C5  8C   14C13  16C15  i 15 15 15 15 15   15 Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =  15  15 cos π4  isin π4  14  14  cos π4  isin π4   15i 15  15π  14π 14π    15 cos 15π  isin  isin   15.27 i cos    2   4  4     2   i  15.27  2   27  27 i  15.27  14.27  27 i  7.28  27 i So sánh phần thực và ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính trên ta có: M = C0  3C2  5C4  7C6   13C12 15C14 = 7.28 15 15 15 15 15 15 N = 2C1  4C3  6C5  8C7   14C13 16C15 = -27 15 15 15 15 15 15 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các bậc ba đơn vị Để tiện cho việc theo dõi biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề bậc ba đơn vị (đã trình bày phần I đề tài): Giải phương trình: x3 – = -8Lop12.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 3 i;x    i Ta các nghiệm là x1 = 1; x    2 2 Các nghiệm đó chính là các bậc ba 1 3 i  ε2    i và ε có các tính chất sau: Đăt: ε    2 2 1) ε + ε = -1 2) ε3  3) ε 3k  4) ε 3k   ε 5) ε 3k   ε (k – nguyên) Sử dụng các tính chất trên ε ta có thể tính các tổng sau: Ví dụ 1: Tính tổng: S = C0  C  C6   C 3k   C15  C18 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C  xC1  x 2C  x 3C3   x18C18  x19C19  x 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta có: 220 = C  C1  C  C3   C18  C19  C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: (1 + ε )20 = C  εC1  ε 2C  C3   C18  εC19  ε 2C 20 20 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: (1 + ε )20 = C  ε 2C1  εC  C3   C18  ε 2C19  εC 20 20 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: -9Lop12.net (3) ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 220 + (1 + ε )20 +(1 + ε )20 = 3S Mặt khác: (1  ε) 20  (ε ) 20  ε 40  ε ; (1  ε ) 20  (ε) 20  ε 20  ε Do vậy: 3S = 220 – Hay S = 20  Ví dụ 2: Tính tổng T = C1  C4  C7   C 3k 1   C16  C19 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C  xC1  x 2C  x 3C3   x18C18  x19C19  x 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 Nhân hai vế với x2 ta có: x2(1 + x)20 = x 2C  x 3C1  x 4C  x 5C3   x 20C18  x 21C19  x 22C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta có: 220 = C  C1  C  C3   C18  C19  C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: ε (1 + ε )20 = ε C  C1  εC  ε 2C3  C  ε 2C18  C19  εC 20 20 20 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: ε (1 + ε )20 = ε C  C1  ε 2C  εC3   εC18  C19  ε 2C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có: 220 + ε (1 + ε )20 + ε (1 + ε )20 = 3T Mặt khác: ε (1 + ε )20 = ε 42  ; ε (1 + ε )20 = ε 21  Do vậy: 3T = 220 + Hay: T = 20  - 10 Lop12.net (3) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn Ví dụ 3: Tính tổng: P = C0  3C  6C6   3kC3k   15C15  18C18 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C  xC1  x 2C  x 3C3   x18C18  x19C19  x 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20(1 + x)19 = C1  2xC  3x 2C3   18x17 C18  19x18C19  20x19C 20 (*) 20 20 20 20 20 20 Nhân hai vế (*) với x ta có: 20x(1 + x)19 = xC1  2x 2C  3x 3C3   18x18C18  19x19C19  20x 20C 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta được: 20.219 = C1  2C  3C3  4C   18C18  19C19  20C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: 20 ε (1 + ε )19 = εC1  2ε 2C2  3C3  4εC4  18C18  19εC19  20ε 2C20 20 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: 20 ε 2(1 + ε 2)19 = ε C1  2εC  3C3  4ε C  18C18  19ε C19  20εC 20 (3) 20 20 20 20 20 20 20 Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: 20[219 + ε (1 + ε )19 + ε 2(1 + ε 2)19 ] = 3P - C0 20 Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε(ε )19  ε 39  1 ε 2(1 + ε 2)19 = ε (ε)19  ε 21  1 Vậy 3P = + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy P = - 11 Lop12.net 10.2 20  13 ứng dụng số phức để tính tổng các C kn S¸ng kiÕn kinh nghiÖm III- MỘT SỐ BÀI TẬP: 1- Tính các tổng sau:         27 29 A  3C1  3 C3  C5   27 C27  29 C29 30 30 30 30 30 A  2.3C2  4.32 C4  6.33 C6   28.314 C28  30.315 C30 30 30 30 30 30  Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3x 30 Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo hai số phức ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229 2- Tính các tổng sau: B  C0  2C2  3.4C4  5.6C6  7.8C8   21.22C22  23.24C24 25 25 25 25 25 25 25 B  C1  2.3C3  4.5C5  6.7C  8.9C9   22.23C 23  24.25C 25 25 25 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3- Tính các tổng sau: C  C0  3C2  5C4  7C6   17C16 19C18  21C20 20 20 20 20 20 20 20 C  2C1  4C3  6C5  8C   16C15  18C17  20C19 20 20 20 20 20 20 20 Hướng dẫn: Xét khai triển: ( + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210 4- Tính các tổng sau: D  12 C1  32 C3  52 C5  C7   952 C95  97 C97  992 C99 100 100 100 100 100 100 100 D  2 C  C  C  82 C8   96 C96  982 C98  100 C100 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 - 12 Lop12.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 5- Tính tổng sau: E = 2C2  5C5  8C8   20C20  23C23 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau đó nhân hai vế với x2 Cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận ta tìm E 25(2 24  1) ĐS: E = – Tính các tổng sau: F  C1  42 C4  C7  102 C10   37 C37  402 C40 40 40 40 40 40 40 F  2 C  52 C5  82 C8  112 C11   352 C35  382 C38 40 40 40 40 40 40 F  C  32 C3  C  C9   36 C36  39 C39 40 40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Xét khai triển ( 1+ x)40 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Để có F1 ta cho x là 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận Làm nào để có F2, F3 mong độc giả cùng tìm tòi chút ! ĐS: F  40.41(238 1) F  40(239  1)  39.40(238 1) 40(239  1)  39.40(238  2) 1 F  3 - 13 Lop12.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ứng dụng số phức để tính tổng các C kn 7- Tính các tổng sau: G  C0  4C3  7C6  10C9   34C33  37C36  40C39 40 40 40 40 40 40 40 G  2C1  5C  8C  11C10   35C34  38C37  41C 40 40 40 40 40 40 40 40 G  3C  6C5  9C8  12C11   36C35  39C38 40 40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Để có G1 ta cho x là 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận Làm nào để có G2, G3 mong độc giả cùng tìm tòi chút ! ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28 - 14 Lop12.net