Bài giảng số 06: “ PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU ”

Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm Bài giảng số 06: “ PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU ” A LÝ THUYẾT Định nghĩa hàm đơn điệu: Cho D  a; b  ,  a; b  ,  a; b  ,  a;   , ,  f  x  hàm số xác định D Khi đó:  x, y  D   f  x  f  y  ( f  x  đồng biến D )     x  y   x, y  D   f  x  f  y  ( f  x  nghịch biến D )     x  y   Đơn điệu tên gọi chung hàm đồng biến hàm nghịch biến Tính chất hàm đơn điệu: Cho f  x  đơn điệu   f  x  đơn ánh  f  x  f  y  x  y  f  x  y   f  x   f  y  , x, y   (hoặc   ) f  x  đơn điệu f  x   kx Phương pháp giải:  Phương pháp Biến đổi phương trình dạng f  u   f  v  tính đơn điệu đơn ánh  hàm số nên u  v phương trình đơn giản Phương pháp Chỉ f  x  cộng tính    tính đơn điệu nên f  x   kx B BÀI TẬP Những toán sử dụng phương pháp  Bài Tìm tất hàm số đơn điệu f :    thoả mãn điều kiện f  1  x  f  y    y f  f  x   1 , x, y   1  Hướng dẫn: o Cho y  ta f  1  x  f 1   f  f  x   1 , x     o Do f đơn điệu nên từ   ta có 1  x  f 1  f  x   1, x    f  x   ax  b, x   a  o Thay lại điều kiện 1 ta  b  o  f  x   x, x   o Thử lại thấy thoả mãn: o KL: f  x   x, x   Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm  Bài Tìm tất hàm số tăng f :    thoả mãn điều kiện f  f  x   y   f  x  y   1, x, y   (1)  Lời giải:  Ở 1 thay y  ta f  f  x    f  x   1, x    Ở 1 thay x  f  x  ta   f f  f  x    y  f  f  x   y    f  x  y   2, x, y   (2)  Ở (1) lại thay y  f  y  ta f  f  x   f  y    f  x  f  y     f  x  y   2, x, y   (3)  Từ   ,  3  f  f  x   y    f  x  f  y    1, x, y   Hay f  f  x   y   f  x  f  y   , x, y   (4)    Do f  x  tăng  nên từ    f  x   y  f  y   x  f  x   x  f  y   y, x, y   (5) Đặt g  x   f  x   x, x    g  x   C , x    f  x   x  C , x   Thay vào 1 ta có C nghiệm phương trình f  x  y  C   x  y  C 1  x  y  C  C  x  y  C 1  C   f  x   x  1, x   Thử lại thấy thoả mãn  f  x   x  1, x    Nhận xét: Cách Do vế phải đối xứng nên f  f  x  y  f  f  y  x  f  x  y  f  y   x  f  x  x  C Cách Cho x  y  suy f  f     f    Thay y  x ta có f  f  x   x   f    Suy f  f     f  f  x   x  suy f  x   x   Bài Tìm tất hàm số đơn điệu f :    thoả mãn điều kiện f  x  f  y    f  x   y , x, y   (1)  Lời giải:  Ở 1 thay x  & y  x ta f  f  x    x  f   , x   (2)  Ở 1 thay x  f  x  sử dụng (2) ta f  f  x   f  y    f  f  x    y  x  y  f    f  f  x  y   , x , y   (3) Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai  Giáo viên: Đào Xuân Tiềm Do f  x  đơn điệu  nên từ  3  f  x  y   f  x   f  y  , x, y    f  x   kx, x  , k số   k  Thay vào 1 ta có k nghiệm phương trình k  y  0, y      k  1 Vậy f  x   x, x   f  x    x, x     Thử lại thấy hai hàm số thoả mãn  KL: f  x   x, x   f  x    x, x   Nhận xét: Có f    f  f  x    x Ở (1) thay x f  x  ta có f  x  y   f  x   f  y  suy  f cộng tính  Bài Tìm tất hàm số đơn điệu f :  0;     thoả mãn điều kiện f  x  f  y   y , x, y   0;   (1) xy   Lời giải:  Từ 1  x  f  y   0, x, y   0;    f  x      y 1  y 1  f  y    1, y  1;   (2) , y  ta f  y  y   x 1  Mặt khác   thay y  x ta f   f  x    1, x  1;   (3)  x  1 Từ    3 tính đơn điệu f    f  y     f  x  , x, y  1;   y x 1    f  x   C  f  x    k , x  1;   , k số không âm x x Thay vào 1  k nghiệm phương trình Ở 1 thay x  y k  , x, y  1;   x  f  y xy  y y  , x, y  1;   xy   ky xy  k 0  f  x   , x  1;   x   x0  1 y Xét với  (1) viết lại thành f  x    , x  0, y  (4) y  xy  y    1 Hay f  x    nhận giá trị dương đủ , x  0, y  Khi lấy y lớn tùy ý y y x  y 1 gần Nên x  với x  0, y  có tập giá trị  0;   Nên f  x   , x  x y   Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai  Thử lại thấy thoả mãn KL:  f  x   , x   0;   x Cách khác: Từ (1) suy f  x  f  y    x y Giáo viên: Đào Xuân Tiềm , x, y    f     f  x  f  y   x   x y 1 Do đơn ánh suy f  y    c thử lại suy c  suy f  x   x y Thay x, y 1 1 , ta có f   y x y  Bài Tìm tất hàm số tăng f :  0;     thoả mãn điều kiện 1  f  f  x    , x   0;   (1) x  f  x   Hướng dẫn:  Từ 1  f  x    0, x  x      1  Ở 1 thay x  f  x    f  x   f  f  f  x      x x f x 1     x  1  , x  Do f tăng nên x  f  f  x     x f x 1    x 1   2x 2  x f  x   xf  x    0, x   f  x    1    2x 1  , x  D  1 1  2x   Suy f  x   , x   , f  x   , x   f  x    2x 2x 1  , x    \ D  x 1 Nếu f  x   , x    loại f tăng 2x Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm 1  , x  D   2x Xét hàm f  x    D có nhiều hai phân tử x1  x2 từ hàm 1  , x    \ D  x 1 với x  D suy f  x1   f  x2  điều lại mâu thuẫn với f  x  tăng Do f  x  2x  1  x0 D chứa phần từ x0 suy f  Nếu    x x  0    3 1, x  1 3    x0  x0  suy f  x    x0 x0 1   3  x , x   \  3  1 3   f dễ thấy f 10    20    1 điều lại mâu thuẫn với hàm tăng Còn   x0 suy x0 x0 Đối với hàm ta cho x  10  1  1  2   x0   x0   1  x0  4  x0    vô lý Vậy D khơng có phần tử nào, x0  1  x0 1 , x    thấy thỏa mãn điều kiện toán 2x ……………………………………………………………………………… suy có hàm f  x   Những toán sử dụng phương pháp 2:  Bài [ Olimpic, trang 116] Tìm tất hàm số f :    thoả mãn điều kiện f  x  f  y    y  f  x  , x, y    Hướng dẫn: o Chỉ f    Thật Cho x  ta có f  f  x    f  x  , x   (2) f toàn ánh nên a   : f  a   Thay x  y  a ta có f  a   a  f  a   a   Suy f f  a   f  a   f  a    f  a    a  o Chỉ f  x  y   f  x   f  y  , x  0, y   Thật Ta có x  0, y    f  x  y   f Chuyên đề: Phương trình hàm  x    f  f  y   f  y   f  x   f  y  f x HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm o Xét khoảng  ta có x  y  ta có f  x   f  x  y  y   f  x  y   f  y   Từ 1 cho y  ta có f  x   f  x  , x    f  x   0, x   f  x    x  suy f  x   0, x  suy f  x   f  y  , x  y  Vậy f số tăng   mà f cộng tính suy f  x   kx  k   f  x   x, x   f  x  x o Với x  ta có f  x   f  x   x    f  x    x a2  a  a  a2 Giả sử a  : f  a    a suy f  a  a   a  a    a  mâu thuẫn 2 a  a  a  a  Vậy f  x   x, x  Vậy f  x   x, x   Cách khác: Chỉ f    f song ánh Ta có f  f  x    x x   Ta có f  x   f  x   0, x    f  x   0, x  f  x    x  Chỉ f  x  y   f  x   f  y  , x  0, y   Thay x  x ta có f  x   f   x   f  x   f   x  f  x    f   x  f  x   f   x  mà f đơn ánh suy x  suy f  x    f   x  , x   Với x  0, y   ta có f  x  y   f     x  y     f   x  y   f  x   f  y  Suy f  x  y   f  x   f  y  , x, y   Xét x  y suy f  x   f  x  y  y   f  x  y   f  y   f  y  suy f tăng Vậy f cộng tính tăng suy f  x   kx , thử lại ta k  , suy f  x   x, x   Bài (Hy lạp 1997) Giả sử f :  0;     thỏa mãn ba điều kiện: f tăng nghiêm ngặt b) f  x    , x  x 1  c) f  x  f  f  x     1, x  x  Tính f 1 Hướng dẫn: Tương tự a) Bài Tìm tất hàm số f : 1;    1;   thỏa mãn f  xf  y    yf  x  , x, y  Giải: Ta chứng minh f song ánh Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm Ta chứng minh f đồng biến Thật : Vì f đơn ánh nên có giá trị để f 1  , y  suy f  y   Xét x  y  ta có x  x  x f  x   f  y   f  f  f  y     f   f  y   f  y  suy f đồng biến y  y   y Cho x  y  suy f  f 1   f 1  f 1  Thay x  suy f  f  y    y, y  Nếu f  x   x suy f  f  x    f  x  suy x  f  x  vô lý Nếu f  x   x suy f  f  x    f  x  suy x  f  x  vô lý Vậy f  x   x, x  1;   Bài (Irac 1997) Cho hàm số f :    hàm giảm thỏa mãn f  x  y   f  f  x   f  y    f  f  x  f  y    f  y  f  x    , x , y   Chứng minh f  f  x    x, x   Bài 10 (Italy 2000) Tìm tất hàm đơn điêu ngặt f :    thỏa mãn f  x  f  y    f  x   y , x, y   Bài 11 [ chọn HSG tỉnh Phú Thọ, năm 2014-2015] Tìm tất hàm số đơn điệu f :  0;     thoả mãn điều kiện sau:     f  x  y   x 2014 f  2013   y2014 f  2013  với x, y  x  y  Giải: Viết lại phương trình cho sau     f  x  y   x 2014 f  2013   y2014 f  2013  , x, y  1 x  y    Cho x  y từ 1 ta có f  x   x 2014 f  2013  Lại cho x  f    f 1 x  Do phương trình 1 trở thành f  x  y  f  2x  f  y , x, y    Từ   suy với x, y, z  f  4x  f  y  f  2z f   x  y  f  2z f  x  y  z   2 f  4x  f  y  f  2z   3 Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Tương tự, với x, y, z  f  x  y  z  f   x  z  f  y So sánh  3   ta Giáo viên: Đào Xuân Tiềm f  4x  f  4z  f  y  f  4x  f  4z  f  y   4 f  4x   f  y  f  2z  f  4x   f  4z  f  y  f  y  f  y  f  4z  f  2z  f  y   f  y   f  z   f  z  , y, z   f  y   f  y   f    f 1   f  y   f  y  , y  Khi   suy f  x  y   f  x   f  y  , x, y  Như toán cho trở thành: Tìm tất hàm số đơn điệu f :  0;     thoả mãn f  x  y   f  x   f  y  , x, y  Theo lý thuyết phương trình Cauchy f  x   ax, x  0, a   Thử lại ta thấy hàm số f  x   ax, x  0, a   thoả mãn phương trình hàm cho Vậy f  x   ax, x  0, a   Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018