Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm Bài giảng số 06: “ PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU ” A LÝ THUYẾT Định nghĩa hàm đơn điệu: Cho D a; b , a; b , a; b , a; , , f x hàm số xác định D Khi đó: x, y D f x f y ( f x đồng biến D ) x y x, y D f x f y ( f x nghịch biến D ) x y Đơn điệu tên gọi chung hàm đồng biến hàm nghịch biến Tính chất hàm đơn điệu: Cho f x đơn điệu f x đơn ánh f x f y x y f x y f x f y , x, y (hoặc ) f x đơn điệu f x kx Phương pháp giải: Phương pháp Biến đổi phương trình dạng f u f v tính đơn điệu đơn ánh hàm số nên u v phương trình đơn giản Phương pháp Chỉ f x cộng tính tính đơn điệu nên f x kx B BÀI TẬP Những toán sử dụng phương pháp Bài Tìm tất hàm số đơn điệu f : thoả mãn điều kiện f 1 x f y y f f x 1 , x, y 1 Hướng dẫn: o Cho y ta f 1 x f 1 f f x 1 , x o Do f đơn điệu nên từ ta có 1 x f 1 f x 1, x f x ax b, x a o Thay lại điều kiện 1 ta b o f x x, x o Thử lại thấy thoả mãn: o KL: f x x, x Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm Bài Tìm tất hàm số tăng f : thoả mãn điều kiện f f x y f x y 1, x, y (1) Lời giải: Ở 1 thay y ta f f x f x 1, x Ở 1 thay x f x ta f f f x y f f x y f x y 2, x, y (2) Ở (1) lại thay y f y ta f f x f y f x f y f x y 2, x, y (3) Từ , 3 f f x y f x f y 1, x, y Hay f f x y f x f y , x, y (4) Do f x tăng nên từ f x y f y x f x x f y y, x, y (5) Đặt g x f x x, x g x C , x f x x C , x Thay vào 1 ta có C nghiệm phương trình f x y C x y C 1 x y C C x y C 1 C f x x 1, x Thử lại thấy thoả mãn f x x 1, x Nhận xét: Cách Do vế phải đối xứng nên f f x y f f y x f x y f y x f x x C Cách Cho x y suy f f f Thay y x ta có f f x x f Suy f f f f x x suy f x x Bài Tìm tất hàm số đơn điệu f : thoả mãn điều kiện f x f y f x y , x, y (1) Lời giải: Ở 1 thay x & y x ta f f x x f , x (2) Ở 1 thay x f x sử dụng (2) ta f f x f y f f x y x y f f f x y , x , y (3) Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm Do f x đơn điệu nên từ 3 f x y f x f y , x, y f x kx, x , k số k Thay vào 1 ta có k nghiệm phương trình k y 0, y k 1 Vậy f x x, x f x x, x Thử lại thấy hai hàm số thoả mãn KL: f x x, x f x x, x Nhận xét: Có f f f x x Ở (1) thay x f x ta có f x y f x f y suy f cộng tính Bài Tìm tất hàm số đơn điệu f : 0; thoả mãn điều kiện f x f y y , x, y 0; (1) xy Lời giải: Từ 1 x f y 0, x, y 0; f x y 1 y 1 f y 1, y 1; (2) , y ta f y y x 1 Mặt khác thay y x ta f f x 1, x 1; (3) x 1 Từ 3 tính đơn điệu f f y f x , x, y 1; y x 1 f x C f x k , x 1; , k số không âm x x Thay vào 1 k nghiệm phương trình Ở 1 thay x y k , x, y 1; x f y xy y y , x, y 1; xy ky xy k 0 f x , x 1; x x0 1 y Xét với (1) viết lại thành f x , x 0, y (4) y xy y 1 Hay f x nhận giá trị dương đủ , x 0, y Khi lấy y lớn tùy ý y y x y 1 gần Nên x với x 0, y có tập giá trị 0; Nên f x , x x y Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Thử lại thấy thoả mãn KL: f x , x 0; x Cách khác: Từ (1) suy f x f y x y Giáo viên: Đào Xuân Tiềm , x, y f f x f y x x y 1 Do đơn ánh suy f y c thử lại suy c suy f x x y Thay x, y 1 1 , ta có f y x y Bài Tìm tất hàm số tăng f : 0; thoả mãn điều kiện 1 f f x , x 0; (1) x f x Hướng dẫn: Từ 1 f x 0, x x 1 Ở 1 thay x f x f x f f f x x x f x 1 x 1 , x Do f tăng nên x f f x x f x 1 x 1 2x 2 x f x xf x 0, x f x 1 2x 1 , x D 1 1 2x Suy f x , x , f x , x f x 2x 2x 1 , x \ D x 1 Nếu f x , x loại f tăng 2x Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm 1 , x D 2x Xét hàm f x D có nhiều hai phân tử x1 x2 từ hàm 1 , x \ D x 1 với x D suy f x1 f x2 điều lại mâu thuẫn với f x tăng Do f x 2x 1 x0 D chứa phần từ x0 suy f Nếu x x 0 3 1, x 1 3 x0 x0 suy f x x0 x0 1 3 x , x \ 3 1 3 f dễ thấy f 10 20 1 điều lại mâu thuẫn với hàm tăng Còn x0 suy x0 x0 Đối với hàm ta cho x 10 1 1 2 x0 x0 1 x0 4 x0 vô lý Vậy D khơng có phần tử nào, x0 1 x0 1 , x thấy thỏa mãn điều kiện toán 2x ……………………………………………………………………………… suy có hàm f x Những toán sử dụng phương pháp 2: Bài [ Olimpic, trang 116] Tìm tất hàm số f : thoả mãn điều kiện f x f y y f x , x, y Hướng dẫn: o Chỉ f Thật Cho x ta có f f x f x , x (2) f toàn ánh nên a : f a Thay x y a ta có f a a f a a Suy f f a f a f a f a a o Chỉ f x y f x f y , x 0, y Thật Ta có x 0, y f x y f Chuyên đề: Phương trình hàm x f f y f y f x f y f x HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm o Xét khoảng ta có x y ta có f x f x y y f x y f y Từ 1 cho y ta có f x f x , x f x 0, x f x x suy f x 0, x suy f x f y , x y Vậy f số tăng mà f cộng tính suy f x kx k f x x, x f x x o Với x ta có f x f x x f x x a2 a a a2 Giả sử a : f a a suy f a a a a a mâu thuẫn 2 a a a a Vậy f x x, x Vậy f x x, x Cách khác: Chỉ f f song ánh Ta có f f x x x Ta có f x f x 0, x f x 0, x f x x Chỉ f x y f x f y , x 0, y Thay x x ta có f x f x f x f x f x f x f x f x mà f đơn ánh suy x suy f x f x , x Với x 0, y ta có f x y f x y f x y f x f y Suy f x y f x f y , x, y Xét x y suy f x f x y y f x y f y f y suy f tăng Vậy f cộng tính tăng suy f x kx , thử lại ta k , suy f x x, x Bài (Hy lạp 1997) Giả sử f : 0; thỏa mãn ba điều kiện: f tăng nghiêm ngặt b) f x , x x 1 c) f x f f x 1, x x Tính f 1 Hướng dẫn: Tương tự a) Bài Tìm tất hàm số f : 1; 1; thỏa mãn f xf y yf x , x, y Giải: Ta chứng minh f song ánh Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Giáo viên: Đào Xuân Tiềm Ta chứng minh f đồng biến Thật : Vì f đơn ánh nên có giá trị để f 1 , y suy f y Xét x y ta có x x x f x f y f f f y f f y f y suy f đồng biến y y y Cho x y suy f f 1 f 1 f 1 Thay x suy f f y y, y Nếu f x x suy f f x f x suy x f x vô lý Nếu f x x suy f f x f x suy x f x vô lý Vậy f x x, x 1; Bài (Irac 1997) Cho hàm số f : hàm giảm thỏa mãn f x y f f x f y f f x f y f y f x , x , y Chứng minh f f x x, x Bài 10 (Italy 2000) Tìm tất hàm đơn điêu ngặt f : thỏa mãn f x f y f x y , x, y Bài 11 [ chọn HSG tỉnh Phú Thọ, năm 2014-2015] Tìm tất hàm số đơn điệu f : 0; thoả mãn điều kiện sau: f x y x 2014 f 2013 y2014 f 2013 với x, y x y Giải: Viết lại phương trình cho sau f x y x 2014 f 2013 y2014 f 2013 , x, y 1 x y Cho x y từ 1 ta có f x x 2014 f 2013 Lại cho x f f 1 x Do phương trình 1 trở thành f x y f 2x f y , x, y Từ suy với x, y, z f 4x f y f 2z f x y f 2z f x y z 2 f 4x f y f 2z 3 Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018 Trường THPT chuyên Lào Cai Tương tự, với x, y, z f x y z f x z f y So sánh 3 ta Giáo viên: Đào Xuân Tiềm f 4x f 4z f y f 4x f 4z f y 4 f 4x f y f 2z f 4x f 4z f y f y f y f 4z f 2z f y f y f z f z , y, z f y f y f f 1 f y f y , y Khi suy f x y f x f y , x, y Như toán cho trở thành: Tìm tất hàm số đơn điệu f : 0; thoả mãn f x y f x f y , x, y Theo lý thuyết phương trình Cauchy f x ax, x 0, a Thử lại ta thấy hàm số f x ax, x 0, a thoả mãn phương trình hàm cho Vậy f x ax, x 0, a Chuyên đề: Phương trình hàm HSG NĂM 2017-2018