Bài tập ứng dụng phương trình hàm số giải phương trình mũ và logarit

47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN DẠNG 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lý: Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục (a; b) ∀u; v ∈ (a; b) : f (u) = f (v) ⇔ u = v Phương trình f (x) = k(k = const) có nhiều nghiệm khoảng (a; b) Định lý: Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục (a; b), đồng thời lim f (x) · lim f (x) < phương trình f (x) = k(k = const) có nghiệm (a; b) + − x→a BÀI TẬP MẪU Ví dụ Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn ≤ x ≤ 2020 log3 (3x + 3) + x = 2y + 9y ? A 2019 B C 2020 D Lời giải Phân tích hướng dẫn giải Phương pháp Tìm hàm đặc trưng tốn, đưa phương trình dạng f (u) = f (v) HƯỚNG GIẢI: B1: Đưa phương trình cho dạng f (u) = f (v) B2: Xét hàm số y = f (t) miền D * Tính y xét dấu y * Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (t) D B3: Tìm mối liên hệ x; y tìm cặp số (x; y) kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐK: x > −1 Ta có log3 (3x + 3) + x = 2y + 9y ⇔ log3 (3x + 3) + 3log3 (3x+3) = 3(2y + 1) + 32y+1 (∗) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x→b 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Xét hàm số f (t) = 3t + 3t R, f (t) = + 3t · ln > 0, ∀t > nên hàm số f (t) đồng biến R Từ (∗) ⇔ f (log3 (3x + 3)) = f (2y + 1) ⇔ log3 (3x + 3) = 2y + Mặt ® khác ≤ x ≤ 2020 ⇔ log3 (3x + 3) ∈ [1; log3 (6063)] ⇒ 2y + ∈ [1; log3 (6063)] ≤ 2y + ≤ log3 (6063) y∈Z ⇔ ≤ y ≤ Vậy có cặp (x; y) thỏa mãn Chọn phương án D BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Có giá trị nguyên tham số m ∈ [−2019; 2019] để phương trình: 2x − mx − 2m − + = có nghiệm thực phân biệt? x+1 x−2 A 4038 B 2019 C 2017 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2019x + D 4039 Lời giải TXĐ: D = R \ {−1; 2} Ta có 2x − mx − 2m − + =0 x+1 x−2 2x − m(x − 2) − + =0 ⇔ 2019x + x+1 x−2 2x − 1 ⇔ 2019x + − = −m (∗) x+1 x−2 2019x + Đặt f (x) = 2019x + 2x − 1 − Khi f (x) = 2019x ln 2019 + + > 0∀x ∈ D x+1 x−2 (x + 1) (x − 2)2 Ta có bảng biến thiên x y −∞ −2 + +∞ + +∞ + +∞ +∞ y −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (∗) có nghiệm thực phân biệt −m > ⇒ m < −2 Mà m ∈ [−2019; 2019] m ∈ Z nên có 2017 giá trị m thỏa mãn Chọn phương án C Å x ã −1 Câu Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn ≤ y ≤ 2020 log3 = y +1−2x ? y A 2019 Lời giải B 11 C 2020 D 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Từ giả thiết ta có:   y=0    x −1 > ⇔ 2x > ⇔ x > y     y≥0 Ta có: PT ⇔ log3 − 1) + 2x − = log3 y + y(∗) Xét hàm số f (t) = log3 t + t (0; +∞) Khi f (t) = + > hàm số f (t) = log3 t + t đồng biến (0; +∞) t ln (*) có dạng f (2x − 1) = f (y) ⇔ y = 2x − Vì ≤ y ≤ 2020 ⇔ ≤ 2x − ≤ 2020 ⇔ ≤ 2x ≤ 2021 ⇔ ≤ x ≤ log2 (2021) ® ≤ x ≤ log2 (2021) ⇔ x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Vậy có 11 cặp (x; y) thỏa mãn x∈Z (2x Chọn phương án B e3x+5y − ex+3y+1 = − 2x − 2y ⇔ e3x+5y + (3x + 5y) = ex+3y+1 + (x + 3y + 1) (1) Xét hàm số f (t) = et + t R Ta có f (t) = et + > nên hàm số đồng biến R Khi (1) ⇔ f (3x + 5y) = f (x + 3y + 1) ⇔ 3x + 5y = x + 3y + ⇔ 2y = − 2x Thế vào phương trình cịn lại ta log23 x − (m + 6) log3 x + m2 + = (2) Đặt t = log3 x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t2 − (m + 6)t + m2 + = (3) Phương trình (3) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −3m2 + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Do có số nguyên m thỏa mãn Chọn phương án B Câu Có số nguyên m để phương trình log2 (2x + m) − log2 x = x2 − 4x − 2m − có hai nghiệm thực phân biệt? A B C D Lời giải x>0 Điều kiện x>− m Phương trình ⇔ log2 (2x + m) − log2 x = x2 − 2(x + 2m) − ⇔ log2 (2x + m) + 2(x + 2m) + = log2 x2 + x2 ⇔ log2 2(2x + m) + 2(x + 2m) = log2 x2 + x2 Xét f (u) = log2 u + u, (u > 0) f (u) = + > 0, hàm số đồng biến (0; +∞) u ln 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số (x; y) thỏa mãn e3x+5y − ex+3y+1 = − 2x − 2y , đồng thời thỏa mãn log23 (3x + 2y − 1) − (m + 6) log3 x + m2 + = 0? A B C D Lời giải Ta có 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Khi (1) ⇔ f (2(2x + m)) = f (x2 ) ⇔ 2(2x + m) = x2 ⇔ x2 − 4x = 2m Xét hàm số g(x) = x2 − 4x, (x > 0) x − g (x) +∞ + +∞ g(x) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA −4 Phương trình có nghiệm dương −4 < 2m < ⇔ −2 < m < suy có giá trị nguyên Chọn phương án C Å ã 4x − 4x + Câu Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log7 + 4x2 + = 6x x1 + 2x2 = 2x √ (a + b) với a, b hai số nguyên dương Tính a + b A a + b = 13 B a + b = 11 C a + b = 16 D a + b = 14 Lời giải Điều kiện: x > 0, x = Phương trình ⇔ log7 4x2 − 4x + + 4x2 − 4x + = log7 (2x) + 2x + > 0∀t > nên hàm số đồng biến (0; +∞) t ln √ 3± 2 Do ta có 4x − 4x + = 2x ⇔ 4x − 6x + = ⇔ x = Khi √ √ √ √ √ √ 3− 3+ 3+ 3− x1 + 2x2 = +2 = (9 + 5) x1 + 2x2 = +2 = (9 − 5) 4 √ 4 4 √ 3− 3+ Vậy x1 = ; x2 = Do a = 9; b = a + b = + = 14 4 Xét hàm số f (t) = log7 t + t có f (t) = Chọn phương án D Å√ ã √ √ x+1 x Câu Biết phương trình log5 = log3 − √ có nghiệm dạng x = a + b x 2 x a, b số nguyên Tính 2a + b A B C D Lời giải √ Å√ ã Å ã √ x+1 x x+1 x−1 √ Ta có log5 = log3 − √ ⇔ log5 = log3 (1) x ĐKXĐ: x > 2 x x x 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN √ √ (1) ⇔ log5 (2 x + 1) + log3 x = log5 x + log3 (x − 1)(∗) Xét hàm số f (t) = log5 t + log3 (t − 1), với t > 1 f (t) = + > với t > 1, suy f (t) đồng biến khoảng (1; +∞) t · ln (t − 1) ln √ √ √ √ √ √ Từ (*) ta có f (2 x + 1) = f (x) nên suy x + = x ⇔ ( x)2 − x − = ⇔ x = + (do x > 1) √ Suy x = + 2 ⇒ a = 3; b = ⇒ 2a + b = Chọn phương án B Câu Tìm tổng tất giá trị nguyên m để phương trình 3x−3+ 3x−3 = 3x + có nghiệm phân biệt A 45 B 34 C 27 Lời giải √ m−3x ⇔ 3x−3+ ⇔3 √ x3 − 9x2 + 24x + m · D 38 + x3 − 9x2 + 24x + m ·3x−3 = 3x + m−3x √ m−3x m−3x + + (x − 3)3 + 27 + m − 3x ·3x−3 = 3x + + (x − 3)3 + m − 3x + 27 = 33 + 33−x (1) (1) ⇔ 3b + 27 + b3 − a3 = 27 · +3a ⇔ 3b + b3 = 3a + a3 √ Đặt a = − x; b = m − 3x, phương trình (1) trở thành 3b + 27 + b3 − a3 = 27 · +3a ⇔ 3b + b3 = 3a + a3 Xét hàm số f (t) = 3t + t3 ⇒ f (t) = 3t√· ln + 3t2 ≥ 0, ∀t ∈ R (1) ⇔ f (a) = f (b) ⇔ a = b ⇔ − x = m − 3x ⇔ m = (3 − x)3 + 3x = −x3 + 9x2 − 24x + 27 g(x) = −x3 + 9x2 − 24x + 27 ⇒ g (x) = −3x2 + 18x − 24 g (x) = ⇔ x = ∨ x = Đồ thị: y 11 y=m O x Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt < m < 11 hay m ∈ {8; 9; 10} Chọn phương án C 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 3x−3+ √ 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN √ Câu Tìm giá trị m để phương trình 3sin x+ cos x−|m|+5 = logsin x+√5 cos x+10 (|m| + 5) có nghiệm √ √ A ≤ m ≤ B −5 ≤ m ≤ √ √ √ C − ≤ |m| ≤ + D − ≤ m ≤ Lời giải Ta có √ 3sin x+ cos x−|m|+5 √ = logsin x+√5 cos x+10 (|m| + 5) 3sin x+ cos x+10 ln(|m| + 5) √ ⇔ = |m|+5 ln sin x + cos x + 10 ä Ä √ √ sin x+ cos x+10 ⇔ · ln sin x + cos x + 10 = 3|m|+5 · ln(|m| + 5) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Xét f (t) = ln(t) · 3t , ∀t ≥ 5, f (t) = 3t + ln(t)3t ln(3) > 0, ∀t ≥ nên hàm số f (t) đồng biến t (5; +∞) Khi Ä ä √ (1) ⇔ f sin x + cos x + 10 = f (|m| + 5) √ ⇔ sin x + cos x + 10 = |m| + √ ⇔ sin x + cos x + = |m| √ √ Mà − ≤ sin x + cos x ≤ Chọn phương án C √ nên để phương trình có nghiệm ta phải có − Câu Số nghiệm thực phương trình 6x = log6 (5x + 1) + 2x + A B C Lời giải Điều kiện: x > − √ √ ≤ |m| ≤ + D PT: ⇔ 6x + 3x = log6 (5x + 1) + 5x + ⇔ 6x + 3x = 6log6 (5x+1) + log6 (5x + 1)(1) Xét hàm số f (t) = 6t + 3t, f (t) = 6t · ln + > 0, ∀t ∈ R nên f (t) đồng biến R Khi (1) ⇔ f (x) = f (log6 (5x + 1)) ⇔ x = log6 (5x + 1) ⇔ log6 (5x + 1) − x = Xét hàm số h(x) = log6 (5x + 1) − x − ; +∞ , ta có − (5x + 1) ln 25 h (x) = − < 0, ∀x > − (5x + 1) ln h(x) = Bảng biến thiên: lim å h(x) = −∞; lim h(x) = −1 x→+∞ + x→ − Ç 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN − 15 x x0 + h (x) +∞ − h(x0 ) h(x) −∞ −1 Từ BBT suy phương trình h(x) = có nhiều nghiệm thuộc khoảng − ; +∞ Mà h(0) = 0, h(1) = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Chọn phương án B ln A S = Lời giải Điều kiện x > − +3 6x + + 5x+1 + · 3x − 30x − 10 = C S = −1 B S = D S = 3 Phương trình tương đương ln (5x + 3x ) − ln(6x + 2) + (5x + 3x ) − 5(6x + 2) = ⇔ ln (5x + 3x ) + (5x + 3x ) = ln(6x + 2) + 5(6x + 2) (1) Xét hàm số f (t) = ln t + 5t, t > Có f (t) = + > 0, ∀t > nên f (t) đồng biến (0; +∞) t Từ (1) suy f (5x + 3x ) = f (6x + 2) ⇔ 5x + 3x = 6x + ⇔ 5x + 3x − 6x − = Xét g(x) = 5x + 3x − 6x − 2, g(x) = 5x ln + 3x ln − g (x) = 5x (ln 5)2 + 3x (ln 3)2 > 0, ∀x > − Nên g (x) = có khơng q nghiệm suy g(x) = có khơng q nghiệm − ; +∞ Mà g(0) = g(1) = Vậy phương trình có tập nghiệm {0, 1} Do S = Chọn phương án A √ √ x2 + 80 Câu 11 Số nghiệm phương trình ln = · 3x+1 − x2 + 80 + ln x A B C D Lời giải √ √ PT ⇔ ln x2 + 80 + x2 + 80 = ln 3x+1 + · 3x+1 (1) Xét hàm số f (t) = ln t + 2t, ∀t > 0; Ta có: f (t) = + > 0, ∀t > ⇒ Hàm số f (t) đồng biến t (0; +∞) √ √ Từ (1) suy f x2 + 80 = f 3x+1 ⇔ x2 + 80 = 3x+1 ⇔ x2 + 80 = 9x+1 ⇔ 9x+1 − x2 − 80 = Xét hàm số g(x) = 9x+1 − x2 − 80 R Ta có: 50 DẠNG TỐN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 10 Tính tổng S tất nghiệm phương trình: ã Å x x 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN g(x) = · 9x+1 ln − 2x g (x) = · 9x+1 (ln 3)2 − g (x) = ⇔ x = x0 = − log9 ln2 − ⇒ g(x0 ) = g − log9 ln2 − ≈ 3, > lim g(x) = +∞; lim g(x) = +∞ x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên: x g (x) −log9 (2ln2 3) − − + +∞ +∞ g (x) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA +∞ g (x0 ) Dựa vào bảng biến thiên ta có g(x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số g(x) đồng biến R ⇒ phương trình g(x) = có nhiều nghiệm Mà g(1) = Do phương trình cho có nghiệm Chọn phương án C Câu 12 Cho phương trình 2x + m = log2 (x − m) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−18; 18) để phương trình cho có hai nghiệm? A 20 B 17 C D 21 Lời giải Điều kiện x > m PT ⇔ 2x + x = x − m + log2 (x − m) ⇔ 2x + x = 2log5 (x−m) + log2 (x − m)(1) Xét hàm số f (t) = 2t + t, ∀t ∈ R; Ta có: f (t) = 2t ln2 + > 0, ∀t ∈ R ⇒ Hàm số f (t) đồng biến R Từ (1) suy f (x) = f (log2 (x − m)) ⇔ x = log2 (x − m) ⇔ x − m = 2x ⇔ m = x − 2x Xét hàm số g(x) = x − 2x (m; +∞) Ta có: g (x) = − 2x ln ⇔ 2x ln = ⇔ x = log2 (log2 e) ⇒ g (log2 (log2 e)) = log2 (log2 e) − log2 e lim g(x) = m − 2m ; lim g(x) = −∞ x→+∞ x→m+ Bảng biến thiên: x g (x) g(x) m + log2 (log2 e) +∞ − log2 (log2 e) − log2 e m − 2m −∞ Do Phương trình cho có nghiệm khi: m − 2m < m < log2 (log2 e) − log2 e ⇔ m < log2 (log2 e) − log2 e ≈ −0, 91 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN ® Vì m∈Z m ∈ (−18; 18) nên m ∈ {−17; −16; −15; ·; −1} Vậy có 17 giá trị m Chọn phương án B Câu 13 Cho phương trình −||m3 |−3m2 +1| · log81 |x | − 3x + + + −||x3 |−3x2 +1|−2 Å · log3 ||m | − 3m2 + 1| + ã =0 2−||m |−3m2 +1| · log81 |x3 | − 3x2 + + + 2−||x ⇔ 2||x |−3x +1|+2 · log3 |−3x2 +1|−2 · log3 ||m3 | − 3m2 |x3 | − 3x2 + + = 2||m |−3m +1|+2 · log3 Xét hàm số f (t) = 2t · log3 t với t ≥ 2; Ta có f (t) = 2t ln · log3 t + 2t · + 1| + =0 |m3 | − 3m2 + + > 0∀t ≥ t ln Suy hàm số f (t) đồng biến (2; +∞) Do phương trình tương đương với |m3 | − 3m2 + = |x3 | − 3x2 + (1) Vẽ đồ thị hàm số g(x) = x3 − 3x2 + từ suy đồ thị |g(x)| đồ thị |g(|x|)| hình vẽ y y = |g(|x|)| −2 O 2 −3 Từ đồ thị suy (1) có 6, 7, nghiệm ⇔ < |g(|m|)| < Từ đồ thị suy giá trị nguyên m −3, −1, 0, 1, Vậy S = 20 Chọn phương án A x 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Gọi S tập hợp tất giá trị m nguyên để phương trình cho có nghiệm nghiệm nghiệm phân biệt Tính tổng bình phương tất phần tử tập S A 20 B 19 C 14 D 28 Lời giải Ta có ã Å 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 14 Cho phương trình 2x log2 x2 + = 4|x+a| [log2 (2|x + a|) + 2] Gọi S tập hợp giá trị a thuộc đoạn [0; 2020] chia hết cho để phương trình có hai nghiệm Hãy tính tổng phần tử S A B 2041210 C 680403 D 680430 Lời giải Phương trình tương đương 2x log2 x2 + = 22|x+a| [log2 (2|x + a|) + 2] ⇔ · 2x log2 x2 + = · 22|x+a| [log2 (2|x + a|) + 2] ⇔ 2x +2 log2 x2 + = 22|x+a|+2 [log2 (2|x + a|) + 2] (∗) Xét hàm số f (t) = 2t log t, t ≥ Có f (t) = 2t ln 2·log2 t+ 2t > 0, ∀t ≥ 2, nên f (t) đồng biến [2; +∞) t ln Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Khi ® (∗) ⇔ x + ≥ 2; 2|x + a| + ≥ ñ ⇔ f x2 + = f (2|x + a| + 2) x2 = 2(x + a) x2 = −2(x + a) ñ ⇔ ⇔ x2 = 2|x + a|(1) x2 − 2x − 2a = 0(2) x2 + 2x + 2a = 0(3) Phương trình (2) ∆(2) = + 2a, phương trình (3) có ∆(3) = − 2a Vì ∆(2) + ∆(3) = > nên hai phương trình (2), (3) ln có hai nghiệm phân biệt Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, ta xét trường hợp sau: * TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt: ∆(2) > ⇔ + 2a > ⇔ a > − Khi ∆(3) < nên (3) vơ nghiệm Trường hợp thỏa mãn điều kiện toán * TH1: (3) có hai nghiệm phân biệt: ∆(3) > ⇔ − 2a > ⇔ a < Khi ∆(2) < nên (2) vơ nghiệm Trường hợp thỏa mãn điều kiện tốn 1 Do phương trình cho có nghiệm a ∈ −∞; − ∪ ; +∞ 2 Vì a ∈ [0; 2020] chia hết a ∈ S = {3; 6; 9; 12; , 2019} Tổng phần tử S + + + · · · + 2019 = · + · + · + · · · + · 673 673 · 674 = 680403 = (1 + + + · · · + 673) = · BỔ SUNG CÁCH Xét phương trình x2 = 2|x + a|(∗) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (1); y = 2|x + a|(2) hệ trục tọa độ ta được: 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN ® ∆(2) > ® ⇔ ∆(3) = − 2a > 2a − = ⇔   a < ⇔a=  a = * TH2: (3) có hai nghiệm phân  biệt (2) có nghiệm kép khác hai nghiệm (3): ® ®  a = ∆(2) = − 2a = ⇔a= ⇔ ⇔  ∆(3) > 2a − > a > * TH3: (2) (3) có®hai nghiệm phân biệt, có nghiệm chung: x − 4x + 2a + = Điều xảy hệ x2 = 2a − ® ® ® x − 4x + 2a + = x2 = 2a − ⇔ x=a ⇔ a=1 có nghiệm x=1 a = đ Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA x=1 Khi a = ta có: (2) trở thành x2 − 4x + = ⇔ x = ñ (3) trở thành x2 = ⇔ x=1 x = −1 Khi đó: PT cho có nghiệm Vậy a ∈ ; 1; 2 Chọn phương án B Câu 17 Tìm số giá trị nguyên m thuộc [−20; 20] để phương trình log2 (x2 + m + x x2 + 4) = (2m − 9)x − + (1 − 2m) có nghiệm A 12 B 23 Lời giải √ Điều kiện xác định: x2 + m + x x2 + > Ä ä log2 x2 + m + x Ä Ä ⇔ log2 x C 25 x2 + = (2m − 9)x − + (1 − 2m) ä ä x2 + + x + m = 2mx − 9x − + Å x2 + D 10 x2 + x2 + − 2m x2 + ã 4x √ + m = 2mx − 9x − + x2 + − 2m x2 + x +4−x √ Å ã 4x + m x2 + − mx √ ⇔ log2 = 2mx − 9x − + x2 + − 2m x2 + x2 + − x ⇔ log2 Ä ⇔ log2 4x + m Ä ⇔ log2 8x + 2m ä Ä x2 + − mx + 8x + 2m ä Ä x2 + − 2mx + 8x + 2m Xét hàm số f (t) = log2 t + t, t ∈ (0; +∞) f (t) = Khi ä x2 + − 2mx + = log2 ä x2 + − 2mx = log2 + > 0, ∀t ∈ (0; +∞) nên hàm số đồng biến (0; +∞) t ln Ä Ä ä x2 + − x + ä x2 + − x + Ä Ä x2 + − x ä ä x2 + − x 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN x2 + − 2mx = (1) ⇔ 8x + 2m ⇔ 2m Ä ä x2 + − x = Ä x2 + − x ä x2 + − x − 8x 8x ⇔ 2m = − √ x +4−x √ 8x x2 + + x ⇔ 2m = − Ä ä ⇔ 2m = − 2x x +4+x ⇔x x2 + + x2 = − 2m √ Xét hàm số g(x) = x x2 + + x2 với x ∈ (−∞; +∞) √ ñ lim g(x) = lim x→+∞ x→+∞ Ç… x2 1+ +1 x2 … 1+ −1 x − = −2; åô = +∞ Ta có bảng biến thiên g(x) x −∞ g (x) +∞ + +∞ g(x) −2 − 2m > −2 ⇔ m < 2 Do m nguyên thuộc [−20; 20] nên số giá trị m 23 Để phương trình có nghiệm Chọn phương án B Câu 18 Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn + · 3x biểu thức P = A x + 2y + 18 x √ 3+ B 2 −2y Ä = + 9x √ C + 2 −2y Ä = + 9x ä · 72y−x +2 ó · 72y−x + 3x −2y+2 + 32(x −2y) ⇔ = 2 7x −2y+2 72(x −2y) (∗) ⇔ + 3x −2y+2 ỵ −2y = + 32(x −2y) −2y ä 2 +2 · 72y−x D 17 Lời giải Ta có + · 3x +2 Giá trị nhỏ 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x2 + + x √ Ta có g (x) = ≥ 0, ∀x ∈ R x2 + ï ò √ lim g(x) = lim x x2 + + x = lim x √ = lim x→−∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞ x2 + − x 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Xét hàm số f (t) = + 3t R Ta có f (t) = · 7t t + t nghịch biến R (∗) ⇔ f x2 − 2y + = f 2(x2 − 2y) ⇔ x2 − 2y + = 2(x2 − 2y) ⇔ x2 − 2y = ⇔ 2y = x2 − … 16 x2 + x + 16 =x+ +1≥2 Từ P = x x Dấu xảy x = x· 16 + ⇔ P ≥ x Chọn phương án A Å Câu 19 Cho số dương x, y thỏa mãn log5 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA thức A = 6x + 2y + √ 31 A 4 + x y ã x+y−1 + 3x + 2y ≤ Giá trị nhỏ biểu 2x + 3y √ 27 C √ B 11 D 19 Lời giải  x + y − > 2x + 3y ĐK: ⇔ x + y >  x, y > Ta có: Å log5 x+y−1 2x + 3y ã + 3x + 2y ≤ ⇔ (log5 (x + y − 1) + 1) + 5(x + y − 1) ≤ log5 (2x + 3y) + 2x + 3y ⇔ log5 [5(x + y − 1)] + 5(x + y − 1) ≤ log5 (2x + 3y) + 2x + 3y (∗) Xét hàm số f (t) = log5 (t) + t (0; +∞), f (t) = + > 0, ∀t ∈ (0; +∞) nên hàm số f (t) t ln đồng biến (0; +∞) (∗) ⇔ 5(x + y − 1) ≤ 2x + 3y ⇔ 3x + 2y ≤ Mặt khác, ta có Å ã 9 A = 6x + 2y + + = 9x + + 4y + − (3x + 2y) ≥ · + · − = 19 x y x y    9x =    x  x = (thỏa mãn điều kiện) ⇔ Dấu “=” xảy ⇔ 4y =   y  y =   3x + 2y = Vậy GTNN A 19 Chọn phương án D y x Câu 20 Cho hai số thực x, y lớn thỏa mãn y x · (ex )e ≥ xy · (ey )e Tìm giá trị nhỏ √ biểu thức P = logx xy + logy x √ A √ B 2 √ 1+2 C √ 1+ D 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Với x, y > 1, ta có y x y x · (ex )e ≥ xy · (ey )e y ⇔ ln y x · (ex )e x ≥ ln xy · (ey )e ⇔ x ln y + xey ≥ y ln x + yex ln y ey ln x ex ⇔ + ≥ + (1)· y y x x > 0, ∀t ≥ t Hàm số g(t) đồng biến [1; +∞) nên g(t) > g(1) = > 0, ∀t > ln t et g(t) Xét hàm số f (t) = + (1; +∞), có f (t) = > 0, ∀t > 1, nên f (t) đồng biến (1; +∞) t t t Với x, y > (1) ⇔ f (y) ≥ f (x) ⇔ y ≥ x u2 − 1+u + Nhận thấy h(u) = , nên Đặt u = logx y Do y ≥ x > nên u ≥ Ta có P = h(u) = 2u2 √ √ √ √u h(u) = √ u = 2, h(u) < ≤ u < 2, h(u) > u > Dẫn tới P = h(u) ≥ h( 2) = √ 1+2 , ∀u ≥ 1, đẳng thức xảy u = 2 √ √ 1+2 Vậy P = , đạt y = x x > Xét hàm số g(t) = tet − et + − ln t [1; +∞), có g (t) = tet − Câu 21 Å Cho hai ã số thực x, y thỏa mãn ≤ x, y ≤ x, y không đồng thời x+y log3 + (x + 1) · (y + 1) − = Tìm giá trị nhỏ P với P = 2x + y − xy A B C D Lời giải x+y Từ điều kiện đề > 0; − xy = ⇒ x + y > 0; − xy > − xy Å ã log3 x+y − xy + (x + 1) · (y + 1) − = ⇔ log3 (x + y) + (x + y) = log3 (1 − xy) + (1 − xy)(1) + > 0∀t > t · ln ⇒ f (t) hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) 1−x 1−x Vậy phương trình (1) ⇔ x + y = − xy ⇒ y = ⇒ P = 2x + 1+x 1+x ñ x=0 1−x −2 Xét hàm số f (x) = 2x + với x ∈ [0; 1] có f (x) = + cho f (x) = ⇔ x+1 (x + 1) x = −2 f (0) = 1; f (1) = ⇒ f (x) = Xét hàm số f (t) = log3 t + t(t > 0) có f (t) = [0;1] Chọn phương án B Å − 2x Câu 22 Xét số thực dương x, y thỏa mãn ln x+y 1 P = + √ x xy A Pmin = B Pmin = ã = 3x + y − Tìm giá trị nhỏ Pmin C Pmin = D Pmin = 16 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án C 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Điều kiện < x < Å ã − 2x Từ giả thiết ln = 3x + y − ⇔ ln(1 − 2x) + (1 − 2x) = ln(x + y) + (x + y)(1) x+y Xét hàm số f (t) = ln t + t (0; +∞) có f (t) = + > 0, ∀t > hàm f (t) đơn điệu t Vậy (1) ⇔ − 2x = x + y ⇔ 3x + y = 1(2) 1 2 +√ ≥ + = + x xy x x+y x − 2x Đặt g(x) = + , ta có g(x) = − + suy g(x) = ⇔ x = x − 2x x (1 − 2x) Do Çminå g(x) = Vậy Pmin = 0; 1 2 = = + ≥ Bổ sung: đánh giá P = + √ ≥ + x xy x x+y x − 2x x+ −x Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Có P = Chọn phương án A √ Câu 23 Cho hai số thực x, y không âm thỏa mãn x2 + 2x − y + biểu thức P = e2x−1 + 4x2 − 2y + A− B C Lời giải = log2 2y + Giá trị nhỏ x+1 D −1 √ 2y + ⇔ 2(x + 1)2 + log2 2(x + 1)2 = log2 (2y + 1) + (2y + 1) x+1 Xét hàm số f (t) = t + log2 t, (t > 0); f (t) = + > 0, ∀t > t · ln Suy 2(x + 1)2 = 2y + ⇒ 2y = 2(x + 1)2 − P = e2x−1 + 4x2 − 2y + = e2x−1 + 4x2 − 2(x + 1)2 + + = e2x−1 + 2x2 − 4x = g(x) g(x) = 2e2x−1 + 4x − hàm số đồng biến nửa khoảng [0; +∞) nên g(x) = có tối đa nghiệm, nhẩm nghiệm x = nên nghiệm x2 + 2x − y + = log2 x − g (x) − + +∞ e g(x) +∞ 2 Vậy P = − x = Chọn phương án A Câu 24 Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức (xy −1)·22xy−1 = x2 + y ·2x Tìm giá trị nhỏ ymin y +y 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN A ymin = B ymin = C ymin = D ymin = Lời giải 2 Ta có (xy − 1)22xy−1 = x2 + y 2x +y ⇔ (2xy − − 1)22xy−1 = x2 + y 2x +y+1 (1) Xét hàm f (t) = (t − 1) · 2t với t ≥ Khi f (t) = 2t + (t − 1) · 2t · ln > với ∀t ≥ √ x2 + 2x − 1ñ x=2 2x2 − 2x − y= = ⇔ 2x2 − 2x − = ⇔ (2x − 1) x = −1 Loại x = −1 điều kiện x nên f (2) = Từ (1) ⇔ 2xy − = x2 + y + ⇔ y = Chọn phương án B ® x, y ∈ R Å Lời giải TaÅcó ã ln + x y ã + x3 − ln = 19y − 6xy(x + 2y) Tìm giá trị nhỏ D m = + x3 − ln = 19y − 6xy(x + 2y) ⇔ ln(2y + x) + (2y + x)3 = ln(3y) + (3y)3 Xét hàm số f (t) = ln(t) + t3 với t > có f (t) = Vậy (1) ⇔ 2y + x = 3y ⇔ x = y ⇒ T = x + Áp dụng bất đẳng thức AM-GM … T =x+ C m= 3x x 3x = + + ≥ +2 4x 4 4x 4x (1) + 3t2 > 0∀t > ⇒ f (t) đồng biến t 3x x · = + ≥ + = Dấu xảy x = y = 4x 4 Chọn phương án C Câu 26 Cho x; y số thực dương thỏa mãn điều kiện 5x+4y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y √ A B + Lời giải √ C − 5xy −x−4y +x+1 = +3 +y(x−4) 3xy 5xy + x + = + 3−x−4y + y(x − 4) 3xy ⇔ 5x+4y − 3−x−4y + x + 4y = 5xy−1 − 31−xy + xy − 1(1) Xét hàm số f (t) = 5t − 3−t + t R Vì f (t) = 5t · ln + 3−t · ln + > 0; ∀x ∈ R nên hàm số f (t) đồng biến R(2) Từ (1) (2) ta có x + 4y = xy − 1(3) Dễ thấy x = không thỏa mãn (3) x+1 Với x = 4, (3) ⇔ y = kết hợp điều kiện y > suy x > x−4 x+1 Do P = x + y = x + x−4 x+1 Xét hàm số g(x) = x + (4; +∞) x−4 Ta có 5x+4y + √ D + 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x Câu 25 Cho cho ln + y x, y ≥ 1 m biểu thức T = x + x + 3y √ A m = + B m = 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta có x 4+ − g (x) √ +∞ + +∞ +∞ g(x) √ 5+2 √ Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin = g(x) = + (4;+∞) Chọn phương án B Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Câu 27 Cho x, y số thực dương thỏa mãn 5x+2y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = x + y √ √ A Tmin = + B Tmin = + Lời giải Theo đề ta có xy 5xy + x + = + 3−x−2y + y(x − 2) 3xy √ C Tmin = + √ D Tmin = + 3 +x+1= + 3−x−2y + y(x − 2) xy 1 x+2y xy−1 ⇔5 − x+2y + x + 2y = − xy−1 + xy − 3 t t Xét f (t) = − t + t ⇒ f (t) = ln + 3−t ln + > x+1 x+1 ⇒ x + 2y = xy − ⇒ y = Do y > 0, x > ⇒ > ⇒ x > x−2 x+2 x+1 x2 − x + Ta có: T = x + y = x + = √x − ñx − x = + ∈ (2; +∞) x2 − 4x + T = =0⇔ √ (x − 2) / (2; +∞) x=2− 3∈ 5x+2y + Bảng biến thiên x 2+ − g (x) √ +∞ +∞ + +∞ g(x) √ 3+2 √ √ Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin = + x = + Chọn phương án B 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 28 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log3 x − 3y = xy + 3y − x + Tìm giá trị nhỏ xy + 1 y biểu thức A = x + A Amin = 14 B Amin = − 14 C Amin = −6 D Amin = Lời giải Điều kiện: x − 3y > x − 3y = xy + 3y − x + ⇔ log3 (x − 3y) − log3 (xy + 1) = xy + 3y − x + xy + ⇔ log3 (x − 3y) + (x − 3y) = log3 (xy + 1) + xy + 1(1) Xét hàm f (t) = log3 t + t, t > f (t) = + > 0, ∀t > t · ln x−1 Suy hàm số f (t) đồng biến (0; +∞) nên (1) ⇔ x − 3y = xy + ⇒ y = x+3 x+3 A=x+ =x+ y x−1 x+3 Đặt A = A(x) = x + ⇒ A(x) = − = ⇔ x = x, y > x−1 (x − 1)2 log3 y − + − +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ Chọn phương án D Câu 29 Cho x, y > thỏa 20192(x −y+2) − 4x + y + = Tìm giá trị nhỏ Pmin P = (x + 2)2 2y − 4x A 2018 B 2019 C Lời giải Ta có: 20192(x −y+2) ⇔ 20192(x − 4x + y + =0 (x + 2)2 +4x+4)−2(4x+y+2) = 4x + y + (x + 2)2 ⇔ 20192(x+2) · (x + 2)2 = 20192(4x+y+2) · (4x + y + 2)(∗) ® Đặt u = (x + 2)2 (u, v > 0) v = 4x + y + Khi đó: (∗) ⇔ 20192u · u = 20192v · v ⇔ f (u) = f (v) với f (t) = 20192t · t, (t > 0) ⇒ f (t) = 20192t · ln 2019 · t + 20192t > 0, ∀t > Do đó: f (u) = f (v) ⇔ u = v ⇔ (x + 2)2 = 4x + y + ⇔ y = x2 + ⇒ P = 2y − 4x = 2x2 − 4x + = 2(x − 1)2 + ≥ Vậy Pmin = ⇔ x = D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x y 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án D Câu 30 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log3 [(x + 1)(y + 1)]y+1 = − (x − 1)(y + 1) Giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2y √ √ 11 27 A Pmin = B Pmin = C Pmin = −5 + D Pmin = −3 + 2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lời giải Ta có log3 [(x + 1)(y + 1)]y+1 = − (x − 1)(y + 1) ⇔ (y + 1) [log3 (x + 1) + log3 (y + 1)] + (x − 1)(y + 1) = ⇔ (y + 1) [log3 (x + 1) + log3 (y + 1) + x − 1] = 9 − log3 (y + 1) ⇔ log3 (x + 1) + x − = y+1 9 − + log3 ⇔ log3 (x + 1) + x + − = y+1 y+1 Xét hàm số f (t) = log3 t + t − với t > có f (t) = + > với t > nên hàm số f (t) t ln đồng biến liên tục (0; +∞) 9 8−y Từ suy x + = ⇔x= −1= , x > nên y ∈ (0; 8) y+1 y+1 y+1 √ 8−y 9 Vậy P = x + 2y = + 2y = 2y − + = 2(y + 1) + − ≥ −3 + y+1 y+1 y+1 √ Vậy Pmin = −3 + 2(y + 1) = ⇔ y = √ − y+1 Chọn phương án D Câu 31 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log3 Pmin P = x√+ y 3+4 A Pmin = B Pmin √ 3−4 = 1−y = 3xy + x + 3y − Tìm giá trị nhỏ x + 3xy C Pmin √ 3−4 = D Pmin √ 3+4 = Lời giải log3 1−y = 3xy + x + 3y − x + 3xy ⇔ log3 (1 − y) − log3 (x + 3xy) = 3xy + x + 3y − ⇔ log3 3(1 − y) + 3(1 − y) = log3 (x + 3xy) + (x + 3xy) Xét hàm f (t) = log3 t + t, t > có f (t) = + > 0, ∀t > Suy hàm số đồng biến (0; +∞) t ln Suy log3 3(1 − y) + 3(1 − y) = log3 (x + 3xy) √ + (x + 3xy) ⇔ 3(1 − √y) = x + 3xy ⇒x= 3(1 − y) 3(1 − y) 3−4 3−4 ⇒x+y =y+ ≥ Vậy Pmin = + 3y + 3y 3 Chọn phương án B Câu 32 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log√3 giá trị lớn Pmax biểu thức P = A Lời giải B x2 x+y = x(x − 3) + y(y − 3) + xy Tìm + y + xy + 3x + 2y + x+y+6 C D 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta có: x+y = x(x − 3) + y(y − 3) + xy + y + xy + ⇔ log√3 3(x + y) + 3(x + y) = log√3 x2 + y + xy + + x2 + y + xy + √ + > 0, ∀t > Vậy hàm số f (t) đồng biến Xét hàm số f (t) = log√3 t + t, t > có f (t) = t ln liên tục khoảng (0; +∞) Do đó: f (3(x + y)) = f x2 + y + xy + ⇔ 3(x + y) = x2 + y + xy + 2(1) Từ (1) ⇔ xy = (x + y)2 − 3(x + y) + x+y+1 Ta có x = x + xy − xy = x(y + 1) − xy ≤ − xy Đẳng thức xảy x = y + (x + y + 1)2 − (x + y)2 + 3(x + y) − Do từ (1), suy ra: x ≤ Đặt t = x + y , t > (t + 1)2 2t + + − t2 + 3t − 2(x + y) + + x −3t2 + 22t − Suy ra: P = ≤ = = f (t) x+y+6 t+6 4(t + 6) −3t2 − 36t + 135 Ta có: f (t) = = ⇔ t = (nhận) 4(t + 6)2 log√3 x2 x y y + +∞ − − 18 −∞ ® Dựa vào BBT, ta có max P = max f (t) = f (3) = (0;+∞) x=y+1 x+y =3 ® ⇔ x=2 y=1 Chọn phương án C Câu 33 Xét số thực dương x, y thỏa mãn 20182(x P = 2y − 3x A Pmin = B Pmin = −y+1) = 2x + y Tìm giá trị nhỏ Pmin (x + 1)2 C Pmin = Lời giải 2x + y 2x + y ⇔ x2 − y + = log2018 Cách 1: Ta có 20182(x −y+1) = 2 D Pmin = (x + 1) (x + 1) ⇔ − 2(2x + y) = log2018 (2x + y) − log2018 (x + 1) ⇔ 2(x + 1) + log2018 (x + 1)2 = 2(2x + y) + log2018 (2x + y) Có dạng f (x + 1)2 = f (2x + y) với f (t) = 2t + log2018 t, (∀t > 0) Xét hàm số f (t) = 2t + log2018 t, (∀t > 0), ta có f (t) = + > (∀t > 0) nên hàm số f (t) t · ln 2018 đồng biến khoảng (0; +∞) Khi f (x + 1)2 = f (2x + y) ⇔ (x + 1)2 = 2x + y ⇔ y = x2 + Ta có P = 2y − 3x = x2 + − 3x = 2x2 − 3x + 2(x + 1)2 Bảng biến thiên 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Bảng biến thiên 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN x y y Vậy Pmin = −∞ − +∞ + +∞ +∞ x = Chọn phương án B Câu 34 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log3 [(x + 1)(y + 1)]y+1 = − (x − 1)(y + 1) Giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2y √ √ 11 27 A Pmin = B Pmin = C Pmin = −5 + D Pmin = −3 + 2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lời giải Ta có log3 [(x + 1)(y + 1)]y+1 = − (x − 1)(y + 1) ⇔ (y + 1) [log3 (x + 1) + log3 (y + 1)] + (x − 1)(y + 1) = ⇔ (y + 1) [log3 (x + 1) + log3 (y + 1) + x − 1] = 9 − log3 (y + 1) ⇔ log3 (x + 1) + x − = y+1 9 ⇔ log3 (x + 1) + x + − = − + log3 (*) y+1 y+1 + > với t > nên hàm số f (t) Xét hàm số f (t) = log3 t + t − với t > có f (t) = t ln đồng biến liên tục (0; +∞) 9 8−y Từ (*) suy x + = ⇔x= −1= , x > nên y ∈ (0; 8) y+1 y+1 y+1 √ 8−y 9 Vậy P = x + 2y = + 2y = 2y − + = 2(y + 1) + − ≥ −3 + y+1 y+1 y+1 √ ⇔ y = √ − Vậy Pmin = −3 + 2(y + 1) = y+1 Chọn phương án D Câu 35 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2 x + x(x + y) ≥ log2 (6 − y) + 6x Giá trị nhỏ biểu thức P = 3x + 2y + A 59 Lời giải ® Điều kiện: + x y B 19 C √ 53 D + x>0 < y < Từ giả thiết ta có: log2 x + x(x + y) ≥ log2 (6 − y) + 6x ⇔ log2 x2 + x2 ≥ log2 [x(6 − y)] + x(6 − y) (*) Xét hàm số f (t) = log2 t + t với t > 0, Ta có f (t) = + > 0, ∀t > nên hàm số f (t) = log2 t + t t ln đồng biến khoảng (0; +∞) Do (∗) ⇔ f (x2 ) ≥ f [x(6 − y)] ⇔ x2 ≥ x(6 − y) ⇔ x ≥ − y ⇔ x + y ≥ 6(∗∗) (do x > 0) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp số dương bất đẳng thức (∗∗), ta có: … … Å ã P = 3x + 2y + 3x + = (x + y) + + + x y 2 x y + y ≥ ·6+2 3x · +2 x y · = 19 y 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Đẳng thức xảy   x+y =6     3x = x   y    = y ® ⇔ x=2 y=4 Vậy giá trị nhỏ P 19 Chọn phương án B x2 + 5y Câu 36 Cho x, y số dương thỏa mãn log2 + + x2 − 10xy + 9y ≤ Gọi M, m x + 10xy + y x2 + xy + 9y giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = Tính T = 10M − m xy + y A T = 60 B T = 94 C T = 104 D T = 50 Lời giải x2 + 5y + + x2 − 10xy + 9y ≤ x2 + 10xy + y 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN log2 ⇔ log2 x2 + 5y − log2 x2 + 10xy + y + log2 + x2 + 5y − x2 + 10xy + y ≤ ⇔ log2 2x2 + 10y + x2 + 5y ≤ log2 x2 + 10xy + y + x2 + 10xy + y ⇔ 2x2 + 10y ≤ x2 + 10xy + y 2 Å ã2 ⇔ x − 10xy + 9y ≤ ⇔ Å ã2 x2 + 9y + xy xy + y x y + x y Å ã − 10 x y +9≤0⇔1≤ x ≤9 y x +9 y x +1 y x Đặt t = , điều kiện: ≤ t ≤ y ñ t = −4 t +t+9 t2 + 2t − f (t) = ; f (t) = ; f (t) = ⇔ t+1 (t + 1)2 t = 11 99 f (1) = ; f (2) = 5; f (9) = 10 99 Nên M = , m = Vậy T = 10M − m = 94 10 P = = Chọn phương án B Câu 37 Vậy Amin = Cho số thực dương x y thỏa mãn 4+9·3x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = −2y Ä = + 9x −2y ä x + 2y + 18 x √ 3+ BP= A P = √ C P = + D Hàm số khơng có giá trị nhỏ Lời giải Từ giả thiết ta đặt t = x2 − 2yÄ, t ∈ R ä 2 Phương trình + · 3x −2y = + 9x −2y · 72y−x +2 trở thành ï ò 49 t t t t t + · = + · t ⇔ − 49 + 9 · − 49 = ·72y−x +2 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Nhận thấy t = nghiệm phương trình Ta chứng minh t = nghiệm phương trình Xét t > 2: 7t > 49 · t > 49 nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vơ nghiệm Xét t < 2: 7t < 49 · Vậy t = x2 − 2y = ⇔ y = t < 49 nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình vơ nghiệm x2 − thay vào … x + 2y + 18 x2 + x + 16 16 P = = =x+ +1≥2 x x x 16 Dấu đạt x = ⇒ x = x x· 16 +1=9 x Chọn phương án A Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA y x Câu 38 Cho x, y số thực lớn cho y x (ex )e ≥ xy (ey )e Tìm giá trị nhỏ √ biểu thức: P = logx xy + logy x √ √ 1+2 C √ B 2 A √ 1+ D Lời giải Cách Ta có: x y y x (ex )e ≥ xy (ey )e y ⇔ ln y x (ex )e x ≥ ln xy (ey )e ⇔ x ln y + xey ≥ y ln x + yex x y ⇔ ≥ (∗) x ln x + e ln y + ey > 0; ∀x > nên y ≥ y(1) = e > 0) x t ln t + et − − tet Xét hàm số: f (t) = (1; +∞) ta có f (t) = ln t + et (ln t + et )2 Với hàm số g(t) = ln t + et − − tet có g (t) = ln t + et − − tet = − tet < 0, ∀t > t Nên g(t) < g(1) = −1 ⇒ f (t) < 0; ∀t > ⇒ y = f (t) hàm nghịch biến (1; +∞) nên với (*) f (x) …≥ f (y) ⇒ y ≥ x > √ 1 1 1 1+2 √ Khi P = logx xy + logy x = + logx y + ≥ +2 logx y · = 2 logx y 2 logx y √ 1 ⇔ (logx y)2 = ⇔ y = x Dấu “=” xảy khi: logx y = logx y √ 1+2 Vậy: Pmin = (vì y = ex + ln x có y = ex + Chọn phương án C x2 + Câu 39 Tính giá trị biểu thức P = x2 +y −xy+1 biết với x = −1 ≤ y ≤ 13 −1 √ x2 = log2 14 − (y − 2) y + 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN A P = Lời giải B P = C P = D P = −1 √ Xét x2 = log2 14 − (y − 2) y + 1 x2 · −1 x2 + −1 x2 = 4, dấu xảy x = ±1, Ta có x ≥4 √ √ √ Mặt khác 14 − (y − 2) y + =√14 + y + − ( y + 1)3 √ 30 Đặt t = y + ta có ≤ t ≤ Xét hàm số f (t) = −t3 + 3t + 14 Ta tìm GTLN – GTNN √ ï √ ò Å√ ã 56 − 30 30 30  = ;  max hàm số đoạn 0; √  f (t) = f √  f (t) = f (1) = 16 2 30 30 x2 + 0; √ 0;   Từ suy ta có x = ±1 t= y+1=1 ⇔ x = ±1 y=0 Thay vào P = Chọn phương án B 1 log(11 − 2x − y) = 2y + 4x − Xét 2 biểu thức P = 16yx2 − 2x(3y + 2) − y + Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn P Khi giá trị T = (4m + M ) bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 D 19 Câu 40 Cho hai số thực x, y thỏa mãn ≤ x ≤ , ≤ y ≤ Lời giải Ta có log(11 − 2x − y) = 2y + 4x − ⇔ 2(2x + y) − log (11 − (2x + y)) − = Đặt t = 2x + y , < t < 11 Phương trình trở thành: 2t − log(11 − t) − = (1) Xét hàm số f (t) = 2t − log(11 − t) − khoảng (0; 11) Có f (t) = + > 0, ∀t ∈ (0; 11) Do hàm số f (t) đồng biến 11 − t Dễ thấy (1) có nghiệm t = Do t = nghiệm (1) (1 − y)2 − (1 − y)(3y + 2) − y + = 4y − 5y + 2y + Suy 2x = − y Khi P = 16y Xét hàm số g(y) = 4y − 5y + 2y + 0; , có g (y) = 12y − 10y + > 0, ∀y ∈ 0; Do đó, đminơ g(y) = g(0) = 3, ñmaxô g(y) = g(1) = 1 0; 0; 2 Suy m = 3, m = Vậy T = · + = 16 Chọn phương án A 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Suy log2 14 − (y − 2) y + ≤ log2 16 = 4, ® ® 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 11 21 31 C C B B 12 22 32 B B A C 13 23 33 B A A B 14 24 34 C C B D 15 25 35 D D C B 16 26 36 B B B B 17 27 37 C B B A 18 28 38 C A D C 19 29 39 B D D B 10 20 30 40 A C D A ...47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Xét hàm số f (t) = 3t + 3t R, f (t) = + 3t · ln > 0, ∀t > nên hàm số f (t) đồng biến R... 28 Lời giải Ta có ã Å 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 14 Cho phương trình 2x log2 x2 + = 4|x+a| [log2 (2|x + a|) + 2] Gọi S tập hợp... SUNG CÁCH Xét phương trình x2 = 2|x + a|(∗) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (1); y = 2|x + a|(2) hệ trục tọa độ ta được: 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH