Bài giảng số 2: Phương trình bậc hai và một số dạng toán

  Biết hai phương trình này có nghiệm đối nhau, chứng minh rằng nghiệm còn lại của phương trình này cũng đối nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệ[r]

BÀI GIẢNG SỐ 02: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Đối với phương trình ax2bx c 0, (a0)và biệt thức  b24ac

- Nếu  0 phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2

2 b x

a    

- Nếu  0 phương trình có nghiệm kép 1 2

b

x x

a 

 

- Nếu  0 phương trình vơ nghiệm

Chú ý: Nếu b = 2b’ ta tính   ' b'2ac

- Nếu  ' phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 b' ' a    

- Nếu  ' phương trình có nghiệm kép x1 x2 b' a 

 

- Nếu  ' phương trình vơ nghiệm B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai  , '

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

a

7 10

x  x  c

2(1 3)

x   x 

b

4x 5x  d x22 2x 2 Giải:

a Ta có: a = 1, b = -7, c =10   b24ac49 40  9   Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

7

x    , 2 2

x   

Bài giảng cung cấp http://baigiangtoanhoc.com Vậy phương trình vơ nghiệm

c Ta có: a = 1, b =2(1 3), b’ =1 3, c = 3

 2

2

' b' ac 3 '

           

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2

' '

3

' '

3 1

b x

a

b x

a

     

   

 

     

   

 

d Ta có: a = 1, b = 2 , b’ = - , c = ' 2

    

Vậy phương trình có nghiệm kép x1 x2 b' a 

  

Ví dụ 2: Với giá trị x giá trị hai hàm số

a

3

y x y2x

b

2

y  x y  x

Giải:

a Ta có: 2 3x  x x  x 

1

' 9 x x       

b Ta có: 2 16

2x x x x

      

' 16 17 17

       x1,2   1 17

Bài 1: Giải phương trình sau:

a

4 21

x  x  c 3x214x 

b

4x 28x49 d x23x 

ĐS: a

2

7

3 x

x   

  

b 1 2

x x  c

2

2 x

x 

  

 

d vô nghiệm

Bài 2: Với giá trị x giá trị hai biểu thức

a

3.x 2x 3.1 x  3

b

3.x 2 5.x3 x22 3.x2 1

ĐS: a

2 3 x

x

 

  

 

b

3 15

x

x

    

  

Dạng 2: Tìm điều kiện, giải biện luận phương trình bậc hai

Phương pháp: Với phương trình

ax bx  , để tìm điều kiện tham số cho: c

1 Phương trình vơ nghiệm & 0 &

a b c

a

  



     

2 Phương trình nhận x làm nghiệm abc0

3 Phương trình có nghiệm

0

0 &

0 &

a b c

a b

a

  

 

  



   



4 Phương trình có nghiệm & 0 &

a b

a

 



     

5 Phương trình có nghiệm kép 0 a    

Bài giảng cung cấp http://baigiangtoanhoc.com 6 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0 a   

  

Ví dụ 3: Với giá trị m phương trình sau vô nghiệm

a x23xm

b x2(m1)xm2

Giải:

a Ta có:   9 4m

Phương trình vơ nghiệm  9

m m

      

b Ta có:  m124(m2)

2

2

2

6

( 7)( 1)

m m m

m m

m m

    

  

  

Phương trình vơ nghiệm  0(m7)(m1)

  1 m7

Ví dụ 4: Cho phương trình x2(m1)x4

Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép Giải:

 Ta có:  (m1)2 16m22m15

Để phương trình có nghiệm kép  0m22m15

Giải phương trình bậc theo m ta m

m   

  

 Nếu m = x1x2 2

 Nếu m = -3 x1x2  

Ví dụ 5: Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình sau:

a

3x 2xm b)

1 x mxm  Giải:

Ta có:   ' 3m

Nếu ' 3

m m

       phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nếu ' 3

m m

       phương trình có nghiệm kép 1 2 x x 

Nếu ' 3

m m

       phương trình vơ nghiệm

Kết luận: Vậy:

Với

m  phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với

m  phương trình có nghiệm kép 1 2 x x 

Với

m  phương trình vơ nghiệm

b Ta có:

1

x mxm  (1)

2

2

2

( 1)( 1) ( 1)

( 1)( )

1

( ) (2)

x x x m x

x x x m

x

f x x x m

      

     

   

     

Xét phương trình (2):

1

Bài giảng cung cấp http://baigiangtoanhoc.com Nếu (1) m f m             

, pt (2) có hai nghiệm phân biệt 1,2

m

x     1

Khi pt (1) có nghiệm phân biệt

Nếu m = phương trình (1) có nghiệm phân biệt

2 x x      

Khi pt (1) có hai nghiệm phân

biệt

2 x x      

Nếu

4 m

    , phương trình (2) có nghiệm kép 1 2

x x   Khi pt (1) có hai

nghiệm phân biệt

1 1 x x       

Nếu

4 m

    , pt (2) vơ nghiệm pt (1) có nghiệm x =

Kết luận: Vậy

- Nếu

3 m m       

pt (1) có nghiệm phân biệt 1,2

1

2 m x x          

- Nếu m = pt (1) có hai nghiệm phân biệt

2 x x      

- Nếu

m  pt (1) có nghiệm phân biệt

1 1 x x       

- Nếu

m  pt (1) có nghiệm x =

Ví dụ 6: Biện luận số nghiệm phương trình  

3

x  m x   (1)

Đặt x2 t t( 0)

Khi phương trình (1) trở thành: t2(3m2)t  (2)

Ta có:  3m22 4 9m212m  4 9m212m

Nếu

0

0 12 4

3 m m m m            

, pt (2) có nghiệm phân biệt

2

1,2

3 12

2

m m m

t    

Nếu

2

2

3 12

0 12

2

m m

t        m  m    9m212 2 3m

2 2 3 12 12

3 m m

m

m m m

                  

( vô nghiệm) ko giá trị m để t  1

Nếu

2

2

2

3 12

0 12 12

2

m m

t        m  m    m   m

2 2 3 12 12

3 m m

m

m m m

                  

Kết hợp với điều kiện ta có với

0 m m      

thì t 2 Khi pt (1) có hai nghiệm phân biệt

2

1,2

3 12

2

m m

Bài giảng cung cấp http://baigiangtoanhoc.com Nếu

0

0 4

3 m

m      

  

, pt (2) có nghiệm kép 1 2 2 m t t  

Với m = t1 t2   (loại) Khi pt (1) vơ ngiệm

Với m =

3thì t1 t2  (t/m) Khi phương trình (1) có nghiệm x  1

Nếu 0

3 m

     , pt (2) vô nghiệm Khi pt (1) vơ nghiệm

Kết luận: Vậy:

- Nếu m

  pt (1) vơ nghiệm

- Nếu

m  pt (1) có nghiệm phân biệt x  1

- Nếu

0 m

m      

thì pt (1) có nghiệm phân biệt

2

1,2

3 12

2

m m

x     

Ví dụ 7: Cho phương trình  

2x  m1 xm0.(1)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình  

2

x  x  m xm (2) có ba nghiệm phân biệt Giải:

a Ta có:  m128mm26m

Để phương trình (1) có nghiệm

3

0

3 m

m m

m

            

      b (2) x32x2(m1)x m 0(x1)(x2 x m)

2

1

( )

x

g x x x m

   

   

Để phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác

1

1 1

0

4

(1)

0

g m m

m

g m

m 

   

  

    

 

  

Bài tập

Bài 3: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm kép

a

5

x  xm  b

4 x mx 

ĐS: a 37

m  , b m  4

Bài 4: Với giá trị m phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

a

3x 7x m   b 3x2mx12

ĐS: a 37 12

m  , b 12 12 m

m      

Bài 5: cho phương trình

2

x mxm

a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm

ĐS: m = - m =

Bài 6: Cho phương trình (m2)x22mxm  (1)

a Giải phương trình (1) với m = 11

b Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

ĐS: a

2

4 x

x 

  

 

, b 5m

Bài 7: Giải biện luận phương trình sau:

Bài giảng cung cấp http://baigiangtoanhoc.com b

2

2

( 1) ( 1)( 2)

x m

m x x m x x



 

   

c m1x2(2m x)  1

d

2mx 2(m 1) xm0

e

2 x mx m  ĐS:

a Với m = phương trình có nghiệm x 

Với m = phương trình có nghiệm kép 0 x 

Với m > phương trình vơ nghiệm

Với 0m4phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;2 m m m    

b Với m = -3, phương trình có nghiệm x = - Với m = -2, phương trình có nghiệm x = - Với m = 1, phương trình có nghiệm x = Với m = 2, phương trình có ngiệm x = - Với m = 0, phương trình vơ nghiệm

Với m    3; 2; 0;1 phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

1

3

x m

x m

 

 

 



c Nếu m = m = 1, phương trình nghiệm x =

Nếu m

m   

 

, phương trình có nghiệm phân biệt

1

2

1 1 x

x

m     

 

Nếu 2

m  , phương trình có nghiệm kép 1 2 2 x x 

Nếu 2 m

  , phương trình có hai nghiệm phân biệt 1;2 2 2

m m

x

m

  



Nếu 2

m  , phương trình vơ nghiệm

Bài 8: Cho phương trình ax2 bx  với c a 0 Chứng minh b a c phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

ĐS: c/m

(a c)    

Bài 9: Cho phương trình 4x2 4mxm60 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép

ĐS: m = m = -2

Dạng 3: Bài tốn khác

Ví dụ 8: Tìm số nguyên a để phương trình: x2(3 ) a x40a có nghiệm ngun

Giải:

Phương trình có nghiệm nguyên  3 2 a24 40 a4a216a151 số phương, tức

là: 2

4a 16a151k ,k

2a42k2 167,k 

2a 4 k2a 4 k167, k 

Vì 167 số nguyên tố nên:

2

2 167 168 40 83

4 168 44

2

84

2 167

a k x

a k a a x

a a x

a k

x

a k

     



 

        



   

 

              

 

     

 



Bài giảng cung cấp http://baigiangtoanhoc.com

Ví dụ 9: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung

   

   

2

2

2 10

3 22

x m x

x m x

   

   

Giải:

Ta có: x2(2m1)x103x2(4m3)x22

2x22(m1) 12  (3)

Để hai phương trình có nghiệm chung pt (3) phải có nghiệm

2

' (m 1) 24

      ( với m)

Vậy với m phương trình cho có nghiệm Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên phương trình

xyxyx2y2 (1)

Giải:

Viết (1) thành phương trình bậc hai x:

2

( 1) ( ) (2) x  y x y y 

Điều kiện cần để (2) có nghiệm  0

 2  

1

y y y y y

         

3y26y 1 03y12 4y12 1 y0;1; 2

Với 0

1 x y

x      



Với

2 x y

x      



Với

2 x y

x     

Thử lại, giá trị nghiệm pt (1)

Vậy nghiệm nguyên pt cho 0; , 1;0 , 0;1 , 2;1 , 1; , 2; 2          

Bài tập:

Bài 10: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2 xyy2 x y

ĐS: 0; , 1;0 , 0; 1     

Bài 11: Tìm số nguyên m nhỏ cho phương trình x24x mx 5 8 vơ nghiệm ĐS: m =

Bài 12: Tìm số ngun a để phương trình sau có nghiệm ngun

3

x  ax   a

Bài 13: Tìm số ngun a để phương trình sau có nghiệm nguyên

( 3)

ax  a x a 

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức

a) 42 x P

x  

 b)

2

2

2

x x

Q

x x

  

 

Bài 15: Cho phương trình x2  px228p p số ngun tố Tìm giá trị p để phương trình có hai nghiệm nguyên

Bài 16: Chứng minh phương trình x2 2mx2010.2011 0 khơng có nghiệm ngun với

m  

Bài 17: Cho a b c độ dài cạnh tam giác Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm , ,

a) x2 a b c x abbc ca 0 b) a x2 a2 b2 c2xb2 0

Bài giảng cung cấp http://baigiangtoanhoc.com

Bài 19: Cho hai phương trình x2 5x c ;  x2 5x c   Biết hai phương trình có nghiệm đối nhau, chứng minh nghiệm cịn lại phương trình đối

Bài 20: Cho phương trình xaxb  xbx c   x c xa0 Tìm điều kiện a b c , , để phương trình có nghiệm kép

Bài 21: Cho phương trình x2 bxc x2cx b  1

b c  Chứng minh có phương trình có nghiệm

Bài 22: Cho phương trình ax22bx c 0;bx22cxa0;cx22ax b 0 a b c , , Chứng minh có phương trình có nghiệm

Bài 23: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình

 

2 2 2

0