Hàm đơn điệu tựa đơn điệu và các bài toán liên quan

− bn ) m, n ∈ N, m > n ≥ ⇒ ≥ an bm Khi am+2 an+2 an+2 (am−n − bm−n ) (an − bn ) am−n+2 − n ≥ = m−n − a2 m n m b b a b b am+2 an+2 am−n+2 ⇒ m − n ≥ m−n − a2 b b b Tương tự ta có bm+2 bn+2 bm−n+2 − ≥ − b2 , m n m−n c c c cm+2 cn+2 cm−n+2 − n ≥ m−n − c2 m a a a 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu am+2 bm+2 cm+2 an+2 bn+2 cn+2 + m + m − n − n − n bm c a b c a am−n+2 bm−n+2 cm−n+2 ≥ m−n + m−n + m−n − a2 − b2 − c2 b c a Ta có am−n+2 bm−n+2 cm−n+2 + m−n + m−n ≥ a2 + b2 + c2 m−n b c a Khi am+2 bm+2 cm+2 an+2 bn+2 cn+2 + m + m − n − n − n ≥ bm c a b c a Từ ta thu điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c Bài toán 3.22 Cho a, b, c số dương thoả mãn điều kiện abc = 1, m, n ∈ N, m > n ≥ 0, α > β > Chứng minh am+2 bm+2 cm+2 + m + m bm c a α an+2 an+2 an+2 + n + n bn b b ≥ β (3.15) Giải Xét hàm số F (t) = am+2 bm+2 cm+2 + m + m bm c a t ; ∀t > Do √ am+2 bm+2 cm+2 + + ≥ a2 b2 c2 = m m m b c a Do F (t) hàm số đồng biến (0, +∞) Khi ∀α > β > 0, ta ln có am+2 bm+2 cm+2 + m + m bm c a α ≥ am+2 bm+2 cm+2 + m + m bm c a β Ta ln có 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 an+2 bn+2 cn+2 am+2 bm+2 cm+2 + + ≥ + n + n , ∀m > n > bm cm am bn c a Khi ∀β > 0, ta ln có am+2 bm+2 cm+2 + m + m bm c a β ≥ β an+2 bn+2 cn+2 + n + n bn c a Do am+2 bm+2 cm+2 + m + m bm c a α ≥ β an+2 bn+2 cn+2 + n + n bn b b , ∀m > n > Từ ta thu điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài toán 3.23 Cho a, b, c số dương thoả mãn điều kiện abc = 1, m ∈ N, m ≥ 0, α > β > Chứng minh α am+2 bm + bm+2 cm α + cm+2 am α ≥ am+2 bm β bm+2 cm + β β + cm+2 am (3.16) Giải Xét hàm số F (t) = am+2 bm t + bm+2 cm t + cm+2 am t ; ∀t > Ta cần chứng minh F (t) hàm số đồng biến (0, +∞) hay ∀t1 , t2 ∈ (0, +∞) , t1 < t2 , ta cần chứng minh F (t1 ) ≤ F (t2 ), hay cần chứng minh am+2 bm t2 + bm+2 cm t2 + cm+2 am t2 ≥ am+2 bm t1 + bm+2 cm t1 + cm+2 am t1 Ta có am+2 bm t2 t2 t2 am+2 + −1≥ t1 t1 b m 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên t1 , http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 t2 −1 t1 bm+2 cm t2 cm+2 am t2 am+2 bm t1 + t2 t2 bm+2 + −1≥ t1 t1 c m t1 t2 t2 cm+2 + −1≥ t1 t am t1 bm+2 cm t1 + , , t1 cm+2 am t2 −1 t1 ≥3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu am+2 bm t2 + bm+2 cm t2 + cm+2 am t2 ≥ am+2 bm t1 + bm+2 cm t1 + cm+2 am t1 Vậy F (t) hàm số đồng biến (0, +∞) Từ ta thu điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Kết luận Hàm số mảng tốn học rộng lớn, có nhiều cách để giải toán hàm số Trong luận văn tác giả vận dung lí thuyết hàm đơn điệu, hàm tựa đơn điệu để giải toán hàm số, cụ thể hàm đơn điệu khúc, đơn điệu hoá hàm số sơ cấp toán so sánh phân số Luận văn đạt số kết sau: - Hệ thống kiến thức hàm số đơn điệu, hàm đơn điệu bậc cao hàm tựa đơn điệu - Hệ thống kiến thức lớp hàm tựa đơn điệu, có hàm tựa đơn điệu, hàm đơn điệu khúc, hàm đơn điệu tuyệt đối, hàm đơn điệu có tính tuần hồn - Từ kiến thức đưa dạng tốn cách giải tốn - Đồng thời từ kiến thức hàm đơn điệu tựa đơn điệu, áp dụng để giải tốn so sánh phân số Tuy nhiên, luận văn hạn chế, chưa khai thác hết việc vận dụng lí thuyết hàm đơn điệu, lớp hàm tựa đơn điệu để giải nhiều dạng toán nữa.Tác giả mong muốn bạn đọc quan tâm mở rộng kết để giúp luận văn hồn chỉnh 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục,Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Lê Đình Thịnh,2005,Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đạo hàm,Hội nghị khoa học "Các chuyên đề chọn lọc hệ THPT Chuyên", Hà Nội [5] Phan Đức Chính, 1993, Bất đẳng thức, NXB Giáo Dục, Hà Nội [6] Nguyễn Văn Tiên, 2004, Một số kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức, Hội thảo khoa học "30 năm Việt Nam tham dự Olympic Tốn quốc tế", Hà Nội 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... kiến thức hàm số đơn điệu, hàm đơn điệu bậc cao hàm tựa đơn điệu - Hệ thống kiến thức lớp hàm tựa đơn điệu, có hàm tựa đơn điệu, hàm đơn điệu khúc, hàm đơn điệu tuyệt đối, hàm đơn điệu có tính... có nhiều cách để giải toán hàm số Trong luận văn tác giả vận dung lí thuyết hàm đơn điệu, hàm tựa đơn điệu để giải toán hàm số, cụ thể hàm đơn điệu khúc, đơn điệu hoá hàm số sơ cấp toán so sánh... tốn cách giải tốn - Đồng thời từ kiến thức hàm đơn điệu tựa đơn điệu, áp dụng để giải toán so sánh phân số Tuy nhiên, luận văn hạn chế, chưa khai thác hết việc vận dụng lí thuyết hàm đơn điệu,