Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐỖ THỊ NHUNG KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Hà Nội-2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN Người hướng dẫn: TS Phạm Đức Hiệp Sinh viên thực khóa luận: Đỗ Thị Nhung HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Quãng đời sinh viên qua đi, phải rời mái trường Giáo dục thân yêu em không quên kỷ niệm nơi thầy giáo, bạn bè.Cùng chung sống đại gia đình Giáo dục, chúng em thầy cô dạy dỗ, bảo tận tình kiến thức chun mơn học làm người, chúng em trưởng thành nhiều.Thực em biết ơn thấy cô Qua khóa luận tốt nghiệp, em xin gửi lời tri ân tới thầy giảng viên khoa Tốn - Cơ - tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên thầy cô giảng viên trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội giảng dạy trang bị cho em kiến thức quan trọng suốt trình em học tập trường tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình làm khóa luận này.Và qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Phạm Đức Hiệp - người trực tiếp hướng dẫn em thực khóa luận Cảm ơn thầy tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ em hồn thành khóa luận Khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, kính mong nhận quan tâm, dẫn thầy để kết nghiên cứu hồn chỉnh Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Nhung DANH MỤC VIẾT TẮT CĐ Cực đại CT Cực tiểu GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ Phương trình PT TCĐ Tiệm cận đứng TCN Tiệm cận ngang DANH MỤC KÝ HIỆU S ABC Diện tích tam giác ABC Max(max) Giá trị lớn Min(min) Giá trị nhỏ d(M;TCĐ) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ VỀ HÀM SỐ 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Hàm số 1.1.2 Đồ thị hàm số 1.2 Các kiến thức bổ trợ cho toán liên quan đến hàm số 1.2.1 Giới hạn hàm số 1.2.2 Quy tắc cách tính đạo hàm 1.2.3 Dấu tam thức bậc hai 1.2.4 Tính đơn điệu hàm số 1.2.5 Cực trị hàm số 1.2.6 Giá trị lớn - nhỏ hàm số 10 1.2.7 Tiệm cận đồ thị hàm số 10 1.2.7.1 Định nghĩa 10 1.2.7.2 Chú ý 11 CHƯƠNG 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 2.1 Khảo sát biến thiên hàm số 12 2.1.1 Các bước để khảo sát biến thiên hàm số 12 2.1.2 Các hình dáng đồ thị hàm số 13 2.1.3 Các ví dụ minh họa 14 CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 21 3.1 Bài toán liên quan đến tính đơn điệu 21 3.1.1 Phương pháp chung 21 3.1.2 Các ví dụ minh họa 21 3.2 Bài toán liên quan đến tương giao 22 3.2.1 Phương pháp chung 22 3.2.2 Ví dụ minh họa 23 3.3 Các toán liên quan đến tiếp tuyến 26 3.3.1 Phương pháp chung 26 3.3.2 Ví dụ minh họa 27 3.4 Các toán liên quan đến cực trị 29 3.4.1 Cực trị hàm bậc ba 29 3.4.1.1 Dạng 1: Tìm điều kiện m để hàm số có hai cực trị 29 3.4.1.2 Dạng 2: Tìm m để hàm số có trị đường thẳng qua hai cực trị song song vng góc với d : y mx n 30 3.4.1.3 Dạng 3: Tìm m để hàm số có hai cực trị cho hai cực trị đối xứng qua d : y ax b 31 3.4.1.4 Dạng 4: Tìm m để hàm số đạt cực trị x1, x2 cho F ( x1, x2 ) …………………………………………………………………….32 3.4.1.5 Dạng 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị biết diện tích tam giác chotrước………………………………………………………………………………33 3.4.2 Cực trị hàm trùng phương 33 3.4.2.1 Dạng 1: Tìm m để hàm số có cực trị 33 3.4.2.2 Dạng 2: Tìm m để hàm số có ba cực trị lập thành tam giác 34 3.4.2.3 Dạng 3:Tìm m để hàm số có cực trị lập thành tam giác vuông 35 3.4.2.4 Dạng 4: Tìm m để hàm số có cực trị nhận điểm trọng tâm trực tâm…………… 36 3.4.2.5 Dạng 5: Tìm m để hàm số có cực trị lập thành tam giác có diện tích cho trước 37 3.4.2.6 Dạng 6: Tìm m để hàm số có ba cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp cho trước 38 3.5 Bài toán liên quan đến tiệm cận( dành cho hàm phân thức) 39 3.5.1 Ví dụ 39 3.5.2 Ví dụ 40 3.6 Bài toán GTLN-GTNN hàm số 41 3.6.1 Dạng 1: Tìm GTLN-GTNN hàm số y f ( x) khoảng 41 3.6.1.1 Phương pháp chung 41 3.6.1.2 Ví dụ 41 3.6.2 Dạng 2: Tìm GTLN-GTNN hàm số y f ( x) đoạn 42 3.6.2.1 Phương pháp chung 42 3.6.2.2 Ví dụ 42 3.6.3 Dạng 3: Tìm GTLN-GTNN phương pháp tìm miền xác định giá trị…… ………………………………………………………………………42 3.6.3.1 Phương pháp chung 42 3.6.3.2 Ví dụ 43 3.6.4 Dạng 4: Tìm GTLN-GTNN hàm nhiều biến 43 3.6.4.1 Phương pháp chung 43 3.6.4.2 Ví dụ 43 3.7 Các toán điểm đặc biệt đồ thị 45 3.7.1 Tìm điểm cố định mà hàm số qua 45 3.7.1.1 Phương pháp chung 45 3.7.1.2 Ví dụ 45 3.7.2 Tìm cặp điểm đối xứng đồ thị 46 3.7.2.1 Phương pháp chung 46 3.7.2.2 Ví dụ 46 3.7.3 Tìm điểm có tọa độ ngun 47 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Toán học, Cơ học, Vật lý số ngành kĩ thuật cần giải mối liên hệ đại lượng từ đơn giản phức tạp Và hàm số đối tượng toán học xuất lĩnh vực khoa học nên nhận quan tâm theo nhiều khía cạnh khác Chính vậy, việc khảo sát hàm số quan tâm đặc biệt Khảo sát đồ thị hàm số dạng tập liên quan đến đồ thị hàm số nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn bậc Trung học phổ thơng Nó ln xuất đề thi đại học Vì hàm số nhận quan tâm đầu tư thầy cô giáo ý học sinh Mặc dù vậy, để nắm vững kiến thức hàm số, toán liên quan đến hàm số vận dụng vào thực tế lại vấn đề hồn tồn khơng đơn giản Trong năm học Trung học phổ thông, học sinh làm quen thực hành nhiều toán khảo sát hàm số toán liên quan đến hàm số Mặc dù làm nhiều tốn khảo sát khơng khó học sinh cịn nhầm lẫn nhiều Đặc biệt tốn liên quan đến hàm số Nó có nhiều dạng với kiểu câu hỏi nên học sinh khó nhớ có tốn khó mà học sinh học lực bình thường khơng làm Với mong muốn: Làm để học sinh dễ dàng ghi nhớ làm toán hàm số để hồn thành thi đaị học phần tốt Đặc biệt với mục đích đưa hệ thống kiến thức phân dạng đầy đủ xác để thuận lợi cho học sinh q trình học Vì vậy, tơi x Để hàm số có cực trị y ' x 4(m 1) x x m Để hàm số có cực trị m 1 Giả sử A(0; m2 ); B( m 1; 2m 1); C ( m 1; 2m 1) Gọi H trung điểm BC H (0; 2m 1) Ta có AH (0; m2 2m 1) AH (m 1) (m 1) ; BC ( m 1;0) BC 4(m 1) (m 1) Yêu cầu toán: S ABC AH BC 32 (m 1)2 m 32 (m 1)5 32 m 1 m (Thỏa mãn) Vậy m thỏa mãn u cầu tốn 3.4.2.6 Dạng 6: Tìm m để hàm số có ba cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp cho trước Phương pháp chung - Tìm m để hàm số có cực trị - Giả sử hàm số có cực trị A(0;c),B,C - Diện tích tam giác ABC S ABC - Mặt khác R - Tìm m so sánh điều kiện Ví dụ minh họa AH BC AB AC BC AB AC AB AC.BC AH BC AH 4S ABC 38 Tìm m để hàm số y x 2(m 1) x m có cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Lời giải Ta có y ' x 4(m 1) x x Để hàm số có cực trị y ' x 4(m 1) x x m Để hàm số có cực trị m 1 Giả sử A(0; m2 ); B( m 1; 2m 1); C ( m 1; 2m 1) Gọi H trung điểm BC H (0; 2m 1) Ta có AH (0; m2 2m 1) AH (m 1) (m 1) AB( m 1; 2m m ) AB m (m 1) AC ( m 1; 2m m ) AC m (m 1) AB AC (m 1) (m 1) Lại có R AH 2(m 1) (m 1) (m 1) 2(m 1) m m m m 3 2 Vậy m m 3 thỏa mãn yêu cầu toán 3.5 Bài toán liên quan đến tiệm cận( dành cho hàm phân thức) 3.5.1 Ví dụ Cho hàm số (C ) : y x2 x3 39 Tìm tọa độ điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Lời giải Gọi M (m; m2 ) (C ) m3 Tiệm cận đứng x ; Tiệm cận ngang y Ta có: d(M/TCĐ)= | m |; d(M/TCN )= Theo yêu cầu tốn m m2 1 1 m3 m3 1 m3 (m 3) m m 1 m 2 m 5 Vậy M (1; ) M (5; ) thỏa mãn yêu cầu tốn 2 3.5.2 Ví dụ Cho hàm số (C ) : y 2x x 1 Tìm tọa độ điểm M (C ) cho tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ Lời giải Gọi M (m; 2m ) (C ) m 1 Tiệm cận đứng: x Tiệm cận ngang: y Khoảng cách từ M đến TCĐ : d(M;TCĐ)= m Khoảng cách từ M đến TCN là: d(M;TCN )= 40 2m 1 2 m 1 m 1 Ta có d(M;TCĐ) + d(M;TCN) = m Dấu xảy m m 1 (m 1) m 1 m m m 1 m Vậy M (2;3) M (0;1) thỏa mãn u cầu tốn 3.6 Bài tốn GTLN-GTNN hàm số 3.6.1 Dạng 1: Tìm GTLN-GTNN hàm số y f ( x) khoảng 3.6.1.1 Phương pháp chung - Tính y ' giải phương trình y ' khoảng ( a, b) - Lập bảng biến thiên tương ứng khoảng ( a, b) - Kết luận tương ứng 3.6.1.2 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y x x 1; Lời giải x Ta có y ' x x ; y ' 3x x x Bảng biến thiên X - y’ - Y + 52 -2 41 + Min y 2 x ; Max y không tồn (1,5) (1,5) 3.6.2 Dạng 2: Tìm GTLN-GTNN hàm số y f ( x) đoạn 3.6.2.1 Phương pháp chung Cách 1: Có thể lập BBT dạng Cách 2: - Tính y’ Giải y ' x x1, x2 , , xk [a, b] - Tính y ( a ) , y( b ) , y x , y x , , y x k Max y Max{y( a ) , y( b ) , y x1 , y x2 , , y xk } [a ;b ] Min y Min{y( a ) , y( b ) , y x1 , y x2 , , y xk } [a ;b ] 3.6.2.2 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y | x x | [ 3,2] Lời giải Ta có y | x x | = x 3x y' 2( x3 3x)(3x 3) x 3x x x 3x x y' 3 x x 1 Lại có: y(0) 0; y( 3) 0; y( 3) 0; y(1) 2; y( 1) 4; y( 3) 18 ; y(2) Max y 18 x 3 ; Min y x [ 3,2] [ 3,2] Vậy giá trị lớn hàm số 18 , giá trị nhỏ 3.6.3 Dạng 3: Tìm GTLN-GTNN phương pháp tìm miền xác định giá trị 3.6.3.1 Phương pháp chung Giả sử y0 giá trị y f ( x) pt : y0 f (x) có nghiệm ẩn x m y0 M 42 3.6.3.2 Ví dụ x2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x x2 Lời giải Giả sử y0 giá trị hàm số y0 ( x x 2) x ( y0 1) x y0 x y0 Nếu y0 x 1 Nếu y0 : Để PT có nghiệm y0 4( y0 1)(2 y0 3) 7 y0 20 y0 12 y0 max y , y Vậy giá trị lớn hàm số 2, giá trị nhỏ m 3.6.4 Dạng 4: Tìm GTLN-GTNN hàm nhiều biến 3.6.4.1 Phương pháp chung Cách 1: Dùng phương pháp - Từ giả thiết rút y theo x (hoặc x theo y) - Thế vào biểu thức A f ( x ) - Tìm GTLN-GTNN A f ( x ) Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ - Đặt t h( x; y ) - Tìm điều kiện t [ , ] - Từ A f ( x; y ) g (t ) - Tìm GTLN-GTNN g (t ) [ , ] 3.6.4.2 Ví dụ 43 Ví dụ 1: Cho x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A x y y 1 x 1 Lời giải Từ giả thiết x y y Biểu thức trở thành: A Ta có f '( y ) 1 y y f ( y) y 1 y 2 f '( y ) y 2 ( y 1) (2 y ) 2 Có f (0) 1; f (1) 1; f ( ) x x max A y 1 y x 2 A y Vậy giá trị lớn biểu thức 1, giá trị nhỏ m Ví dụ 2: Cho x, y : ( x 4) ( y 4) xy 32 Tìm giá trị nhỏ P x3 y 3( xy 1)( x y 2) Lời giải Đặt x y t t x y xy Giả thiết t 8t t Ta có P x3 y 3( xy 1)( x y 2) ( x y )( x y xy ) 3( xy 1)( x y 2) ( x y )[( x y ) xy ] (3 xy 3)( x y 2) 44 ( x y )3 3xy ( x y ) 3xy ( x y ) xy 3( x y ) ( x y )3 xy 3( x y ) ( x y )3 ( x y ) 3( xy) (do xy ( x y ) ) Suy ra, P t t 3t f (t ) Xét f (t ) t t 3t 1 t 2 Có f '(t ) 3t 3t f '(t ) 1 t So sánh điều kiện t 3.7 1 khơng thỏa mãn Các toán điểm đặc biệt đồ thị 3.7.1 Tìm điểm cố định mà hàm số qua 3.7.1.1 Phương pháp chung Từ hàm số y f ( x; m) ta đưa dạng F ( x, y ) mG( x, y) Khi đó, tọa độ F ( x, y ) điểm cố định có nghiệm hệ PT G ( x, y ) 3.7.1.2 Ví dụ Cho hàm số y x3 3(m 1) x 3mx Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định m thay đổi Lời giải Giả sử M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m y0 x03 3(m 1) x0 3mx với m (3x0 3x0 )m y0 x03 3x0 với m 45 x0 3x0 3x0 y0 x 1 y0 x0 3x0 y0 4 Vậy đồ thị hàm số qua M (0;2); N (1; 4) m thay đổi 3.7.2 Tìm cặp điểm đối xứng đồ thị 3.7.2.1 Phương pháp chung Giả sử điểm I ( x0 ; y0 ) tâm đối xứng đồ thị (C ) : y f ( x) tồn hai x x ' x0 điểm M ( x; y ) M '( x '; y ') thuộc (C ) thỏa mãn f ( x) f ( x ') y0 x ' x0 x f ( x) f (2 x0 x) y0 Vậy I ( x0 ; y0 ) tâm đối xứng (C) f ( x) y0 f (2 x0 x) 3.7.2.2 Ví dụ Cho hàm số y x x (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1; 2) với hệ số góc k (k 3) cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt I ; A; B đồng thời I trung điểm đoạn AB Lời giải Phương trình đường thẳng d : y k ( x 1) y kx k Xét PT hoành độ giao điểm: x3 3x kx k x3 3x kx k ( x 1)( x x k 2) x 1 g ( x) x x k Vì I (1;2) nên tọa độ điểm A B nghiệm PT (2) 46 (2) ' k 0( k 3) mà g (1) 3 k nên ta có điều phải chứng minh x x 2x B I A 3.7.3 Tìm điểm có tọa độ ngun Ví dụ Tìm đồ thị hàm số C : y x2 điểm có tọa độ số nguyên x 1 Lời giải Giả sử M ( x0 ; Vì y0 x0 ) (C ), m 1 điểm có tọa độ số nguyên x0 x0 x0 y0 x0 1 nên x0 x0 x0 1 x0 2 y0 Vậy có điểm cần tìm M1 (0;2) M (2;0) 47 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hàm số (C ) : y x x i Khảo sát hàm số (C ) ii Tìm m để đường thẳng Δ : y mx m cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt A(1; 1), B , C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến điểm 21 Bài 2: Cho hàm số y (2 m) x 6mx 9(2 m) x (C ) i Khảo sát (C ) m ii Tìm m để d : y cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt A(0; 2), B, C cho OBC có diện tích 13 Bài 3: Cho hàm số y x3 x (m2 m 2) x i Khảo sát hàm số m ii Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x1, x2 cho x12 x1 x2 3x2 x2 13x1 Bài 4: Cho hàm số (C ) : y x x i Khảo sát hàm số (C ) ii Tìm m để y m cắt (C ) điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O Bài 5: Cho hàm số y x4 2mx i Khảo sát hàm số m 48 ii Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị tạo thành tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp O Bài 6: Cho hàm số (C ) : y x x 1 i Khảo sát hàm số (C ) ii Gọi Δ đường thẳng qua điểm cực đại (C ) có hệ số góc m Tìm m để tổng khoảng cách từ điểm cực tiểu (C ) đến Δ nhỏ Bài 7: Cho hàm số (C ) : y 2x x 1 i Khảo sát hàm số (C ) ii Tìm tọa độ điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ iii Tìm m để d : y x m cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O Bài 8: Cho hàm số (C ) : y 2mx xm i Khảo sát (C ) m ii Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị (C ) Tìm m để tiếp tuyến điểm đồ thị (C ) cắt hai tiệm cận A, B cho tam giác IAB có diện tích 64 Bài 9: Cho hàm số y 2x x2 i Khảo sát hàm số 49 ii Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 2x m x2 Bài 10: Cho hàm số y x x x i Khảo sát hàm số ii Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt 50 KẾT LUẬN Qua nội dung nghiên cứu trên, khóa luận”Khảo sát hàm số toán liên quan” giải mục đích đặt Theo hướng nghiên cứu chi tiết khảo sát hàm số giải toán liên quan đến hàm số, ta thu số kết sau: 1) Hệ thống kiến thức để khảo sát hàm số 2) Hệ thống kiến thức liên quan để giải tốn hàm số 3) Hệ thống toán liên quan đến hàm số - Bài tốn liên quan đến tính đơn điệu - Bài toán liên quan đến tương giao - Bài toán liên quan đến tiếp tuyến - Bài toán liên quan đến cực trị - Bài toán liên quan đến tiệm cận - Bài toán GTN - GTNN - Bài toán điểm đặc biệt đồ thị 4) Trong toán lớn Em phân dạng thành dạng toán cụ thể hơn, nêu phương pháp giải có ví dụ minh họa 5) Có số tập để tự luyện Hy vọng rằng, với nội dung trình bày khóa luận, khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, góp phần giúp cho việc học học sinh dễ dàng, thuận lợi 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Kỳ Hội, “Chuyên đề khảo sát hàm số” Đặng Thành Nam, “Chuyên đề hàm số toán liên quan” Bộ Giáo dục Đào tạo, “Đại số 10 nâng cao” - Nhà xuất giáo dục Việt Nam Bộ Giáo dục Đào tạo, “Đại số 11 nâng cao” - Nhà xuất giáo dục Việt Nam Bộ Giáo dục Đào tạo, “Đại số 12 nâng cao” - Nhà xuất giáo dục Việt Nam Nguyễn Nhanh Tiến, “Tóm tắt lý thuyết cơng thức hỗ trợ chun đề hàm số” Trần Sỹ Tùng, “Lý thuyết giới hạn hàm số” 52 ... dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số phương pháp giải tốn đó .Các dạng tốn - Bài tốn liên quan đến tính đơn điệu - Bài tốn liên quan đến tương giao - Bài toán liên quan đến cực trị - Bài toán. .. điệu hàm số - Cực trị hàm số - Giá trị lớn - giá trị nhỏ hàm số - Tiệm cận hàm số Chương 2: Khảo sát hàm số Trong chương nêu phương pháp chung để khảo sát hàm số để học sinh nắm bước tiến hành khảo. .. sát biến thiên hàm số 12 2.1.2 Các hình dáng đồ thị hàm số 13 2.1.3 Các ví dụ minh họa 14 CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 21 3.1 Bài tốn liên quan đến tính
Ngày đăng: 16/03/2021, 21:02
Xem thêm:
