a Kh¶o s¸t hµm sè b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại các giao điểm của C với trục hoành c TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi C vµ trôc hoµnh 15... b Dựa vào G hãy biện luận số [r]
(1)Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế Chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan A Sơ đồ khảo sát hàm số: Tx® Sù biÕn thiªn a) Giíi h¹n vµ tiÖm cËn (ChØ xÐt tiÖm cËn cña c¸c hµm ph©n thøc) b) B¶ng biÕn thiªn: - TÝnh y’ - Tìm các điểm xi cho phương trình y’(xi) = Tính y(xi) - LËp b¶ng biÕn thiªn - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các khoảng đồng biến và cực trị Vẽ đồ thị: - Tìm giao với các trục toạ độ (Hoặc số điểm đặc biệt) - Vẽ đồ thị B Bµi tËp I D¹ng 1: Kh¶o s¸t hµm bËc 3, y = ax3 + bx2 + cx + d VD1 : Cho hµm sè y = - x3 + 3x2 - a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm uốn Gi¶i: a) Kh¶o s¸t hµm sè: Tập xác định: R Sù biÕn thiªn: a) Giíi h¹n: lim y x b) B¶ng biÕn thiªn: x1 y1 2 x2 y1 y’ = - 3x2 + 6x, y’ = - 3x2 + 6x = x y’ y -∞ +∞ 0 + 2 +∞ - -2 -∞ - Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2) và nghịch biến trên khoảng (-∞ ; 0) vµ (2 ; +∞) y - Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2) §å thÞ : - §iÓm uèn : y” = - 6x + 6; y” = x = y = Ta cã ®iÓm uèn lµ: U(1 ; 0) - Giao Ox : A(1 3;0); B(1 3;0);U (1;0) - Giao Oy : D(0 ; -2) O NhËn xÐt : §å thi nhËn ®iÓm uèn U(1 ; 0) lµm tâm đối xứng b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn U(1 ; 0) -2 HÖ sè gãc k = f’(1) = Vậy ta có phương trình tiếp tuyến là : y - y0 = k(x - x0) hay : y - = 3(x - 1) y = 3x - Mét sè chó ý kh¶o s¸t hµm sè bËc ba : Tx®: R Lop10.com x (2) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế a lim y ; a lim y x x a > : C§ - CT; a < 0: CT - C§ (Kh«ng cã cùc trÞ nÕu y’> hoÆc y’< xR) Tìm điểm uốn trước vẽ đồ thị Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xøng Bµi tËp tù luyÖn: Bµi 1: Cho hµm sè: y x3 12 x 12 (C) a) Kh¶o s¸t hµm sè b) T×m giao ®iÓm cña (C) víi ®êng th¼ng d: y = - Bµi 2: Cho hµm sè y x3 x (C ) (§Ò thi TN 2002) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3; 0) Bµi 3: Cho hµm sè y x x(C ) (§Ò TN 2001) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ (d) c) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ tiÕp tuyÕn (d) Bµi 4: (§Ò TN 99) Cho hµm sè y = x3 - (m + 2)x + m a) Tìm m để hàm số có cự đại tương ứng với x = b) Khảo sát hàm số tương ứng với m = 1(C) c) BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (C) víi ®êng th¼ng y = k Bµi : (§Ò 97) Cho hµm sè y = x3 - 3x + (C) a) Kh¶o s¸t hµm sè (C) b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), trôc hoµnh, trôc tung vµ ®êng th¼ng x = Bai 6: (§Ò 93) Cho hµm sè y = x3 - 6x2 + (C) a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn c) Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm phương trình x3 - 6x2 + - m d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hoành và các đường th¼ng x = vµ x = Bµi : Cho hµm sè y = x3 - mx2 + x + (1) a) Kh¶o s¸t hµm sè øng víi m = - b) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cự đại và cực tiểu Bµi 8: Cho hµm sè y = x3 - 3mx + m (Cm) a) Kh¶o s¸t víi m = b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt Bµi : Cho hµm sè y = - x3 + 3x + (C) a) Kh¶o s¸t hµm sè b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc hoµnh Bµi 10 : Cho hµm sè y x3 x 2, (C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với ®êng th¼ng d: y x II Dạng 2: Hàm số bậc trùng phương y = ax4 + bx2 + c VD2: Cho hµm sè y x x (C ) Lop10.com (3) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 a) b) c) Gi¶i: a) Sở GD & ĐT Huế Kh¶o s¸t hµm sè TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc hoµnh Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ Kh¶o s¸t hµm sè Tập xác định: R Sù biÕn thiªn a) Giíi h¹n: lim y x x y 1 b) B¶ng biÕn thiªn: y' = - x + 4x; y' = x 2 y 25 2,3 2,3 x y’ -∞ -2 + - 0 + 25 y +∞ - 25 -∞ -∞ Suy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), nghịch biến trên kho¶ng ( -2; 0) vµ (2; +∞) Cùc trÞ: x CD = ±2 yCD = 25 ; xCT yCT 4 y §å thÞ : (H2) - §iÓm uèn: y” = - 3x2 +4; y” = x 161 y 36 - Giao víi Ox : A(-3 ; 0) vµ B(3 ; 0) - Giao Oy : C (0; ) O (H2) b) DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc hoµnh lµ : x4 S x dx 4 3 3 x4 x5 x3 x ( x ) dx ( ) 9 4 20 3 3 c) x0 = y0 = 4, y’(x0) = y’(1) = Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = 3(x - 1), hay : y = 3x + Một số lưu ý khảo sát hàm số bậc trùng phương : a) Tx® : R b) a : lim y đt hàm số có hai cực tiểu - cực đại có x cực tiểu (y’ = có nghiệm, đó đồ thị giống đồ thị parabol) a : lim y ; đt hàm số có hai cực đại - cực tiểu có cực x đại c) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Không có tiệm cận Bµi tËp tù luyÖn : Bµi : Cho hµm sè y = x4 - 2x2 - (C) a) Kh¶o s¸t hµm sè Lop10.com x (4) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế b) Dựa vào (C), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + m = có nghiệm phân biệt Bµi 2: Kh¶o s¸t hµm sè: y = - x4 + 4x2 - Bµi 3: Cho hµm sè: y = x4 + mx2 - m - (Cm) a) Kh¶o s¸t hµm sè víi m = (C) b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc hoµnh c) Tìm m để (Cm) có cực đại và cực tiểu Bµi 4: Cho hµm sè: y x mx (Cm) a) Kh¶o s¸t hµm sè víi m = b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(0; 9 ) Bµi sè Kh¶o s¸t c¸c hµm sè sau: 1) y x 4x 2) y x x 3) y x 2x III D¹ng 3: Hµm sè b1/b1: VD3: Cho hµm sè: y x (C ) x 1 y ax b (a.c 0) cx d a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Xác định toạ độ giao điểm (C) với đường thẳng d: y = 2x + Viết phương tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i c¸c giao ®iÓm trªn Gi¶i: a) Kh¶o s¸t hµm sè: Tập xác định: D = R\{1} Sù biÕn thiªn: a) ChiÒu biÕn thiªn: y' 3 0, x D ( x 1) Nªn hµm sè nghÞch biÕn trªn (-∞; 1) vµ (1; +∞) b) Cùc trÞ: §å thÞ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ c) Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y x = là tiệm cận đứng x 1 lim y 1 y = - lµ tiÖm cËn ngang x d) B¶ng biÕn thiªn : x -∞ y’ y +∞ - y +∞ -1 -1 -∞ §å thÞ : (H3) - Giao víi Ox : A(4 ; 0) - Giao víi Oy : B(0 ; -4) - §å thÞ nhËn I(1 ; - 1) làm tâm đối xứng b) Hoành độ giao điểm của(C) vµ ®êng th¼ng d lµ nghiÖm Của phương trình: O -2 -4 Lop10.com x (5) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế x 2x x 1 x1 2 y1 2 2x x x2 y2 2 VËy giao ®iÓm cña (C) vµ ®êng th¼ng d lµ: M (2; 2), M ( ;5) - Phương trình tiếp tuyến (C) M1 có hệ số góc là: k1 y '(2) 3 Nên có phương trình là: y ( x 2) y x 3 - Phương trình tiếp (C) M2 có hệ số góc là: k2 y '( ) 12 Nên có phương trình là: y 12( x ) y 12 x 23 Nh÷ng lu ý kh¶o s¸t hµm b1/b1: d c Tập xác định: D R \ { } Hàm số luôn đồng biến (y’>0) luôn nghịch biến (y’<0) trên các khoãng xác định §å thÞ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: ) lim y x x d c ) lim y x d là tiệm cận đứng c a a y lµ tiÖm cËn ngang c c +) Kh«ng cã tiÖm cËn xiªn 3x có đồ thị (C) x3 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = -1 3) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn [0; 2] Hướng dẫn giải 1) Hs tù kh¶o s¸t §å thÞ: 10 2) Cã y ' y '(1) ; y(1) x 3 Bµi sè Cho hµm sè y 5 x 1 y x 8 3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0; 2] Do đó: max y y(0) ; y y(2) 5 0;2 0;2 Phương trình tiếp tuyến: y Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Cho hµm sè: y 2x (C ) x 1 Lop10.com (6) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ Bµi 2: Cho hµm sè y 2x (C ) x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với các trục toạ độ Bµi 3: Cho hµm sè y x4 (C ) 2 x a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và các trục toạ độ Bµi 4: (§Ò TN - 99) Cho hµm sè y x 1 (C ) x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tai điểm A(0; 1) Bµi 5: Cho hµm sè y x2 (C ) x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng dm: y = 2x + m (m lµ tham sè) lu«n c¾t (C) t¹i hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh đồ thị c) Tìm toạ độ M thuộc đồ thị (C) cho điểm M cách các trục toạ độ Bµi 6: Cho hµm sè y x2 (C ) x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + m + (m là tham số) cắt (C) hai điểm ph©n biÖt Bµi 7: Kh¶o s¸t c¸c hµm sè a) y x2 x2 b) y 2x x 1 phần Dành cho ôn thi cao đẳng và đại học: vấn đề 1: Hàm sè bËc ba vµ c¸c b×a to¸n liªn quan Bµi sè Cho hµm sè: y (m 2)x3 3x mx a) Kh¶o s¸t hµm sè víi m =0 b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu c) Tìm m để hàm số đồng biến trên [2; +∞) Hướng dẫn giải a) Víi m =0, ta cã hµm sè y 2x3 3x Hs tù gi¶i §å thÞ (Xem h×nh vÏ bªn) b) Ta cã: y ' 3(m 2)x 6x m Hs có cực đại và cực tiểu Phương trình y’ = có nghiệm ph©n biÖt m 2 a (m 2) ' 3m(m 2) 3m 6m m 2 3 m Lop10.com (7) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế c) Hàm số ĐB trên [2; +∞) y’>0 x[2; +∞) Ta xét các trường hợp a m • ' 3m 6m m Khi đó y’ > x nên thỏa mãn • y’=f(x) cã nghiÖm tháa m·n: x1 ≤ x2 < 3 m ' 3m 6m 36 af(2) (m 2)(13m 36) m m 2 2 m 13 S 2m 3 2 0 2 m2 2 m VËy c¸c gi¸ trÞ m cÇn t×m lµ 2 m Bµi sè Cho hµm sè y x (m 3)x mx m a) Kh¶o s¸t hµm sè víi m = b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hs câu a và đường th¼ng y =x+2 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = d) Tìm m để đồ thị hs có điểm đối xứng qua gốc tọa độ O (Dành cho KA) Hướng dẫn giải a) Víi m = ta cã hµm sè: y x3 3x §å thÞ (xem h×nh vÏ) b) Phương trình hoành độ giao điểm (C) với đường thẳng y = x+2 là: x 1 x 3x x x 3x x x DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh lµ: S 1 x 3x x 3dx x 3x x dx 1 x 1 3x x dx x 32 x dx c) Cã y ' 3x 2(m 3)x m, y" 6x 2(m 3) y '(2) Hàm số đạt cực tiểu x = y"(2) 12 4(m 3) m m m0 12 2(m 3) m H×nh d) Đồ thị hàm số có điểm đối xứng qua gốc toạ độ O Tồn x, y cho điểm M(x; y) và M’(-x; -y) cùng thuộc đồ thị hs Hệ sau có nghiệm y x (m 3)x mx m y x (m 3)x mx m 2 (1) y x (m 3)x mx m 2(m 3)x 2(m 5) Hệ trên có nghiệm Phương trình (1) có nghiệm (m 3)x m có nghiệm m 5 m5 0 m3 m 3 Bài số Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) a) Kh¶o s¸t hµm sè Lop10.com (8) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế b) Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3x m (1) c) Dùng đồ thị, tìm nghiệm bất phương trình: x 3x (2) Hướng dẫn giải a) Hs tù gi¶i §å thÞ: (xem h×nh vÏ) b) Cã (1) x 3x m Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thÞ (C) víi ®êng th¼ng y = m – Dựa vào đồ thị ta có: • Nếu m – 2> m>4: Phương trình có nghiÖm • Nếu m – =2 m =4: Phương trình có nghiÖm • NÕu -2<m – 2< 0<m < 4: PT cã nghiÖm • NÕu m – =-2 m =0: PT cã nghiÖm • NÕu m – < -2 m < 0: PT cã nghiÖm c) Ta cã x 3x x 3x Do đó nghiệm (2) là hoành độ các điểm thuộc (C) nằm phía đường thẳng y =2 Dựa vào đồ thị ta có nghiệm (2) là x> H×nh Bµi tËp tù luyÖn: Bµi sè Cho hµm sè y x 3x m 1) Kh¶o s¸t hµm sè víi m = 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị câu a) 3) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bµi sè Cho hµm sè y x 3x 9x m 1) Kh¶o s¸t hµm sè m =6 2) Tìm m để phương trình f(x) =0 có nghiệm phân biệt Bµi sè Cho hµm sè y x 3x 3mx 3m 1) Kh¶o s¸t hµm sè víi m = 2) Tìm m để đồ thị nhận I 1;2 làm điểm uốn 3) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành Bµi sè Cho hµm sè y 2x mx 12x 13 1) Kh¶o s¸t hµm sè víi m = 2) Tìm m để đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách trục tung Oy Vấn đề Khảo sát hàm số trùng phương và các bài toán liên quan Một số lưu ý: Hàm số trùng phương y ax bx c (a 0) b 1) Cã y ' 4ax x 2a • Nếu ab< 0: Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt Đồ thị có điểm cực trị • Nếu ab≥ 0: Phương trình y’= có nghiệm x = 0 Đồ thị có cực trị x= Lúc này đồ thị không có điểm uốn (do y’ không đổi dấu) 2) Đồ thị hàm số trùng phương có trục đối xứng là Oy (do là hs chẵn) Lop10.com (9) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế To¸n minh häa: Bµi sè Cho hµm sè y f(x) kx (k 1)x 2k a) Kh¶o s¸t hµm sè víi k b) Tìm k để hàm số có cực trị c) Tìm k để hàm số đồng biến trên [1; +∞) Hướng dẫn giải x4 x2 a) Víi k ta cã hµm sè y 2 §å thÞ: b) Cã y ' kx 2(k 1)x x kx 2k Hµm sè cã mét cùc trÞ y’ = chØ cã mét nghiÖm x kx 2k chØ cã mét nghiÖm k k(2k 2) k c) Hµm sè §B trªn [1; +∞) y’>0 x[1; +∞) Khi xảy các trường hợp: a k TH1: Hµm sè chØ cã mét cùc trÞ vµ hÖ sè a>0 k k k TH 2: Phương trình y’ = có nghiệm ≤ và hệ số a=k>0 0 k 0 k 3k 2(1 k) 1 0 x k k 0 k k 1 k k Kết hợp các trường hợp ta có giá trị k cần tìm là: k Bµi sè Cho hµm sè y x 2mx 2m m a) Kh¶o s¸t hµm sè m =1 b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu đó lập thành tam giác Hướng dẫn giải a) Víi m = ta cã hµm sè y x 2x Ta có đồ thị: (xem hình vẽ) b) Cã y ' 4x 4mx 4x(x m) Hµm sè cã C§ vµ CT y’ = cã nghiÖm ph©n biÖt m >0 Lop10.com H×nh (10) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế Khi đó y’ = x =0, x m Đồ thị có điểm cực đại là A 0;2m m C m;m vµ ®iÓm cùc tiÓu lµ B m;m m 2m , m 2m Các điểm A, B, C lập thành tam giác AB = BC AB BC m m 4m m3 (do m > 0) m 3 Bài số Cho hàm số y x mx m có đồ thị (Cm) 1) Kh¶o s¸t hµm sè m = -2 2) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Hướng dẫn giải 1) Víi m =-2, ta cã hµm sè: y x 2x §å thÞ: (Xem h×nh vÏ) 2) Cã y ' 4x 2mx 2x(2x m) Hàm số có cực đại và cực tiểu y’ = có nghiệm phân biệt m < Bµi tËp tù luyÖn: Bài số Cho hàm số y x 2(1 m)x m có đồ thị (Cm) 1) Xác định m để (Cm) không có điểm chung với trục hoành 2) Với giá trị nào m thì hàm số đạt cực trị x =1 Khi đó hay khảo sát hµm sè 3) Dùng đồ thị hàm số vừa vẽ câu để biện luận theo k số nghiệm phương trình: x (x 2) k Bµi sè Cho hµm sè y (1 m)x mx 2m (Cm) 1) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt 2) Tìm m để hàm số có đúng cực trị 3) Kh¶o s¸t hµm sè víi m =2 Bài số Cho hàm số y x 6x có đồ thị (C) 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Cho M(C) có hoành độ x =a Tìm a để tiếp tuyến với (C) M cắt (C) ®iÓm ph©n biÖt kh¸c M Bµi sè Cho hµm sè y x mx (Cm) 1) Víi m = h·y: a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến đó qua 3 A 0; 2 2) Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Vấn đề Khảo s¸t hµm sè ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt ax b cx d d • Tập xác định: D A \ c Mét sè lu ý: Hµm sè y 10 Lop10.com (11) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 • §¹o hµm y ' Sở GD & ĐT Huế ad bc cx d Nếu ad – bc >0 Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Nếu ad – bc < Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định d a • Đồ thị có tiệm cận đứng là: x , tiệm cận ngang là y c c b b §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i A ;0 , c¾t trôc tung t¹i B 0; a d To¸n minh ho¹: 2x có đồ thị (C) x 1 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (C) vµ ®êng th¼ng (d): 2x – y + m =0 Hướng dẫn giải 1) Hs tù kh¶o s¸t §å thÞ: 2) Sè giao ®iÓm cña (C) vµ (d) b»ng sè nghiÖm cña phương trình: Bµi sè Cho hµm sè y 2x 2x m 2x (m 4)x m x 1 (1) Xét phương trình (1), có: = (m +4)(m-4) • < - < m < 4: (1) v« nghiÖm (C) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung • = m = ± 4: (1) cã mét nghiÖm kÐp (C) vµ (d) cã mét ®iÓm chung • > m<-4 m > 4: (1) cã nghiÖm ph©n biÖt (C) vµ (d) c¾t t¹i ®iÓm ph©n biÖt mx xn 1) Tìm m, n để đồ thị (C) hàm số nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng và ®êng th¼ng y = lµm tiÖm cËn ngang 2) Kh¶o s¸t hµm sè víi m, n võa t×m ®îc 3) Gäi M lµ giao ®iÓm cña (C) víi trôc hoµnh vµ N lµ giao ®iÓm cña (C) víi trôc tung Viết phương trình đường thẳng MN 4) Viết phương trình và vẽ các tiếp tuyến với (C) M, N Tìm tọa độ giao điểm các tiếp tuyến đó Hướng dẫn giải mx mx m; lim nªn (C) cã tiÖm cËn 1) Cã lim x x n x n x n ngang là y = m và tiệm cận đứng là x = -n Do đó (C) nhËn c¸c ®êng th¼ng y = và x = làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng m m n n 2 Bµi sè Cho hµm sè y 11 Lop10.com (12) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 2) Víi m = 2, n =-2 ta cã hµm sè y Sở GD & ĐT Huế 2x x2 Hs tù kh¶o s¸t §å thÞ: 3 3 3) (C) c¾t Ox t¹i M ;0 , c¾t Oy t¹i N 0; 2 2 Đường thẳng MN có phương trình: y x 3 4) Ta cã: y ' 4; y '(0) 2 TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M: y = -4x + TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i N: y x Hoành độ giao điểm tiếp tuyến trên là nghiệm phương trình: x 4x x 6 6 Suy tọa độ giao điểm các tiếp tuyến là: A ; 5 5 Bµi tËp tù luyÖn: mx m Bµi sè Cho hµm sè y x m 1 4) Kh¶o s¸t hµm sè víi m =2 5) Tìm m để hàm số đồng biến các khoảng xác định 2x Bµi sè Cho hµm sè y có đồ thị (C) x 1 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên mx Bµi sè Cho hµm sè y có đồ thị là (Cm) xm 1) Kh¶o s¸t hµm sè m =-1 2) Tìm để (Cm) cắt trục tung và trục hoành x 1 Bµi sè Cho hµm sè y có đồ thị (C) x2 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Tìm điểm M(C) để tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ nhỏ 1 Đs: M 0; , đó tổng khoảng cách là d 2 x2 Bµi sè Cho hµm sè y có đồ thị (C) x2 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Tìm điểm M(C) cách trục tọa độ 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) và qua A(-6; 5) Vấn đề 4: Kh¶o s¸t hµm ph©n thøc b¹c hai trªn bËc nhÊt Mét sè lu ý: Hµm sè y ax bx c C Ax B (kh«ng suy biÕn) a 'x b' a 'x b' 12 Lop10.com (13) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế b' • Tập xác định D A \ a ' C.a ' • §¹o hµm: y ' A a ' x b ' y’ = cã nghiÖm Cã cùc trÞ y’ = v« nghiÖm Kh«ng cã cùc trÞ b' • Đồ thị có tiệm cận đứng x , tiệm cận xiên y = Ax+B a' Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng To¸n minh häa: x 3x (C ) Bµi sè 1: Cho hµm sè y x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết hệ số góc k = - HD Gi¶i: a) Kh¶o s¸t (HS tù lµm) §å thÞ b) Gäi ®iÓm M0(x0 ; y0) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn víi ®t (C) cã hÖ sè gãc k = - đó ta có : y x02 x0 y '( x0 ) 1 ( x0 1) O x02 x0 x02 x0 1, VN -2 VËy kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo cña (C) cã hÖ sè gãc k = - x -4 Lu ý kh¶o s¸t hµm b2/b1 e d Tx®: D R \ { ) Nªn ®a hµm sè vÒ d¹ng: y a1 x b1 c1 để dễ dàng tính đạo hàm và suy dx e ®îc tiÖm cËn xiªn lµ: y = a1x + b1 §å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm cËn ngang vµ kh«ng ph¶i xÐt tÝnh l«i, lâm vµ ®iÓm uốn đồ thị §å thÞ hµm sè cã hai cùc trÞ hoÆc kh«ng cã cùc trÞ nµo x m(m 1)x m Bµi sè Cho hµm sè y xm 1) Kh¶o s¸t hµm sè m = -1 2) Chøng tá r»ng víi mäi m, hµm sè lu«n cã cùc trÞ Hướng dẫn giải x2 1) Víi m =-1 Ta cã hµm sè y x 1 Hs tù kh¶o s¸t §å thÞ: x 2mx m 2) Ta cã: y ' (x m) y ' g(x) x 2mx m (1) H×nh 11 13 Lop10.com (14) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế XÐt pt (1) cã ’ = m2 – m2 + = 1>0 m Vµ g(m) = -1 ≠ m Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt m hay hàm số luôn có cực trị x 2x 15 Bµi sè Cho hµm sè y x 3 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số và trục tọa độ 3) Đồ thị (C) cắt trục hoành Ox điểm A và B Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm đó và tìm tọa độ giao điểm hai tiếp tuyến Hướng dẫn giải 1) Hs tự khảo sát Ta có đồ thị: 2) (C) c¾t Ox t¹i c¸c ®iÓm A(-3; 0) vµ B(5; 0) c¾t Oy t¹i ®iÓm C(0; 5) DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn t×nh lµ: 0 x 2x 15 12 3 x dx 3 x x dx x2 x 12ln x 12ln 2 3 3) Cã y ' 12 x 3 y '(3) ; y '(5) Phương trình tiếp tuyến A: y (x 3) Phương trình tiếp tuyến B: y = 4(x-5) Hoành độ giao điểm tiếp tuyến trên là nghiệm phương trình: x 3 4(x 5) x Tung độ giao điểm: y = 4(9 – 5) =16 Vậy tọa độ giao điểm tiếp tuyến là I =(9; 16) 2x 5x Bµi sè Cho hµm sè y có đồ thị (C) x 1 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: (1) 2x (5 m)x m Hướng dẫn giải 1) Hs tù kh¶o s¸t §å thÞ: 2) Cã (1) 2x 5x m(x 1) NhËn thÊy x= kh«ng lµ nghiÖm cña (1) nªn 2x 5x (1) m x 1 Sè nghiÖm cña (1) b»ng sè giao ®iÓm cña (C) víi ®êng th¼ng y = m Dựa vào đồ thị ta có: m 2 • NÕu : (C) c¾t d t¹i ®iÓm ph©n biÖt m 2 14 Lop10.com H×nh 11 (15) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế PT cã nghiÖm ph©n biÖt m 2 • NÕu (C) tiÕp xóc víi d t¹i ®iÓm m 2 PT cã mét nghiÖm kÐp • NÕu 2 m 2 : (C) vµ d kh«ng cã ®iÓm chung PT v« nghiÖm x2 1 Bµi sè Cho hµm sè y (C) x 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Gọi A là điểm bất kì trên (C) mà tiếp tuyến với (C) đó cắt các đường tiệm cËn cña (C) t¹i M vµ N Chøng minh r»ng A lµ trung ®iÓm MN 3) Chứng minh A di chuyển trên (C) thì OMN có diện tích không đổi Từ đó suy OM.ON không đổi (O là gốc tọa độ) Hướng dẫn giải 1) Hs tự khảo sát (Xem đồ thị hình 13) x2 1 2) A(xA; yA)(C) xA≠0, y A A xA Phương trình tiếp tuyến A (C) là: x2 1 x2 1 y A x x A A xA xA x 2A x xA xA Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng M có tọa độ: x M 0; y M xA TiÕp tuyÕn c¾t tiÖm cËng xiªn t¹i N cã hoành độ thỏa mãn: x 2A x x x N 2x A x 2A xA Do A, M, N thuéc tiÕp tuyÕn vµ x M x N 2x A nªn A lµ trung ®iÓm MN H×nh 13 Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Cho hµm sè y x2 2x m (Cm ) x m 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè víi m = - b) Tìm k để phương trình sau có nghiệm: x2 2x k x2 c) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại, cực tiểu x2 x (C ) Bµi 2: Cho hµm sè y x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với trục hoành c) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc hoµnh 15 Lop10.com (16) Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 Sở GD & ĐT Huế x 3x (C ) Bµi 3: Cho hµm sè y x2 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), tiÖm cËn xiªn, trôc tung vµ ®êng th¼ng x = Bµi 4: Cho (G) y 1 x 1 x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Dựa vào (G) hãy biện luận số nghiệm phương trình: 1 x 1 m (m lµ x 1 tham sè) c) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (G), trôc hoµnh vµ c¸c ®êng th¼ng x = 2, x = Bµi 5: Cho hµm sè y x x 15 (C ) x3 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và hai trục toạ độ Bµi 6: Cho hµm sè y x2 5x (C ) x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm phương trình: 2x2 - (5 + m) + + m = Bµi 8: Cho hµm sè y x2 x (C ) x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 1) có hệ số góc là m, hãy xác định m để ®êng th¼ng d c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt x Bµi 9: Cho hµm sè y x (C ) a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiªn cña (C) c) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng dm: y = 3x + m (m lµ tham sè) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt m2 (Cm ) Bµi 10: Cho hµm sè y x m xm a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Tìm m để tiệm cận xiên (Cm) qua điểm S(2 ; 0) Bµi 11: Cho hµm sè y x x 15 (C ) x3 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi han bëi (C), trôc hoµnh, trôc tung vµ x = Bµi 12: 16 Lop10.com (17)