Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán Theo Đề Minh Họa 2021 Có Lời Giải Chi Tiết Và Đáp Án (Đề 4)

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc [r]

ĐỀ THI THỬ THEO ĐỀ MI H HỌA

ĐỀ SỐ 04 (Đề thi có 08 trang)

ĐỀ THI THỬ TỐT GHIỆP TRU G HỌC PHỔ THÔ G ĂM 2021

Bài thi: TOÁ

Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: ………

Số báo danh: ………

Câu Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r A πrl B 2πrl C 1

3πrl D 4πrl

Câu Cho cấp số cộng ( )un với u1=2 u2 =8 Công sai cấp số cộng A −6 B 4 C 10 D 6 Câu Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên hình bên

Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (− +∞4; ) B (−∞;0 ) C (−1;3 ) D ( )0;1 Câu Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm học sinh?

A 82 B

C C

8

A D 2 8

Câu Cho hàm số y= f x( ) y g x= ( ) liên tục đoạn [ ]1;5 cho ( )

5

1

d

f x x=

∫

( )

d

g x x= −

∫ Giá trị ( ) ( )

5

d g x − f x x

 

 

∫

A −2 B 6 C 2 D −6

Câu Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f x( ) đạt cực đại điểm sau đây?

A 2(1 ln )+ a B 1 1ln a

− C 2(1 ln )− a D ln− a Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

1

x z y

d + = − = −

− Một vectơ phương d

A u4(1; 3; 1)− − B u1(1; 1;2)− C u3(1;2; 1)− D u2( 1;1;3)− Câu Nghiệm phương trình 2

2 x− =

A B 2 C −1 D 1

Câu 10 Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị hình Số nghiệm phương trình ( )

3f x + =1

A 0 B 3 C 2 D 4

Câu 11 Tiệm cận đứng đồ thị hàm số

1 x y

x

− =

+

A x=1 B x= −1 C y= −1 D y=1

Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x: −2y+2z− =1 Khoảng cách từ điểm A(1; 2;1− ) đến mặt phẳng ( )P

A B C 2

3 D

7

Câu 13 Phần ảo số phức z= − +1 i

A −i B C −1 D i

Câu 14 Cho biểu thức P= x5 với x>0 Mệnh đề sau đúng?

A

5

P=x B

4

P=x C P x= D P x= 20

Câu 15 Một bốn hàm số cho phương án A B C D, , , sau có đồ thị hình vẽ

Hỏi hàm số hàm số nào? A 1

3

y= x −x + B y x= 3−3x2+1 C y x= 3+3x2+1 D y= − +x3 3x2+1

Câu 16 Thể tích khối tứ diện có cạnh A 9

4 B

2

3 C

2

3 D

2 12

Câu 17 Cho d đường thẳng qua điểm A(1;2;3) vng góc với mặt phẳng

A

4

x− y− z−

= =

− − − B

1

4

x− y− z−

= =

− C

4

1

x− y− z+

= = D

4

x+ y+ z+

= =

− Câu 18 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC SA), = Tam giác

ABC đều, cạnh a Góc SC mặt phẳng (ABC) bằng:

A 300 B 600 C 450 D 900

Câu 19 Cho a b x, , số thực dương thỏa mãn 5

log x=2 log a+3log b Mệnh đề đúng?

A

4

a x

b

= B x=4a−3b C

4

a x

b

= D x a= 4−b3

Câu 20 Tìm số thực a b thỏa mãn 2a+(b i i+ ) = +1 2i với i đơn vị ảo A a=0,b=2 B 1,

2

a= b= C a=0,b=1 D a=1,b=2

Câu 21 Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(2; 1;1− ) tiếp xúc mặt phẳng (Oyz)có phương trình là:

A (x+2)2+(y−1)2+(z+1)2 =4 B (x+2)2+(y−1)2+(z+1)2 =2

C (x−2)2+(y+1)2+(z−1)2 =2 D (x−2)2+(y+1)2 +(z−1)2 =4

Câu 22 Cho hai số phức z1= +1 i z2 = −2 3i Tính mơ đun số phức z1+z2

A z1+z2 =1 B z1+z2 = C z1+z2 = 13 D z1+z2 =5

Câu 23 Nếu hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có AB=2 thể tích khối tứ diện AB C D′ ′ ′ A 8

3 B

1

3 C

4

3 D

16

Câu 24 Tập nghiệm bất phương trình ( )

log x − ≥1

A [−2;2] B (−∞ − ∪; 3] [3;+∞) C (−∞ − ∪; 2] [2;+∞) D [−3;3]

Câu 26 Nguyên hàm hàm số

1 y

x

=

− là:

A F x( )=ln x− +1 C B F x( )= −ln 1− +x C

C F x( )= −ln 1( −x)+C D F x( )=ln 1− +x C

Câu 27 Cho hình thang ABCD vuông tạiA D, AD CD a= = , AB=2a Quay hình thangABCD quanh cạnh AB, thể tích khối tròn xoay thu :

A πa3 B 5

3 a

π

C

3

3 a

π

D

3

4

a

π

Câu 28 Tính thể tích phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=0 x=3, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x(0≤ ≤x 3) hình chữ nhật có hai kích thước x 2 9−x2.

A 16 B 17 C 19 D 18

Câu 29 Cho số phức z thỏa mãn z+2z= +3 i Giá trị biểu thức z z + A 3

2 2+ i B

1

2 2+ i C

3

2 2− i D

1 2− i

Câu 30 Trong không gian oxyz, cho mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2 =25 mặt phẳng

( )P x: +2y+2z−12 0= Tính bán kính đường trịn giao tuyến ( )S ( )P

A 4 B 16 C 9 D 3

Câu 31 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :α x+2y+3z− =6 đường thẳng

1

:

1 1

x+ y+ z−

∆ = =

− − Mệnh đề sau ?

A ∆ ⊥( )α B ∆ cắt khơng vng góc với ( )α C ∆ ⊂( )α D ∆/ / ( )α

Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

3

x f x

x x

+ =

+ + là:

A ln x+ +1 2ln x+ +2 C B 2ln x+ +1 ln x+ +2 C

C 2ln x+ −1 ln x+ +2 C D −ln x+ +1 2ln x+ +2 C

Câu 33 Cho không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) hai đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

= + 

 = − − 

 = + 

,

2

1

:

2 1

x y z

d = − = +

− Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua A song song với hai đường thẳng d d1, 2

A ( )α :x+3y+5z−13 0= B ( )α :x+2y z+ −13 0= C ( )α : 3x y z+ + +13 0= D ( )α :x+3y−5z−13 0= Câu 34 Tìm tập tất giá trị mđể hàm số y x= 3+(3m−1)x2+m x2 −3

Câu 35 Cho hàm số ( )f x liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng (A), (B) Tích phân ( )

0

cos x f 5sinx dx

π

−

∫

A

− B C 4

5 D −2

Câu 36 Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [−2021;2021] tham số m để đồ thị hàm số y 2 x x x m

− =

+ − có hai đường tiệm cận

A 2007 B 2010 C 2009 D 2008

Câu 37 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật

( )

, 2,

AB a AD a= = SA⊥ ABCD SA a= (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:

A 21 a

B 10 a

C a

D a

Câu 38 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn f x'( )−xf x( )=0,f x( )> ∀ ∈0, x ℝ f ( )0 =1 Giá trị f ( )1 bằng?

A

e B

1

e C e D e

Câu 39 Bất phương trình ( )

2

log x− 2m+5 log x m+ +5m+ <4 nghiệm với x∈[2;4)

A m∈[0;1 ) B m∈ −[ 2;0 ) C m∈(0;1 ] D m∈ −( 2;0]

A 10 cm3 B 20 cm3 C 30 cm3 D 40 cm3

Câu 41 Một lớp có 36 ghế đơn xếp thành hình vng 6.× Giáo viên muốn xếp 36 học sinh lớp, có em Kỷ Hợi ngồi vào số ghế trên, học sinh ngồi ghế Xác suất để hai em Kỷ Hợi ngồi cạnh theo hàng dọc hàng ngang

A

21 B

1

7 C

4

21 D

2 21

Câu 42 Tìm giá trị tham số m để hàm số 1ln( 4) 3

2

y= x + −mx+ nghịch biến khoảng (−∞ +∞; )

A

4

m≥ B m≥4 C

4

m≤ D 1

4 ≤m<

Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;1) Mặt phẳng ( )P qua M cắt chiều dương trục Ox Oy Oz, , điểm A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c) thỏa mãn OA=2OB thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Tính S=2a b+ +3 c

A 81

16 B 3 C

45

2 D

81

Câu 44 Cho hình lăng trụ ABC AB C ′ ′ ′ M, N hai điểm cạnh CA, CB cho MN song song với AB CM k

CA = Mặt phẳng (MNB A′ ′) chia khối lăng trụ ABC AB C ′ ′ ′ thành hai phần tích V1 (phần chứa điểm C) V2 cho

2

2

V

V = Khi giá trị k

A

2

k= − + B

2

k= C

2

k= + D

3

k=

Câu 45 Cho hàm số f x( )=x3+ax2 +bx c+ thỏa mãn c>2019, a b c+ + −2018 0.< Số điểm cực trị

hàm số y= f x( ) 2019−

A S =3 B S =5 C S =2 D S =1

Câu 46 Cho số phức z có z =2 số phức w= +z 3i có modun nhỏ lớn là: A 2và5 B 1và6 C 2và D 1và

Có tất giá trị nguyên tham số m∈ −( 5;5) để phương trình

2( ) ( 4) ( ) 2 4 0

f x − m+ f x + m+ = có nghiệm phân biệt

A 4 B 2 C 5 D 3

Câu 48 Cho số thực a b c, , thỏa mãn a2+b2+c2 −2a−4b=4 Tính P a= +2b+3c biểu thức

2a b+ −2c+7 đạt giá trị lớn

A P=7 B P=3 C P= −3 D P= −7

Câu 49 Cho hai hàm số f x( ) g x( ) có đạo hàm đoạn [ ]1; thỏa mãn hệ thức

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

;

f g

g x x f x f x x g x

+ =

 

′ ′

= − = −

 Tính ( ) ( )

4

d I =∫f x +g x  x

A 8ln 2 B 3ln 2 C 6ln 2 D 4ln 2

Câu 50 Cho hai số thực ,x y thay đổi thỏa mãn x y+ + =1 2( x− +2 y+3).Giá trị lớn biểu thức S =3x y+ −4+(x y+ +1 2) 7− −x y −3(x2+y2) a

b với a b, số nguyên dương a b tối

giản Tính a b+

A T =8 B T =141 C T =148 D T =151

ĐÁP Á

1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.A 7.D 8.C 9.B 10.C 11.B 12.A 13.B 14.B 15.B 16.C 17.B 18.B 19.C 20.D 21.D 22.C 23.C 24.B 25.B 26.B 27.D 28.D 29.A 30.D 31.C 32.C 33.A 34.B 35.A 36.B 37.B 38.C 39.B 40.B 41.D 42.A 43.D 44.A 45.B 46.D 47.D 48.B 49.A 50.D

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r A πrl B 2πrl C 1

3πrl D 4πrl

Lời giải Chọn A

Ta có: Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính r Sxq =πrl Câu Cho cấp số cộng ( )un với u1=2 u2 =8 Công sai cấp số cộng

A −6 B 4 C 10 D 6 Lời giải

Chọn D

Ta có: d u= 2−u1 = − =8

Vậy công sai cấp số cộng là: d =6

Câu Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên hình bên

Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (− +∞4; ) B (−∞;0 ) C (−1;3 ) D ( )0;1 Lời giải

Chọn B

Theo ra, ta có: Hàm số đồng biến khoảng (−∞;0) (3;+∞) Câu Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm học sinh?

A 82 B

C C

8

A D 2 8

Lời giải Chọn B

Mỗi cách chọn học sinh từ nhóm học sinh tổ hợp chập Vậy số cách chọn

Câu Cho hàm số y= f x( ) y g x= ( ) liên tục đoạn [ ]1;5 cho ( )

5

d

f x x=

∫

( )

1

d

g x x= −

∫ Giá trị ( ) ( )

5

1

d g x − f x x

 

 

∫

A −2 B 6 C 2 D −6

Lời giải Chọn D

Ta có: ( ) ( )

5

1

d g x − f x x

 

 

∫ ( ) ( )

1

d d

g x x f x x

=∫ −∫ = − − = −4

Câu Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f x( ) đạt cực đại điểm sau đây?

A x= −1 B x= −2 C x=1 D x=2 Chọn A

Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại x= −1 Câu Cho a số thực dương tùy ý, ln e2

a

A 2(1 ln )+ a B 1 1ln a

− C 2(1 ln )− a D ln− a Lời giải

Chọn D

ln e 1 2 lna a = −

Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

1

x z y

d + = − = −

− Một vectơ phương d

A u4(1; 3; 1)− − B u1(1; 1;2)− C u3(1;2; 1)− D u2( 1;1;3)− Lời giải

Chọn C

Phương trình tắc dđược viết lại:

1

Câu Nghiệm phương trình 2

2 x− =

A B 2 C −1 D 1

Chọn B

Ta có: 2 2 2 3 1 2

2

x− = ⇔ x− = − ⇔ − = − ⇔ =x x

Câu 10 Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị hình Số nghiệm phương trình

( )

3f x + =1

A 0 B 3 C 2 D 4

Lời giải Chọn C

Ta có: 3 ( ) 1 0 ( ) ( )1

3 f x + = ⇔ f x = −

Phương trình ( )1 phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: đồ thị hàm số y= f x( )

(hình vẽ) đồ thị hàm số

3

y= − đường thẳng vng góc với trục tung điểm có tung độ

3

− Do số nghiệm phương trình ( )1 số giao điểm hai đồ thị Từ đồ thị (hình vẽ) suy ( )1 có nghiệm phân biệt

Vậy số nghiệm phương trình cho Câu 11 Tiệm cận đứng đồ thị hàm số

1 x y

x

− =

+

Lời giải Chọn B

+)

( )1

1 lim x x x + → − − = −∞

+

( ) ( )

( ) ( )

1

1

lim

lim

1

x

x

x x

x khi x

+

+

→ −

→ −

− = − < 



 + =

 

 + > > − 

+)

( )1

1 lim x x x − → − − = +∞

+

( ) ( )

( ) ( )

1

lim

lim

1

x

x

x x

x khi x

−

−

→ −

→ −

− = − < 



 + =

 

 + < < − 

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x= −1

Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x: −2y+2z− =1 Khoảng cách từ điểm A(1; 2;1− ) đến mặt phẳng ( )P

A B C 2

3 D

7

Lời giải Chọn A

Ta có ( ( )) ( )

( )2

2

1 2 2.1

,

1 2

d A P = − − + − =

+ − +

Câu 13 Phần ảo số phức z= − +1 i

A −i B C −1 D i

Lời giải Chọn B

Ta có: z= − + ⇒1 i Phần ảo z

Câu 14 Cho biểu thức P= x5 với x>0 Mệnh đề sau đúng?

A

5

P=x B

4

P=x C P x= D P x= 20

Lời giải Chọn B

5 4 P = x =x

Hỏi hàm số hàm số nào? A 1

3

y= x −x + B y x= 3−3x2+1 C y x= 3+3x2+1 D y= − +x3 3x2+1

Lời giải Chọn B

Từ đồ thị hàm số, ta suy y′ =0 có hai nghiệm x=0 x=2 khoảng ( )0;2 hàm số nghịch biến nên suy chọn đáp án B

Câu 16 Thể tích khối tứ diện có cạnh A 9

4 B

2

3 C

2

3 D

2 12

Lời giải Đáp án C

Xét tứ diện ABCD có cạnh

Gọi I trung điểm CD, H tâm trực tâm (cũng trọng tâm) ∆BCD Khi

( )

AH ⊥ BCD Thể tích tứ diện BCD V = S∆ AH

Ta có 2 2

3 3

BH = BI = ⇒AH = AB −BH = ; S∆BCD =

Vậy 2

3 BCD

V = S∆ AH =

Câu 17 Cho d đường thẳng qua điểm A(1;2;3) vuông góc với mặt phẳng

( )α : 4x+3y−7z+ =1 Phương trình tắc d

A

4

x− y− z−

= =

− − − B

1

4

x− y− z−

= =

− C

4

1

x− y− z+

= = D

4

x+ y+ z+

= =

− Lời giải

Ta có ( )α : 4x+3y−7z+ =1 0⇒n( )α =(4;3; 7− ) VTPT mặt phẳng ( )α

Mà đường thẳng d⊥( )α ⇒n( )α =(4;3; 7− ) VTCP đường thẳng d

Ta lại có A(1;2;3)∈d

Suy phương trình tắc đường thẳng d là:

4

x− y− z−

= =

−

Câu 18 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC SA), = Tam giác ABC đều, cạnh a Góc SC mặt phẳng (ABC) bằng:

A 300 B 600 C 450 D 900

Lời giải Chọn B

Ta có: SA⊥(ABC)⇒ AC hình chiếu SC (ABC)

( )

(SC ABC, ) (SC AC, ) SCA

∠ = ∠ = ∠

Xét ∆SAC vng A ta có:

tan SAC SA a

AC a

∠ = = =

0

60 SCA

⇒ ∠ =

Câu 19 Cho a b x, , số thực dương thỏa mãn 5 5 1

5

log x=2 log a+3log b Mệnh đề đúng?

A

4

a x

b

= B x=4a−3b C

4

a x

b

= D x a= 4−b3

Với a b x, , số thực dương Ta

có:

4

5 5 5 5

5

4

5 3

log 2log 3log log 4log 3log log log log

log log

x a b x a b x a b

a a

x x

b b

= + ⇔ = − ⇔ = −

⇔ = ⇔ =

Câu 20 Tìm số thực a b thỏa mãn 2a+(b i i+ ) = +1 2i với i đơn vị ảo A a=0,b=2 B 1,

2

a= b= C a=0,b=1 D a=1,b=2 Lời giải

Chọn D

2 1

2 ( ) 1,

2 a

a b i i a b

b − = 

+ + = + ⇔ = ⇔ = = 

Câu 21 Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(2; 1;1− ) tiếp xúc mặt phẳng (Oyz)có phương trình là:

A (x+2)2+(y−1)2+(z+1)2 =4 B (x+2)2+(y−1)2+(z+1)2 =2

C (x−2)2+(y+1)2+(z−1)2 =2 D (x−2)2+(y+1)2 +(z−1)2 =4

Lời giải Chọn D

Mặt phẳng (Oyz)có phương trình là: x=0

Mặt cầu tâm I(2; 1;1− ) tiếp xúc mặt phẳng (Oyz)có bán kính R d I Oyz= ( ,( ))=2

Suy phương trình mặt cầu là: (x−2)2+(y+1)2+(z−1)2 =4

Câu 22 Cho hai số phức z1= +1 i z2 = −2 3i Tính mơ đun số phức z1+z2

A z1+z2 =1 B z1+z2 = C z1+z2 = 13 D z1+z2 =5 Lời giải

Chọn C

Ta có: z1+z2= + +(1 i) (2 3− i) (= +1 2) (+ −1 3)i= −3 2i

Vậy ( )2

1 13

z +z = + − =

Câu 23 Nếu hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có AB=2 thể tích khối tứ diện AB C D′ ′ ′ A 8

3 B

1

3 C

4

3 D

16

Thể tích khối tứ diện AB C D′ ′ ′là 1.2 .2.21

3 3

AB C D B C D

V ′ ′ ′= AA S′ ′ ′ ′ = =

Câu 24 Tập nghiệm bất phương trình ( )

log x − ≥1

A [−2;2] B (−∞ − ∪; 3] [3;+∞) C (−∞ − ∪; 2] [2;+∞) D [−3;3] Lời giải

Chọn B

Điều kiện: ( ) 2

2

3

log

3 x

x x x x

x

≤ − 

− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ 

≥  Kết hợp với điều kiện ta

3 x x

≤ −   ≥ 

Vậy tập nghiệm bất phương trình (−∞ − ∪; 3] [3;+∞)

Câu 25 Trong hình đây, điểm Blà trung điểm đoạn thẳng AC Khẳng định sau đúng?

A a c+ =2b B ac b= 2 C ac=2b2 D ac b=

Lời giải Chọn B

Điểm A B C, , tung độ điểm có hồnh độ a b c, , Suy tung độ A B C, , là: ln ;ln ;lna b c

Theo giả thiết Blà trung điểm đoạn thẳng AC ln ln ln

2

a c

b +

⇒ = ⇔2lnb=lna+lnc⇔lnb2 =ln ( )a c ⇔b2 =ac

Vậy ac b= 2

A F x( )=ln x− +1 C B F x( )= −ln 1− +x C C F x( )= −ln 1( −x)+C D F x( )=ln 1− +x C

Lời giải Đáp án B

( ) 1 (1 ) ln

1

F x dx d x x C

x x

= = − − = − − +

− −

∫ ∫

Câu 27 Cho hình thang ABCD vuông tạiA D, AD CD a= = , AB=2a Quay hình thangABCD quanh cạnh AB, thể tích khối tròn xoay thu :

A πa3 B 5

3 a

π

C

3

3 a

π

D

3

4

a

π

Lời giải

Chọn D

Gọi V1 thể tích khối trụ có cách quay hình vng ADCO quanh trục AO

2

1

V πAD CD πa

⇒ = =

Gọi V2 thể tích khối nón có cách quay tam giác OBC quanh trục BO

3

2

1

3

a

V πCO OB π

⇒ = =

Thể tích cần tìm

3

1

4

= + = a

V V V π

Câu 28 Tính thể tích phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=0 x=3, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x(0≤ ≤x 3) hình chữ nhật có hai kích thước x 2 9−x2.

A 16 B 17 C 19 D 18

Lời giải Chọn D

Nếu S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x =a x = b ( )

b

a

Câu 29 Cho số phức z thỏa mãn z+2z= +3 i Giá trị biểu thức z z + A 3

2 2+ i B

1

2 2+ i C

3

2 2− i D

1 2− i Lời giải

Chọn A

Gọi z a bi a b= + , ,( ∈ℝ) ta có:

( ) 3

2 3

1

a a

a bi a bi i a bi i z i

b b

= =

 

− + + = + ⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇒ = +

= =

 

Khi 1 1 2 1

1 2

i i

z i i i i

z i i

− −

+ = + + = + + = + + = +

+ −

Câu 30 Trong không gian oxyz, cho mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2 =25 mặt phẳng

( )P x: +2y+2z−12 0= Tính bán kính đường trịn giao tuyến ( )S ( )P

A 4 B 16 C 9 D 3

Lời giải Chọn D

Ta có: ( )có Tâm : O 0;0;0( ) Bán kính : S

R 



= 

( )

( ; ) 2 122 2

1 2

d O P − R

⇒ = = < =

+ + Suy ( )S cắt ( )P theo giao tuyến đường tròn ( )C Gọi r bán kính ( )C ta có: r= R2−d O P2( ;( ))= 25 16 3− =

Câu 31 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :α x+2y+3z− =6 đường thẳng

1

:

1 1

x+ y+ z−

∆ = =

− − Mệnh đề sau ?

A ∆ ⊥( )α B ∆ cắt khơng vng góc với ( )α C ∆ ⊂( )α D ∆/ / ( )α

Lời giải Chọn C

Mặt phẳng ( )α có vectơ pháp tuyến n=(1; 2;3)

Đường thẳng ∆ qua M( 1; 1;3)− − có vectơ phương u= − −( 1; 1;1) Ta có: 1.( 1) 2.( 1) 3.1

( 1; 1;3) ( ) n u

M α

 = − + − + = 



− − ∈

 ⇒ ∆ ⊂( )α

Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

3

x f x

x x

+ =

+ + là:

A ln x+ +1 2ln x+ +2 C B 2ln x+ +1 ln x+ +2 C

C 2ln x+ −1 ln x+ +2 C D −ln x+ +1 2ln x+ +2 C

2

3

( )

3 ( 1)( 2)

x x

I f x dx dx dx

x x x x

+ +

= = =

+ + + +

∫ ∫ ∫

2

2ln ln

1 dx x x C

x x   =  −  = + − + + + +   ∫

Câu 33 Cho không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) hai đường thẳng 1

1

:

2

x t

d y t

z t = +   = − −   = +  , 1 :

2 1

x y z

d = − = +

− Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua A song song với hai đường thẳng d d1, 2

A ( )α :x+3y+5z−13 0= B ( )α :x+2y z+ −13 0= C ( )α : 3x y z+ + +13 0= D ( )α :x+3y−5z−13 0=

Lời giải Chọn A

Ta có: Vectơ phương hai đường thẳng d d1, 2 a1=(1; 2;1 ;− ) a2 =(2;1; 1− ) Vì mặt phẳng ( )α song song với hai đường thẳng d d1, 2 nên:

( )

1; 1;3;5

nα =a a = Vậy phương trình mặt phẳng ( )α cần tìm là:

( ) ( ) ( )

1

3 5z 13

x y z

x y

− + − + − =

⇔ + + − =

Câu 34 Tìm tập tất giá trị mđể hàm số y x= 3+(3m−1)x2+m x2 −3

đạt cực tiểu tạix= −1 A { }5;1 B { }5 C ∅ D { }1

Chọn B

Kiến thức cần nhớ: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm cấp ( )a b; chứa điểm x0

vày= f x( ) có đạo hàm cấp hai khác x0, đó: + Nếu ( )

( ) 0 ' '' f x f x =   >

 hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu điểm x0 + Nếu ( )

( ) 0 ' '' f x f x =   <

 hàm số y= f x( ) đạt cực đại điểm x0 Áp dụng ta cóy' 3= x2+2 3( m−1)x m y+ 2; '' 6= x+2 3( m−1)

Xét phương trình ' 1( ) 1( )2 3( 1) 2 5 m

y m m m m

Vậy m=5 thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 35 Cho hàm số ( )f x liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng (A), (B) Tích phân ( )

2

cos x f 5sinx dx

π

−

∫

A

− B C 4

5 D −2

Lời giải Chọn A

Đặt 5sin 5cosxdx cosxdx

t= x− ⇒dt= ⇒ = dt

Đổi cận 1;

2 x= ⇒ = −t x=π ⇒ =t

Khi

4 4

2

0 1 1

1 1

cos (5sin 1) ( ) ( ) ( ) ( )

5 5

x f x dx f t dt f t dt f t dt f t dt π

− − −

 

− = = =  + 

 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Mặt khác

1 1

1 1

4 4

1 1

3 ( ) ( ) ( )

7 ( ) ( ) ( )

f t dt f t dt f t dt

f t dt f t dt f t dt

− − −

 

= = =

 

 

⇒

 

 = = −  = −

 

 

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Vậy 1(3 7)

5

I = − = −

Câu 36 Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [−2021;2021] tham số m để đồ thị hàm số y 2 x x x m

− =

+ − có hai đường tiệm cận

A 2007 B 2010 C 2009 D 2008 Lời giải

Chọn B

Xét hàm sốy 2 x x x m

− =

+ − +) TXĐ: D=[3;+∞)

+)

1

3

lim y lim x lim x x

− −

+) Để ĐTHS có đường tiệm cận phải có thêm tiệm cận đứng Vậy yêu cầu toán trở thành: Tìm điều kiện để phương trình x2+ − =x m 0 phải có nghiệm lớn

Trường hợp 1: Phương trình x2+ − =x m 0 phải có nghiệm 1,

x x thỏa mãn x1< <3 x2

(3) 12 12

a f m m

⇔ < ⇔ − < ⇔ >

Trường hợp : Phương trình x2+ − =x m 0 có nghiệm x=3

m=12 Với m=12 phương trình trở thành: 12 0

4 x

x x

x

= 

+ − = ⇔ 

= −

 ( tmđk) Trường hợp 3: Phương trình x2+ − =x m 0 có nghiệm kép x>3.

Khi m= −41 phương trình có nghiệm x=−21.(khơng thỏa mãn) Theo đề m∈ −[ 2021; 2021],m nguyên m∈[12;2021 ]

Vậy có (2021 12) 2010− + = giá trị m Ý kiến phản biện:

Có thể nhận xét phương trình x2+ − =x m 0 1( )

có nghiệm x1+x2 = −1 ( )1 ln có

ít nghiệm âm Vậy đk toán thỏa mãn ( )1 có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1< < ≤0 x2 ⇔af ( )3 ≤ ⇔0 m≥12

Câu 37 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật

( )

, 2,

AB a AD a= = SA⊥ ABCD SA a= (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:

A 21 a

B 10 a

C a

D a Lời giải

Trong (ABCD), kẻ AH ⊥BD Trong (SAH), kẻ AK ⊥SH

Ta có: BD SA BD (SAH) BD AK

BD AH

⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥



Ta có: AK SH AK (SBD) d A SBD( ;( )) AK

AK BD

⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ =

 ⊥



Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ABD vuông A có đường cao AH ta có:

( )

2

2 2

2

2

3

AB AD a a a a

AH

a

AB AD a a

= = = =

+ +

Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ABD vng A có đường cao AK ta có:

2

2 2

2

6

3 3 10

5 15

6

3

a a

a

SA AH a

AK

SA AH a

a

= = = =

+  

+  

 

Câu 38 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn f x'( )−xf x( )=0,f x( )> ∀ ∈0, x ℝ f ( )0 =1 Giá trị f ( )1 bằng?

A

e B

1

e C e D e

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết ta có: ( )

( ) ( )( )

' '

f x f x

x dx xdx

f x = ⇒∫ f x =∫

( )

ln

2

f x x C

⇒  = + (do f x( )> ∀ ∈0 x ℝ )

Do ln ( )0 1.02 0 ln ( )

2

f = + ⇒C C= ⇒ f x = x

 

 

( ) 12x2 ( )1 .

f x e f e

⇒ = ⇒ =

A m∈[0;1 ) B m∈ −[ 2;0 ) C m∈(0;1 ] D m∈ −( 2;0]

Lời giải Chọn B

Có u cầu tốn tương đương với

( ) [ ) [ )

2

2 2

log x− 2m+5 log x m+ +5m+ < ∀ ∈4 0, x 2;4 ⇔ + <m log x m< + ∀ ∈4, x 2;4

[ )

[ ) [ )

2

2

log 2; log

2;0 log 4

log 2;

m x x m

m m

m x x

 < − ∀ ∈  < − =

 ⇔ ⇔ ∈ −

 

≥ − = −

> − ∀ ∈ 



*Chú ý bấm máy phương trình bậc hai

( ) ( )

2 2 5 5 4 0 100

t − m+ t m+ + m+ = m= có hai nghiệm

1 1001 1; 1004

t = =m= t = = +m

Câu 40 Người ta xếp hai cầu có bán kính r vào hộp hình trụ cho cầu tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai cầu tiếp xúc với cầu tiếp xúc với đường sinh hình trụ (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối trụ 120 cm3, thể tích khối cầu

A 10 cm3 B 20 cm3 C 30 cm3 D 40 cm3 Lời giải

Chọn B

Dựa vào kiện toán hình vẽ ⇒ Hình trụ có chiều cao h=2r bán kính đáy R=2r

⇒ Thể tích khối trụ ( )2 22 8 120 120 15

8

V π r r πr r

π π

= = = ⇔ = =

Vậy thể tích khối cầu 4 15. 20( )3

3

c

V πr π cm

π

= = =

Câu 41 Một lớp có 36 ghế đơn xếp thành hình vng 6.× Giáo viên muốn xếp 36 học sinh lớp, có em Kỷ Hợi ngồi vào số ghế trên, học sinh ngồi ghế Xác suất để hai em Kỷ Hợi ngồi cạnh theo hàng dọc hàng ngang

A

21 B

1

7 C

4

21 D

2 21

Lời giải

Xếp 36 em học sinh vào 36 ghế ⇒ Không gian mẫu n( )Ω =36!

Chọn hàng cột để xếp Kỷ Hợi có 12 cách

Trên hàng cột xếp em Kỷ Hợi gần có 5.2 = 10 cách Sắp xếp 34 bạn cịn lại có 34! cách

( ) 12.10.34! n A

⇒ =

Vậy xác suất biến cố A là: ( ) ( )

( )

12.10.34! 36! 21 n A

P A n

= = =

Ω Chọn D

Câu 42 Tìm giá trị tham số m để hàm số 1ln( 4) 3

2

y= x + −mx+ nghịch biến khoảng (−∞ +∞; )

A

4

m≥ B m≥4 C

4

m≤ D 1

4 ≤m<

Lời giải Chọn A

Hàm số 1ln( 4) 3

2

y= x + −mx+ có tập xác định D= −∞ +∞( ; )

Ta có 2

4 x

y m

x

′ = −

+

Khi hàm số 1ln( 4) 3

2

y= x + −mx+ nghịch biến (−∞ +∞; ) ⇔ y' 0,≤ ∀ ∈ −∞ +∞x ( ; )

2 4 0, 4 , ( )

x

x x

m x m x m max f x

x x ∈

⇔ − ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≥

+ + ℝ

ℝ ℝ với

2

( )

4 x f x

x

= + Xét hàm số ( ) 2

4 x f x

x

=

+ ta có: ( )

2

' '

2

4

( ) ( )

4 x

f x f x x

x −

= ⇒ = ⇔ = ±

+

BBT

f(x) f'(x) x

0

0

4 -1

4

+

2

-2 +∞

-∞

Từ BBT ta suy ra: ( ) (2)

x

max f x f

∈ℝ = =

Suy giá trị tham số mcần tìm là:

Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;1) Mặt phẳng ( )P qua M cắt chiều dương trục Ox Oy Oz, , điểm A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c) thỏa mãn OA=2OB thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Tính S=2a b+ +3 c

A 81

16 B 3 C

45

2 D

81

Lời giải Chọn D

Phương trình mặt phẳng ( )P qua A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c) có dạng x y z a b c+ + =

Vì ( )P qua M nên 1 1 a b c+ + =

Mặt khác OA=2OB nên a=2b nên 1 2b c+ =

Thể tích khối tứ diện OABC 1 .

6

V = abc= b c

Ta có

2

3

2

3 3 9 16 81

3 27

2 4 16 16 16

b c b c

V

b c+ = b+ b c+ ≥ b c ⇒ b c ≤ ⇒ ≥ ⇒ = ≥

81

16 V

⇒ =

9

3 1

9

4

4

3 a

b b c

a b

c  =    = =

 ⇒ =

 

 = 

  =



Vậy 81

4 S = a b+ + c=

Câu 44 Cho hình lăng trụ ABC AB C ′ ′ ′ M, N hai điểm cạnh CA, CB cho MN song song với AB CM k

CA = Mặt phẳng (MNB A′ ′) chia khối lăng trụ ABC AB C ′ ′ ′ thành hai phần tích V1 (phần chứa điểm C) V2 cho

2

2

V

V = Khi giá trị k

A

2

k= − + B

2

k= C

2

k= + D

3

k= Lời giải

Đáp án A

+ Vì ba mặt phẳng (MNB A ACC A BCC B′ ′).( ′ ′),( ′ ′) đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt , ,

AM B N CC′ ′ ′ AM CC′ , ′ không song song nên AM B N CC′ , ′ , ′ đồng qui S

Ta có k CM MN MN SM SN SC

CA AB AB SA SB SC

= = = = = =

′ ′ ′ ′ ′

+ Từ ( 3)

S MNC S AB C MNC AB C S AB C

+ Mặt khác ( ) ( ) ( )

3 3 1

3

ABC AB C ABC AB C

S AB C S AB C

SC SC

V CC k V V

V ′ ′ ′ SC SC ′ ′ ′ ′ ′ ′k

′ ′ ′

′ − ′

= = = − ⇒ =

′ ′ −

Suy ( )

( ) ( ) 1 3

ABC AB C

ABC AB C k k V

V V k k ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + = − = −

+ Vì

2

V

V = nên

2

2

1

2

1 ( 0)

3 ABC AB C 3

k k

V = V ′ ′ ′ ⇒ + + = ⇔k + − = ⇒ =k k − + k>

Vậy

2

k=− +

Câu 45 Cho hàm số f x( )=x3+ax2 +bx c+ thỏa mãn c>2019, a b c+ + −2018 0.< Số điểm cực trị

hàm số y= f x( ) 2019−

A S =3 B S =5 C S =2 D S =1 Lời giải

Chọn B

Xét hàm số g x( )= f x( ) 2019− =x3+ax2+bx c+ −2019

Hàm số g x( ) liên tục ℝ

Vì 2019

2018 c

a b c

> 

 + + − <  (0) (1) g g >  ⇔  <



⇒phương trình g x( ) 0= có nghiệm thuộc ( )0;1

⇒Đồ thị hàm số y g x= ( )có giao điểm với trục hồnh có hồnh độ nằm khoảng

(0;1) (1) Vì lim ( )

(0) x g x

g

→−∞ = −∞ 



>

 ⇒phương trình g x( ) 0= có nghiệm thuộc (−∞;0)

⇒Đồ thị hàm số y g x= ( )có giao điểm với trục hồnh có hồnh độ nằm khoảng

(−∞;0) (2) Vì lim ( )

(1) x g x

g

→+∞ = +∞ 



<

 ⇒phương trình g x( ) 0= có nghiệm thuộc (1;+∞)

⇒Đồ thị hàm số y g x= ( )có giao điểm với trục hồnh có hồnh độ nằm khoảng

(1;+∞) (3)

Và hàm số g x( ) hàm số bậc

Do đồ thị hàm số y= f x( ) 2019− có dạng

Vậy hàm số y= f x( ) 2019− có điểm cực trị

Câu 46 Cho số phức z có z =2 số phức w= +z 3i có modun nhỏ lớn là: A 2và5 B 1và6 C 2và D 1và

Lời giải Đáp án D

w= + ⇔ =z 3i z w 3− ⇒i z = w 3− i ⇒ −3 z ≤ w ≤ +3 z ⇔ ≤1 w ≤5

Câu 47 Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+cx d+ có đồ thị hình

Có tất giá trị nguyên tham số m∈ −( 5;5) để phương trình

2( ) ( 4) ( ) 2 4 0

f x − m+ f x + m+ = có nghiệm phân biệt

A 4 B 2 C 5 D 3

Lời giải Chọn D

Ta có phương trình f2( ) (x − m+4) ( )f x +2m+ =4 0 ( )

( )( ( ) ) ( )

( )

2 (1)

2

2 (2) f x

f x f x m

f x m

 =



⇔ − − − = ⇔

= +



Từ đồ thị trên, ta có phương trình ( )1 có nghiệm phân biệt

Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình ( )2 có nghiệm phân biệt khác nghiệm ( )1

Suy

2

m m

m m

+ > >

 

⇔

 + =  = −

 

Vì m nguyên m∈ −( 5;5)⇒ ∈ −m { 2;3;4}

Câu 48 Cho số thực a b c, , thỏa mãn a2+b2+c2−2a−4b=4 Tính P a= +2b+3c biểu thức

2a b+ −2c+7 đạt giá trị lớn

A P=7 B P=3 C P= −3 D P= −7 Lời giải

Chọn B

Cách 1: phương pháp đại số

Ta có: a2+b2+c2−2a−4b= ⇔4 (a−1) (2+ b−2)2 +c2 =9

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối bất đẳng thức BCS, ta có kết sau:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (2 )2 2 2 2 ( )2

2 2 11 2 11

1 2 11 20

BCS

a b c a b c a b c

a b c

+ − + = − + − − + ≤ − + − − +

 − + − +   + + − + =

   

≤

Đẳng thức xảy khi:

( ) ( )

( ) (2 )2

2 2

3

1

3

2

2

1

a b c

a

a b c

b c

a b c

 − + − − >

=  

− −

 = = ⇔ =

 − 

  = −

 − + − + =



Khi đó: P a= +2b+3c= +3 2.3 2+ ( )− =3

Cách 2: phương pháp hình học

Trong khơng gian Oxyz, gọi mặt cầu ( )S có tâm I(1;2;0), bán kính R=3 Khi đó:

( ) ( ) (2 )2 2 2 2 2

: 4

Gọi M a b c( ; ; ), ta có: ( ;( )) 2

a b c

d M P = + − +

Vì a2+b2+c2−2a−4b= ⇒4 M∈( )S

Bài toán cho trở thành: Tìm M∈( )S cho d M P( ;( )) lớn Gọi ∆ đường thẳng qua I vng góc ( )P

1

:

2

x t

y t

z t

= +  

⇒ ∆  = +  = − 

Điểm M cần tìm giao điểm ∆ với ( )S M: 1(3;3; ,− ) M2(−1;1;2) Ta có: ( 1;( )) 20 ( 2;( )) ( ;( )) 20 1

3 3

d M P = >d M P = ⇒Maxd M P = ⇔M ≡M

Vậy P a= +2b+3c= +3 2.3 2+ ( )− =3

Câu 49 Cho hai hàm số f x( ) g x( ) có đạo hàm đoạn [ ]1; thỏa mãn hệ thức

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

;

f g

g x x f x f x x g x

+ =

 

′ ′

= − = −

 Tính ( ) ( )

4

d I =∫f x +g x  x

A 8ln 2 B 3ln 2 C 6ln 2 D 4ln 2

Lời giải Chọn A

Cách 1: Ta có f x( )+g x( )= −x f x ′( )+g x′( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 f x g x

f x g x x

+

⇔ = −

′ + ′

( ) ( )

( ) ( )

1

d d

f x g x

x x

f x g x x

+

⇔ = −

′ + ′

∫ ∫ ⇒ln f x( )+g x( ) = −ln x +C

Theo giả thiết ta có C−ln =ln f( )1 +g( )1 ⇒ =C ln 4

Suy ( ) ( )

( ) ( )

4 f x g x

x f x g x

x

 + =

 

 + = −



, f( )1 +g( )1 =4nên f x( ) g x( ) x

+ =

( ) ( )

4

1

d 8ln

I f x g x x

⇒ =∫ +  =

Cách 2: Ta có f x( )+g x( )= −x f x ′( )+g x′( )

( ) ( ) d ( ) ( ) d

f x g x x x f x′ g x′ x ⇒∫ +  = −∫  + 

( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d

f x g x x x f x g x f x g x x ⇒ ∫ +  = −  + +∫ + 

( ) ( ) ( ) ( ) C

x f x g x C f x g x

x

Do f x( ) g x( ) x

+ = Vậy ( ) ( )

4

d 8ln I =∫f x +g x  x=

Câu 50 Cho hai số thực ,x y thay đổi thỏa mãn x y+ + =1 2( x− +2 y+3).Giá trị lớn biểu thức S =3x y+ −4+(x y+ +1 2) 7− −x y −3(x2+y2) a

b với a b, số nguyên dương a b tối

giản Tính a b+

A T =8 B T =141 C T =148 D T =151 Lời giải

Chọn D

Chú ý với hai thức ta có đánh giá sau: a+ b≥ a b+ a+ b≤ 2(a b+ )

Vậy theo giả thiết,ta có 2( 3) 1

1 x y

x y x y x y

x y

+ + = 

+ + = − + + ≥ + + ⇒ 

+ + ≥ 

Và x y+ + =1 2( x− +2 y+3)≤2 2(x y+ +1)⇒ + + ≤x y

 Nếu 9476

3 243

x

x y S

y

= 

+ + = ⇔ ⇒ = −

= −



 Nếu t x y= + ∈[ ]3;7 ,ta có

( ) ( )2 ( )

2 2 2 ; 1 0 2 1 2 2 1

x ≥ x x≥ y− ≥ ⇒ y ≥ y− ⇒ x +y ≥ x y+ − Vì S ≤3x y+ −4+(x y+ +1 2) 7− −x y−6(x y+ )+3

Xét hàm số f t( )=3t−4+ +(t 1 2) 7−t − +6t 3 đoạn [ ]3;7 ta có:

( ) ( )

' ln 2t t ln 6t

f t = − + − − +t − −

( ) ( ( ) )

'' ln 2t tln 2 t tln ln f t = − + − − − − +t −

( ) [ ]

4

3 ln 3t− t ln 2 −tln 0, t 3;7 = + + −  > ∀ ∈

Mặt khác f ' 3( ) ( )f ' < ⇒0 f t'( )=0 có nghiệm t0∈( )3;7 Vậy ta lập bảng biến thiên hàm số f t( ) đây:

Suy

[ ]3;7 ( ) ( )

148

max max

3