Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ QUANG TOAN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ QUANG TOAN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tính đơn điệu hàm số 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Cực trị hàm số 11 1.4 Tiệm cận hàm số 12 1.5 Một số tính chất đồ thị hàm số 13 1.6 Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số 15 CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ 16 2.1 Hàm số vô tỷ 16 √ 2.1.1 Hàm số dạng y = bx + c, b = ([9]) 16 √ 2.1.2 Hàm dạng y = ax2 + bx + c, a = 18 √ 2.1.3 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a = 25 ax + b 2.1.4 Hàm y = , ad − bc = 27 cx + d 2.2 Hàm số hữu tỷ 28 ax2 + bx + c 2.2.1 Hàm y = 28 dx + e ax2 + bx + c 2.2.2 Hàm số y = 30 dx + ex + f 2.3 Hàm số lượng giác 34 2.4 Hàm số mũ hàm số logarit 35 2.4.1 Hàm mũ: y = ax , < a = 35 MỤC LỤC 2.4.2 Hàm logarit: y = loga x, < a = 37 2.5 Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 40 2.5.1 Hàm y = |f (x)| 41 2.5.2 Hàm y = f (|x|) 41 2.5.3 Hàm y = |f (|x|)| 42 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ .47 3.1 Tìm số nghiệm phương trình 47 3.2 Xác định tính chất hàm số y = f (x) dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) 53 3.3 Giải phương trình phương pháp hàm số 58 3.4 Giải bất phương trình phương pháp hàm số 61 3.5 Chứng minh bất đẳng thức hàm nhiều biến 65 3.6 Một số đề thi liên quan khảo sát hàm số 73 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 72 Cộng ba bất đẳng thức ta f (a) + f (b) + f (c) ≥ f (a + b + c − 2) + 3f Do vậy, giá trị nhỏ P 3 =3 a = b = c = Bài toán 3.5.9 Cho số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh √ 1 +√ +√ ≥ 1 + 8a + 8c + 8b Chứng minh Xét hàm số f (x) = √ √ , ≤ x ≤ + 8x Ta có f (x) = − Suy f (x) = (1 + 8x)3 48 √ > với x ∈ − , (1 + 8x)5 Do đó, f (a) ≥ f (1)(a − 1) + f (1); f (b) ≥ f (1)(b − 1) + f (1); f (c) ≥ f (1)(c − 1) + f (1) Suy f (a) + f (b) + f (c) ≥ f (1)(a + b + c − 1) + 3f (1) Mặt khác, (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) = Suy −3 ≤ a + b + c ≤ Do đó, a + b + c − ≤ f (1) = − Như vậy, f (a) + f (b) + f (c) ≥ 3f (1) = < 27 73 3.6 Một số đề thi liên quan khảo sát hàm số Bài toán 3.6.1 (Đề thi Albania 2002) Cho a, b, c > Chứng minh √ √ 1+ 1 √ (a + b2 + c2 ) + + ≥ a + b + c + a2 + b2 + c2 a b c 3 Chứng minh Bởi bất đẳng thức cho đồng bậc nên ta chuẩn hoá bất đẳng thức cách cho a2 + b2 + c2 = Khi đó, bất đẳng thức cho trở thành f (a) + f (b) + f (c) ≥ 1, √ 1+ − x, < x < f (x) = √ 3 x Ta có √ 1+ − f (x) = − √ 3 x2 Suy √ 1+ f (x) = √ > với < x < 3 x3 Ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy a = b = c = √ Theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có f (a) ≥ f f (b) ≥ f f (c) ≥ f √ a− √ √ √ b− √ c− √ +f +f +f √ ; √ ; √ Suy f (a) + f (b) + f (c) ≥ f √ √ (a + b + c − 3) + 3f √ 74 Ta lại có a+b+c≤ nên f (a) + f (b) + f (c) ≥ 3f 3(a2 √ + b2 + c2 ) = √ = Bài tốn 3.6.2 ([10], Vơ địch Tốn Ba Lan 1996) Cho a, b, c ≥ − a + b + c = Chứng minh a2 a b c + + ≤ +1 b +1 c +1 10 Chứng minh Ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy a=b=c= 3 x với x ∈ − , Khi đó, tiếp tuyến x2 + đồ thị hàm số y = f (x) x = 36x + y= 50 Ta xét hàm số f (x) = Ta lại có 36x + 36x + x − f (x) = − 50 50 x +1 (3x − 1) (4x + 3) = ≥ với x ∈ − , 50(x2 + 1) 36x + Từ đó, ta có Suy f (x) ≤ 50 36a + f (a) ≤ ; 50 36b + f (b) ≤ ; 50 36c + f (c) ≤ 50 Ta cộng hai vế ta f (a) + f (b) + f (c) ≤ 36(a + b + c) + 9 = 50 10 75 Như vậy, b c a + + ≤ a2 + b2 + c2 + 10 Bài toán 3.6.3 ([10], Olympic Toán Nhật Bản 1997) Cho a, b, c > Chứng minh (b + c − a)2 (a + c − b)2 (b + a − c)2 + + ≥ (b + c)2 + a2 (a + c)2 + b2 (b + a)2 + c2 Chứng minh Bởi bất đẳng thức nên ta cần chứng minh bất đẳng thức với số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Khi đó, bất đẳng thức cho trở thành (1 − 2b)2 (1 − 2c)2 (1 − 2a)2 + + ≥ (1 − a)2 + a2 (1 − b)2 + b2 (1 − c)2 + c2 4a2 − 4a + 4b2 − 4b + 4c2 − 4c + ⇔ + + ≥ 2a − 2a + 2b − 2b + 2c − 2cb + 1 +2− +2− ≥ ⇔2− 2a − 2a + 2b − 2b + 2c − 2c + 1 27 ⇔ + + ≤ 2a − 2a + 2b − 2b + 2b − 2b + Xét hàm số f (x) = với x ∈ (0, 1) Bởi dấu bất 2x − 2x + 1 đẳng thức xảy x = nên ta viết phương trình tiếp tuyến hàm 54x + 27 số x = y = Ta nhận thấy 25 54x + 27 2(54x3 − 27x2 + 1) 2(3x − 1)2 (6x + 1) − f (x) = = ≥ 25 25(2x2 − 2x + 1) 25(2a2 − 2a + 1) Suy f (x) ≤ 54x + 27 nên ta 25 f (a) + f (b) + f (c) ≤ 54(a + b + c) + 81 27 = 25 76 Bài toán 3.6.4 (Đề thi Serbia 2005) Cho a, b, c > Chứng minh √ a b c +√ +√ ≥ a+c b+c b+a (a + b + c) Chứng minh Khơng tính tổng qt ta cần chứng minh bất đẳng thức với số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Khi đó, bất đẳng thức cho trở thành a b c +√ +√ ≥ 1−a 1−c 1−b x Lúc ta xét hàm số f (x) = √ với x ∈ (0, 1) Đến cách 1−x giải tương tự √ 77 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: 1) Tổng hợp số kiến thức quan trọng liên quan đến toán khảo sát hàm số mà học sinh gặp 2) Khảo sát số dạng hàm số đặc biệt mà học sinh gặp chương trình Trung học Phổ thơng Nhờ đó, áp dụng để giải số phương trình, bất phương trình, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bất đẳng thức, 3) Sử dụng phương pháp hàm số, đồ thị hàm số, đồ thị hàm số hàm đạo hàm để giải số toán phương trình, bất phương trình biện luận nghiệm phương trình 4) Sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến chứng minh số bất đẳng thức phương pháp xét hàm số 5) Luận văn góp phần giúp học sinh giáo viên có nguồn tư liệu tham khảo vấn đề khảo sát hàm số số toán liên quan Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu sâu tìm hiểu dạng hàm số Đặc biệt hàm hợp, số nghiệm hàm hợp, hàm đối xứng 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Ngọc Anh (2017), Chuyên đề khảo sát hàm số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Hồng Đức (2007), Sử dụng phương pháp hàm số, đồ thị, NXB Hà Nội [3] Mai Bình Hùng (2009), Khảo sát hàm số, NXB Hà Nội [4] Trần Văn Hạo (Chủ biên) (2009), Khảo sát hàm số, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Trần Văn Hạo (Chủ biên) (2008), Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam [6] Trần Quốc Hưng (2001), Đề thi tuyển sinh môn toán, NXB Đại học Quốc gia Tp HCM [7] Dương Đức Kim, Đỗ Duy Đồng (2008), 500 toán 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Trần Thành Minh, Trần Đức Huyên (2001), Giải toán khảo sát hàm số 12 (Chuyên), NXB Giáo dục Việt Nam [9] Trần Phương (2002), Hàm Số, NXB Hà Nội [10] Nguyễn Tất Thu, Trần Văn Thương (2010), Phương pháp hàm số toán đại số, NXB Đại học Quốc gia TP HCM ... cứu Hàm số dạng hữu tỷ, hàm số vô tỷ, hàm số chứa giá trị tuyệt đối, hàm số hàm hợp, số toán đưa hàm số, số toán vận dụng khảo sát hàm số Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khảo sát hàm số tốn liên quan. .. Chứng minh hàm Y = g(X) hàm chẵn • Phương pháp 2: 15 Đồ thị hàm số nhận đường x = x0 làm trục đối xứng f (x0 − x) = f (x0 + x) 1.6 Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số Bài toán ? ?Khảo sát hàm số? ?? gồm... chúng tơi trình bày việc khảo sát số dạng hàm số vô tỷ, hàm hữu tỷ, hàm số giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác, hàm luỹ thừa, hàm logarit 2.1 Hàm số vô tỷ 2.1.1 Hàm số dạng y = √ bx + c, b =