Dãy số, cấp số và một số bài toán liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHÙNG THỊ HOÀNG CÚC DÃY SỐ, CẤP SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHÙNG THỊ HOÀNG CÚC DÃY SỐ, CẤP SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG DÃY SỐ 1.1 ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ VÀ TÍNH CHẤT .3 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.2 CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ .4 1.2.1 Dãy số cho công thức số hạng tổng quát 1.2.2 Dãy số cho hệ thức truy hồi (hay cho dãy số quy nạp) 1.3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DÃY SỐ 1.4.1 Sử dụng dãy số để chứng minh bất đẳng thức 1.4.2 Sử dụng dãy số để giải phương trình 1.4.3 Sử dụng dãy số để giải phương trình hàm 12 1.4.4 Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm số phương trình nghiệm nguyên 18 CHƯƠNG CẤP SỐ CỘNG 27 2.1 ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC TÍNH CHẤT 27 2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ CỘNG 28 2.2.1 Chứng minh dãy số cấp số cộng 28 2.2.2 Những tốn liên quan đến tính chất cấp số cộng 31 2.2.3 Những toán xác định yếu tố cấp số cộng 35 2.2.4 Áp dụng cấp số cộng để xác định dãy số 38 CHƯƠNG CẤP SỐ NHÂN 40 3.1 ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC TÍNH CHẤT 40 3.2 ĐỊNH NGHĨA DÃY HỖN HỢP CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN VÀ VÍ DỤ 41 3.2.1 Dãy hỗn hợp cấp số cộng - cấp số nhân hai tham số 41 3.2.2 Dãy hỗn hợp cấp số cộng - cấp số nhân ba tham số 41 3.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN 44 3.3.1 Chứng minh dãy số cấp số nhân 44 3.3.2 Những tốn liên quan đến tính chất cấp số nhân 46 3.3.3 Những toán xác định yếu tố cấp số nhân 52 3.3.4 Áp dụng cấp số nhân để xác định dãy số 56 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số nói chung cấp số cộng cấp số nhân nói riêng nội dung quan trọng chương trình tốn bậc phổ thơng trung học Các toán liên quan đến dãy số, cấp số phong phú, đa dạng thường gặp kỳ thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia quốc tế Trong chương trình phổ thơng, học sinh làm quen với dãy số, cấp số từ lớp 11, nhiên với thời lượng không nhiều, mức độ định Việc rèn luyện kỹ giải toán dãy số, cấp số cần thiết học sinh phổ thông trung học Là giáo viên giảng dạy Tốn bậc phổ thơng trung học, học viên học sau đại học ngành phương pháp Tốn sơ cấp, tơi muốn tìm hiểu kỹ dãy số, cấp số cộng cấp số nhân, nhằm phục vụ cho công việc chuyên môn, nên chọn đề tài “Dãy số, cấp số số toán liên quan” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân tính chất chúng; từ hệ thống phân loại thành dạng tốn chun biệt - Nghiên cứu để tìm lời giải cho dạng tốn cho nhiều ví dụ minh họa - Ứng dụng dãy số, cấp số để giải số lớp toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các dãy số, cấp số thuộc chương trình Tốn bậc phổ thơng trung học - Những toán liên quan đến dãy số, cấp số Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí Tốn tài liệu Internet - Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp, phân tích hệ thống tài liệu sưu tầm để thực luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương: Chương nhắc lại khái niệm dãy số, giới hạn dãy số tính chất liên quan Phần cuối chương dành cho việc sử dụng dãy số để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, phương trình hàm xây dựng nghiệm cho số phương trình nghiệm nguyên Chương trình bày khái niệm cấp số cộng toán liên quan Phần cuối chương, áp dụng cấp số cộng để xác định dãy số Chương trình bày khái niệm cấp số nhân, dãy hỗn hợp cấp số cộng cấp số nhân toán liên quan Phần cuối chương áp dụng cấp số nhân để xác định dãy số 58 Với β = 0, un cấp số nhân có cơng bội q = α Đặt = un + x ⇒ un = − x ⇔ − x = α (vn−1 − x) + β ⇔ = α.vn−1 − αx + x + β ⇒ x.(1 − α) + β = −β β Chọn x = = 1−α α−1 β ⇒ = v1 αn−1 = u1 αn−1 α−1 Suy un = − x β β ⇔ un = u1 · · αn−1 − α−1 α−1 β un αn−1 − ⇔ un = α−1 Vậy số hạng tổng quát dãy un = β un αn−1 − α−1 Bài tốn 62 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) biết u0 = 4; u1 = un = 3un−1 − 2un−2 (n ≥ 2) Lời giải Ta có un = 3un−1 − 2un−2 ⇔ un − un−1 = (un−1 − un−2 ) Đặt = un − un−1 , ta có = 2vn−1 ⇒ = v1 2q−1 với = u1 − u0 = = 3.2q−1 Ta có un = (un − un−1 ) + (un−1 − un−2 ) + + (u1 − u0 ) + u0 = + vn−1 + + v1 + u0 − qn +4 1−q − 2n +4 = 3· 1−2 = v1 · 59 = −3.(1 − 2n ) + = + 3.2n (n ≥ 2) Bài tốn 63 Tìm số hạng  tổng quát dãy số (un ) biết u1 =  un + , n > un+1 = Lời giải Ta có un + = un + un+1 = ⇔ 2un+1 ⇔ 2un+1 − 2un = un + − 2un ⇔ (un+1 + un ) = − un 1 ⇔ un+1 = un + 2 Đặt = un + x ⇒ un = − x 1 1 vn+1 − x = (vn − x) + ⇔ vn+1 = + 12 x + 2 2 ⇒ x = −1 cấp số nhân, công bội q = n−1 Suy vn+1 = v1 q n−1 = với v1 = u1 + (−1) = − = 2 Khi un = − x ⇒ un = 2 n−1 +1 Vậy số hạng tổng quát (un ) un = 2 n−1 + 60 KẾT LUẬN Luận văn: "Dãy số, cấp số số toán liên quan" mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể thực vấn đề sau 1) Ứng dụng dãy số để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình đại số, phương trình hàm, xây dựng nghiệm số phương trình nghiệm nguyên 2) Ứng dụng cấp số cộng để giải số tốn liên quan đến tính chất, đến yếu tổ cấp số cộng xác định dãy số 3) Tìm hiểu cấp số nhân, dãy hỗn hợp cấp số cộng - cấp số nhân để giải số tốn liên quan đến tính chất, đến yếu tổ cấp số nhân, xác định dãy số Hy vọng nội dung luận văn cịn tiếp tục bổ sung hồn thiện nhằm tài liệu tham khảo cho học sinh quan tâm đến dãy số cấp số 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ giáo dục đào tạo (2013), Bài tập Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục [2] Bộ giáo dục đào tạo (2014), Bài tập Đại số giải tích 11 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [3] Bộ giáo dục đào tạo (2014), Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục [4] Bộ giáo dục đào tạo (2007), Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Quang Ánh, Lê Quý Mậu (1993), Sách đọc thêm cho học sinh phương pháp Đại số giải tích 11, Nhà xuất thành phố Hồ Chí Minh [6] Nguyễn Xn Bình, Trần Hữu Nam, Phan Doãn Thoại (2007), Phương pháp Đại số giải tích 11 theo chủ đề, Nhà xuất Giáo dục [7] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo Dãy số, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Tài Chung, Lê Hồnh Phị (2013), Chun khảo Phương trình hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [9] Phan Huy Khải (2007), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thơng tốn dãy số, Nhà xuất Giáo dục [10] Phan Huy Khải (2003), Toán nâng cao THPT- Đại số, tập II, Nhà xuất Hà Nội 62 [11] Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2010), Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số giải tích 11 , Nhà xuất giáo dục Việt Nam ... DÃY HỖN HỢP CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN VÀ VÍ DỤ 41 3.2.1 Dãy hỗn hợp cấp số cộng - cấp số nhân hai tham số 41 3.2.2 Dãy hỗn hợp cấp số cộng - cấp số nhân ba tham số 41 3.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN... Ứng dụng dãy số, cấp số để giải số lớp toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các dãy số, cấp số thuộc chương trình Tốn bậc phổ thơng trung học 2 - Những tốn liên quan đến dãy số, cấp số Phương... khái niệm cấp số cộng toán liên quan Phần cuối chương, áp dụng cấp số cộng để xác định dãy số Chương trình bày khái niệm cấp số nhân, dãy hỗn hợp cấp số cộng cấp số nhân toán liên quan Phần cuối