Hợp thành, phân hoạch số nguyên và các bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÙI VĂN CÔNG HỢP THÀNH, PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Đà Nẵng, Năm 2012 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tổ hợp phần quan trọng chương trình tốn trung học phổ thơng Sau năm tham gia giảng dạy trường trung học phổ thông tác giả thấy lượng học sinh hiểu biết tổ hợp cịn hạn chế trừu tượng Hơn nữa, tất kì thi học sinh giỏi, tổ hợp tốn khó Với suy nghĩ: “sau nghiên cứu xong luận văn tác giả đóng góp phần vào việc giải toán tổ hợp trung học phổ thông” nên tác giả chọn “HỢP THÀNH, PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN” để làm đề tài nghiên cứu MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tác giả hi vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho người dạy người học phần tổ hợp trung học phổ thông ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3.1 Đối tượng - Các tài liệu tổ hợp 3.2 Phạm vi nghiên cứu - Hợp thành, phân hoạch số nguyên toán liên quan PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tổng hợp phân tích theo cấu trúc lôgic tài liệu thu thập - So sánh, đối chiếu tài liệu liên quan Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 5.1 Ý nghĩa khoa học - Góp phần nhỏ việc nghiên cứu tổ hợp để nhằm cải tiến phương pháp dạy học tổ hợp trường phổ thông, cao đẳng đại học 5.2 Ý nghĩa thực tiễn - Vận dụng việc giải toán sơ cấp CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm chương: Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP Nhắc lại số khái niệm, quy tắc tổ hợp Chương 2: HÀM SINH Nhắc lại số khái niệm, quy tắc nguyên lý hàm sinh Chương 3: HỢP THÀNH VÀ PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN Trình bày vấn đề hợp thành, phân hoạch số nguyên Chương 4: ỨNG DỤNG Các tập ứng dụng tổng quan tổ hợp, hàm sinh hợp thành, phân hoạch số nguyên Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP Trong chương tác giả trình bày khái niệm tổ hợp số toán thi đại học, thi toán quốc tế 1.1 Tập hợp 1.1.1 Định nghĩa 1.1 Một tập hợp coi xác định ta tất phần tử Các phần tử tập hợp hai cách sau: - Liệt kê Ví dụ 1.1: Tập số tự nhiên lớn nhỏ 10 là: A  1,2,3,4,5,6,7,8,9 - Chỉ tính chất đặc trưng chúng Ví dụ 1.2: Tập số tự nhiên lớn nhỏ 10 là: B  n  N * n  10 + Tập con: Tập B gọi tập tập A phần tử tập B thuộc tập A Kí hiệu: B  A Ví dụ 1.3: B  1,2,3,4,5,6,7,8,9 ; A  1,2,3,4,5,6,7,8,9  B  A Tập B gọi tập thực tập A tập B tập tập A B  A Kí hiệu: B  A Ví dụ 1.4: B  3,4,5,6 ; A  1,2,3,4,5,6,7,8,9  B  A + Tập rỗng: Tập rỗng tập không chứa phần tử Kí hiệu:  + Tập phần bù: Giả sử tập B tập tập A Tập tất phần tử thuộc tập A mà không thuộc tập B gọi tập phần bù tập B tập A Kí hiệu: CA (B) B Ví dụ 1.5: B  1,2,3,4,5; A  1,2,3,4,5,6,7,8,9  CA ( B)  6,7,8,9 + Hợp hai tập hợp: Tập gồm phần tử thuộc tập A thuộc tập B gọi hợp tập A tập B Kí hiệu: A  B Ví dụ 1.6: A  1,2,3,4,5,6 ; B  4,5,6,7,8,9  A  B  1,2,3,4,5,6,7,8,9 + Giao hai tập hợp: Tập gồm phần tử thuộc tập A thuộc tập B gọi giao tập A tập B Kí hiệu: A  B Ví dụ 1.7: A  1,2,3,4,5,6 ; B  4,5,6,7,8,9  A  B  4,5,6 1.1.2 Cơng thức tính số phần tử tập hợp Cơng thức tính số phần tử tập hợp gồm n tập A1, A2 , , An là: n n i 1 i 1 U Ai   Ai   Ai  Aj  A1  A2  A3  A1  A2  A4  i j  An2  An1  An   (1)n A1  A2   An Ví dụ 1.8: Đề thi học sinh giỏi Tốn trường THPT gồm bài: Hình học, Giải tích Tổ hợp Có 100 em tham gia kì thi Kết cho thấy: 80 em giải Hình, 70 em giải Đại, 50 em giải Tổ hợp, 60 em giải Hình Đại, 50 em giải Hình Tổ hợp, 40 em giải Đại Tổ hợp 30 em giải Hỏi có em giải thi Bài giải: Gọi A tập gồm tất học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Tốn, A1 tập học sinh giải Hình; A2 tập học sinh giải Đại; A3 tập học sinh giải Tổ hợp Tập học sinh giải thi A1  A2  A3 , nên theo cơng thức ta có: Số học sinh giải thi là: A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A2  A3  A1  A3  A1  A2  A3  80  70  50  60  50  40  30  80 1.2 Hai quy tắc đếm 1.2.1 Quy tắc1.1 (quy tắc cộng) Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 ,…, mn cách chọn đối tượng an , cách chọn đối tượng , 1  i  n  khơng phụ thuộc vào cách chọn đối tượng a j , 1  j  n, j  i  nào, có n m k 1 k cách chọn đối tượng a1 , a2 ,…, an Ví dụ 1.9: Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004 Trong mơn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng 2? Bài giải Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ 3, nên có trường hợp sau: + Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: C152 C102 C51  23625 + Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó số cách chọn là: C152 C101 C52  10500 + Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó số cách chọn là: C153 C101 C51  22750 Vì cách chọn đôi khác nhau, nên số đề kiểm tra lập là: 23625+10500+22750=56875 Ví dụ 1.10: Cho tập hợp M có n phần tử, với hai tập tùy ý A, B M Tính số phần tử A  B Chứng minh tổng tất số phần tử giao gồm hai tập M n.4n1 Bài giải Xét phần tử a  M  có 2n  2n1  2n1 tập M có chứa phần tử a  chia  2n1   4n1 cặp hai tập M có chứa a thuộc giao hai tập Vậy phần tử a  M đếm 4n1 lần   A  B  n.4n1 A M B M 1.2.2 Quy tắc1.2 (quy tắc nhân) Cho n đối tượng a1 , a2 ,…, an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 với cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau với cách chọn a1 , a2 có m3 cách chọn a3 ,… Cuối với cách chọn a1 , a2 , … , an1 có mn cách chọn đối tượng an Như có m1.m2 .mn1.mn cách chọn đối tượng a1 , a2 ,…, an Ví dụ 1.11: Vẽ đường thẳng song song, sau vẽ tiếp 10 đường thẳng song song khác cắt đường thẳng vẽ lúc đầu Hỏi có hình bình hành tạo thành? Bài giải Số cách chọn đường thẳng song song đường thẳng song song ban đầu là: C92 (cách) Số cách chọn đường thẳng song song 10 đường thẳng song song sau là: C102 (cách) Vậy số hình bình hành tạo thành là: C92 C102 = 1620 Ví dụ 1.12: Cho n số tự nhiên đầu tiên: 1, 2, 3, …, n   n  9 Tìm tổng tất số tự nhiên có n chữ số phân biệt từ chữ số 1, 2, 3, …, n cho chữ số 1, theo thứ tự đứng cạnh Bài giải Gọi A tập tất số thỏa mãn đề a  a1a2 an , 1,2,3, , n  a j với i  j,  i, j 1,2,3, , n + a số thỏa mãn đề nên số số a  n  1!  A ; + chữ số vị trí a j   j  n  1 có  n  ! số thuộc A; + chữ số vị trí a1 vị trí an có  n  2! số thuộc A; + chữ số k 3,4, , n hàng a1 hàng an có  n  ! số thuộc A; + chữ số k 3,4, , n hàng a2 hàng an1 có  n  3 n  3! số thuộc A Vậy: S   a      n   n  3 n  3!10n1  10n2   10  1 aA   n  3!    n  10n1  1  1   n  !10n1  10n2   10  1  1  2 n  2!10n2  10n3   10    n  2!  10n   9n  3010n1  n2  9n  3 1.3 Hoán vị 1.3.1 Hốn vị khơng lặp Định nghĩa 1.2: Cho tập hợp gồm n  n  1 phần tử Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự (mỗi phần tử có mặt lần) gọi hoán vị n phần tử cho Kí hiệu số hốn vị n phần tử là: pn Ta có cơng thức: pn  n! Ví dụ 1.13: Có số tự nhiên có chữ số khác lập nên từ tập gồm chữ số: 1,2,3,4,5,6,7? Bài giải Vì số cần lập gồm chữ số khác nhau, chữ số xuất số cần lập lần, nên số cần lập hoán vị chữ số cho Vậy số số lập là: P7  7!  5040 (số) Ví dụ 1.14: (VMO 2001-Bảng A) Cho số nguyên n  Xét hoán vị  a1 , a2 , , a2 n  2n số nguyên dương cho số 1  , i  1,2, ,2n  , đôi khác CMR: a1  a2n  n   a2k  n, k  1,2, , n Bài giải a) Điều kiện đủ: Vì  a2k  n, k  1,2, , n nên: n 1 T   1   a1  a2  a3  a2   a2 n1  a2 n i 1   a1  a3   a2 n1    a2  a4   a2 n   a2 n  a1   n  1   n     2n  1     n   a2 n  a1  2n2  a2 n  a1 (1) Mặt khác, dễ thấy  1   2n  1, i  1,2,3, ,2n  1  đôi khác nên: T      (2n  1)  2n2  n (2) Từ (1) (2) ta được: a1  a2n  n (đpcm) b) Điều kiện cần: n 1 Từ giả thiết ta có: T0   1   a1  a2 n  n  2n  1  n  2n2 (3) i 1 Mặt khác, sau khai triển dấu giá trị tuyệt đối số hạng T0 ta viết T0 dạng: T0   i , i  2;0;2, i  1,2, ,2n 2n i 1 Dễ thấy dãy: 1,2 , ,2n có tính chât: i) 1  2   2n  ii) Nếu dãy 1,2 , ,2n ta xóa tất số đồng thời giữ ngun vị trí số khác nhận dãy mà số -2 xen kẽ Kí hiệu b1, b2 , , bn (tương ứng t1 , t2 , , tn ) lần lượt, theo thứ tự xuất hoán vị  a1 , a2 , , a2 n  số không vượt n (tương ứng, vượt n) hoán vị Từ i) ta được: 2n n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 T0   i (ai  n)  2. (ti  n)  2 (bi  n)  2ti  2 bi  2n2  T0 (theo (3)) nhóm xếp thành hàng Nhóm thứ chọn áo da cam, áo trắng áo xanh, nhóm thứ hai chọn áo đỏ Hỏi có cách thực công việc chọn áo Bài giải Giả sử huấn luyện viên chọn k người vào nhóm thứ Đặt ak số cách mà k người chọn áo màu da cam, trắng, xanh, nhóm xếp thẳng hàng nên có  ak  k !3k Do hàm sinh lũy thừa cho ak là: xk A( x)   k !3  k !  3x k 0 k Tương tự đặt bm số cách chọn m người vào nhóm thứ hai xếp thành hàng thẳng chọn áo đỏ, ta có: bm  m! Hàm sinh cho dãy bm là:  xm B( x)   m!  m!  x m 0 Vậy hàm sinh cho nhóm áo : G( x)  A( x).B( x)  1  3x  x xn Vậy số cách chọn áo hệ số khai triển G( x) n! n! 3n1  1 Bài 10: Cho số tự nhiên r  10 Đếm số phân hoạch r gồm thành phần xuất số 1,5,7 Bài giải Gọi x, y, z số lần xuất số 1,5,7 Theo ta có: 1.x  y  7.z  10 Xét 1.x  n n   a0  n   a0  n   a0  n   a0   an  1,1,1,1,1,1,  Hàm sinh cho số lần xuất chữ số là: A( x)   x  x2  x3  Tương tự ta có: Hàm sinh cho số lần xuất chữ số là: B( x)   x5  x10  x15  Hàm sinh cho số lần xuất chữ số là: C( x)   x7  x14  x21  Hàm sinh cho số nghiệm phương trình là: G( x)  1  x  x  x3  1  x5  x10  1  x7  x14   Số phân hoạch r hệ số x10 khai triển G( x) G( x)  1  x7  x14  x5  x12  x19  x10  x17  x 24  1  x  x  x3     1  x7  x14  x5  x12  x19  x10  x17  x24   C (n, n) x n n 0 Theo quy tắc xoắn ta có số phân hoạch r là: a0 b10  a5.b5  a7 b3  1.1  1.1  1.1  Bài 11: Một đơn vị đội có 30 người lính xếp thẳng thành hàng Người sĩ quan phân chia người lính thành nhóm nhỏ từ 10 đến 12 người để giao nhiệm vụ Hỏi sĩ quan có cách chia nhóm Bài giải Do người lính xếp thành hàng nên cách chia nhóm phải thỏa mãn phương trình: 10.x1  11.x2  12.x3  30 (*) Trong x1, x2 , x3 số nhóm 10 người, 11 người, 12 người Xét 10.x  n n   a0  n   a0  n   a0  n   a0  n   a0  n   a0  n   a0  n   a0  n   a0  n   a0  n  10  a0   an  1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0  Hàm sinh cho số cách chọn nhóm 10 người là: A( x)   x10  x20  x30  Tương tự ta có: Hàm sinh cho số cách chọn nhóm 11 người là: B( x)   x11  x22  x33  Hàm sinh cho số cách chọn nhóm 12 người là: C( x)   x12  x24  x36  Hàm sinh cho số nghiệm phương trình (*) là: G( x)  1  x10  x 20  x30 1  x11  x 22  1  x12  x 24   Số cách chia nhóm từ 30 người lính số nghiệm phương trình (*) hệ số x 30 khai triển G( x)  1  x10  x 20  x30 1  x11  x 22  1  x12  x 24    1  x10  x 20  x30 1  x12  x 24  x11  x 23  x35  x 22  x34  x 46   Theo quy tắc xoắn ta có hệ số x 30 khai triển là: a30.b0  Bài 12: Có cách phân phối 25 bóng giống hệt vào bảy hộp riêng biệt cho hộp có khơng q 10 bóng số bóng tùy ý hộp sáu hộp lại Bài giải Hàm sinh cho số cách phân phối 25 bóng vào bảy hộp riêng biệt cho hộp có khơng q 10 bóng là: G( x)  1  x  x  x3   x10 1  x  x  x3      x11    11     x        1 x  x  x      7   Đặt A( x)   x , B( x)    1 x  11 Chúng ta có hệ số khác hàm số A( x) là: a0  1; a11  1    r B( x)      Cr 6   x  r 0 Nên hệ số x r là: Crr6 Vậy hệ số x 25 khai triển G( x) là: a0b25  a11b14  C3125  C2014  697521 Vậy có 697521 cách phân phối 25 bóng giống hệt vào bảy hộp riêng biệt cho hộp có khơng q 10 bóng số bóng tùy ý hộp sáu hộp cịn lại Bài 13: Có cách chọn 25 đồ chơi từ bảy loại đồ chơi khác cho loại đồ chơi có từ đến đồ chơi chọn Bài giải Hàm sinh cho số cách chọn 25 đồ chơi từ bảy loại đồ chơi khác cho loại có từ đến đồ chơi chọn là: G ( x)   x  x  x  x  x    x 1  x  x  x3  x   x14 1  x  x  x3  x  Để tìm hệ số x 25 khai triển G( x) tìm hệ số x11 khai triển: H ( x)  1  x  x  x3  x  7    x5    1  x5      x  x     Đặt A( x)  1  x  7   ; B( x)    1 x     r r B( x )      Cr 6 x   x  r 0 Do tìm hệ số x11 khai triển H ( x) nên ta quan tâm tới hệ số A( x) với bậc nhỏ 11 Do A( x) có hệ số a0 , a5 , a10 thỏa mãn Và hệ số x r khai triển B( x) br  Crr6 Vậy hệ số x11 khai triển H ( x) là: a0b11  a5b6  a10b1  1.C1711   C71  C126  C72C71  6055 Bài 14: Trong túi sách Long có chứa bao gồm 10 nhẫn vàng, 20 nhẫn bạc 30 viên kim cương Hỏi Long có cách chọn 30 đồ vật để đem bán, biết loại trang sức có đồ vật lấy Bài giải Hàm sinh cho số cách chọn nhẫn vàng chọn là: M ( x)  x  x2  x3   x10 ; Hàm sinh cho số cách chọn nhẫn bạc chọn là: N ( x)  x  x2  x3   x20 ; Hàm sinh cho số cách chọn viên kim cương chọn là: P( x)  x  x2  x3   x30 Vậy hàm sinh cho số cách chọn 30 đồ vật để đem bán, biết loại trang sức có đồ vật lấy là: G( x)  M ( x).N ( x).P( x)   x  x  x3   x10  x  x  x3   x 20  x  x  x3   x30   x3 1  x  x  x3   x9 1  x  x  x3   x19 1  x  x  x3   x 29   x10  x 20  x30 x 1 x 1 x 1 x x3 1  x 20  x10  x30 1  x30   1  x    x3  x13  x 23  x 43  x53  x63  1  x  đặt A( x)   x3  x13  x 23  x 43  x53  x63  , B( x)  1  x  Hệ số khác khơng có bậc nhỏ 30 A( x) là: a3  1; a13  1; a23  1 Trong B( x)    r  C  Crr2 có hệ số x r br  Crr2   r 31 r 0 1  x  r 0 Vậy hệ số x 30 khai triển hàm sinh G(x) là: a3b27  a13b17  a23b7  1.C2927  1.C1917  1.C97  199 Vậy Long có 199 cách chọn 30 đồ vật để đem bán mà loại trang sức có đồ vật lấy Bài 15: Tìm số tất số có n chữ số lập từ chữ số 3, 4, 5, chia hết cho Bài giải Một số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Mỗi chữ số 3, 4, 5, Xét hàm sinh G( x)   x3  x4  x5  x6   g0  g1x  g2 x2   g6n x6n n Gọi số tất số có n chữ số lập từ chữ số 3, 4, 5, chia hết cho S n S n tổng hệ số số mũ chia hết cho Gọi   e 2 i bậc nguyên thủy phương trình x  ta có:    1  Ta có: G(1)  G( )  G( )  3g0  1      g1  1      g2  3g3   3 g0  g3  g6    3Sn Vậy G 1  G    G     n n n  1    1       1       1   3   4n   Sn  Bài 16: Cho số nguyên dương n Gọi  n số cách phân tích n thành tổng số tự nhiên lẻ,  n số cách phân tích n thành tổng số tự nhiên đôi khác Hãy chứng tỏ n  n Bài giải Xét hàm sinh F ( x)  iN 1  xi  x 2i  x3i   với i lẻ Hệ số x n khai triển F ( x)  n Xét hàm sinh G( x)  1  x  1  x 1  x3  Hệ số x n khai triển G( x)  n Ta có: F ( x)  1 ;  x  x3  x5  x  x  x6 1  G( x)   x  x  x3  x  x3  x5 Do F  x   G  x  hay n  n 4.2 Ứng dụng giải phương trình bất phương trình nghiệm nguyên Bài 17: Phương trình sau có nghiệm nguyên: u  v  w  z  12 với u  0, v  0, w  2m, z  2k  , m  0, k  , m, k nguyên Bài giải Xét hàm sinh: G( x)  1  x  x2   1  x2  x4  x6  x8  x10  x  x3  x5  x7  x9  x11  Số nghiệm nguyên phương trình hệ số x12 khai triển G( x) G( x)  1  x  x    x  x3  3x5  x7  5x9  x11      x  x3  3x5  x7  5x9  x11    C (n  1,1) x n n 0 Theo quy tắc xoắn ta có hệ số x12 khai triển G( x) là: a1.b11  a3.b9  a5.b7  a7 b5  a9.b3  a11.b1  1.12  2.10  3.8  4.6  5.4  6.2  112 Vậy phương trình có 112 nghiệm ngun dương Bài 18: Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: u  v  w  z  20 với  u, v, w, z  Bài giải Hàm sinh cho số nghiệm nguyên dương phương trình là: G ( x)   x  x  x  x  x  x    x3 1  x  x  x3  x  x5   x12 1  x  x  x3  x  x5  Số nghiệm nguyên dương phương trình hệ số x 27 khai triển G( x) hệ số x15 khai triển H ( x)  1  x  x2  x3  x4  x5  Ta có: H ( x)  1  x  x  x  x  x Đặt A( x)  1  x  4  4    x6    1  x6      x  x     4   , B( x )    Ta có: 1 x  A( x)  1  x6    C41x6  C42 x12  C43 x18  x24 ; 4   2 3 B( x )      C4 x  C5 x  C6 x  1 x  Do tìm hệ số x15 khai triển H ( x) nên ta quan tâm tới hệ số A( x) với bậc  15 Do A( x) có hệ số a0 , a6 , a12 thỏa mãn   r Và hệ số x khai triển B( x)    br  Cr 41 1 x  r Vậy hệ số x15 khai triển H ( x) là: a0b15  a6b9  a12b3  1.C1815  C41.C129  C42 C63 Vậy số nghiệm nguyên dương phương trình C1815  C41C129  C42C63 Bài 19: Phương trình x1  x2  x3  x4  x5  30 có nghiệm nguyên dương thỏa mãn:  x1, x2  10;3  x3 , x4 , x5  x1, x2 chẵn Bài giải Hàm sinh cho số nghiệm nguyên dương phương trình là: G( x)  1  x2  x4   x10   x3  x4  x5  Số nghiệm nguyên dương phương trình hệ số x 30 khai triển:  n 0 n 0 G( x)  x9  C (n  1; n) x n  C (n  2; n) x n Số nghiệm nguyên dương phương trình hệ số x 21 khai triển:  n 0 n 0 G( x)   C (n  1; n) x2 n  C (n  2; n) x n Theo quy tắc xoắn ta có hệ số x 21 khai triển là: a20 b1  a18 b3  a16 b5  C (21;20).C (3;1)  C (19;18).C (5;3)  C (17;16).C (7;5)  21.3  18.10  17.21  600 4.3 Ứng dụng tìm số hạng tổng quát dãy số Bài 20: Số Catalan Số Catalan số xác định cách truy hồi sau: n 1 d0  d1  1, Cn  d0dn1  d1dn2   dn1d0   di d n1i , n  i 0 Số Catalan có nhiều định nghĩa tổ hợp khác nhau, chẳng hạn, số Catalan số cách nối 2n điểm đường tròn n dây cung khơng cắt Ngồi ra, q trình tính đưa định nghĩa số Catalan: Là cách tính tích ánh xạ f0 , f1, f2 , , fn Sau tốn quan trọng số Catalan Hãy tìm số hạng tổng quát dãy Catalan Bài giải n Ta có dn1   di dn1 , n  i 0   n 0 n 1 Xét hàm sinh G( x)   dn x n    dn xn (vì d0  1)   n Khi G( x)    dn xn   di dni x n n 1 n 1 i 0 Theo quy tắc xoắn ta có: G( x)   x.G( x)2  G( x)  Vì G( x)   G( x)   Ta có  x   n 0   4x 2x   4x 2x  f ( n ) (0) n x   2 C2nn12 x n (theo khai triển Taylor) n! n 1 n  1  (1  2 C2nn12 xn )  n n n 1 n Đồng hai vế ta được: G( x)   C2 n x 2x n 0 n  Vậy số Catalan là: dn  n C2 n n 1 Bài 21: Tìm cơng thức tổng qt dãy số  an  với: a0  , n  (*)  n an  2an1  Bài giải Đặt G( x) hàm sinh cho dãy  an  , có: G( x)  a0  a1 x  a2 x  2 xG( x)  2a0 x  2a1 x  2a2 x3  Cộng hai đẳng thức ta có: G( x)  2xG( x)  a0   a1  2a0  x   a2  2a1  x2  Từ (*) ta có: G( x)  xG( x)   x  22 x    2x Do G( x)  xG( x)   n  C (n  1,1)  x   1  2x  n0 Vậy an   n  1.2n , n  KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau gần năm nghiên cứu đề tài “ HỢP THÀNH, PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN” tác giả nhận thấy đề tài hay, bổ ích Hiện chưa có giáo trình viết tiếng việt để người tham khảo Trong luận văn tác giả kết hợp tổ hợp, hàm sinh vào hợp thành phân hoạch số nguyên để thấy rõ điểm mạnh dùng hợp thành phân hoạch số nguyên Điểm hạn chế đề tài áp dụng cho số nguyên Đối với trường hợp khác tác giả chưa nghiên cứu hết Nếu có điều kiện tác giả nghiên cứu tiếp bổ sung để luận văn hoàn chỉnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Trần Quốc Chiến (2007), Giáo trình lý thuyết tổ hợp, Đại học Đà Nẵng, [2] Trần Nam Dũng, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Vũ Đình Hòa, Đặng Hùng Thắng (2007), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, Nhà xuất giáo dục [3] Trần Nam Dũng, Hàm sinh [4] BaiGiangIMO_10_1den5[1]12.pdf, mathvn.com [5] Trương Thị Nhung, Lăng Thúy Nga, Phạm Thị Lan Phương, Mai Thị Ngoan (2010), pp-ham sinh.pdf [6] Các toán tổ hợp đề thi quốc gia.pdf, mathvn.com Tài liệu tiếng Anh [7] Yufel Zhao (2007), Problem Solving Session [8] H.S Wilf (1994), Generatingfunctionology, Universty of Pennsylvania, Philadelphia, USA [9] Titu Andreescu and Zuming Feng, “102 combinatorial problems From the training of the USA IMO team” [10] László Lovász (2005), Combinatorial problems and exercises, Professor of Mathematics Eotvos Loránh University Budapest Hungary [11] Milan Novakovie (2007), GeneratingFunctions [12] Ronald L.Graham, Donald E.Knuth, Oren Patashnik (1997), Concerte Mathematics Một số trang web: [13] Math.com.vn [14] wikipedia.org [15] diendantoanhoc.net [16] vms.org.vn [17] vie.math.ac.vn ... Chương 3: HỢP THÀNH VÀ PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN Trình bày vấn đề hợp thành, phân hoạch số nguyên Chương 4: ỨNG DỤNG Các tập ứng dụng tổng quan tổ hợp, hàm sinh hợp thành, phân hoạch số nguyên Chương... liên quan tới hợp thành phân hoạch số nguyên Hợp thành phân hoạch số nguyên phát triển hàm sinh 3.1 Hợp thành số nguyên 3.1.1 Hợp thành số nguyên dương a) Định nghĩa 3.1: Hợp thành k phần số nguyên. .. p# (r, E) số phân hoạch số nguyên dương r với thành phần số chẵn khác + p# (r, O) số phân hoạch số nguyên dương r với thành phần số lẻ khác + qn (r ) số phân hoạch số nguyên dương r số thành phần