Hình đa diện, hình cầu và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM    PHẠM THỊ KIM PHÚC HÌNH ĐA DIỆN, HÌNH CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng - Năm 2020 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU .1 Lí chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu … Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn……………………………………………………… Chương HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU 1.1 Những kiến thức hình đa diện 1.1.1 Định nghĩa hình đa diện, khối đa diện 1.1.2 Hai đa diện 1.1.3 Tính chất hình đa diện 1.1.4 Phân chia lắp ghép khối đa diện 1.1.5 Diện tích tồn phần hình đa diện 1.1.6 Thể tích hình đa diện 1.1.7 Thiết diện hình đa diện cắt mặt phẳng 1.2 Những kiến thức hình cầu 1.2.1 Định nghĩa mặt cầu, hình cầu .6 1.2.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 1.2.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 1.2.4 Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện 1.2.5 Diện tích mặt cầu thể tích hình cầu 10 Chương MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU .11 2.1 Những dạng tốn hình đa diện 11 2.1.1 Xác định tính chất hình đa diện 11 2.1.2 Tính diện tích tồn phần hình đa diện .13 2.1.3 Xác định, tính diện tích thiết diện .17 2.1.4 Tính thể tích hình đa diện 24 2.1.5 Một số toán cực trị 29 2.2 Những dạng tốn hình cầu……………………………………………… 36 2.2.1 Xác định mặt cầu 36 2.2.2 Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện .40 2.2.3 Mặt cầu nội tiếp hình đa diện 46 2.2.4 Đường thẳng, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 50 2.2.5 Bài tốn qũy tích liên quan đến mặt cầu 56 2.2.6 Bài toán cực trị mặt cầu 60 KẾT LUẬN 67 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… 68 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, Hình học khơng gian mơn học địi hỏi học sinh phải có tư trừu tượng cao Tuy nhiên tính trừu tượng mà học sinh thường lúng túng tiếp cận lĩnh hội môn học Các tốn liên quan đến hình khơng gian hình chóp, hình đa diện, hình lăng trụ, hình cầu, … thường xuất đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia kì thi quốc tế Là giáo viên giảng dạy Toán bậc trung học phổ thông, học viên sau đại học ngành phương pháp tốn sơ cấp, tơi muốn tìm hiểu kỹ tốn hình học khơng gian nhằm phục vụ cho công việc chuyên môn, nên chọn đề tài cho luận văn Thạc sĩ là: “Hình đa diện, hình cầu tốn liên quan” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kỹ hình đa diện, hình cầu kết tính chất liên quan - Hệ thống phân loại tốn hình đa diện hình cầu thành dạng toán chuyên biệt - Nghiên cứu để tìm lời giải cho dạng tốn ví dụ minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Hình đa diện, hình cầu - Những tốn liên quan đến hình đa diện, hình cầu thuộc chương trình tốn bậc trung học phổ thơng phương pháp giải Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học tài liệu Internet - Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp, phân tích hệ thống tài liệu sưu tầm để thực luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương I: HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU Chương trình bày kiến thức hình đa diện, hình cầu kết quả, tính chất liên quan để làm sở cho chương sau Chương II: MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU Chương nội dung luận văn, trình bày số dạng tốn hình đa diện hình cầu Chương I: HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU Chương trình bày kiến thức hình đa diện, hình cầu kết quả, tính chất liên quan để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [2], [3] 1.1 Những kiến thức hình đa diện 1.1.1 Định nghĩa hình đa diện, khối đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất sau: - Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung - Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Tên gọi thành phần: đỉnh, cạnh, mặt bên, … đặt tương ứng với hình đa diện tương ứng Khối đa diện  H  gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm  H  ln thuộc  H  Khi đa diện xác định gọi đa diện lồi Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: - Mỗi mặt đa giác p cạnh - Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại p; q Chỉ có năm loại khối đa diện Đó loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5} (Hình 1.1) 64 tiếp A' D' O' B' C' N A D I B O M C Gọi O O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, ABCD Suy OO trục hai đường tròn Gọi J trung điểm OO mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABCD ABC D có tâm J, bán kính R  JA Khi thể tích khối cầu : V   R3 với R  AO  JO  r  h (với r bán kính đường tròn  O  ngoại tiếp đáy ABCD ) Do V nhỏ  R nhỏ  r nhỏ Gọi M , N giao điểm OI với đường trịn  O  Ta có h  IA.IC  IM.IN   OM  OI   ON  OI    r  OI   r  OI   r  OI hay r  h  OI Vậy r nhỏ  OI nhỏ  I O Khi 1 h r  h2  R  r  h2  h2  h2  4 65 Vậy thể tích nhỏ mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho V 5 h Bài toán 2.61 ([1]) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a chiều cao h Gọi r , R bán kính hình cầu nội tiếp ngoại tiếp hình chóp S ABC Chứng minh r  R Giải S Từ kết toán 2.38 2.42, ta có R 3h  a ah r  2 6h a  12h  a Suy A r ah  2 R  a  3h  a  12 h  a2  α H  C M Gọi M trung điểm cạnh BC, H tâm tam giác ABC  với 0    90 Khi h  a tan  Đặt   SMH, Ta có cos    cos   r tan  sin  cos      R   tan     tan   3cos  1  cos     3cos     Đặt t  cos  , t   0;1 Xét hàm f  t   f t   6t  4t  2 1  3t  ; 2t   t  , t   0;1  3t f   t    6t  4t   t  1  t   Bảng biến thiên hàm số y  f  t  66 Dựa vào bảng biến thiên, ta có  f  t   f  t   Do với  t  1  t 3 r với 0    90  R Dấu "  " xảy  r  R  cos   a  tan   2 h  3 Trong trường hợp cạnh bên hình chóp là: 2 a 6 a 3 SA  SH  AH       a     2 Khi hình chóp S ABC trở thành tứ diện cạnh a 67 KẾT LUẬN Luận văn “Hình đa diện, hình cầu tốn liên quan” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: 1) Hệ thống phân loại số dạng tốn hình đa diện hình cầu 2) Đối với dạng toán riêng biệt, nhiều tốn minh họa trình bày với lời giải chi tiết hình vẽ rõ ràng Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hồn thiện nữa, nhằm tạo hứng thú cho học sinh học mơn hình học không gian 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Quang Ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng, Phạm Tấn Phước (1999), Giải đề thi tuyển sinh đại học chuyên đề hình học khơng gian, NXB Thành phố Hồ Chí Minh [2] Bộ giáo dục đào tạo (2007), Hình học 12 bản, NXB Giáo dục [3] Bộ giáo dục đào tạo (2007), Bài tập hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục [4] Trần Bá Hà (2006), Hình học khơng gian, NXB Đại học Sư phạm [5] Trần Đức Huyên, Trần Quang Nghĩa, Nguyễn Anh Trường (2009), Giải tốn hình học 11 dùng cho học sinh lớp chuyên, NXB Giáo dục [6] Trần Thành Minh (2009), Giải tốn hình học 11 (Dùng cho học sinh lớp chuyên), NXB Giáo dục [7] Đoàn Quỳnh (2012), Tài liệu chun tốn – Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục [8] Nguyễn Anh Trường, Nguyễn Tấn Siêng, Nguyễn Văn Bình (2014), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [9] Các đề thi Đại học trường THPT Việt Nam năm 2015 - 2019 [10] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ (2010), NXB Giáo dục ... dạng tốn hình đa diện hình cầu 3 Chương I: HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU Chương trình bày kiến thức hình đa diện, hình cầu kết quả, tính chất liên quan để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan.. . Chương I: HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU Chương trình bày kiến thức hình đa diện, hình cầu kết quả, tính chất liên quan để làm sở cho chương sau Chương II: MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU Chương... cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa