Xác định mặt cầu

Chương 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ HÌNH CẦU

2.2 Những dạng toán về hình cầu

2.2.1 Xác định mặt cầu

Bài toán 2.29 ([4]). Chứng minh rằng một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn.

Giải

 Nếu hình chóp S A A. 1 2...An nội tiếp một mặt cầu thì các đỉnh A A1, 2,, An vừa nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp, vừa đồng thời nằm trên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nên chúng nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt cầu. Vậy đa giác đáy của hình chóp nội tiếp đường tròn đó.

 Nếu hình chóp S A A. 1 2...An có đáy A A1 2...An là đa giác nội tiếp đường tròn  C thì ta gọi  là trục của đường tròn đó và gọi O là giao điểm của  với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn cạnh SA1.

Khi đó ta có: OS OA 1 (do O nằm trên mặt phẳng trung trực của SA1).

Lại có OA1OA2 OAndo O nằm trên trục  của đường tròn  C ). Suy ra OS OA 1OA2 OAn. Vậy hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là mặt cầu tâm O, bán kính R OS (đpcm).

Hệ quả: Mọi tứ diện luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

Bài toán 2.30 ([3]). Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn.

Giải

 Nếu  H là hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên của nó là những hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp nên phải là

A'n

A'4 A'3 A'2

A'1

An

A4 A3 A2

A1

O

I I'

An

A4 A3 A2

A1

I

O

H S

hình chữ nhật. Vậy  H là hình lăng trụ đứng. Ngoài ra, vì  H có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

 Ngược lại, cho  H là hình lăng trụ đứng có các đường tròn

 C C,   ngoại tiếp các đa giác đáy. Gọi I I,  lần lượt là tâm của đường tròn

 C C,   thì II là trục của hai đường tròn.

Vì thế, nếu gọi O là trung điểm của II thì ta có:

n n

OIA1 OIA2 OIA OI A 1 OI A 2 OI A .

          

(các tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra OA1OA2 OAn OA1 OA2 OAn.

Do đó O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ đã cho có mặt cầu ngoại tiếp tâm O, bán kính R OA (với A là một đỉnh bất kì nằm trên mặt đáy của hình lăng trụ).

Bài toán 2.31 ([3]). Chứng minh rằng một hình chóp cụt có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp cụt nội tiếp đường tròn và các cạnh bên bằng nhau.

Giải

J O

D'

C' B'

I'

I A

B C

D A'

I' B'

A I

B

S

A'

 Giả sử hình chóp cụt  H nội tiếp một mặt cầu thì mỗi mặt bên của nó là hình thang có đường tròn ngoại tiếp nên phải là hình thang cân. Vậy các cạnh bên của  H bằng nhau. Ngoài ra, vì  H có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

 Ngược lại, cho  H là hình chóp cụt có các cạnh bên bằng nhau và các đường tròn  C C,   ngoại tiếp các đa giác đáy. Gọi I I,  lần lượt là tâm của đường tròn  C ,  C . Ta có các cạnh bên của hình chóp cụt và II đồng quy tại đỉnh S của hình chóp.

Xét khối chóp S IAB. , ta có:

SA I A I B SB

SA IA IB SB

     

    SA SB

SA SB

 



 SA SA SB SB

SA SB

 

 

  AA BB

SA SB

 

  SA SB. Hoàn toàn tương tự, suy ra được SA SB SC  SD

Do đó, SI là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy hay II là trục của hai đường tròn đáy.

Xét một cạnh bên của hình chóp cụt, chẳng hạn AA thì AA I I  là hình thang vuông với đường cao II . Đường trung trực của cạnh AA cắt II tại O thì OA OA .  Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt là mặt cầu tâm O, bán kính R OA. Ta có

R2 OA2 r2OI2.  1 Mặt khác, ta có

   

R2 OA2 r2 OI2 r2 IIOI 2 r2 h OI  2.  2 Từ  1 và  2 suy ra r h r

OI h

2 2 2

2

  

  . Do đó r h r 

R r

h

2 2 2 2

2 2

2 .

4

  

  

Chú ý: Nếu coi r r thì O có thể nằm giữa I và I hoặc I có thể nằm giữa O và I .

Bài toán 2.32 ([1]). Trong mặt phẳng  P cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với  P ta lấy một điểm S tùy ý và dựng mặt phẳng  Q đi qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng  Q cắt

SB SC SD, , lần lượt tại B C D, , . Chứng minh các điểm A, B C, ,

D B C D, , ,  luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính theo a diện tích của mặt cầu và thể tích của hình cầu đó.

Giải

x

B'

B

A

C

D S

C' D'

Ta có

BC AB BC SA

 

 



 BCSAB BC AB . Ta lại có

AB SC  AB SBC  ABB C. Tương tự ADD C . Suy ra

    

ABCAB C AC C AD C ADC 90 .0

Vậy bảy điểm A, B C D B C D, , , , ,  cùng nằm trên một mặt cầu đường kính là AC.

Ta có bán kính hình cầu là AC a

R 2

2 2 .

 

Vậy

S4R2 2a2. V R a

3

4 3 2

3 3 .

 

 

Bài 2.33 ([5]). Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ABBCa, AD2a, SAABCD và SAa 2. Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ EKSD tại K. Chứng minh các điểm S A, B C E K, , , , luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính theo a diện tích của mặt cầu đó.

Giải

D

B A

E

C S

K

Ta có ABCE là hình vuông cạnh a . Khi đó CE AD

CE SA

 

 



suy ra CESAD .

Kéo theo CESE và CESD. Mặt khác

EKSD nên SDCK.

Ta lại có CB AB CB SA

 

 

 nên CBSB. Suy ra

   

SBC SAC SKC  SEC900.

Vậy sáu điểm S A, B C E K, , , , cùng nằm trên một mặt cầu đường kính là SC.

Ta có bán kính hình cầu là SC

R .

 2

Ta có AC  AB2BC2 a 2, SC  AC2 SA2 2a. Suy ra Ra.

Vậy diện tích mặt cầu là: