Phương pháp giải phương trình bất phương trình chứa logarit và các bài toán liên quan Lý Văn Đức.

I HC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lị V‹N ÙC PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH B‡T PH×ÌNG TRœNH CHÙA LOGARIT V€ CC B€I TON LI–N QUAN LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC THI NGUY–N - N‹M 2014 „I HC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lị VN ÙC PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH B‡T PH×ÌNG TRœNH CHÙA LOGARIT V€ CC B€I TON LI–N QUAN LUŠN V‹N TH„C Sò TON HC Chuyản nghnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số 60.46.01.13 Ngữới hữợng dăn khoa hồc GS TSKH NGUY™N V‹N MŠU THI NGUY–N - N‹M 2014 Möc löc M Ưu Tẵnh chĐt cừa hm số logarit v cĂc kián thực liản quan 1.1 Tẵnh chĐt cõa h m sè logarit 1.2 CĂc nh lỵ bờ trủ 1.3 Lợp hm tuƯn hon v phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh 10 1.3.1 Lợp hm tuƯn hon nhƠn tẵnh 10 1.3.2 Lợp hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh 11 Phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh chựa logarit 13 2.1 13 Phữỡng phĂp mụ hõa v  ÷a v· cịng cì sè 13 2.1.2 Phữỡng phĂp t ân phử 15 2.1.3 Phữỡng phĂp hơng số bián thiản 22 2.1.4 Ph÷ìng ph¡p h m sè 25 2.1.5 ng dửng nh lỵ Lagrange, nh lỵ Rolle 29 2.1.6 Ph÷ìng ph¡p i·u ki»n c¦n v  õ 33 2.1.7 Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 35 Phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng tr¼nh chùa logarit 36 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p mơ hâa v  ÷a v· cịng cì sè 36 2.2.2 Phữỡng phĂp t ân phö 38 2.2.3 Ph÷ìng ph¡p h m sè 42 2.2.4 Ph÷ìng ph¡p i·u ki»n c¦n v  õ 44 2.2.5 2.3 2.1.1 2.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i phữỡng trẳnh chựa logarit Phữỡng phĂp Ănh giĂ 45 Ph÷ìng ph¡p gi£i mët sè h» chùa logarit 46 i 2.3.1 Phữỡng phĂp bián ời tữỡng ữỡng 46 2.3.2 Phữỡng phĂp t ân phử 48 2.3.3 Ph÷ìng ph¡p h m sè 49 2.3.4 Phữỡng phĂp iÃu kiằn cƯn v ừ 51 2.3.5 Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 53 CĂc bi toĂn liản quan án hm số logarit 3.1 56 Phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh hm lỵp h m logarit 56 3.1.1 56 3.1.2 3.2 Phữỡng trẳnh hm lợp hm logarit BĐt phữỡng trẳnh hm lợp hm logarit 64 CĂc bi toĂn và dÂy số v giợi hÔn d¢y sè sinh bði h m logarit Kát luên Ti liằu tham khÊo 67 75 ii 76 M Ưu Phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh l mởt nhỳng nởi dung cỡ bÊn v quan trồng cừa chữỡng trẳnh toĂn bêc trung hồc phờ thổng c biằt l cĂc phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit l nhỳng nởi dung hay v khõ ối vợi hồc sinh v chúng thữớng xuĐt hiằn cĂc à thi tuyn sinh Ôi hồc, cao ng v à thi hồc sinh giọi Viằc giÊng dÔy hm số logarit  ữủc ữa vo chữỡng trẳnh lợp 12 õ phƯn kián thực và phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit chiám vai trỏ trồng tƠm Tuy nhiản thới gian hÔn hàp cừa chữỡng trẳnh phờ thổng nản sĂch giĂo khoa khổng nảu ữủc Ưy ừ v chi tiát tĐt cÊ cĂc dÔng bi toĂn và phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit v cĂc bi toĂn liản quan Vẳ vêy hồc sinh thữớng gp nhiÃu khõ khôn giÊi cĂc bi toĂn nƠng cao và phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit cĂc à thi Ôi hồc, cao ng v à thi hồc sinh giäi M°c dị ¢ câ nhi·u t i li»u tham khÊo và logarit vợi nởi dung khĂc chữa cõ chuyản à riảng khÊo sĂt và phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit mởt cĂch hằ thống c biằt, nhiÃu dÔng toĂn và Ôi số v logarit cõ quan hằ cht ch vợi nhau, khổng th tĂch rới ữủc Nhi·u b i to¡n chùa logarit c¦n câ sü trđ gióp cừa Ôi số, giÊi tẵch v ngữủc lÔi Do õ,  Ăp ựng nhu cƯu và giÊng dÔy, hồc têp v  gâp ph¦n nhä b² v o sü nghi»p gi¡o dưc, luên vôn "Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit v cĂc bi toĂn liản quan" nhơm hằ thống cĂc kián thực cỡ bÊn và phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit kát hủp vợi kián thực Ôi số, giÊi tẵch  tờng hủp, chồn lồc v phƠn loÔi cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit v xƠy dỹng mởt số lợp bi toĂn mợi Luên vôn ữủc chia lm chữỡng Chữỡng Tẵnh chĐt cừa hm số logarit v cĂc kián thực liản quan - Nhưc lÔi cĂc tẵnh chĐt cừa hm số logarit - Nảu cĂc nh lỵ bờ trủ - Lợp hm tuƯn hon v phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh Chữỡng Phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh chựa logarit - Trẳnh by cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh chựa logarit - Trẳnh by cĂc phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit - Trẳnh by c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i mët sè h» chùa logarit Ch÷ìng CĂc bi toĂn liản quan án hm số logarit - Nảu phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh hm lợp hm logarit - Nảu cĂc bi toĂn và dÂy số v giợi hÔn dÂy số sinh bi hm logarit TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi GiĂo sữ, Tián sắ khoa hồc Nguyạn Vôn Mêu, ngữới thƯy  trỹc tiáp hữợng dăn, cung cĐp ti liằu v truyÃn Ôt nhỳng kinh nghiằm nghiản cựu cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy, cổ giĂo khoa ToĂn - Tin, o tÔo trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Trữớng THPT Na Rẳ v bÔn b ỗng nghiằp  giúp ù tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh bÊn luên vôn ny ThĂi Nguyản 2014 Lỵ Vôn ực Chữỡng Tẵnh chĐt cừa hm số logarit v cĂc kián thực liản quan 1.1 Tẵnh chĐt cừa hm số logarit f (x) = loga x, < a = ÷đc gåi l  h m sè logarit cì sè a Nhên xt rơng têp xĂc nh D = (0; +) v têp giĂ tr I = R Trong cĂc phƯn ti¸p theo, ta gi£ sû < a = Nhên xt rơng hm số f (x) = loga x liản tửc v cõ Ôo hm vợi mồi x > 0, hìn núa f (x) = x ln a Ta kh£o s¡t t½nh ìn i»u cõa h m sè f (x) = loga x tr÷íng hđp - Tr÷íng hđp 1: a > Khi â, ln a > n¶n suy f (x) = > 0, ∀x > x ln a Vªy, a > th¼ f (x) = loga x l  h m ỗng bián trản D Ta lÔi cõ f (1) = 0, f (a) = v  lim loga x = −∞; lim loga x = +∞ + H m sè x→+∞ x0 Ta cõ bÊng bián thiản sau: x a y = loga x −∞ +∞ +∞ < a < Trong tr÷íng hđp n y f (x) < 0, ∀x ∈ D Vªy, < a < th¼ f (x) = loga x l hm - Trữớng hủp 2: số nghch bián trản D Ta cõ bÊng bián thiản sau: x +∞ a +∞ y = loga x Tẵnh chĐt 1.1 f (x) = logax v nghch bián l hm ỗng bián trản D = R+ a>1 < a < Tẵnh chĐt 1.2 Vợi mồi Tẵnh chĐt 1.3 Vợi mồi a > 0, a = v  x1 , x2 ∈ (0; +∞), x1 loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 , loga = loga x1 − loga x2 x2 a > 0, a = v  x > Vợi ta cõ bĐt ký, ta cõ loga x = loga x Tẵnh chĐt 1.4 Vợi mồi < a = 1, < c = loga x = Tẵnh chĐt 1.5 Vợi mồi x > 0, ta câ logc x logc x H m sè T½nh ch§t 1.6 v  f (x) = loga x (0 < a = 1) cõ Ôo hm tÔi mồi im x ∈ (0; +∞) v  (loga x) = N¸u hm số u = u(x) cõ Ôo hm x ln a trản khoÊng J R thẳ hm số y = loga u(x), (0 < a = 1) cõ Ôo h m u (x) tr¶n J v  (loga u(x)) = u(x) ln a ã Khi a>1 ã Khi 0 x2 ta câ 1.2 C¡c ành lỵ bờ trủ nh lẵ 1.1 c (a; b) thẳ tỗn tÔi nh lẵ 1.2 y = f (x) liản cho f (c) = Náu hm số Náu hm số tửc trản [a; b] v f (a).f (b) < y = f (x) li¶n tưc tr¶n [a; b], f (a) = A, f (b) = B thẳ hm số nhên mồi giĂ tr trung gian giỳa A v  B H» qu£ 1.1 N¸u h m sè y = f (x) liản tửc trản [a; b] thẳ nõ nhên mồi giĂ tr trung gian giỳa giĂ tr lợn nhĐt v giĂ tr nhọ nhĐt nh lẵ 1.3 [a; b], cõ Ôo hm trản khoÊng cho f : [a; b] → R thäa m¢n f (a; b) v f (a) = f (b) thẳ tỗn (Rolle) Cho hm số liản tửc trản tÔi c (a; b) f (c) = Chựng minh Vẳ f (x) liản tửc trản [a; b] nản theo nh lẵ Weierstrass f (x) nhên giĂ tr [a; b] trản [a; b], lợn nhĐt M v giĂ tr nhọ nhĐt m trản M = m ta câ f (x) l  h m h¬ng â vỵi måi c ∈ (a; b) ln câ f (c) = - Khi M > m, v¼ f (a) = f (b) nản tỗn tÔi c (a; b) cho f (c) = m ho°c f (c) = M , theo bê · Fermat suy f (c) = - Khi H» qu£ 1.2 N¸u h m sè f (x) câ n nghi»m (n l  sè nguy¶n dữỡng lợn hỡn 1) trản nhĐt n1 (a; b) nghiằm tr¶n H» qu£ 1.3 H» qu£ 1.4 f (x) câ Ôo hm f (x) cõ nhiÃu nhĐt Náu hm số vỉ nghi»m tr¶n (a; b) (a; b) v  f (x) (a; b) thẳ f (x) cõ ẵt cõ Ôo hm trản khoÊng thẳ Náu hm số f (x) nghiằm n+1 nh lẵ 1.4 trản oÔn nghiằm trản (Lagrange) [a; b], (a; b) v  f (x) (a; b) th¼ f (x) cõ cõ Ôo hm trản khoÊng cõ nhiÃu nhĐt n nghiằm (n l số nguyản dữỡng) trản nhiÃu nhĐt (a; b) v f (x) trản (a; b) trản kho£ng (a; b) f : [a; b] → R thäa m¢n (a; b), â ∃c ∈ (a; b) : Cho h m sè kh£ vi tr¶n kho£ng f (c) = f (b) − f (a) b−a f li¶n töc Chùng minh X²t h m sè F (x) = f (x) − f (b) − f (a) x b−a Ta câ F (x) l  h m li¶n F (a) = F (b) tửc trản oÔn [a; b] , cõ Ôo hm tr¶n kho£ng (a; b) v  c ∈ (a; b) cho F (c) = f (b) − f (a) f (b) − f (a) F (x) = f (x) − , suy f (c) = b−a b−a Theo nh lẵ Rolle tỗn tÔi M Hằ quÊ 1.5 Náu F (x) = vợi mồi x thuởc khoÊng (a; b) thẳ F (x) bơng hơng số trản khoÊng õ nh lẵ 1.5 - Náu - Náu f (x) cõ Ôo hm trản khoÊng (a; b) f (x) > 0, x (a; b) thẳ f (x) ỗng bián tr¶n (a; b) f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thẳ f (x) nghch bián trản (a; b) nh lẵ 1.6 ký Cho hm số (BĐt ng thực Cauchy-Schwarz) a1 , a2 , , an v  b1 , b2 , , bn Cho hai c°p d¢y sè b§t Khi â (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ (a2 + a2 + + a2 )(b2 + b2 + + b2 ) n n DĐu bơng xÊy v  ch¿ Chùng minh ∃k º = kbi , ∀i ∈ (1, 2, , n) X²t tam thùc bªc hai f (x) = (a2 +a2 + +a2 )x2 −2(a1 b1 +a2 b2 + +an bn )x+(b2 +b2 + +b2 ) n n - N¸u a2 + a2 + + a2 = ⇔ a1 = a2 = = an = n bĐt ng thực hin nhiản úng - N¸u a2 + a2 + + a2 > 0, n ta viát f (x) dữợi dÔng f (x) = (a1 x − b1 )2 + (a2 x − b2 )2 + + (an x − bn )2 0, x R Theo nh lỵ và dĐu cừa tam thực bêc hai thẳ = (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 − (a2 + a2 + + a2 )(b2 + b2 + + b2 ) ≤ n n ⇔ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ (a2 + a2 + + a2 )(b2 + b2 + + b2 ) n n vỵi g l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký trản R\ {0} (g xĂc nh bi (3.10.3)) Ta lÔi bi¸n êi (3.10) th nh f (25x) − f (5x) − [f (5x) − f (x)] = h(x), ∀x = °t g2 (x) = f (5x) − f (x), (3.10.5) thay v o (3.10.5) ta ÷đc g2 (5x) − 2g2 (x) = h(x), ∀x = ⇔ g2 (5x) + h(5x) = [g2 (x) + h(x)] , ∀x = °t k(x) = g2 (x) + h(x), thay v o (3.10.6) ta ÷đc k(5x) = 2k(x), ∀x = °t k(x) = |x|log5 q(x), (3.10.6) (3.10.7) thay v o (3.10.7) ta ÷đc |5x|log5 q(5x) = 2|x|log5 q(x), ∀x = ⇔ q(5x) = q(x), ∀x = (3.10.8) g2 (x) = |x|log5 q(x) − h(x), ∀x = (3.10.9) Vªy Suy f (5x) − f (x) = |x|log5 q(x) − h(x), ∀x = (3.10.10) Tø (3.10.4) v  (3.10.10) suy f (x) = |x|log5 q(x) − g(x) − (1 + log5 |x|)cos(2πlog5 |x|), ∀x = 0, â g v  q l  c¡c hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký trản R\ {0} (x¡c ành bði (3.10.3) v  (3.10.8)) V½ dư 3.7 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : (0; +) → R thäa m¢n f (xy) = f (x) + ln y, ∀x, y ∈ (0; +∞) Gi£i °t f (1) = C 62 (3.11) x = ÷đc f (y) = C + ln y, ∀y ∈ (0; +) dÔng f (x) = C + ln x, x (0; +) (vợi C l hơng Trong (3.11) cho Vêy f (x) cõ số) Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn (3.11) Vêy hm số cƯn tẳm cõ dÔng f (x) = C + ln x, ∀x ∈ (0; +∞) V½ dử 3.8 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : (0; +∞) → R thäa m¢n f (xy ) = yx1−y f (x), ∀x, y ∈ (0; +∞) (3.12) Gi£i Trong (3.12) cho x = 3, ta ÷đc f (3y ) = 31−y f (3)y, ∀y ∈ (0; +∞) Vỵi måi y ∈ (0; +∞), °t 3y = u Khi â u>1 v  (3.12.1) y = log3 u Vªy tø (3.12.1) ta câ f (u) = 31−log3 u f (3)log3 u = 3.u−1 f (3)log3 u = 3f (3) Vªy f (x) log3 u , u > u cõ dÔng f (x) = C Trong (3.12) cho ln x , ∀x ∈ (1; +∞), (vỵi C l  x x = b, vợi < b < ta ữủc hơng sè) (3.12.2) f (by ) = b1−y f (b)y, ∀y ∈ (0; +∞) y ∈ (0; +∞), by = u y = logb u Vªy log u f (u) = b1−logb u f (b)logb u = bu−1 f (b)logb u = bf (b) b , ∀u ∈ (0; 1) u Vêy f (x) cõ dÔng ln x f (x) = D , x(0; 1), (vợi D l hơng số) (3.12.3) x Trong (3.12) l§y x = v  y = ta ÷đc f (1) = 2f (1) ⇔ f (1) = Tứ ln x Ơy kát hủp vợi (3.12.2) v  (3.12.3) ta ÷đc f (x) = C , ∀x ∈ (0; +∞) x Vỵi måi °t Khi â 0 1(m > 0, n > 0) Gi£i Trong (3.13) l§y y=x>1 v  m=n= s >0 ta ÷đc f (xs ) ≤ [f (x)] s , ∀x ∈ (1; +∞), ∀s >  1 Tø (3.13.1) ta ÷đc f (x) = f (xs ) s  ≤ [f (xs )]s , (3.13.1) suy f (x) ≤ [f (xs )]s , ∀x ∈ (1; +∞), ∀s > 64 (3.13) (3.13.2) f (x) > 0, ∀x > v  h m sè g(x) = xα (0; +∞) n¶n tø (3.13.2) suy Do (vỵi α > 0) [f (x)] s ≤ f (xs ), ∀x ∈ (1; +∞), s > ỗng bián trản (3.13.3) Tứ (3.13.1) v (3.13.3) suy f (xs ) = [f (x)] s , ∀x ∈ (1; +∞), ∀s > f (e) = k Vỵi måi x > 0, (3.13.4) lĐy x = e ta ữủc t t ln x = s (lóc n y (3.13.4) x = es ) Trong 1 f (e ) = [f (e)] s ⇒ f (x) = k ln x , ∀x > s Thỷ lÔi: vợi f (x) = k ln x , x > (k l hơng số lợn hìn 1), ta câ ln x > ⇒ k ln x > k ⇒ f (x) > M°t kh¡c 1 1 myn) m n f (x y ) = k ln(x , [f (x)] 4m = k 4m ln x , [f (y)] 4n = k 4n ln x Do â 1 1 + m n f (xm y n ) ≤ [f (x)] 4m [f (y)] 4n ⇔ k ln(x y ) ≤ k 4m ln x 4n ln y 1 ⇔ ≤ + ln(xm y n ) 4m ln x 4n ln y (3.13.5) Ta cõ (3.13.5) l bĐt ng thực úng vẳ Ăp döng 1 + ≥ , ∀A > 0, B > A B A+B 65 ta suy vợi x>0 v m > 0, n > thẳ 1 + ≥ = 4m ln x 4n ln y 4m ln x + 4n ln y ln(xm y n ) Vêy hm số cƯn tẳm l  f (x) = k ln x , ∀x > (k l hơng số lợn hỡn 1) Vẵ dử 3.11 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f :RR thäa m¢n f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (3.14) f (x) ln 2016 ≤ 2016x − 1, ∀x ∈ R (3.15) Gi£i Theo gi£ thi¸t ta câ f (x + 0) ≤ f (x) + f (0) ⇒ f (0) ln 2016 ≤ 20160 − f (0) ≥ ⇒ f (0) = f (0) ≤ Tø (3.14) ta câ = f (0) = f (x + (−x)) ≤ f (x) + f (−x) ⇒ f (x) + f (−x) ≥ 0, ∀x ∈ R (3.15.1) Tø (3.14) v  (3.15) ta câ x x x 2n f (x) = f 2n n ≤ 2n f n ≤ (2016 2n − 1), ∀x ∈ R 2 ln 2016 Suy x x 2016 2n − f (x) ≤ , ∀x = 0, n ∈ N∗ x ln 2916 2n x 2016 − = ln 2016 n¶n tø (3.15.2) cho n → +∞ Do lim x→0 x f (x) ≤ x, ∀x = Kát hủp vợi f (0) = ta ữủc f (x) ≤ x, ∀x ∈ R 66 (3.15.2) ta ÷đc (3.15.3) Vẳ thá f (x) + f (x) x + (x) = 0, x R Kát hủp vợi (3.15.1) ta ÷đc f (x) + f (−x) = 0, ∀x ∈ R f (−x) ≤ −x ⇒ −f (x) x f (x) x Kát hủp vợi (3.15.3) suy hm số cƯn tẳm l f (x) = x, x R Thỷ lÔi Do õ vợi mồi xR ta cõ thĐy thọa mÂn 3.2 CĂc bi toĂn và dÂy số v giợi hÔn dÂy số sinh bði h m logarit C¡c b i to¡n v· d¢y sè câ nởi dung rĐt a dÔng é Ơy tĂc giÊ ch quan tƠm án cĂc bi toĂn và dÂy số v giợi hÔn dÂy số sinh bi hm logarit Vẵ dử 3.12 â xn bi¸t x1 = a > v  xn+1 = g(n)xk , n ∗ g(n) > 0, n ∈ N , k ∈ R\ {0} X¡c nh số hÔng GiÊi Ta cõ xn > 0, n = 1, 2, Do â ln xn+1 = ln g(n) + k ln xn ⇔ °t ln xn = un , kn ln xn+1 ln g(n) ln xn = n+1 + n k n+1 k k â un+1 = un + Tứ (3.16) lƯn lữủt lĐy ln g(n) , ∀n = 1, 2, k n+1 n = 1, 2, ta ÷đc ln g(1) k2 ln g(2) u3 = u2 + k3 ln g(n − 1) un = un−1 + kn u2 = u1 + 67 (3.16) n1 Cởng lÔi ta thu ÷đc un = u1 + i=1  xn = ek Vẵ dử 3.13 Cho dÂy số n un  ln g(i) ln a n−1 ln g(i)   k n u1 + + kn  i=1 k i+1 k i=1 k i+1 =e =e n−1 (· thi HSG tnh CƯn Thỡ, vỏng nôm hồc 2011 - 2012) {xn } ÷đc x¡c ành bði x1 = a xn+1 = Chựng minh rơng dÂy số GiÊi Xt h m sè ln g(i) Suy vỵi måi n = 1, 2, th¼ k i+1 f (x) = x¡c ành v  li¶n tưc 2011 ln(x2 + 20112 ) 20112 n {xn } cõ giợi hÔn 2011 ln(x2 + 20112 ) − 20112 , ∀x ∈ R Khi ∗ tr¶n R v  xn+1 = f (xn ), ∀n ∈ N Ta câ â f (x) 2x 2011 , ∀x ∈ R x + 20112 √ 2 x + 2011 ≥ x2 20112 = 2.2011 |x| ⇒ f (x) = |x| ≤ 2011 x2 + 20112 2011 2011 |x| ≤ ⇒ |f (x)| = = , ∀x ∈ R x2 + 20112 2011 g(x) = x − f (x), â g(x) l  h m sè x¡c ành R Hìn núa g (x) = − f (x) > 0, ∀x ∈ R M°t kh¡c X²t h m sè tr¶n v  li¶n tưc 2011 g(0) = −f (0) = − ln(20112 ) + 20112 > 0, −2011 g(−2011 ) = ln(20114 + 20112 ) < g(0).g(−20112 ) < Tõm lÔi g(x) l hm số xĂc nh, liản tửc v ỗng bián trản R, v g(0).g(2011 ) < Do õ phữỡng trẳnh g(x) = 0, hay phữỡng trẳnh f (x) = x cõ nghiằm nhĐt trản khoÊng (2011 ; 0) Tực l tỗn tÔi nh§t L ∈ (−2011 ; 0) cho L = f (L) Ta câ xn+1 = f (xn ) v x1 = a Theo nh lỵ lagrange tỗn tÔi qn n¬m giúa xn Suy v  L cho f (xn ) − f (L) = f (qn )(xn − L), ∀n = 1, 2, 68 Do â |xn+1 − L| = |f (xn ) − f (L)| = |f (qn )| |xn − L| ≤ |xn − L| , ∀n = 1, 2, Tø â ≤ |xn − L| ≤ |xn−1 − L| ≤ ≤ 3 n−1 |x1 − L| = n−1 |a − L| n−1 Tø ≤ |xn − L| ≤ |a − L| cho n + v sỷ dửng nguyản lỵ kàp ta ữủc lim |xn L| = hay lim (xn − L) = hay lim xn = L n+ Vêy dÂy số {xn } Vẵ dử 3.14 {xn } n+ n+ luổn cõ giợi hÔn hỳu hÔn (à dỹ b VMO nôm 2008) Cho số thüc a v  d¢y sè thüc x¡c ành bði x1 = a, xn+1 = ln(3 + cos xn + sin xn ) − 2008, ∀n = 0, 1, 2, Chựng minh rơng dÂy số {xn } cõ giợi hÔn hỳu hÔn n tián án dữỡng vổ GiÊi °t f (x) = ln(3 + cos x + sin x) − 2008, ta câ cos x − sin x + sin x + cos x √ √ Tø â sû döng ¡nh gi¡ |cos x − sin x| ≤ 2, |sin x + cos x| ≤ ta suy f (x) = √ √ =q g(0).g(2008) < Tõm lÔi g(x) l bián trản R, v g(0).g(2008) < Suy ỗng 69 hm số xĂc nh, liản tửc v g(x) = 0, hay phữỡng trẳnh f (x) = x cõ mởt nghiằm nhĐt trản khoÊng (2008; 0) Tực l tỗn tÔi nhĐt l ∈ (−2008; 0) cho f (l) = l p dửng nh lỵ Lagrange cho x, y R, h m f (x) li¶n tưc tr¶n R n¶n tỗn tÔi z thuởc R cho f (x) f (y) = f (z)(x − y) Tø â suy |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y| vợi mồi x, y thuởc R Do õ phữỡng tr¼nh Ta câ |xn+1 − l| = |f (xn ) − f (l)| = |f (x)| |xn − l| ≤ q |xn − l| , ∀n = 1, 2, Do â ≤ |xn − l| ≤ q |xn−1 − l| ≤ ≤ q n−1 |x1 − l| = q n−1 |a − l| Do q n−1 n + Theo nguyản lỵ kàp n +, dÂy  cho cõ giợi hÔn l  l Ta câ i·u ph£i chùng minh V½ dư 3.15 (à thi HSG tnh Ninh Bẳnh, vỏng nôm håc 2011 - 2012) n Chùng minh d¢y {xn } x¡c ành bði cæng thùc un = − ln n k=1 k cõ giợi hÔn hỳu hÔn GiÊi ln(x + 1) ≤ x, ∀x ≥ Thªt vªy, x²t h m sè f (x) = ln(x + 1) − x, ∀x ≥ −x Ta câ f (x) = 1= nản Ơy l hm nghch bián x+1 x+1 Suy f (x) ≤ f (0) = ln = Tứ Ơy dng suy ln(x + 1) ≤ x, ∀x ≥ ¯ng thùc x£y v  ch¿ x = nản ln(x + 1) < x, x > Trữợc hát, ta chựng minh bĐt ng thực Tr lÔi bi to¡n, ta x²t hi»u sau − ln(n + 1) + ln n n+1 n+1 1 = = − ln − ln + n+1 n n+1 n un+1 − un = Suy d¢y ¢ cho ìn i»u gi£m 70 < M°t kh¡c, ta công câ n un = k=1 n − ln n > k n + − ln n k ln k=1 [ln(k + 1) − ln k] − ln n = ln = k=1 n+1 >0 n n¶n dÂy ny b chn dữợi DÂy  cho giÊm v b chn dữợi nản cõ giợi hÔn hỳu hÔn Ta cõ iÃu phÊi chựng minh Vẵ dử 3.16 (VMO nôm 1998, b£ng A) x1 = a ≥ xn+1 = + ln x2 n 1+ln xn Cho d¢y sè x¡c ành bði , n = 1, 2, 3, Chựng minh rơng dÂy ny cõ giợi hÔn hỳu hÔn khổng phử thuởc vo giĂ tr cừa a GiÊi a = th¼ xn = 1, ∀n hay lim xn = - Náu a > thẳ bơng quy nÔp, ta chựng minh ữủc rơng xn > 1, tùc l  ch¿ c¦n chùng minh xn > + ln xn , xn > B§t ¯ng thùc ny cõ th - Náu chựng minh dng bơng kh£o s¡t h m sè Ti¸p theo, ta s³ chùng minh r¬ng xn+1 < xn x2 , x > 1 + ln x f (x) = x − − ln Ta câ b¬ng c¡ch x²t h m sè sau x − + x ln x − ln x x(1 + ln x) sè g(x) = x − + x ln x − ln x, x > 1, f (x) = LÔi xt hm g (x) = − Suy f (x) > 0, ∀x > hay x f (x) ta câ + ln x > 0, ∀x > l  h m ỗng bián trản Tứ õ dng cõ ữủc 71 (1; +∞) x2 n xn+1 − xn = + ln + ln xn − xn < ⇒ xn > xn+1 D¢y n y gi£m v  bà chn dữợi bi nản hởi tử GiÊ sỷ lim xn = l ≥ 1, l2 l − − ln + ln l ta câ = Theo phƯn chựng minh trản thẳ thĐy rơng phữỡng trẳnh n y khæng câ nghi»m l = nghi»m l = Vẵ dử 3.17 b) l>1 v úng phữỡng trẳnh nản giợi hÔn cƯn tẳm cừa dÂy  cho l  (· thi håc sinh giäi Gia Lai n«m 2010 - B£ng A, · dü Cho d¢y sè {xn } nh÷ sau x0 , x1 , x2 ∈ R xn+3 = log5 (3xn + 4xn+2 ), ∀n ∈ N Chùng minh rơng dÂy số  cho cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ GiÊi Xt hai dÂy sè {an } v  {bn } nh÷ sau a0 = a1 = a2 = {x0 , x1 , x2 } ; an+3 = log5 (3an + 4an+2 ), ∀n ∈ N b0 = b1 = b2 = max {x0 , x1 , x2 } ; bn+3 = log5 (3bn + 4bn+2 ), ∀n ∈ N Tr÷íng hđp {x0, x1, x2} ≥ Gi£ sû an , an+1 , an+2 Ta câ a0 , a1 , a2 ≥ lợn hỡn hoc bơng Khi õ an+3 = log5 (3an + 4an+2 ) ≥ log5 (32 + 42 ) = 2, ⇒an+4 = log5 (3an+1 + 4an+3 ) ≥ log5 (32 + 42 ) = 2, ⇒an+5 = log5 (3an+2 + 4an+4 ) ≥ log5 (32 + 42 ) = Theo nguyản lỵ quy nÔp toĂn håc suy an ≥ 2, ∀n ∈ N Ti¸p theo ta chùng minh an+1 ≤ an Hiºn nhi¶n (3.17) óng n = 0, n = (3.17) Vẳ a2 nản a2 a2 + ≤ ⇔ 3a2 + 4a2 ≤ 5a2 5 ⇔ log5 (3a2 + 4a2 ) ≤ log5 5a2 ⇔ log5 (3a2 + 4a2 ) ≤ a2 72 a3 = log5 (3a0 + 4a2 ) = log5 (3a2 + 4a2 ) ≤ a2 Vªy, (3.17) óng n = 0, n = 1, n = Gi£ sû (3.17) óng n = k, n = k + 1, n = k + Do â tùc l  ak+1 ≤ ak , ak+2 ≤ ak+1 , ak+3 ≤ ak+2 Khi â ak+4 = log5 (3ak+1 + 4ak+3 ) ≤ log5 (3ak + 4ak+2 ) = ak+3 ak+5 = log5 (3ak+2 + 4ak+4 ) ≤ log5 (3ak+1 + 4ak+3 ) = ak+4 ak+6 = log5 (3ak+3 + 4ak+5 ) ≤ log5 (3ak+2 + 4ak+4 ) = ak+5 Theo nguyản lỵ quy nÔp suy (3.17) úng vợi mồi số tỹ nhiản n Vêy {an } giÊm v b chn dữợi nản cõ giợi hÔn hỳu hÔn t lim an = a d¢y Tø n→+∞ an an+3 = log5 (3 +4 an+2 ), ∀n ∈ N, cho n → +∞ ta ÷đc a = log5 (3a + 4a ) ⇔ 5a = 3a + 4a ⇔ a = Vêy lim an = Trữớng hủp {x0, x1, x2} < n→+∞ {an } T÷ìng tü ta chựng minh ữủc dÂy tông v b chn trản bði sè v  hëi tö v  lim an = n+ lim an = n+ Vêy dÂy {an } ln Ti¸p theo ta chùng minh x n ≥ an a0 ≤ x0 , a1 ≤ x1 , a2 ≤ x2 Vªy (3.18) (3.18) óng n = k, k + 1, k + tùc l  Ta câ (3.18) óng n = 0, 1, Gi£ sû ak ≤ xk , ak+1 ≤ xk+1 , ak+2 ≤ xk+2 Khi â ak+3 = log5 (3ak + 4ak+2 ) ≤ log5 (3xk + 4xk+2 ) = xk+3 Theo nguyản lỵ quy nÔp suy (3.18) úng vợi mồi số tỹ nhiản n, nghắa l xn ≥ an , ∀n ∈ N 73 T÷ìng tü ta chùng minh ÷đc xn ≤ bn , ∀n ∈ N v  lim bn = n→+∞ Vªy ta câ an ≤ xn ≤ bn , ∀n ∈ N ; lim an = lim bn = n+ Theo nguyản lỵ kµp suy lim xn = n→+∞ 74 n→+∞ Kát luên Luên vôn Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit v cĂc bi toĂn liản quan  giÊi quyát ữủc nhỳng vĐn à sau: Luên vôn  trẳnh by chi tiát mởt số dÔng toĂn và cĂc tẵnh chĐt cừa hm số logarit v cĂc kián thực liản quan Tiáp theo, trẳnh by cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh v hằ chựa logarit Cuối cũng, luên vôn trẳnh by cĂc bi toĂn và phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm lợp hm logarit, cĂc bi toĂn và dÂy số v giợi hÔn dÂy số sinh bi hm logarit Mc dũ  hát sực cố gưng v nghiảm túc quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu khoa hồc thới gian v khÊ nông cõ hÔn, chưc chưn luên vôn ny cỏn cõ nhỳng thiáu sõt TĂc giÊ mong nhên ữủc nhiÃu ỵ kián õng gõp cừa quỵ thƯy giĂo, cổ giĂo v cĂc bÔn b ỗng nghiằp  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn 75 Ti liằu tham khÊo [1] Lả HÊi ChƠu, 2008, CĂc bi thi Olympic To¡n trung håc phê thæng Vi»t Nam (1990-2006), NXB GiĂo dửc [2] TrƯn Nam Dụng (chừ biản), 2010, Phữỡng trẳnh v hỡn thá nỳa, NXB HQG Tp HCM [3] Nguyạn Vôn Mêu, 1993, phữỡng trẳnh, Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh v bĐt NXB GiĂo dửc [4] Nguyạn Vôn Mêu, a thực Ôi số v phƠn thực hỳu t, 2004, NXB GiĂo dửc [5] Nguyạn Vôn Mêu, 2006, BĐt ng thực, nh lỵ v Ăp dửng, NXB GiĂo dửc [6] Nguyạn Vôn Mêu (Chừ biản), 2009, toĂn liản quan, NXB Gi¡o dưc 76 Chuy¶n · a thùc v  c¡c b i ... CĂc bi toĂn liản quan án hm số logarit 3.1 56 Phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh h m lỵp h m logarit 56 3.1.1 56 3.1.2 3.2 Phữỡng trẳnh hm lợp hm logarit BĐt phữỡng... tham khÊo và logarit vợi nởi dung khĂc chữa cõ chuyản à riảng khÊo sĂt và phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa logarit mởt cĂch hằ thống c biằt, nhiÃu dÔng toĂn và Ôi số v logarit cõ quan h» ch°t... phữỡng trẳnh chựa logarit v xƠy dỹng mởt số lợp bi toĂn mợi Luên vôn ữủc chia lm chữỡng Chữỡng Tẵnh chĐt cừa hm số logarit v cĂc kián thực liản quan - Nhưc lÔi cĂc tẵnh chĐt cừa hm số logarit - Nảu