Hệ phương trình diophant tuyến tính và một số dạng toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH TẤN ANH TUẤN HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH TẤN ANH TUẤN HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực Nếu có sử dụng tài liệu khác trích dẫn rõ ràng phần tài liệu tham khảo Đà Nẵng, tháng năm 2016 Học viên Huỳnh Tấn Anh Tuấn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề Cấu trúc luận văn tài 1 1 1 CHƯƠNG 1.PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH 1.1 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 1.1.1 Ước chung lớn 1.1.2 Thuật toán Euclid mở rộng 1.1.3 Phương trình Diophant tuyến tính 10 1.2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN 16 TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG 16 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH 2.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 2.1.1 Dạng chuẩn Hecmit 2.1.2 Ma trận đơn modula 2.1.3 Hệ phương trình Diophant tuyến tính tập số nguyên 2.1.4 Điều kiện tồn nghiệm nguyên 2.1.5 Thuật toán Hecmit 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG 20 20 20 20 23 24 24 25 26 29 29 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN 3.1 PHÂN THỨC CHÍNH QUY 3.1.1 Định nghĩa tính chất 3.1.2 Bài tập áp dụng 3.2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DIOPHANT QUAN KẾT LUẬN QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 37 37 37 42 47 50 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Chuyên đề phương trình Diophant đóng vai trị quan trọng lý thuyết Số học Đó chuyên đề trọng tâm xuyên suốt từ bậc tiểu học tới bậc trung học Nó khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm số học mà cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực phương trình ứng dụng khác Trong kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, Olympic Toán khu vực quốc tế tốn liên quan đến phương trình Diophant hay đề cập xem dạng tốn thuộc loại khó Đặc biệt tốn hệ phương trình Diophant khơng nằm chương trình thức số học bậc trung học phổ thông Dưới định hướng hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu chọn đề tài “ Hệ phương trình Diophant tuyến tính số dạng tốn liên quan” làm đề tài nghiên cứu luận văn để có điều kiện tìm hiểu thêm chun đề Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài hệ thống hóa chi tiết vấn đề lý thuyết hệ phương trình Diophant tuyến tính hệ thống tốn,bài tập liên quan để từ thấy tầm quan trọng tính thiết thực hệ phương trình Diophant tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Diophant, số dạng tốn liên quan tập đặc trưng - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu tham khảo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu định hướng Phương pháp nghiên cứu: - Tìm, đọc, phân tích số tài liệu hệ phương trình Diophant tính chất, tốn liên quan - Làm rõ chứng minh tài liệu, hệ thống kiến thức nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: - Hệ thống cách khoa học lý thuyết hệ phương trình Diophant tính chất liên quan - Nêu giải toán liên quan ý nghĩa toán liên quan dạy học, nghiên cứu toán học thực tiễn sống - Góp phần làm tài liệu tham khảo cho việc dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi số học phổ thông Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Phương trình Diophant tuyến tính Chương Hệ phương trình Diophant tuyến tính Chương Một số dạng tốn liên quan Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình, nghiêm túc trách nhiệm GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư - Người thầy truyền đạt nhiều kiến thức quý báu với kinh nghiệm nghiên cứu khoa học suốt thời gian tác giả theo học nghiên cứu đề tài Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Phịng Đào tạo - Khoa Tốn, Đại học Đà Nẵng; Ban lãnh đạo phòng Giáo dục Đào tạo thành phố Đà Nẵng gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả suốt q trình học tập, cơng tác thực đề tài luận văn CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH Chương trình bày thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn số nguyên dương đề cập tới phương trình Diophant tuyến tính hai hay nhiều biến Nêu điều kiện (cần đủ) tồn nghiệm nguyên thuật toán tìm nghiệm ngun phương trình Một số tốn tìm nghiệm ngun dương phương trình Diophant tuyến tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [4], [6] 1.1.PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 1.1.1 Ước chung lớn Ta nhắc lại khái niệm ước chung lớn hai số nguyên dương số tính chất Định nghĩa 1.1 ([1]) Cho hai số nguyên a, b > Ta định nghĩa ước chung lớn (greatest common divisor) a b số nguyên dương lớn c mà a b chia hết cho c Ước chung lớn kí hiệu (a, b) = c gcd(a, b) = c Ta sử dụng (a, b) để ước chung lớn a b Ta dùng kí hiệu a|b để a ước số b hay b chia hết cho a Ví dụ, 3|15 5|15 có nghĩa ước 15 hay 15 chia hết cho Ví dụ 1.1 Hãy tìm ước chung lớn 12 30 Ta thấy ước 12 ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12 ước 30 ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30 Từ ước chung 12 30 ±1; ±2; ±3; ±6 Vì thế, ước chung lớn 12 30 Ta viết (12,30)=6 Định nghĩa 1.2 Nếu ước chung lớn (a, b) = ta nói hai số ngun dương a b nguyên tố Định lý 1.1 Nếu a, b nguyên dương (a, b) = d Ví dụ sau minh họa cho định lí a b d, d = Ví dụ 1.2 Xét hai số 18 40 Bằng phương pháp phân tích thừa số ta có 18 = 2.32 40 = 23 Từ đó, ta tìm ước chung lớn 18 40 2, tức (18,40) = Ta thấy 18 40 , 2 = (9, 20) = Định lý 1.2 Cho a, b, c số nguyên dương Khi (a + cb, b) = (a, b) Ví dụ 1.3 Xét ba số theo Định lí 1.2 ta có (70 + 12.28,28) = (70,28) hay (406,28) = (70,28) Để kiểm tra đẳng thức này, ta cần tính (406,28) (70,28) Ta thấy 28 = 22 7; 70 = 2.5.7 406 = 2.7.29 Từ suy (406,28) = (70,28) = 14 Kết kiểm tra Định nghĩa 1.3 Cho a b hai số nguyên dương Tổ hợp tuyến tính a b có dạng ax + by , x, y số nguyên Định lý 1.3 Cho a b hai số nguyên dương, c ước số chung a b c ước số ma + nb với m, n số nguyên, nghĩa (c|a; c|b) ⇒ c|(ma + nb) Ví dụ 1.4 Giả sử a = 33, b = 39 c = Ta có 33 = 3.11 39 = 3.13 Vì thế, 33 39 chia hết cho Giả sử m = 5, n = −2 Khi 5.33 − 2.39 = 165 − 78 = 87 Rõ ràng ước 87, 87 = 3.29 Định lý 1.4 Cho hai số nguyên a, b > Khi d = (a, b) số nguyên dương nhỏ biểu diễn dạng ax + by với x, y nguyên Ví dụ 1.5 Giả sử a = 65 b = 91 Ta thấy 65 = 5.13 91 = 7.13 Từ (65,91) = 13 Nếu chọn x = 10, y = −7, ta có 65.10 − 7.91 = 650 − 637 = 13 = (65, 91) Định lý 1.5 Nếu a, b số nguyên dương tập hợp tổ hợp tuyến tính a b trùng với tập bội nguyên (a, b) Ví dụ 1.6 Giả sử a = 28 ,b =63 Ta thấy 28 = 22 7; 63 = 32 Do (28,63) = Với x, y ∈ Z tìm số nguyên k nghiệm phương trình 28x+63y =7k Tìm x y k =3, tức x, y thỏa mãn 28x+63y =7.3=21 Chia hai vế cho 7, phương trình rút gọn cịn 4x+9y =3 Ta tìm x=3 y =−1, 4.3 − 9.1 = 12 − = Định nghĩa 1.4 Ta mở rộng định nghĩa ước chung lớn cho n số nguyên dương với n ≥ Xét n số nguyên dương Ta định nghĩa ước chung lớn chúng số lớn ước chung n số kí hiệu (a1 , a2 , , an ) Ví dụ 1.7 Có thể thấy (3,12,15) = (5,20,45) = Tuy nhiên, ta gặp nhiều ba số nguyên dương nhiều số phức tạp mà ta dễ dàng tìm ước chung chúng Trong trường hợp đó, ta dùng định lí sau Định lý 1.6 Nếu a1 , a2 , , an số nguyên dương (a1 , a2 , , an−1 , an ) =(a1 , a2 , , (an−1 , an )) Ví dụ 1.8 Hãy tìm ước chung lớn 40,162,364,5984 số nguyên thừa số dùng Định lí 1.6, ta thấy Phân tích 40 = 23 5; 162 = 2.34 ; 364 = 22 7.13; 5984 = 25 11.17 (40,162,364,5984) = (40,162,(364,5984)) = = = = (40,162,4) (40,(162,4)) (40,2) Bổ đề 1.1 Nếu c d hai số nguyên dương c = dq + r, với q r nguyên dương (c, d) = (r, d) Ví dụ 1.9 Xét đẳng thức 110 = 15.7 + Nếu phân tích đẳng thức theo Bổ đề 1.1, ta thấy 37 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chương đề cập tới số dạng toán liên quan đến hệ phương trình Diophant tuyến tính : Phân thức quy tốn quy hoạch tuyến tính ngun Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3],[7] 3.1 PHÂN THỨC CHÍNH QUY 3.1.1 Định nghĩa tính chất Mục trình bày số định nghĩa tính chất phân thức quy Định lý 3.1 ([3]) (Bất đẳng thức AM − GM suy rộng) Giả sử cho trước hai dãy số dương x1 , x2 , · · · , xn ; p1 , p2 , · · · , pn Khi xp11 xp22 .xpnn ≤ x1 p + x2 p + · · · + xn p n p + p2 + · · · + pn p1 +p2 +···+pn Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Chứng minh Ta có ex−1 ≥ x, ∀x ∈ R Đặt s= x1 p + x2 p + · · · + xn p n p1 + p2 + · · · + pn Theo bất đẳng thức trên, ta thu x1 −1 s  x  xp11 ≤ sp1 e( s1 −1) x1 ≤ se suy xn  xpn ≤ spn e( xsn −1)pn xn ≤ se s −1 n Do xp11 xp22 xpnn ≤ sp1 +p2 +···+pn e hay x1 p1 +x2 p2 +···+xn pn −(p1 +p2 +···+pn ) s 38 xp11 xp22 xpnn ≤ sp1 +p2 +···+pn Dấu đẳng thức xảy x1 s = x2 s = ··· = xn s =1 hay x1 = x2 = · · · = xn Định nghĩa 3.1 Hàm số f(x) xác định R+ gọi hàm phân thức quy n ak xαk f (x) = k=1 n ak ≥ 0, k = 1, 2, , n; ak α k = k=1 Ví dụ 3.1 Các hàm số sau hàm phân thức quy: x2 sin α cosα π f (x) = 3x + + sin α + cosα , α ∈ 0; x x x f (x) = x2 + 3x4 + Từ định nghĩa ta có tính chất sau Tính chất 3.1 Nếu f(x) hàm phân thức quy f(x) > ứng với x > Tính chất 3.2 Nếu f(x) g(x) hàm phân thức quy với cặp số dương α, β , hàm số h (x) := αf (x) + βg (x) hàm phân thức quy Tính chất 3.3 Nếu f(x) g(x) hàm phân thức quy hàm số h (x) := f (g (x)) hàm phân thức quy Tính chất 3.4 Nếu f(x) hàm phân thức quy hàm số h (x) := [f (x)]m , m ∈ N ∗ hàm phân thức quy Tương tự ta định nghĩa hàm phân thức quy nhiều biến sau 39 Định nghĩa 3.2 Hàm số f (x1 , x2 , , xn ) gọi hàm phân thức quy tập {x1 > 0, x2 > 0, , xn > 0} m α α α ak x1 k1 x2 k2 xnkn , ak ≥ 0, k = 1, 2, , m f (x1 , x2 , , xn ) = (3.1) k=1    a1 α11 + a2 α21 + + am αm1 = a1 α12 + a2 α22 + + am αm2 =   a α + a α + + a α = 1n 2n m mn (3.2) Định nghĩa 3.3 Giả sử hàm số f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy tức f (x1 , x2 , , xn ) thỏa mãn điều kiện (3.1)-(3.2) Khi hàm số m αk ak xj j , j = 1, 2, , n hj (xj ) := k=1 gọi phân thức thành phần biến xj f (x1 , x2 , , xn ) Ví dụ 3.2 Các hàm số sau hàm phân thức quy: f (x, y) = 3x2 y −4 + 2x4 y −1 + 7x−2 y hàm f1 (x) = 3x2 + 2x4 + 7x−2 f2 (x) = 3x−4 + 2x−1 + 7x2 phân thức thành phần f (x, y) Từ định nghĩa, ta có định lý sau: Định lý 3.2 Hàm số f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy hàm phân thức thành phần f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy Tiếp theo, ta có định lý sau: Định lý 3.3 ([3]) Với hàm phân thức quy f (x1 , x2 , , xn ) tập {x1 > 0, x2 > 0, , xn > 0} có dạng 40 m α α α ak x1 k1 x2 k2 xnkn , ak ≥ 0, k = 1, m f (x1 , x2 , , xn ) = k=1    a1 α11 + a2 α21 + + am αm1 = a1 α12 + a2 α22 + + am αm2 =   a α + a α + + a α = 1n 2n m mn ta có m f (x1 , x2 , , xn ) ≥ ak k=1 Chứng minh Theo bất đẳng thức AM − GM, ta có m f (x1 ,x2 , ,xn ) a1 +a2 +···+am  αk ak x1 = m ak αk1 αk x2 α xnkn k=1 a1 +a2 +···+am m ≥ x1k=1 m xk=1 ak αk2 ak αkn .xk=1 n 1 +a2 +···+am a  =1 (do giả thiết m ak αkj = 0, j = 1, 2, , n.) k=1 Từ suy m f (x1 , x2 , , xn ) = ak k=1 Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn = Hệ 3.1 Với hàm phân thức quy f (x1 , x2 , , xn ) tập {x1 > 0, x2 > 0, , xn > 0}, ta có f (x1 , x2 , , xn ) = f (1, 1, , 1) Đối với hàm phân thức tùy ý (khác hằng) với hệ số khơng âm, ta có nhận xét sau: Với hàm phân thức dạng m ak xαk ; ak ≥ 0, k = 1, 2, , n g (x) = k=1 41 đặt a1 + a2 + · · · + an = p a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn = q hàm số q f (x) := x− p g (x) hàm phân thức quy Chứng minh Thật vậy, ta có m m f (x) := x − pq ak x αk q ak xαk − p = k=1 k=1 Do m ak k=1 m q αk − p m ak α k − = k=1 ak k=1 q q =q−p =0 p p Đây điều phải chứng minh Từ ta có định lý quan trọng sau: Định lý 3.4 Mọi hàm phân thức dạng m ak xαk ; ak ≥ 0, k = 1, 2, , n g (x) = k=1 có tính chất q g (x) ≥ g (1) x p , ∀x > a1 + a2 + · · · + an = p a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn = q Chứng minh Thật vậy, theo nhận xét trên, ta có m f (x) = x − pq ak xαk k=1 phân thức quy, nên theo Định lý 3.3 f (x) ≥ f (1) 42 Mặt khác f (1) = g (1) nên ta có điều phải chứng minh 3.1.2 Bài tập áp dụng Mục trình bày số ứng dụng phân thức quy với hệ số nguyên Ví dụ 3.3 Cho hàm hàm phân thức quy f (x) = ax2 + bx4 + xc2 , với a, b, c số nguyên dương Tìm số (a, b, c) cho f (x) đạt giá trị nhỏ 11 Lời giải Vì f (x) hàm phân thức quy nên : 2a + 4b − 2c = (1) Theo bất đẳng thức AM − GM suy rộng, ta có f (x) a b c = x2 + x4 + x−2 f (1) a+b+c a+b+c a+b+c 2a 4a −2a ≥ x a+b+c x a+b+c x a+b+c = x 2a+4b−2c a+b+c = x0 = Do f (x) ≥ f (1) = a + b + c Vậy minf (x) = a + b + c = 11, đạt x = (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 2a + 4b − 2c = (3) a + b + c = 11 Hệ (3) thu hệ phương trình Diophant ba biến mà ta cần tìm nghiệm nguyên dương Ta có: (3) ⇔ a + 2b − c = ⇔ a + b + c = 11 2a + 3b = 11 a + b + c = 11 Suy hệ phương trình có nghiệm (a1 , b1 , c1 ) = (1, 3, 7) Tìm “chìa khóa” (a0 , b0 , c0 ) thỏa mãn: 2a0 + 4b0 − 2c0 = a0 + b + c = Suy “chìa khóa” (a0 , b0 , c0 ) = (3, −2, −1) a2 = a1 + ma0 b2 = b1 + mb0 suy c2 = c1 + mc0 a2 = + m.3 b2 = + m.(−2) c2 = + m.(−1) 43 Nếu m = a2 = 4, b2 = 1, c2 = Nếu m ∈ Z − a = + m.3 < Hệ (3) có hai nghiệm nguyên dương (1,3,7) (4,1,6) Vậy có hai số thỏa mãn tốn (1,3,7) (4,1,6) Ví dụ 3.4 Cho hàm hàm số −1 −2 −2 f (x, y) = ax 2015 y 2016 + bx 2015 y 2016 + cx 2015 y 2016 với a, b, c ∈ Z + x > 0, y > Tìm số (a, b, c) cho a + b + c nhỏ để hàm số f (x, y) hàm phân thức quy Khi tìm giá trị nhỏ hàm số f (x, y) Lời giải Hàm số f (x, y) hàm phân thức quy nên a a −1 2015 2015 +b +a 2015 2015 −2 2015 −2 2015 +c +a =0 ⇔ =0 −a + 5b − 2c = (1) a + 3b − 2c = Hệ (1) thu hệ phương trình Diophant ba biến mà ta cần tìm nghiệm nguyên dương (a, b, c) cho a + b + c nhỏ a=b ⇔ a + 3b − 2c = (1) suy a=b c = 2b Ta tìm nghiệm nguyên dương (a; b; c) = (1; 1; 2) cho min(a + b + c) = Với (a; b; c) = (1; 1; 2) hàm số f (x, y) có dạng −1 −2 −2 f (x, y) = x 2015 y 2016 + x 2015 y 2016 + x 2015 y 2016 ; x > 0, y > Theo bất đẳng thức AM-GM ta có −1 −2 −2 f (x, y) = x 2015 y 2016 + x 2015 y 2016 + 2x 2015 y 2016 ≥ x =4 −1 2015 x y 2016 −1 2015 = x0 y x +x 2015 x 2015 −4 2015 y 2016 y + x 2016 y −2 2015 2016 =4 Vậy, minf (x, y) = 4, đạt x = y = y y −2 2016 −4 2016 4 44 b Ví dụ 3.5 Cho hàm hàm số f (x, y) = xxa ya + xy3+b + 2x2c y c Tìm số nguyên dương (a, b, c) cho a2 + b2 + c2 nhỏ đồng thời hàm số f (x, y) hàm phân thức quy Khi tìm giá trị nhỏ hàm số f (x, y) Lời giải Hàm số f (x, y) hàm phân thức quy nên (3 − a) − (3 + b) + 4c = ⇔ −3a + b + 2c = −3a − b + 4c = (1) −3a + b + 2c = Hệ (1) thu hệ phương trình Diophant ba biến mà ta cần tìm nghiệm nguyên dương (a, b, c) cho a2 + b2 + c2 nhỏ (1) suy −3a − b + 4c = ⇔ −3a + b + 2c = 2b − 2c = −3a + b + 2c = Suy hệ phương trình có nghiệm (a1 , b1 , c1 ) = (2, 4, 1) Tìm “chìa khóa” (a0 , b0 , c0 ) thỏa mãn: −3a0 − b0 + 4c0 = ⇔ −3a0 + b0 + 2c0 = 2b0 − 2c0 = ⇔ −3a0 + b0 + 2c0 = b0 = c a0 = c Suy “chìa khóa” (a0 , b0 , c0 ) = (1, 1, 1) Nên ta có a2 = a1 + ma0 b2 = b1 + mb0 hay c2 = c1 + mc0 a2 = + m.1 b2 = + m.1 c2 = + m.1 Với m ∈ Z + hệ phương trình có vơ số nghiệm nguyên dương Ta thấy nghiệm (a1 , b1 , c1 ) = (2, 4, 1) làm cho biểu thức a2 + b2 + c2 đạt giá trị nhỏ 21 Với (a; b; c) = (2; 4; 1) hàm số f (x, y) có dạng f (x, y) = x y4 + + 2x2 y y x7 Ta có f (x, y) = 3xy −2 + x−7 y + 2x2 y Theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta 3xy −2 + x−7 y + 2x2 y 45 −2 ≥ x(y) = x x3 x−7 x4 −7 (y) x (y) y −6 y y =1 Suy f (x, y) ≥ Vậy minf (x, y) = 6, đạt x = y = Nhận xét 3.1 Từ ví dụ ta hồn tồn xây dựng tốn tương tự với kết khơng đổi cách đặt x = a, y = 2b Khi tốn cho dạng Cho a, b số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= 12a b4 + + a2 b b2 16a7 a a 2b b x Ví dụ 3.6 Cho hàm hàm số f (x, y, z) = 2yx2z + x y2 z + yc+1 zc với a, b, c số nguyên dương Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho a3 + b3 + c3 nhỏ hàm số f (x, y, z) hàm phân thức quy Lời giải Ta có f (x, y, z) = 2x−2 y a z a + x2 y 2b z b + x3 y −c−1 z −c Hàm số f (x, y) hàm phân thức quy nên (−2) + 12 + 1.3 = 2.a + b − c − = 2.a + 2b − c = ⇔ 2a + b − c = 4a + b − 2c = ⇔ 4a + 2b − 2c = 4a + b − 2c = ⇔ b=2 2a = c − Suy hệ phương trình có nghiệm (a1 , b1 , c1 ) = (1, 2, 3) Tìm “chìa khóa” (a0 , b0 , c0 ) thỏa mãn: 2a0 + b0 − c0 = ⇔ 4a0 + b0 − 2c0 = b0 = 2a0 − c0 = 46 Suy “chìa khóa” (a0 , b0 , c0 ) = (1, 0, 2) Suy a2 = a1 + ma0 b2 = b1 + mb0 c2 = c1 + mc0 Suy a2 = + m.1 b2 = + m.0 c2 = + m.2 Với m ∈ Z + hệ phương trình có vơ số nghiệm ngun dương Ta thấy nghiệm (a1 , b1 , c1 ) = (1, 2, 3) làm cho biểu thức a3 + b3 + c3 đạt giá trị nhỏ 36 Nhận xét 3.2 Từ số nguyên dương tìm ví dụ ta xây dựng số tốn cực trị: Bài tốn : Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x, y, z) = 2yz x2 y z x3 + + x2 y4z3 Với x, y, z số thực dương Lời giải Ta có f (x, y, z) = 2x−2 yz + x2 y z + x3 y −4 z −3 Theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta 2x−2 yz + 12 x2 y z + x3 y −4 z −3 ≥ x−2 yz ⇔ f (x, y, z) ≥ x2 y z x−4 x1 x3 x3 y −4 z −3 y y y −4 0 x y z ⇔ f (x, y, z) ≥ ⇔ f (x, y, z) ≥ z y x−3 = 7 Vậy f (x, y, z) = 72 , đạt x = y = z = Trong toán ta đặt x = a2 ; y = b; z = 2c ta xây dựng toán: 47 Bài toán : Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 4bc a2 b4 c2 a3 + + ≥ a2 32 b4 c Lời giải Ta đặt 4bc a2 b4 c2 a3 A := + + a 32 b c Ta có A=2 −2 a 2 c a + 2 b c b4 a + b−4 −3 c Theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta ≥ ⇔A≥ a a −2 b −2 c + c b a −2 a c 2 b a = a 2 a b + c a −4 c −3 b 2 c 2 −4 b b b 0 a b c 2 = a b −4 c c −3 c −3 7 a b c a Vậy 4bc a2 + 32 + b4 c3 ≥ Dấu đẳng thức xảy a =b= c = hay a = c = 2, b = 3.2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DIOPHANT Hệ phương trình Diophant tuyến tính có quan hệ mật thiết với tốn qui hoạch tuyến tính ngun: Trong số véctơ nguyên x ∈ Rn nghiệm Ax = b, x ≥ tìm véctơ x∗ đạt cực tiểu hàm tuyến tính cT x Cụ thể cT x∗ = min{cT x|Ax = b, x ∈ Z n , x ≥ 0} (3.3) A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn ngun cho trước Trường hợp riêng khơng địi hỏi x ≥ 0,(3.3) gọi toán qui hoạch tuyến tính Diophant (Diophantine linear programming) Bằng cách đưa ma trận A dạng chuẩn Hecmit H = AU với U ma trận đơn modula thích hợp, tốn qui hoạch tuyến tính ngun (3.3) qui 48 tốn qui hoạch tuyến tính Diophant (n − m) biến nguyên y = (ym+1, , yn )T với m ràng buộc bất đẳng thức Cụ thể toán cT x |A x = b, x ∈ Z n , x ≥ (3.4) U = ukj k = 1, , m; j = m + 1, , n cấp m × (n − m) m b = b1 , , bm với bk = − j=1 n cj = ukj yj0 , k = 1, , m c = (cm+1 , , cn ) với ci uij , j = m + 1, , n i=1 Trong toán (3.4) điều kiện U y ≥ b đảm bảo cho giá trị biến tốn ban đầu khơng âm ∗ Giả sử vecto y ∗ = ym+1 , , yn∗ nghiệm tối ưu toán (3.4) ∗ , y∗ Khi đó, vecto x∗ = U y ∗ với y ∗ = y10 , , ym m+1 , , yn nghiệm tối ưu tốn qui hoạch tuyến tính ngun (3.3) Từ lập luận suy Định lý 3.5 ([7]) Bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên min{cT x|Ax = b, x ∈ Z n , x ≥ 0} có miền ràng buộc rỗng, tương đương với toán qui hoạch tuyến tính Diophant có dạng (3.4) Hệ 3.2 ([7]) Bài tốn qui hoạch tuyến tính Diophant min{cT x|Ax = b, x ∈ Z n } có miền ràng buộc rỗng, tương đương với toán cT y y ∈ Z n−m Ví dụ 3.7 Xét tốn qui hoạch tuyến tính ngun cT x = −x1 − 2x2 + 3x3 → với điều kiện (Ax = b, x ∈ Z, x ≥ 0): 4x1 − 4x2 + 3x3 = 5x1 − 7x2 + 6x3 = xj ≥, xj ∈ Z, j = 1, 2, (3.5) 49 Dữ kiện toán −4 −7 A= ,b = −1 −2 ,c = Dạng chuẩn Hecmit H A ma trận đơn môđula U H= 0 −3 4 −9 −8 ,U = , (H = AU ) Hệ ràng buộc (3.5) toán chuyển dạng (theo biến y): 0 y1 y2 y3 × = với nghiệm nguyên y1 = y10 = y2 = y20 = Xác định dạng tổng quát x = U y T với y = y10 , y20 , y3 , y3 ∈ Z , cho nghiệm nguyên hệ (3.5): x1 x2 x3 = −3 4 −9 −8 × y3 = 10 − 3y3 28 − 9y3 25 − 8y3 hay x1 = 10 − 3y3 , x2 = 28 − 9y3 , x3 = 25 − 8y3 với y3 tham số nguyên tùy ý Để đảm bảo cho x1 , x2 , x3 ≥ cần phải có 10 − 3y3 ≥ 28 − 9y3 ≥ 25 − 8y3 ≥ nghĩa y3 ≤ Do cT x = −(10 − 3y3 ) − 2(28 − 9y3 ) + 3(25 − 8y3 ) = − 3y3 nên tốn qui hoạch tuyến tính ngun Diophant (3.4) cho ví dụ có dạng: min{9 − 3y3 |y3 ≤ 3, y3 ∈ Z} Nghiệm tối ưu toán y3∗ = Do đó, nghiệm tối ưu toán cần giải x∗1 = x∗2 = x∗3 = 50 KẾT LUẬN Luận văn "Hệ phương trình Diophant tuyến tính số dạng tốn liên quan" trình bày nội dung sau: - "Phương trình Diophant tuyến tính" trình bày phương trình Diophant tuyến tính tập số ngun ngun dương Thuật tốn Euclid mở rộng tìm ước chung lớn số nguyên dương tìm nghiệm ngun phương trình Diophant tuyến tính - "Hệ phương trình Diophant tuyến tính " trình bày hệ phương trình Diophant tuyến tính tập số ngun ngun dương Kiến thức sở dạng chuẩn Hecmit ma trận Các phép toán cột sơ cấp đưa ma trận hữu tỉ dạng chuẩn Hecmit Ma trận đơn Modula liên quan tới dạng chuẩn Hecmit cách tìm ma trận Điều kiện cần đủ để hệ phương trình Diophant có nghiệm ngun Thuật tốn Hecmit tìm tất nghiệm nguyên nguyên dương hệ Diophant tuyến tính - "Một số dạng tốn liên quan" trình bày phân thức quy quy hoạch tuyến tính Diophant Trong q trình làm luận văn, thân có nhiều cố gắng, song điều kiện trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi sai sót Tác giả kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy, để luận văn hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái (2008), Số học, NXB Giáo dục [2] Phan Huy Khải (2004), Các toán số học, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruân (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [5] Đặng Hùng Thắng,Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thủy (2010), Bài giảng số học, NXB Giáo dục [B] Tiếng Anh [6] Nathanson M.B (1999), Elementary methods in number theory , Spring [7] M.M.Kovalev (2003), Discrete Optimization - Integer programming, 2nd edition, Moscow ... thỏa mãn điều kiện toán 37 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chương đề cập tới số dạng toán liên quan đến hệ phương trình Diophant tuyến tính : Phân thức quy tốn quy hoạch tuyến tính ngun Nội dung... trình Diophant tuyến tính 10 1.2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN 16 TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG 16 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH 2.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH... tuyến tính hệ thống tốn,bài tập liên quan để từ thấy tầm quan trọng tính thiết thực hệ phương trình Diophant tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Diophant,