Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CẦM THỊ HUYỀN ANH HÀM ĐƠN ĐIỆU, TỰA ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Hàm đơn điệu tính chất liên quan 1.1 Hàm đơn điệu 1.2 Hàm đơn điệu bậc cao 5 14 Lớp hàm tựa đơn điệu 18 2.1 Định nghĩa tính chất liên quan 18 2.2 Các toán liên quan đến hàm tựa đơn điệu 23 Một số áp dụng đại số 26 3.1 Hàm đơn điệu khúc phép đơn điệu hoá hàm số 26 3.2 Sử dụng tính đơn điệu so sánh phân số 34 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu mảng chuyên đề rộng lớn.Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu toán thiếu nghiên cứu hàm số Các toán hàm đơn điệu, tựa đơn điệu toán hay gặp khó kì thi, đặc biệt kì thi học sinh giỏi cấp Do đó, việc xếp có hệ thống hàm đơn điệu,tựa đơn điệu phân loại dạng tập phương pháp giải nội dung luận văn với tên gọi "Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu toán liên quan" Lý chọn đề tài Với hệ thống lý thuyết, tập phương pháp giải đa dạng, việc dạy học chuyên đề gặp nhiều khó khăn Do đó, việc phân loại đưa phương pháp cụ thể cho dạng vấn đề mà cần quan tâm Trong đó, hàng loạt toán sử dụng tính đơn điệu tựa đơn điệu để giải toán tương đối gọn gàng, rõ ràng Nêu cách thức vận dụng tính đơn điệu,tựa đơn điệu hàm số để giải số toán cấp trung học phổ thông bồi dưỡng học sinh giỏi toán Với ý tưởng này, chọn đề tài cho hàm đơn điệu, tựa đơn điệu toán liên quan Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài trình bày cách có hệ thống hàm đơn điệu, tựa đơn điệu đưa toán có liên quan toán hàm đơn điệu khúc, đơn điệu hoá hàm số sơ cấp sử dụng tính đơn điệu hoá so sánh phân số Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khảo sát lí thuyết hàm đơn điệu, tựa đơn điệu hàm đơn điệu bậc cao 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đồng thời đưa toán liên quan, toán hàm đơn điệu khúc, đơn điệu hoá hàm số sơ cấp sử dụng tính đơn điệu hoá so sánh phân số dành cho việc ôn luyện học sinh giỏi toán cấp Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán kỷ yếu hội thảo khoa học chuyên toán từ học kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp bạn học viên lớp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Hàm đơn điệu tính chất liên quan 1.1 Hàm đơn điệu Ta thường sử dụng kí hiệu I (a, b) ⊂ R nhằm ngầm định bốn tập hợp (a, b) , [a, b) , (a, b] [a, b] với a < b Định nghĩa 1.1 (Xem [2]-[3]) Khi hàm số f (x) xác định tập I (a, b) ⊂ R thoả mãn điều kiện: Với x1 , x2 ∈ I (a, b) mà x1 < x2 , ta có f (x1 ) ≤ f (x2 ) , ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng I(a, b) Đặc biệt, ứng với cặp x1 , x2 ∈ I (a, b), ta có f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 < x2 , ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng thực I(a, b) Ngược lại, với x1 , x2 ∈ I (a, b) mà x1 < x2 , ta có f (x1 ) ≥ f (x2 ) , ta nói f (x) hàm đơn điệu giảm I(a, b) Nếu xảy f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 > x2 , ∀x1 , x2 ∈ I (a, b) , ta nói f (x) hàm đơn điệu giảm thực I(a, b) 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Những hàm số đơn điệu tăng thực I(a, b) gọi hàm đồng biến I(a, b) hàm số đơn điệu giảm thực I(a, b) gọi hàm nghịch biến tập Trong chương trình giải tích, biết đến tiêu chuẩn để nhận biết hàm số khả vi cho trước khoảng (a, b) hàm số đơn điệu khoảng Tính chất 1.1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a, b) (i) Nếu f (x) > với x ∈ (a, b) hàm số f (x) đồng biến khoảng (ii) Nếu f (x) < với x ∈ (a, b) hàm số f (x) nghịch biến khoảng Các định lí sau cho ta số đặc trưng đơn giản khác hàm đơn điệu Tính chất 1.2 Hàm f (x) xác định R+ hàm số đơn điệu tăng với cặp số dương a1 , a2 , , an x1 , x2 , xn , ta có n n ak f (xk ) ≤ n ak f k=1 k=1 xk (1.1) k=1 Chứng minh Khi f (x) đơn điệu tăng R hiển nhiên ta có n f (xj ) ≤ f xk , j = 1, 2, , n k=1 Suy n aj f (xj ) ≤ aj f xk , j = 1, 2, , n (1.2) k=1 Lấy tổng theo j (j = 1, 2, , n), từ (1.2), ta thu (1.1) Ngược lại, với n = 2, từ (1.1), ta có f (x) + εf (h) ≤ (1 + ε) f (x + h) , ∀ε, h > (1.3) Khi ε → 0, ta thu f (x + h) ≥ f (x), hay f (x) hàm đồng biến 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất 1.3 Để bất đẳng thức n n f (xk ) ≤ f xk , (1.4) k=1 k=1 thoả mãn với số dương x1 , x2 , , xn , điều kiện đủ hàm f (x) g (x) := đơn điệu tăng R+ x Chứng minh Nhận xét rằng, ta có hàm số f (x) = xg (x) (1.4) có dạng (1.1) với aj = xj (j = 1, 2, , n) : n n xk g (xk ) ≤ n xk g xk k=1 k=1 (1.5) k=1 hiển nhiên thoả mãn ứng với g (x) hàm số đơn điệu tăng R+ Hệ 1.1 Giả sử g (x) = f (x) x hàm đơn điệu tăng [0, +∞] Khi với dãy số dương giảm x1 , x2 , , xn , ta có n−1 f (x1 − xn ) ≥ f (xk − f (xk+1 )) k=1 Nhận xét rằng, (1.5) không điều kiện cần để g (x) hàm đồng biến Thật vậy, cần chọn hàm g (x) có tính chất < g (x) ∈ C R+ , ∀x ∈ R+ max g (x) ≤ g (x) , v`a ta dễ dàng kiểm chứng (1.5) thoả mãn Chẳng hạn, ta thấy hàm số g (x) = + sin x, x ∈ R+ , thoả mãn điều kiện nêu thoả mãn điều kiện (1.5) Tuy nhiên, hàm g (x) không hàm đơn điệu tăng R+ f (x) Nếu bổ sung thêm điều kiện: g (x) := hàm đồng biến R+ x x1 , x2 , , xn , số gồm số lớn 1, ta thu bất đẳng thức thực sự: n n f (xk ) < f k=1 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên xk k=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tương tự, ta phát biểu đặc trưng hàm đơn điệu giảm Tính chất 1.4 Hàm f (x) xác định R+ hàm số đơn điệu giảm với cặp số dương a1 , a2 , , an x1 , x2 , , xn , ta có n n ak f (xk ) ≥ k=1 n ak f xk k=1 k=1 Tính chất 1.5 Để bất đẳng thức n n f (xk ) ≥ f k=1 xk k=1 thoả mãn với số dương x1 , x2 , , xn , điều kiện đủ hàm f (x) đơn điệu giảm R+ g (x) := x Nhận xét rằng, số hàm sơ cấp biến, hàm tuyến tính f (x) = ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, dễ nhận biết tính đồng biến (khi a > 0) nghịch biến (khi a < 0) khoảng tuỳ ý cho trước Đặc trưng sau cho ta thấy rõ đặc trưng (bất đẳng thức hàm) hàm tuyến tính Tính chất 1.6 Giả thiết với cặp số dương a1 , a2 , , an ; x1 , x2 , , xn , ta có n n ak f (xk ) ≥ f k=1 ak xk (1.6) k=1 f (x) = ax, a số Chứng minh Lấy n = chọn x1 = x, x2 = y; a1 = (1.6), ta thu y , a2 = , từ 2x f (x) f (y) ≤ , ∀x, y ∈ R+ x y Suy g (x) := f (x) hàm R+ x 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tiếp theo, ta nêu số tính chất hàm đơn điệu để ước lượng số tổng tích phân Tính chất 1.7 (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết f (x) hàm đơn điệu giảm (0, +∞) Khi ta có n n f (k) ≤ k=1 n−1 f (x) dx ≤ f (k) (1.7) k=0 Khi f (x) hàm nghịch biến có dấu bất đẳng thức thực Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết, f (x) hàm đơn điệu giảm, nên ta có k+1 f (k + 1) ≤ f (x) dx ≤ f (k) , k = 0, 1, k Lấy tổng theo k, ta thu (1.7), điều phải chứng minh Tính chất 1.8 Giả thiết f (x) hàm đơn điệu giảm (0, +∞) {ak } dãy tăng (0, +∞) Khi đó, ta có an n (ak − ak−1 ) f (ak ) ≤ k=1 n f (x) dx ≤ (ak − ak−1 )f (ak−1 ) (1.8) k=1 a0 Khi f (x) hàm nghịch biến có dấu bất đẳng thức thực Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết, f (x) hàm đơn điệu giảm,nên ta có ak (ak − ak−1 ) f (ak ) ≤ f (x) dx ≤ (ak − ak−1 ) f (ak−1 ) ak−1 Lấy tổng theo k , ta thu (1.8), điều phải chứng minh 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Tính chất 1.9 Giả thiết f (x) hàm đồng biến [0; +∞) f (0) = Gọi f −1 (x) hàm ngược f (x) Khi ta có a ab ≤ b f −1 (x) dx, ∀a, b ≥ f (x) dx + 0 Chứng minh Bất đẳng thức suy trực tiếp cách so sánh diện tích tạo đường cong y = f (x) x = g (y) với diện tích hình chữ nhật tạo x = 0, x = a; y = 0, y = b Hệ 1.2 Giả thiêt f (x) hàm đồng biến [0; +∞) f (0) = Gọi f −1 (x) hàm ngược f (x) Khi ta có ab ≤ af (a) + bf −1 (b), ∀a, b ≥ Tính chất 1.10 Cho Hàm số y = f (x) liên tục, không âm đơn điệu tăng [α, β) với ≤ α < β Khi ∀a ∈ [α, β) ; ∀b ∈ [f (α) , f (β)) ta có a b f −1 (x) dx ≥ ab − αf (α) f (x) dx + α f (α) Dấu đẳng thức xảy f (a) = b Chứng minh Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn x = α, x = a, y = 0, y = f (x) a S1 = f (x) dx α Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = f (α) , y = b, x = 0, y = f −1 (x), b f −1 (x) dx S2 = f (α) Gọi S diện tích hình chữ nhật giới hạn x = 0, x = a, y = 0, y = b S = ab 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu mảng chuyên đề rộng lớn .Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu toán thiếu nghiên cứu hàm số Các toán hàm đơn điệu, tựa đơn điệu toán hay gặp khó kì thi,... giỏi toán Với ý tưởng này, chọn đề tài cho hàm đơn điệu, tựa đơn điệu toán liên quan Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài trình bày cách có hệ thống hàm đơn điệu, tựa đơn điệu đưa toán có liên quan. .. liên quan toán hàm đơn điệu khúc, đơn điệu hoá hàm số sơ cấp sử dụng tính đơn điệu hoá so sánh phân số Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khảo sát lí thuyết hàm đơn điệu, tựa đơn điệu hàm đơn điệu bậc