Hàm sinh bởi các ước số và một số bài toán liên quan

Header Page of 145 B GIO DC V O TO I HC NNG V TH KIU TRANG HM SINH BI CC C S V MT S BI TON LIấN QUAN Chuyờn ngnh: PHNG PHP TON S CP Mó s: 60 46 01 13 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Ngi hng dn khoa hc: GS.TSKH NGUYN VN MU Nng - Nm 2016 Footer Page of 145 Header Page of 145 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH NGUYN VN MU Phn bin 1:TS Cao Vn Nuụi Phn bin 2: PGS.TS Trn o Dừng Lun ó c bo v trc Hi ng chm Lun tt nghip thc s Khoa hc hp ti i hc Nng vo ngy 13 thỏng nm 2016 Cú th tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng Footer Page of 145 Header Page of 145 M U Tớnh cp thit ca ti Cú th núi s hc l lnh vc toỏn hc c xa nht, v cng l lnh vc cũn tn ti rt nhiu bi toỏn cha c gii quyt, nhng tớnh cht hay v p xng ỏng vi cỏi tờn "b hong toỏn hc Trong nhng nm gn õy cụng ngh thụng tin phỏt trin mnh m cng cú mt phn khụng nh nh s hc, c bit l lnh vc bo mt thụng tin Vỡ vy i vi mt ngi hc toỏn, mun tỡm hiu v toỏn thỡ nhng kin thc v s hc l ht sc cn thit Hm sinh bi cỏc c s l mt hm s hc liờn quan n tớnh toỏn cỏc c ca mt s nguyờn Cỏc nghiờn cu gn õy ca nh toỏn hc n Ramanujan ó cú nhng kt qu v hm s hc ny Mc tiờu nghiờn cu Trong lun ny tụi s trỡnh by nhng tớnh cht ca hm sinh bi cỏc c s v cỏc bi toỏn ng dng quan trng liờn quan ca hm sinh bi cỏc c s i tng v phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: hm m c s v mt s hm sinh bi c s nh hm tớnh tng cỏc c s, hm m c nguyờn t, - Phm vi nghiờn cu: kin thc c bn v hm sinh bi cỏc c, mt s tớnh cht liờn quan v bi ti liu tham Footer Page of 145 Header Page of 145 kho m GS.TSKH Nguyn Vn Mu gii thiu ([4]) Phng phỏp nghiờn cu Tỡm c, phõn tớch mt s ti liu v hm sinh bi cỏc c v cỏc bi toỏn liờn quan Lm rừ cỏc chng minh ti liu, h thng kin thc nghiờn cu B cc ti Ngoi phn m u v kt lun, lun c chia thnh ba chng cp n cỏc sau õy: Chng Trỡnh by v c s v cỏc tớnh cht liờn quan Chng Trỡnh by cỏc giỏ tr trung bỡnh ca hm sinh bi cỏc c s Chng Trỡnh by mt s bi toỏn liờn quan s hc Footer Page of 145 Header Page of 145 CHNG C S V CC TNH CHT LIấN QUAN 1.1 MT S TNH CHT C BN CA TP S NGUYấN nh ngha 1.1 ([2]) Cho hai s nguyờn a v b, vi b > Nu cú mt s nguyờn q cho a = bq thỡ ta núi rng b chia ht cho a hay a chia ht cho b hoc b l c ca a v ký hiu l b a hay a | b Tớnh cht 1.1 1 a vi a Z a vi a Z, a = a a vi a Z, a = b a v a b v ch a = b b a v c b kộo theo c a Vi mi i {1, 2, , n}, xi Z, b | a, b | xi kộo theo n b| axi i=1 nh lý 1.1 (nh lý chia Euclid, [2]) Vi cỏc s nguyờn a v b, b > 0, tn ti nht cỏc s nguyờn q, r cho a = b ã q + r, r < b Bi toỏn 1.1 (AHSME 1976) Cho r l s d 1059, 1417 v 2312 chia cho d > Tỡm giỏ tr d r Footer Page of 145 Header Page of 145 nh ngha 1.2 ([2]) Cho hai s nguyờn a, b ú ớt nht mt s khỏc S nguyờn dng c gi l SCLN ca a, b v c ký hiu l d := (a, b) Nu d | a v d | b (d l c s chung ca a v b) Nu c | a v c | b thỡ c | d Núi cỏch khỏc, d l SCLN ca hai s a v b nu d l c chung ca a v b ng thi d l s ln nht cỏc c s chung ca a v b Nu (a, b) = thỡ ta núi hai s a v b nguyờn t cựng Nhn xột 1.1 Trong trng hp a, b cú mt s bng thỡ hin nhiờn SCLN ca chỳng chớnh l s Tớnh cht 1.2 (ac, bc) = (a, b).c vi c = (a/c; b/c) = ((a, b))/c vi c l mt c chung ca aa, b Nu (a, b) = thỡ (ac, b) = (c, b) Nu (a, b) = v b ac thỡ b c (b, a1 ) = (b, a2 ) = (b, a1 a2 ) = Nu a c1 , a c2 m (c1 , c2 ) = thỡ a c1 c2 THUT TON TèM SCLN CA HAI S NGUYấN Nhn xột 1.2 Nu gia cỏc s nguyờn a, b, q, r, r < b, cú h thc a = bq + r thỡ ta cú (a, b) = (b, r) a Cho a, b Z Nu mt hai s l c s kia, chng hn b | a thỡ hin nhiờn Footer Page of 145 Header Page of 145 b Nu khụng xy trng hp trờn thỡ ta cú cỏc h thc sau biu din mt dóy cỏc phộp chia cú d: a = bq0 + r1 , < r1 < b a = r1 q1 , < r2 < r1 r1 = r2 q2 + r3 , < r3 < r2 rn2 = rn1 qn1 + rn , < rn < rn1 rn1 = rn qn Dóy phộp chia cú d liờn tip ny c gi l thut toỏn Euclid thc hin trờn hai s a, b Dóy ny phi l dóy hu hn v thut toỏn Euclid phi kt thỳc vi mt s d rn+1 = Theo nhn xột ta cú (a, b) = (b, r1 ) = ã ã ã = (rn1 , rn ) = rn Nh vy, SCLN ca hai s a, b l s d cui cựng khỏc thut toỏn Euclid thc hin hai s a, b Bi toỏn 1.2 (HMMT 2002) Tớnh (2002+2, 20022 +2, 20023 + 2, ) nh ngha 1.3 ([2]) S nguyờn t l mt s t nhiờn ln hn v khụng cú c no khỏc v chớnh nú Footer Page of 145 Header Page of 145 nh lý 1.2 ([2]) c nh nht khỏc ca mt s t nhiờn ln hn l mt s nguyờn t nh lý 1.3 ([2]) Cho a l mt s t nhiờn v p l mt s nguyờn t, th thỡ hoc a nguyờn t cựng vi p, hoc a chia ht cho p nh lý 1.4 ([2]) Nu s nguyờn t p l c ca mt tớch nhiu s thỡ nú phi l c ca ớt nht mt cỏc tha s ú nh lý 1.5 ([2]) Nu mt s nguyờn t p l c ca mt tớch nhiu s nguyờn t thỡ p phi trựng vi mt cỏc s nguyờn t ú nh lý 1.6 (V phõn tớch chớnh tc ca mt s t nhiờn[2]) Mi s t nhiờn ln hn u phõn tớch c thnh mt tớch cỏc tha s nguyờn t v s phõn tớch ú l nht (khụng k th t cỏc tha s) Nhn xột 1.3 Núi chung, mt tha s nguyờn t phõn tớch cú th lp li, bi vy cho gn, cỏc tha s lp li c vit di dng ly tha: a = p1 ã p2 pk k Trong ú pi = pj , i = j.i N, 1, i k V (1.1) c gi l phõn tớch tiờu chun ca s t nhiờn a Footer Page of 145 Header Page of 145 1.2 HM M C nh ngha 1.4 ([4]) Hm s hc l hm s cú xỏc nh l cỏc s nguyờn dng v giỏ tr l hp cỏc s phc Vớ d 1.1 Hm d(n) m cỏc c khỏc ca s t nhiờn l hm s hc Phi- hm Euler l hm s hc nh ngha 1.5 ([4]) Mt hm s hc f c gi l hm nhõn tớnh nu vi mi cp s m, n nguyờn t cựng nhau, ta cú f (n.m) = f (n).f (m) Trong tng trng hp ng thc ỳng vi mi m, n (khụng nht thit nguyờn t cựng nhau) f gi l hm nhõn tớnh mnh nh ngha 1.6 ([4]) Hm s hc xỏc nh s cỏc c dng ca mt s nguyờn dng n c gi l hm m cỏc c v kớ hiu l d(n)) Gi s pvp(n) n= p|n Khi ú, mi c ca n cú dng pap d= p|n Vi ap l s nguyờn tha iu kin: ap vp (n) Footer Page of 145 Header Page 10 of 145 Vỡ mi s m ap cú th nhn vp (n) + giỏ tr khỏc nờn ta cú d(n) = (vp (n) + 1) p|n Vớ d 1.2 Tớnh d(n) vi 11 n 20 Bi toỏn 1.3 Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho d(n) = Bi toỏn 1.4 (AHSME 1993) Cú bao nhiờu giỏ tr ca n a giỏc u n-cnh cú cỏc gúc ni vi s nguyờn? Bi toỏn 1.5 (AIME 1988) Chn ngu nhiờn mt c ca 1099 Tớnh xỏc sut c c chn l bi ca 1088 Bi toỏn 1.6 (AIME 1995) Cho n = 231 319 Cú bao nhiờu c dng ca n2 nh hn n nhng khụng chia ht n? Bi toỏn 1.7 Chng minh rng n l mt s nguyờn t nu v ch nu d(n) = Bi toỏn 1.8 (IMO 1998) Xỏc nh tt c cỏc s nguyờn dng k cho d(n2 ) = k, d(n) vi n no ú Bi toỏn 1.9 Chng minh rng d(n) l mt s nguyờn t nu v ch nu n = pq1 , ú p v q l cỏc s nguyờn t Footer Page 10 of 145 10 Header Page 12 of 145 pvp(n) n= p|n Vỡ (m, n) = nờn hp cỏc s nguyờn t l c ca m v hp cỏc s nguyờn t l c ca n l ri Vỡ vy pvp(m) mn = p|m pvp(n) p|n l s phõn tớch thnh nhõn t ca mn, v d(mn) = (vp (m) + 1) p|m (vp (n) + 1) = d (m) d (n) p|n Vy nh lý ó c chng minh Bi toỏn 1.14 Chng minh rng d(mn) d(m).d(n) vi mi s nguyờn dng m v n nh lý 1.8 ([4]) Vi mi > 0, ta cú d(n) n Chng minh Do hm s f (n) = d(n) l hm nhõn tớnh nờn ch cn chng n minh: lim f (pk ) = xk Vi mi s nguyờn p, ta c Footer Page 12 of 145 11 Header Page 13 of 145 k+1 k , (vỡ d(pk ) = k + nờn b chn i vi k 1), v vỡ vy d(pk ) pk k+1 = k p k+1 f (pk ) = = k k p2 k+1 p2 k k p2 2p k p2 Suy iu phi chng minh nh lý 1.9 Vi x 1, d(n) = x log x + (2 1)x + O( D(x) = (x)) nx Bi toỏn ỏnh giỏ hm tng D(x) c gi l bi toỏn chia Dirichle nh lý 1.10 ([4]) Vi x 1, (log n d(n) 2) = x1/2 (x) := nx Bc ca s phõn tớch s nguyờn dng n thnh ỳng l tha s l l b (d1 , , dl ) tha n = (d1 , , dl ) Hm s cỏc c s d(n) xỏc nh s bc ca s phõn tớch ca n thnh hai tha s, vy s phõn tớch n = dd hon ton xỏc nh bi tha s Footer Page 13 of 145 12 Header Page 14 of 145 th nht d Vi mi s nguyờn dng l, ta nh ngha hm s hc d1 (n) = v d2 (n) = n vi mi n nh lý 1.11 Vi mi l hm dl (n) l hm nhõn tớnh v dl = a+l1 l1 vi mi ly tha ca s nguyờn t pa Footer Page 14 of 145 13 Header Page 15 of 145 CHNG C LNG GI TR TRUNG BèNH BèNH PHNG CA MT S HM SINH BI C S 2.1 NH L RAMANUJAN Trong nh lớ (1.10) ta tớnh toỏn c giỏ tr trung bỡnh ca hm d(n) Trong phn ny ta s xỏc nh giỏ tr trung bỡnh ca bỡnh phng hm d(n) Ta bt u vi s biu din ca d2 (n) nh lý 2.1 ([4]) d2 (n) = à()d4 | n n Bi toỏn 2.1 Chng minh rng hm l mt hm nhõn nh lý 2.2 (Ramanujan[4]) Vi x , ta cú d2 (n) nx x(log x)2 nh ngha 2.1 ([4]) Hm s hc (n) c nh ngha l tng tt c cỏc c dng ca n Nu n thỡ (n) n + Ta cú th s dng s phõn tớch thnh nhõn t ca n tớnh (n) Ta cú th tớnh (n) theo cỏch trờn vi mi s nguyờn dng n.Nu d l c ca n v d cú th vit di dng pap , d= p|n Footer Page 15 of 145 14 Header Page 16 of 145 vi ap vp (n) Khi ú ta cú vp (n) (n) = pap = d= d|n p | n ap p|n pvp (n)+1 p1 nh lý 2.3 Hm s hc (n) l hm nhõn tớnh Chng minh Gi s m v n l hai s nguyờn t cựng Do khụng cú s nguyờn t no l c ca c m v n, ta cú pvp (mn)+1 pvp (m)+1 pvp (n)+1 (mn) = = = p1 p1 p1 p | mn p|m p|n (m)(n) Vy nh lý c chng minh Bi toỏn 2.2 Vi mt s nguyờn dng n, chng minh rng (1) + (2) + ã ã ã + (n) n2 Bi toỏn 2.3 (HMMT 2004) Vi mi s nguyờn dng n, chng minh rng (1) (2) (n) + + ããã + 2n n 2.2 S HON HO V CC S LIấN QUAN nh ngha 2.2 ([4]) S nguyờn dng n c gi l s hon ho nu (n)=2n.Mt s c gi l s tha nu (n)>2n Mt s c gi l s thiu nu < 2n nh lý 2.4 (nh lý Euler[4]) Mt s nguyờn chn l hon ho nu v ch nu tn ti cỏc s nguyờn t p v q tha q = 2p 1, V n = 2p1 q Footer Page 16 of 145 15 Header Page 17 of 145 nh ngha 2.3 ([4]) S nguyờn t dng 2p vi p l s nguyờn t c gi l s nguyờn t Mersenne Theo nh lý (2.4), mi s hon ho chn liờn kt nht vi mt s nguyờn t Mersenne Ch cú hu hn cỏc s nguyờn t Mersenne c tỡm ra, vỡ vy chỳng ta ch bit mt s hu hn cỏc s hon ho chn mt cha gii quyt l cú tn ti vụ hn cỏc s hon ho hay khụng Cho n nay, ta cha bit mt s hon ho l no v cõu hi cú tn ti mt s hon ho l hay khụng cha c gii quyt t (n) = (n) n = d d|n d sk (n), sk+1 (n) = sk (n) hoc sk+1 (n) < sk (n) v vỡ vy dóy cỏc c s cú th dao ng tng hoc gim i vi cỏc s nguyờn dng n nh, qua tớnh toỏn c th ngi ta luụn thy phn t sau ca dóy l tun hon Chng hn, dóy cỏc c s ca 12 l 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0, 0, Nu n l s hon ho, thỡ sk (n) = n vi mi k v dóy {sk (n)} k = l hng s Nu (m, n) l cp s nguyờn bn bố, thỡ s0 (n) = n, s1 (n) = m, s2 (n) = n, s3 (n) = m V tip tc lp i lp li nh vy Do ú dóy cỏc c ca mt s nguyờn l cp bn bố dao ng vi chu k Mt bi Footer Page 18 of 145 17 Header Page 19 of 145 ton cha c gii quyt l cú ỳng khụng mnh : vi mi s nguyờn dng n, dóy {sk (n)} k = l dóy cha cỏc phn t sau tun hon Bi toỏn ny c gi l bi toỏn Catalan - Dickson 2.3 C LNG CC S K-THA Trong phn ny ta s ch nghiờn cu cỏc s hon ho v s tha, n gin ta s gi chung cho chỳng mt tờn l s tha Nh vy mt s nguyờn dng n l tha nu (n) 2n nh ngha 2.5 ([4]) S nguyờn dng n c gi l s tha gc nu n l s tha, nhng n khụng cú mt c thc s no l s tha Nhn xột 2.1 Tp hp tt c cỏc s tha cha tt c cỏc bi s ca cỏc s tha gc Bi toỏn 2.4 Chng minh rng 120 l s - tha Nhn xột 2.2 Mi bi ca mt s tha u l s tha Di õy ta s chng minh hp tt c cỏc s tha cú mt tim cn nh ngha 2.6 S nguyờn dng n c gi l s k -tha nu (n) kn Ta kớ hiu Ak l tt c cỏc s nguyờn l k tha S nguyờn dng n c gi l s k -tha gc nu (n) kn nhng (d) kd vi mi c thc s d ca n Ta kớ hiu P Ak l tt c cỏc s k -tha gc Nhn xột 2.3 Ta cú Ak = M (P Ak ), ngha l Ak l bi s ca P Ak Footer Page 19 of 145 18 Header Page 20 of 145 B 2.1 ([4]) S lng cỏc s nguyờn dng n nh hn hoc bng x m l c ca cỏc s nguyờn pr log4 x vi r l O(x log2 x) Kt qu tip theo ch rng nú l kt qu him i vi mt s cú nhiu c nguyờn t phõn bit hoc ch cú mt c nguyờn t nh nht Cho w(n) kớ hiu cho s cỏc c nguyờn t ca n v P (n) kớ hiu cho c nguyờn t ln nht ca n B 2.2 ([4]) Gi s x ee v y = log log x S cỏc s nguyờn dng n x tha mói w(n) 5y hoc p (n) x1/(6y) l O(x log2 x) vi x ln Kt hp b (2.1) v (2.2) ta cú kt qu sau B 2.3 ([4]) Ch cú O(x log2 x) s nguyờn n x khụng tha tt c ba iu kin sau: (i) Nu pr chia ht n v thỡ pr < log4 x (ii) (n) < 5y (iii) P(n) > x1/(6y) B 2.4 ([4]) Cho n x l s nguyờn thy k - tha tha cỏc iu kin (i), (ii) v (iii) b (2.3) Khi ú n chia ht cho s nguyờn t p tha log4 x p x1/(3y) Footer Page 20 of 145 19 Header Page 21 of 145 B 2.5 ([4]) Nu x ln v n x l s nguyờn thy k - tha tha cỏc iu kin (i),(ii),(iii) b (2.3) thỡ k (n) k < k + 1/(6y) n x nh lý 2.5 ([4]) Vi mi s nguyờn , cho P Ak (x) kớ hiu cho s cỏc s nguyờn thy k - tha khụng vt quỏ x thỡ P Ak (x) x , log2 x v Ak ca s k - tha cú mt tim cn Footer Page 21 of 145 20 Header Page 22 of 145 CHNG MT S BI TON LIấN QUAN 3.1 TNG V HIU CA TCH CC CP S nh ngha 3.1 ([4]) Kớ hiu V (n) l s cỏch biu din s nguyờn n thnh tng ca tớch hai s nguyờn dng Hm s V (n) cú giỏ tr ti n bng s nghim nguyờn dng ca phng trỡnh Diophantine n = ab + cd (3.1) t cd = k thỡ k n v n k = ab Do s nghim ca phng trỡnh k = cd l d(k) v s nghim ca phng trỡnh n k = ab l d(n k), ta suy c rng s nghim ca phng trỡnh (3.1) vi cd = k l d(k)d(n k), v vỡ vy n1 d(k)d(n k) V (n) = k=1 Xột phng trỡnh Diophantine l = ab cd (3.2) Vi mi s nguyờn dng k , s nghim ca phng trỡnh (3.2) vi cd = k v ab = k + l l d(k)d(l + k) Kớ hiu Ul (n) l s nghim ca phng trỡnh (3.2) s nguyờn dng vi cd = k n, Khi ú n1 Ul (n) = d(k)d(k + l) k=1 Footer Page 22 of 145 21 Header Page 23 of 145 B 3.1 ([4]) Vi mi x 1, uvx,(u,v)=1 = log2 x + O(log x) uv n1 d(k)d(n k) nh lý 3.1 ([4]) V (n) = k=1 (n)log2 n nh lý 3.2 ([4]) Vi mi s nguyờn dng l ta cú n Ul (n) d(k)d(k + l) = k=1 (l)log2 n 3.2 TP CC BI S CA MT TP HP CHO TRC nh ngha 3.2 ([4]) Tp hp tt c cỏc bi ca cỏc phn t thuc A, kớ hiu M (A), c gi l cỏc bi s ca A Gi s , B c gi l hp cỏc bi s nu tn ti cỏc s nguyờn dng A cho B = M (A) Chng hn, nu A = thỡ M (A) l cỏc s nguyờn dng chn Nu P l hp cỏc s nguyờn t thỡ M (P ) l tt c cỏc s nguyờn n Tp khỏc rng A cỏc s nguyờn dng c gi l nguyờn thy nu vi a, a A, quan h a chia ht cho a kộo theo a = a Nhn xột 3.1 Nu A1 A2 N thỡ M (A1 ) M (A2 ) Nu A2 l nguyờn thy v A1 l thc s ca A2 thỡ M (A1 ) l thc s ca M (A2 ) Bi toỏn 3.1 Chng minh rng nu A thỡ M (A) = N Footer Page 23 of 145 22 Header Page 24 of 145 Bi toỏn 3.2 Vi mi s nguyờn dng n, chng minh rng n + 1, n + 2, , 2n l nguyờn thy Bi toỏn 3.3 Cho (n) kớ hiu tng s cỏc h s nguyờn t ca n Vi mi r , chng minh rng Tp {n : (n) = r} l nguyờn thy B 3.2 ([4]) Cho A cỏc s nguyờn dng khỏc rng, v A l ca A bao gm cỏc s nguyờn khụng chia ht cho mi phn t ca A thỡ A l nguyờn thy v M (A) = M (A ) B 3.3 ([4]) Nu A1 , A2 l hp cỏc s nguyờn dng khỏc rng tha M (A1 ) = M (A2 ) thỡ M (A1 A2 ) = M (A1 ) Bi toỏn 3.4 Chng minh rng nu A1 v A2 l cỏc khỏc rng ca cỏc s nguyờn dng v A1 A2 thỡ M (A1 ) M (A2 ) Chng minh rng nu A2 l nguyờn thy v A1 l tht s ca A2 , thỡ M (A1 ) l thc s ca M (A2 ) nh lý 3.3 ([4]) Cho B l bi s Khi ú tn ti nht nguyờn thy A tha B = M (A ) nh ngha 3.3 ([4]) Cho A l s nguyờn Hm A(x) cho giỏ tr ti s nguyờn dng x bng s cỏc s nguyờn dng ca A khụng vt quỏ x v gi l hm m ca A, ngha l A(x) = aA 1ax Footer Page 24 of 145 23 Header Page 25 of 145 Mt tim cn di ca A c nh ngha l dL (A) = lim inf x A(x) x Mt tim cn trờn ca A c nh ngha l dU (A) = lim sup x A(x) x Ta núi A l tõp cú mt tim cn d(A) = nu dL (A) = dU (A) = , hoc tng ng vi A(x) x x d(A) = lim Cú th chng minh c bi s ca hu hn cỏc s nguyờn dng luụn luụn cú mt tim cn, vụ hn A cú bi s M (A) nhng cha chc chn cú mt tim cn nh lý 3.4 ([4]) Nu A l vụ hn ca cỏc s < , thỡ bi s ca A cú mt nguyờn dng tha aA a tim cn nh lý 3.5 ([4]) Nu A l vụ hn cỏc s nguyờn vi hm m A(x) = O x log2 x , vi x 2, thỡ hp bi s M (A) cú mt tim cn Footer Page 25 of 145 24 Header Page 26 of 145 KT LUN V KIN NGH Lun "Hm sinh bi cỏc c s v mt s bi toỏn liờn quan" ó gii quyt c nhng sau: - Lun ó trỡnh by khỏi nim v cỏc tớnh cht c bn ca hm m cỏc c s d(n) - Trỡnh by khỏi nim, tớnh cht v cỏc nh lớ ca mt vi hm s hc sinh bi cỏc c s - Xột mt s dng toỏn, bi toỏn t cỏc k thi hc sinh gii Quc gia v Olympic cỏc nc, mt s dng toỏn liờn quan ti hm sinh bi cỏc c s Vi nhng gỡ ó tỡm hiu c, tụi hy vng lun s l mt ti liu tham kho hu ớch cho bn thõn cụng tỏc ging dy sau ny v hy vng lun cng l ngun t liu tt cho hc sinh ph thụng cng nh nhng quan tõm Mc dự ó ht sc c gng, nhng thi gian v kh nng cú hn nờn chc chn lun cũn cú nhng thiu sút Vỡ th, tụi rt mong nhn c nhiu ý kin úng gúp ca quý thy cụ, bn bố, ng nghip lun c hon thin hn Trong quỏ trỡnh lm lun khụng trỏnh nhng sai sút, rt mong c s gúp ý ca quý Thy, Cụ v ng nghip Footer Page 26 of 145 ... trỡnh by nhng tớnh cht ca hm sinh bi cỏc c s v cỏc bi toỏn ng dng quan trng liờn quan ca hm sinh bi cỏc c s i tng v phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: hm m c s v mt s hm sinh bi c s nh hm tớnh tng... cht liờn quan Chng Trỡnh by cỏc giỏ tr trung bỡnh ca hm sinh bi cỏc c s Chng Trỡnh by mt s bi toỏn liờn quan s hc Footer Page of 145 3 Header Page of 145 CHNG C S V CC TNH CHT LIấN QUAN 1.1... cht v cỏc nh lớ ca mt vi hm s hc sinh bi cỏc c s - Xột mt s dng toỏn, bi toỏn t cỏc k thi hc sinh gii Quc gia v Olympic cỏc nc, mt s dng toỏn liờn quan ti hm sinh bi cỏc c s Vi nhng gỡ ó tỡm