Ứng dụng hàm sinh trong tổ hợp

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đinh Thị Hiền ỨNG DỤNG HÀM SINH TRONG TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đinh Thị Hiền ỨNG DỤNG HÀM SINH TRONG TỔ HỢP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN VĨNH ĐỨC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Vĩnh Đức tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Hiền Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức đề tài "Ứng dụng hàm sinh tổ hợp" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành đề tài, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Hiền Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Hàm sinh 1.1 Ứng dụng đa thức tổ hợp 1.2 Chuỗi lũy thừa 1.3 Hàm sinh 10 1.4 Một số phép toán với dãy hàm sinh chúng 14 1.5 Tính hệ số hàm sinh 21 1.6 Hàm sinh mũ 24 Ứng dụng hàm sinh tổ hợp 26 2.1 Dùng hàm sinh đa thức 26 2.2 Dùng hàm sinh chuỗi lũy thừa vô hạn 29 2.3 Số Fibonacci 31 2.4 Số Catalan 34 2.5 Công thức truy hồi hàm sinh 37 2.6 Đếm hàm sinh 39 Một số ví dụ điển hình 46 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Một đặc trưng toán tổ hợp số cấu hình phải xem xét thường lớn Và việc giải chúng đòi hỏi khối lượng tính toán khổng lồ Trong thời gian dài, mà ngành toán học phép tính vi phân, phép tích phân, phương trình vi phân, phát triển vũ bão, dường tổ hợp nằm phát triển ứng dụng toán học Lý thuyết tổ hợp thực phát triển nhanh xuất máy tính điện tử Các phương pháp tổ hợp phù hợp cho hướng giải toán máy tính Các toán tổ hợp giải nhiều phương pháp, ví dụ • Phương pháp sử dụng nguyên lí bù trừ • Phương pháp song ánh • Phương pháp hàm sinh • Phương pháp quỹ đạo Trong số phương pháp trên, phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Phương pháp hàm sinh có ưu điểm tổng quát, ứng dụng cho nhiều lớp toán Có thể nói, hàm sinh Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền phương pháp bất ngờ, tổng quát, hữu hiệu để giải toán tổ hợp phức tạp Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề góc độ sinh viên sư phạm Toán hướng dẫn tận tình thầy giáo - TS Trần Vĩnh Đức, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài: “ Ứng dụng hàm sinh tổ hợp” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tổ hợp lý thuyết hàm sinh Từ nhằm hệ thống phương pháp giải toán tổ hợp phương pháp hàm sinh ứng dụng vào nghiên cứu, học tập thực tiễn Việc thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu sắc Toán rời rạc Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài nghiên cứu lý thuyết hàm sinh, công thức truy hồi, chuỗi lũy thừa, Từ đưa hệ thống phương pháp ứng dụng điển hình hàm sinh giải toán tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hàm sinh ứng dụng hàm sinh tổ hợp Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tổng hợp tài liệu Cấu trúc đề tài Nội dung khóa luận chủ yếu dịch tổng hợp từ chương 12 sách: • Jiri Matousek Jaroslav Nesetril (2008), Invitation to Discrete Mathematics, 2nd edition, Oxford University Press Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: Hàm sinh • Chương 2: Ứng dụng hàm sinh tổ hợp • Chương 3: Một số ví dụ điển hình Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương Hàm sinh Chương bắt đầu xem xét ứng dụng đa thức chuỗi lũy thừa hình thức toán tổ hợp Sau đó, định nghĩa hàm sinh, rút vài kết bản, sử dụng chúng để giải số toán đếm 1.1 Ứng dụng đa thức tổ hợp Làm để nhân đa thức p (x) = x + x2 + x3 + x4 q (x) = x + x3 + x4 ? Quy tắc thật đơn giản! Nhân số hạng p (x) với số hạng q (x) cộng tất tích lại với Cộng tích trường hợp đơn giản tất tích có hệ số Trong cách này, ta tính toán được: p (x) q (x) = x8 + 2x7 + 2x6 + 3x5 + 2x4 + x3 + x2 Bây đặt câu hỏi khác Chúng ta chọn lũy thừa x, ví dụ x5 , muốn biết hệ số p (x) q (x), mà Footer Page 10 of 161 Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền cách chọn - cam cách chọn - cam cách chọn - cam cách chọn - cam cách chọn - cam cách chọn - cam Như vậy, hàm sinh − x5 C (x) = + x + x + x + x = 1−x Tương tự, ta tìm hàm sinh số cách chọn đào là: − x2 D (x) = + x = 1−x Áp dụng quy tắc xoắn ⇒ Hàm sinh cho cách chọn từ loại 1 − x5 − x2 A (x) B (x) C (x) D (x) = = 1−x 1−x 1−x 1−x (1 − x)2 = + 2x + 3x2 + 4x3 Như cách giỏ trái gồm n trái có n + cách Ví dụ 2.9 Bài toán nghiệm nguyên Tính số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + · · · + xk = n Giải Vì x1 , x2 , , xk nguyên không âm nên suy xi (1 ≤ i ≤ k) nhận giá trị 0, 1, 2, 3, Ta tìm hàm sinh cho cách chọn xi (1 ≤ i ≤ k) Footer Page 50 of 161 44 Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền cách chọn - giá trị cách chọn - giá trị 1 cách chọn - giá trị cách chọn - giá trị Từ đó, suy hàm sinh cho xi + x + x2 + x3 + · · · = 1−x Áp dụng quy tắc xoắn ⇒ Hàm sinh cho số (x1 , x2 , , xk ) (1 − x)k Gọi un số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + · · · + xk = n Khi hàm sinh dãy với số hạng dạng un hàm sinh cho số cách chọn số (x1 , x2 , , xk ) Tức ∑ i≥0 i ui x = k (1 − x) n Vậy un = Cn+k−1 Footer Page 51 of 161 45 = ∑ i≥0 i Ci+k−1 xi Header Page 52 of 161 Chương Một số ví dụ điển hình Ví dụ 3.1 Bài toán cầu thang: Xét cầu thang với n bậc thang Có cách để lên cầu thang, leo lên bậc bậc bước? Giải Yêu cầu toán tương đương với: có cách giải phương trình s1 + s2 + · · · + sk = n, với si ∈ {1, 2} ; i = 1, 2, , k; k = 0, 1, 2, ? Footer Page 52 of 161 46 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền Nếu ta gọi số cách giải phương trình Sn , ta có S1 = S2 = Sn+2 = Sn+1 + Sn ; n ≥ Sn xác số Fibonacci Fn−1 Ta tìm hàm sinh dãy (S0 , S1 , S2 , ) Với k cho trước, số cách giải phương trình s1 + s2 + · · · + sk = n với ( )k si ∈ {1, 2} hệ số xn tích x + x2 Do đó, Sn hệ ) ∑ ( k số xn ∞ k=0 x + x Suy (S0 , S1 , S2 , ) ←→ ∑∞ ( k=0 )k x + x2 Hàm sinh viết lại tổng chuỗi hình học với thương /( ) x + x2 1 − x − x2 /( ) Do hàm sinh cho số Fibonacci x − x − x2 Ví dụ 3.2 Cây nhị phân thường sử dụng cấu trúc liệu Một nhị phân định nghĩa xác sau: nhị phân rỗng (không có đỉnh), bao gồm đỉnh phân biệt gọi gốc, thêm vào cặp thứ tự nhị phân gọi trái phải Cho bn biểu thị số nhị phân có n đỉnh Mục đích tìm công thức cho bn ? Giải Bằng cách liệt kê tất nhị phân nhỏ, tìm Footer Page 53 of 161 47 Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền Hình 3.1: Các nhị phân khác có đỉnh b0 = 1, b1 = 1, b2 = b3 = Cho b (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · hàm sinh tương ứng Với n ≥ 1, số nhị phân với n đỉnh số lượng cặp thứ tự dạng (B, B ′ ), với B B ′ nhị phân có n − đỉnh Nghĩa là, B có k đỉnh B ′ có n − k − đỉnh, k = 0, 1, , n − Do đó, số lượng cặp thứ tự bn = b0 bn−1 + b1 bn−2 + · · · + bn−1 b0 ; (n ≥ 0) Từ đó, suy ( ) 2n bn = n+1 n Vậy số Catalan số nhị phân gốc có n + Ví dụ 3.3 Gieo xúc xắc Gieo quân xúc xắc mặt xuất lần đầu tiên.Vậy cần gieo xúc xắc bình quân lần? Giải Xác suất bắt gặp mặt vòng p = 1/6 Xác suất để mặt không xuất vòng xuất Footer Page 54 of 161 48 Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền vòng thứ hai (1 − p) p Do đó, xác suất mặt xuất lần vòng thứ i qi = (1 − p)i−1 p Số vòng trung bình (tức kỳ vọng) S= ∞ ∑ i=0 iqi = ∞ ∑ i(1 − p)i−1 p i=1 Ta có hàm sinh q (x) = q1 x + q2 x2 + · · · Suy q ′ (x) = · q1 + · q2 x + · q3 x2 + · · · Vậy S = q ′ (1) Khi đó, hàm sinh cho biểu thức q (x) = p p · − − p − (1 − p) x − p / Cho q (x) = p (1 − (1 − p) x)2 , S = q ′ (1) = 1/p ′ Trong trường hợp chúng ta, với p = 1/6, số lần gieo trung bình Các phương pháp với hàm sinh phần có nhiều ứng dụng lý thuyết xác suất Nếu X giá trị đạt biến ngẫu nhiên ∑ i i với xác suất qi , i = 0, 1, 2, , q (x) = ∞ i=0 qi x hàm sinh, kỳ vọng X q ′ (1) Ví dụ 3.4 Bước nhảy ngẫu nhiên: Hãy tưởng tượng trục thực vẽ mặt phẳng với số nguyên đánh dấu vòng tròn Một ếch nhảy vòng tròn theo quy tắc bước Footer Page 55 of 161 49 Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền ngẫu nhiên sau • Ban đầu (trước chuyển động đầu tiên) ếch ngồi vị trí số • Trong lần di chuyển, ếch nhảy hai vòng tròn bên phải (từ i đến i + 2) vòng tròn bên trái (từ i đến i − 1) Nó định chọn khả cách ngẫu nhiên hai khả có xác suất Vậy xác suất ếch đạt đến số bao nhiêu? Giải Gọi P7 xác suất mà ếch đạt đến lần nhảy Với lần nhảy cho 27 quỹ đạo khác (vì bước nhảy, ếch chọn hai khả cách chọn tổ hợp cách ngẫu nhiên) Theo giả thiết, toàn quỹ đạo có xác suất Định nghĩa xác suất P7 số lượng quỹ đạo qua (có 75 quỹ đạo) chia cho tổng số quỹ đạo, tức 27 Ta có P = lim Pi , i→∞ đó, định nghĩa Pi giải thích cho i = Giới hạn chắn tồn P1 ≤ P2 ≤ Gọi biểu thị số quỹ đạo i lần nhảy (ếch đạt lần Footer Page 56 of 161 50 Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền lần nhảy thứ i ) Do đó, có P = ∞ ∑ i=1 2i Nếu hàm sinh a (x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · , ta được: P = a (1) Tương tự, bắt đầu quỹ đạo số 1(theo quy tắc) Ví dụ, số bi quỹ đạo số mà đạt bước nhảy thứ i gì? Để quỹ đạo đạt đến 0, trước tiên phải đạt đến Cho j số bước nhảy vọt mà đạt đến trước tiên Nếu j xác định, aj có khả tránh khỏi lần nhảy 1, 2, , j − đạt đến bước nhảy thứ j Sau đó, bước nhảy i − j di chuyển từ đến 0, số cách có i − j bước nhảy ai−j Vậy cho j, có aj ai−j khả năng, hoàn toàn có bi = i−1 ∑ aj ai−j j=1 Suy b (x) = a(x)2 Tương tự, cho ci số quỹ đạo số đạt bước nhảy vọt thứ i Như trên, ta thấy c (x) = a (x) b (x) = a(x)3 Ta xem xét quỹ đạo bắt đầu từ điểm nhìn khác Bởi chuyển động đầu tiên, ếch trực tiếp đạt (ai = 1), nhảy đến số Trong trường hợp sau, có ci−1 khả đạt cho lần sau nhảy i − bước Do đó, với i > 1, ta có = ci−1 Chuyển Footer Page 57 of 161 51 Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền thành quan hệ hàm sinh a (x) = x + xc (x) = x + xa(x)3 Hình 3.2: Hàm số x = a/(a3 + 1) Đặc biệt, với x = 21 , ta (ở P = a P = Từ đó, ta có (1) ): 1 + P 2  P =1  (√ )/  P = 5−1  (√ )/ P =− 5+1 Ta loại trừ giá trị âm giá trị phải cho P = (√ )/ 5−1 2= 0, 618033988 ( Một lần ta thấy xuất cách chia vàng) Ví dụ 3.5 Phân hoạch số nguyên Footer Page 58 of 161 52 Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền Có cách để viết số tự nhiên n tổng số số tự nhiên? Giải Câu trả lời không khó khăn đếm thứ tự phân hoạch n (nghĩa là, ta xem biểu thức = + = + hai cách thể khác tổng) Bài toán trở nên khó khăn nhiều thú vị xem xét cách thể đồng phân biệt thứ tự số hạng Ví dụ, với n = 5, tất phân vùng = + + + + 1, = + + + 2, = + + 2, = + + 3, = + 3, = + , = Cho pn đại diện cho số phân hoạch n theo nghĩa Chúng ta biết làm để diễn tả số cách giải phương trình có dạng: i1 + i2 + · · · + ik = n, với ij nằm số tập quy định, hệ số xn biểu thức thích hợp Ở thứ tự ij vấn đề, mặc dù, không rõ ràng làm để liên kết điều với phân hoạch (không thứ tự) n Cho ij thể góp phần số hạng j phân hoạch n Vì vậy, phân hoạch n song ánh tương ứng với cách giải phương trình i1 + i2 + · · · + in = n Footer Page 59 of 161 53 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền với i1 ∈ {0, 1, 2, 3, }, i2 ∈ {0, 2, 4, 6, }, , ij ∈ {0, j, 2j, 3j, } Ví dụ, phân hoạch = + + tương ứng với cách giải i1 = 1, i2 = 4, i3 = i4 = i5 = Từ việc xây dựng pn hệ số xn tích ( )( ) ( ) Pn (x) = + x + x2 + · · · + x2 + x4 + · · · + xn + x2n + · · · = n ∏ k=1 − xk Giờ ta giới hạn pn cách sử dụng phương pháp ước lượng hệ số nhị thức Với x ∈ (0, 1), ta có 1 ∏ pn ≤ n Pn (x) = n x x − xk n k=1 Ta muốn chọn x cho vế bên phải nhỏ tốt Trong trường hợp này, suy ( ln pn ≤ ln Pn (x) xn ) = −n ln x − n ∑ ( ) ln − xk k=1 Nhớ lại chuỗi lũy thừa cho logarit : − ln (1 − y) = Footer Page 60 of 161 y y2 y3 y4 + + + + ··· 54 Header Page 61 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền với y ∈ (−1, 1) Do đó, ta viết − n ∑ ( ln − x k ) = k=1 ≤ n ∑ ∞ ∑ xkj j k=1 j=1 ∞ ∞ ∑ ∑ j=1 j = ∞ n ∑ 1∑ j j=1 k=1 ∞ j ∑ xjk = k=1 xjk j=1 x j − xj Chúng ta sử dụng công thức cho tổng cấp số nhân theo hướng “hướng ngược lại” Ta có ( ) − xj = (1 − x) + x + x2 + · · · + xj−1 ≥ (1 − x) jxj−1 (0 < x < 1) ∞ ∑ j=1 ∞ ∞ ∑1 xj xj x ∑ ≤ = j−1 j − xj j (1 − x) jx − x j j=1 j=1 Tiếp theo, cần ý sau Thực tế ∞ ∑ π2 = j2 j=1 Như tráng miệng Toán học, xây dựng lại chứng minh (quay trở lại Euler) thực tế cuối phần Tiếp tục với ước tính cho ln pn , ta π2 x ln pn ≤ −n ln x + 1−x Để thuận tiện cho tính toán tiếp theo, ta giới thiệu biến u = Footer Page 61 of 161 55 Header Page 62 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền x/(1 − x) (vì u số [0, ∞) x = u/(1 + u)) ( ) Sau thay này, sử dụng bất đẳng thức ln + u1 ≤ u1 , ta ( ln pn < n ln + u Bằng cách thay u = √ π 23 n √ ) π2 n π2 + u ≤ + u u / 6n π vào biểu thức cuối cùng, ta ln pn ≤ Từ đó, ta chứng minh điều sau đây: Định lý 3.1 Với n ≥ 1, ta có pn < e π √2 3n = e(2,5650 ) √ n Trên số ví dụ điển hình ứng dụng hàm sinh giải toán tổ hợp Footer Page 62 of 161 56 Header Page 63 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Hiền KẾT LUẬN Khóa luận chủ yếu sử dụng phương pháp hàm sinh để giải toán tổ hợp Tài liệu tham khảo chương 12 sách • Jiri Matousek Jaroslav Nesetril (2008), Invitation to Discrete Mathematics, 2nd edition, Oxford University Press Do kiến thức hạn hẹp, thực tập chuyên nghành khó tránh khỏi sai sót, em mong nhận đóng góp tận tình thầy, cô bạn đọc để thực tập chuyên nghành cuả em hoàn chỉnh Footer Page 63 of 161 57 Header Page 64 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Bộ sách toán cao cấp - Viện toán học [2] Jiri Matousek Jaroslav Nesetril (2008), Invitation to Discrete Mathematics, 2nd edition, Oxford University Press Footer Page 64 of 161 ... thuyết hàm sinh, công thức truy hồi, chuỗi lũy thừa, Từ đưa hệ thống phương pháp ứng dụng điển hình hàm sinh giải toán tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hàm sinh ứng dụng hàm sinh tổ hợp Footer... 1.5 Tính hệ số hàm sinh 21 1.6 Hàm sinh mũ 24 Ứng dụng hàm sinh tổ hợp 26 2.1 Dùng hàm sinh đa thức 26 2.2 Dùng hàm sinh chuỗi lũy thừa... chương: • Chương 1: Hàm sinh • Chương 2: Ứng dụng hàm sinh tổ hợp • Chương 3: Một số ví dụ điển hình Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương Hàm sinh Chương bắt đầu xem xét ứng dụng đa thức