www.TaiLieuLuyenThi.com ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TỔ HỢP 1 n Phương pháp: tổng dãy tổ hợp chứa hệ số phân số 1, , , , , ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Tính tích phân trường hợp chưa khai triển nhị thức Newton tích phân trường hợp khai triển Hai kết Thay x, a, b số phù hợp PHẦN (CƠ BẢN) b b (1 x) dx C n n a Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx a b b n 1 (1 x)n1 x x n x C x C C C n n n n n 1 a n 1 a (1 x) dx C b b n n a Cn1 x Cn2 x 1 Cnn x n dx n a b b n 1 (1 x)n1 n x x n x C x C C C n n n n n a n 1 a b b ( x 1) dx C x n n n a Cn1 x n1 Cn2 x n2 Cnn dx a b b n n 1 ( x 1)n1 x n1 x x C C C Cnn x n n n n n 1 n 1 a n 1 a ( x 1) dx C x b b n n n a Cn1 x n1 Cn2 x n2 1 Cnn dx n a b b n n 1 ( x 1)n1 x n1 n x x n C C C C n n n x n n n 1 n 1 a n 1 a 26 3n1 n BT1: Tính 2C 4C Cn Cn n 1 n n Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng cuối có hệ số 3n1 n , ta biết cận từ đến Sử dụng (1 x) dx n 1 Giải: 3 (1 x) dx C n n Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx Thầy Kiên: 01692894586 www.TaiLieuLuyenThi.com 3 n 1 (1 x)n1 x x n x C x C C C n n n n n 1 n 1 3 3 n 1 (1 x)n1 x x n x Cn x Cn Cn Cn n n 1 1 4n1 2n1 26 3n1 n 2Cn 4Cn Cn Cn n 1 n 1 4n1 2n1 Vậy S n 1 Lưu ý: tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng tổ hợp BT để tính kết nhanh 2n1 n Cn Cn Cn n 1 2n1 n1 n1 Hướng dẫn: trên, từ hệ số ta lấy cận từ đến Lưu ý: 1,0 nên n 1 3n1 2n1 n1 n1 giá trị đề ghi hay không cần ghi, ta phải tự nhận biết Kết n 1 BT2: Tính S Cn BT3: Tính S Cn 1 Cn Cn Cnn n 1 Hướng dẫn: cận từ đến 2n1 n BT4: Tính S 2C 2C Cn Cn n 1 3n1 Kết quả: n 1 n n 1 Cn Cn (1) n 2n1Cnn n 1 n Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, gắn với Cn , có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát hệ số n 1 BT5: Tính tổng S 2Cn số hạng cuối ta lấy cận từ đến 2, tức 1 x dx n Giải: 1 x n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x 1 Cnn x n dx Thầy Kiên: 01692894586 n www.TaiLieuLuyenThi.com 2 n 1 (1 x)n1 n x x n x C x C C C n n n n n n 1 (1)n1 1 2Cn0 22 Cn1 23 Cn2 (1) n 2n1 Cnn n 1 n 1 n (1) Vậy S n 1 1 Cnn n BT6: Tính tổng S C Cn Cn (1) n 1 n Hướng dẫn: tương tự trên, lấy cận từ đến Kết S n 1 1 n Cn0 Cn1 Cn2 1 Cnn n 1 n n 1 n Hướng dẫn: chuỗi đan dấu, hệ số gắn với Cn , có dấu hiệu sử dụng tích phân ( x 1) , quan sát n 1 n 1 hệ số đầu ta lấy cận từ đến Kết S n 1 BT7: Tính tổng S 1 2n1Cn0 2n Cn1 2n1Cn2 (1)n 2Cnn n 1 n n 1 (1) n Hướng dẫn: Cận từ đến Kết S n 1 BT8: Tính S PHẦN (MỞ RỘNG) Nhân thêm x, x , Phương pháp: thông thường sau lấy tích phân hệ số chứa Cnk Nếu cho hệ số dạng k 1 1 Cnk ta phải nhân thêm x trước tích phân, dạng Cnk ta nhân thêm x trước tích phân,… k2 k 3 BT9: Tính S 1 1 Cn Cn Cn Cnn n2 Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng nên ta nhân thêm x trước tích phân 1 x(1 x) dx C x C x n 0 n Thầy Kiên: 01692894586 n Cn2 x3 Cnn x n1 dx www.TaiLieuLuyenThi.com n2 x2 2 n n 1 x x n x C x C x C x C x dx C C C C n n n n n n n n 0 n 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn S n2 1 1 x(1 x) dx (1 x) n n 1 (1 x)n2 (1 x)n1 (1 x) dx n n n 2n 2n1 1 n.2n1 n n n n (n 1)(n 2) n.2n1 Vậy S (n 1)(n 2) BT10: S 1 1 Cn Cn Cn (1)n Cnn n2 Phân tích: tương tự chuỗi đan dấu Giải: x(1 x) dx C n n o Tính x Cn1 x Cn2 x3 Cnn x n1 dx x u n u x du dx Đặt , x (1 x ) dx 0 x u 1 u n1 u n 1 x (1 x ) dx (1 u ) u du 0 0 n n n n (n 1)(n 2) 1 n C n n x Cn1 x Cn2 x (1) n Cnn x n1 dx x2 x3 x4 x n2 Cn0 Cn1 Cn2 (1) n Cnn n 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 (1) n Cnn n2 S Vậy S (n 1)(n 2) BT11: Tính S 1 1 Cn Cn Cn Cnn n3 Thầy Kiên: 01692894586 www.TaiLieuLuyenThi.com Hướng dẫn: x (1 x) dx n BT12: Tính S 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 (1)n Cnn n3 n2 n 1 Hướng dẫn: Tính x ( x 1) dx n Truy hồi tích phân Phương pháp: Bước 1: dùng tích phân phần để tính I n Đưa I n công thức truy hồi theo I n1 , I n2 , Truy hồi để suy công thức tổng quát I n Bước 2: Dựa vào khai triển Newton để tính I n Cho kết BT13: a) Tính I n (1 x ) dx n Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn 2.4.6 (2n 2).2n b) Chứng minh 2n 1.3.5 (2n 1) Giải: n n 1 u 1 x du 2nx 1 x dx Đặt vx dv dx 1 n n 1 n 1 I n 1 x x 2n x 1 x dx 2n (1 (1 x ) 1 x dx 0 2n (1 x )n1 (1 x ) n dx 2n I n1 I n 2n 2n 2n 2n 2n I n1 I n2 I 2n 2n 2n 2n 2n 2.4.6 (2n 2).2n Mà I dx nên I n 1.3.5 (2 n 1) In Mặt khác Thầy Kiên: 01692894586 www.TaiLieuLuyenThi.com 1 I n (1 x ) dx Cn0 Cn1 x Cn2 x (1) n Cnn ) x n dx n 0 1 1 Cn0 x Cn1 x3 Cn2 x5 (1) n Cnn ) x n1 2n 0 Cn1 Cn2 Cn3 (1) n Cnn 1 2n 1 C C C (1)n Cnn 2.4.6 (2n 2).2n Vậy n n n 2n 1.3.5 (2n 1) Dựa vào tích phân cho trước Phương pháp: tính trực tiếp tích phân tính tích phân sau khai triển Newton Cho kết BT14: a) Tính tích phân I x(1 x ) dx n 1 1 (1) n n b) Chứng minh Cn Cn Cn Cn 2n 2(n 1) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u x để tính trực tiếp I BT15: Cho n ¢ a) Tính I x (1 x ) dx n 1 1 2n1 n Cn b) Chứng minh Cn Cn Cn 3n 3(n 1) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u x để tính trực tiếp I Thầy Kiên: 01692894586