Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẰNG HÀM SINH BỞI CÁC ƯỚC SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẰNG HÀM SINH BỞI CÁC ƯỚC SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 Hàm đếm ước số d(n) 1.1 Một số kiến thức số học 1.1.1 Phép chia tập số nguyên 1.1.2 Ước số chung lớn (ƯSCLN) 1.1.3 Số nguyên tố 1.2 Hàm đếm ước 2 5 Giá trị trung bình vài hàm số ước số 2.1 Giá trị trung bình vài hàm số ước số 2.1.1 Định lí Ramanujan 2.2 Số hoàn hảo số liên quan học sinh 14 học sinh 14 14 19 Một số toán áp dụng 3.1 Tổng hiệu tích cặp số 3.2 Tập bội số tập hợp cho trước 3.3 Tập số thừa 24 24 34 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Trong toán học đặc biệt lý thuyết số, hàm sinh ước số hàm số học liên quan đến tính toán ước số nguyên Hàm gắn với phép đếm số ước số số nguyên dạng toán liên quan đến biểu diễn ước số Các kết gắn với nghiên cứu gần nhà toán học Ấn Độ Ramanujan Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu chi tiết tính chất hàm sinh ước số xét ứng dụng việc giải toán liên quan số học Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày ước số tính chất liên quan Chương trình bày giá trị trung bình hàm sinh ước số Chương trình bày số toán ứng dụng số học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Phó Giáo sư, Tiến sĩ Nông Quốc Chinh, người thầy trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt kinh nghiệm nghiên cứu cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Hòn Gai bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Chương Hàm đếm ước số d(n) 1.1 1.1.1 Một số kiến thức số học Phép chia tập số nguyên Định nghĩa 1.1 Cho hai số nguyên a b , với b = Nếu có số nguyên q cho a = bq ta nói b chia hết a hay a chia hết cho b b ước a ký hiệu b | a hay a b Tính chất 1.1 ±1 | a với a ∈ Z a với a ∈ Z, a = a a với a ∈ Z, a = b | a a | b a = ±b b | a c | b kéo theo c | a Với i ∈ {1; 2; ; n}, ∀xi ∈ Z, b | a kéo theo b | n x j i=0 Định lý 1.1 (Định lý chia Euclid) Với số nguyên a b, b = 0, tồn số nguyên q, r cho a = bq + r; ≤ r < |b| (1.1) Chứng minh a) Sự tồn tại: Gọi M tập hợp bội số b không vượt a: M = {bx | x ∈ Z, bx ≤ a} Ta có M ⊂ Z M = ∅ chẳng hạn −|b|.|a| ∈ M M bị chặn trên, có số lớn nhất, ta gọi bq Số nguyên bq + |b| bội b bq + |b| ∈ / M , ta có bq ≤ a < bq + |b|, từ suy ≤ a − bq < |b| Đặt r = a − bq ta a = bq + r, ≤ a − bq < |b| b) Tính nhất: Giả sử có q, r q1 , r1 thỏa mãn điều kiện trên, tức a = bq + r, a = bq1 + r1 , ≤ r < |b|, ≤ r1 < |b|, Khi ta bq + r = bq1 + r1 ⇒ r − r1 ≤ b(q − q1 ) Nhưng |r − r1 | < |b|, |b||q − q1 | < |b|, nghĩa |q − q1 | < Hệ thức buộc q − q1 = nghĩa q = q1 , từ suy r = r1 (điều phải chứng minh) 1.1.2 Ước số chung lớn (ƯSCLN) Định nghĩa 1.2 Cho hai số nguyên a, b số khác Số dương d gọi ƯSCLN a, b ký hiệu d := (a, b) d | a d | b ( d ước số chung a b) Nếu c | a c | b c | d Nói cách khác, d ƯSCLN hai số a b d ước chung a b đồng thời d số lớn ước số chung a b Nếu (a, b) = ta nói hai số a b nguyên tố Nhận xét 1.1 Trong trường hợp a, b có số hiển nhiên ƯSCLN chúng số Tính chất 1.2 (ac, bc) = (a, b).c với c = a b (a, b) ; = với c ước chung a,b c c c Nếu (a, b) = (ac, b) = (c, b) Nếu (a, b) = b ac b c (b, a1 ) = (b, a2 ) = ⇒ (b, a1 a2 ) = Nếu a c1 , a c2 mà (c1 , c2 ) = a c1 c2 Thuật toán tìm ƯSCLN hai số nguyên Chú ý 1.1 Nếu số nguyên a, b, q, r có hệ thức a = bq + r ta có (a, b) = (b, r) a) Cho a, b ∈ Z Nếu hai số ước số kia, chẳng hạn b | a hiển nhiên b) Nếu không xảy trường hợp ta có hệ thức sau biểu thị dãy phép chia có dư: a = bq0 + r1 , < r1 < |b| b = r1 q1 , < r2 < r1 r1 = r2 q2 + r3 , < r3 < r2 rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , < rn < rn−1 rn−1 = rn qn Dãy phép chia có dư liên tiếp gọi thuật toán Euclid thực hai số a, b Dãy phải dãy hữu hạn thuật toán Euclid phải kết thúc với số dư rn+1 = Theo ý ta có (a, b) = (b, r1 ) = = (rn−1 , rn ) = rn Như vậy, ƯSCLN hai số a, b số dư cuối khác thuật toán Euclid thực hai số a, b 1.1.3 Số nguyên tố Định nghĩa 1.3 Số nguyên tố số tự nhiên lớn ước khác Định lý 1.2 Ước nhỏ khác số tự nhiên lớn số nguyên tố Định lý 1.3 Cho a số tự nhiên p số nguyên tố, a nguyên tố với p, a chia hết cho p Định lý 1.4 Nếu số nguyên tố p ước tích nhiều số phải ước thừa số Định lý 1.5 Nếu số nguyên tố p ước tích nhiều số nguyên tố p phải trùng với số nguyên tố Định lý 1.6 (Về phân tích tắc số tự nhiên) Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố phân tích (không kể thứ tự thừa số) Chú ý 1.2 Nói chung, thừa số nguyên tố phân tích lặp lại, gọn, thừa số lặp lại viết dạng lũy thừa: a = pα1 pα2 pαk k (1.2) Trong pi = pj , ∀i = j, αi ∈ N, αi ≥ 1, ≤ i ≤ k Và (1.2) gọi phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên a 1.2 Hàm đếm ước Định nghĩa 1.4 Hàm số học hàm số có miền xác định tập số nguyên dương miền giá trị tập số phức Ví dụ 1.1 a) Hàm d(n) đếm ước khác số tự nhiên n ≥ hàm số học b) Hàm phi-Euler ϕ(n) hàm số học n = c) Hàm δ : Z+ → C, δ(n) = hàm số học n ≥ d) Hàm O : Z+ → C, O(n) = hàm số học Định nghĩa 1.5 Một hàm số học f gọi hàm nhân tính với cặp số m, n nguyên tố nhau, ta có f (n.m) = f (n).f (m) Trong trường hợp đẳng thức với m, n (không thiết nguyên tố nhau) hàm f gọi hàm nhân tính mạnh Ví dụ 1.2 Ta có µ(1) = 1, µ(8) = 0, µ(6) = 1, µ(4) = 0, µ(2) = −1, µ(7) = −1, µ(5) = −1, µ(9) = 0, µ(3) = −1 µ(10) = Định nghĩa 1.6 Hàm số học xác định số ước dương số nguyên dương n gọi hàm đếm ước kí hiệu d(n) Như d(1) = d(6) = 4, d(2) = d(7) = 2, d(3) = d(8) = 4, d(4) = d(9) = Giả sử pνp (n) n= p|n Mọi ước n có dạng: pap , d= p|n với ap số nguyên thỏa mãn: ≤ ap ≤ νp (n) Vì số mũ ap nhận vp (n) + giá trịn khác nên ta có (νp (n) + 1) d(n) = p|n Định lý 1.7 Hàm d(n) hàm nhân tính Chứng minh Cho m n hai số nguyên tố nhau, pνp (m), m= p|m q νq (n) n= q|n Vì (m, n) = nên tập hợp số nguyên tố ước m tập hợp số nguyên tố ước n rời Vì pνp (m) mn = p|m q νq (n) q|n phân tích thành nhân tử mn, d(mn) = (νp (m) + 1) p|m (νq (n) + 1) = d(m)d(n) q|n Vậy định lý chứng minh Ví dụ 1.3 Tính d(n) với 11 ≤ n ≤ 20 Lời giải d(11) = d(111 ) = + = d(12) = d(22 31 ) = (2 + 1)(1 + 1) = d(13) = d(131 ) = + = d(14) = d(21 71 ) = (1 + 1)(1 + 1) = d(15) = d(31 31 ) = (1 + 1)(1 + 1) = d(16) = d(24 ) = + = 32 = r|l αγ≤n/2r2 ,(α,γ)=1   +O αγ 1 ac≤n/2  = n r|l = = 3n π2 π2 1 n log r π2 2r2 r|l r|l n log r 2r n log r 2r 2 + O log   n +O 2r d(k) k≤n/2 + O(nσ−1 (n) log n) + O(x log x) + O(σ(n) log n) nσ−1 (n) log2 n + O nσ−1 (n) log2 n + O (σ(n) log(n)) π = nσ(n) log2 n + O(nσ(n) log2 n) π = Tiếp theo ta tính R, với R số nghiệm phương trình (3.8) xảy đồng thời ac ≤ x bd ≤ x Cố định số nguyên dương a c, ta kí hiệu ψ(a, c, l) số cặp thứ tự (b, d) số nguyên dương thỏa mãn ab − cd = l 0 Giả sử ε > chọn K1 = K1 (ε) thỏa mãn ∞ k=K1 < ε, a k +1 ∞ ∞ B(x) B(x) 0≤ − = x x k=1 k=K ∞ Bk (x) ≤ x +1 k=K 1 < ε a k +1 Khi tập Bk có mật độ tiệm cận, nghĩa tồn số Bk (x) ≥ thỏa mãn Bk (x) d(Bk ) = lim = βk x→∞ x Hơn nữa, β1 = d(B1 ) = 1/a1 > Với số nguyên dương l, mật độ tập hợp số nguyên chia hết cho số số nguyên a1 , a2 , , al β1 + β2 + · · · + βl , l βk ≤ 0< k=1 Do đó, chuỗi l βk , k=1 hội tụ tới giá trị β > Ta chứng minh tập bội số M (A) có mật độ β, nghĩa Bk (x) lim = β x→∞ x 38 Với ε > tồn số nguyên K2 = K2 (ε) thỏa mãn ∞ βk < ε k=K2 +1 Giả sử K = max{K1 , K2 } ta cần chọn số x0 = x0 (ε) thỏa mãn ε Bk (x) − βk < , x k với x ≥ x0 k = 1, , K Khi ∞ B(x) −β x = k=1 K < k=1 K ≤ k=1 Bk (x) − βk x K Bk (x) − βk + 2ε x k=1 Bk (x) − βk + 2ε x < 3ε Vậy định lí chứng minh xong Định lý 3.5 Nếu A tập vô hạn số nguyên với hàm đếm A(x) = O x , log2 x với x ≤ 2, tập hợp bội số M (A) có mật độ tiệm cận Chứng minh Ta có chuỗi vô hạn a−1 hội tụ Theo định lí (3.4) tập bội số M (A) a∈A tập có mật độ tiệm cận 3.3 Tập số thừa Trong phần ta nghiên cứu số hoàn hảo số thừa, đơn giản ta gọi chung cho chúng tên số thừa Như số nguyên dương n thừa σ(n) ≥ 2n 39 Nhận xét 3.1 Nếu n số thừa bội số n số thừa Thực vậy, ta có σ(n) ≥ 2n Giả sử a = tn bội n Do σ hàm nhân tính nên ta có σ(a) = σ(t)σ(n) ≥ (t + 1)(2n) ≥ 2tn = 2a Vậy a số thừa Định nghĩa 3.4 Số nguyên dương n gọi số thừa nguyên thủy n số thừa (nghĩa σ(n) ≥ 2n), n ước thực số thừa (nghĩa với d|n, < d < n, ta có σ(d) < 2d) Nhận xét 3.2 Tập hợp tất số thừa chứa tất bội số số thừa nguyên thủy Thật vậy, n số thừa nguyên thủy, hiển nhiên bội số n số thừa Dưới ta chứng minh tập hợp tất số thừa có mật độ tiệm cận Định nghĩa 3.5 - Số nguyên dương n gọi số k - thừa σ(n) ≥ kn Ta kí hiệu Ak tập tất số nguyên số k- thừa - Số nguyên dương n gọi số k - thừa nguyên thủy σ(n) ≥ kn σ(d) < kd với ước thực d n Ta kí hiệu P Ak tập tất số k - thừa nguyên thủy Nhận xét 3.3 Ta có Ak = M (P Ak ), nghĩa tập Ak tập bội số tập P Ak (hiển nhiên) Bổ đề 3.4 Số lượng số nguyên dương n ≤ x mà ước số nguyên pr ≥ log4 x với r ≥ O(x log−2 x) Chứng minh Nếu p số nguyên tố thỏa mãn p ≥ log2 x p2 chia hết n n chia hết cho lũy thừa số nguyên tố pr ≥ log4 x với r ≥ Số số nguyên n ≤ x x/p2 Nếu p < log2 x, cho up số nguyên bé thỏa mãn pup ≥ log4 x Số 40 số nguyên n ≤ x chia hết cho lũy thừa số nguyên tố pr ≥ log4 x [x/pup ] Cho N1 (x) kí hiệu cho số nguyên n ≤ x chia hết cho lũy thừa số nguyên pr ≥ log4 x Thì N1 (x) ≤ p≥log2 x ≤ x p≥log2 x ≤ x p≥log2 x x + p2 p 1, a < n Từ a ước thực số nguyên thủy k – thừa n, ta có σ(a) < ka Từ k số nguyên ta có σ(a) ≤ ka − Vì 20y σ(a) ≤k− x1/(96y) Từ p2 > x1/(3y) > log4 x với x đủ lớn, điều kiện (i) suy p2 không ước n Vì n = mp với (m, p) = σ(m) < km từ n số nguyên thủy k – thừa Ta suy σ(n) σ(m) σ(p) = [...]... là hàm số các ước số d(n), và σ1 (n) = σ(n) Hàm số σα (n) là hàm nhân tính với mọi số α 24 Chương 3 Một số bài toán áp dụng 3.1 Tổng và hiệu của tích các cặp số Định nghĩa 3.1 Kí hiệu V (n) là số cách biểu diễn số nguyên n thành tổng của tích của hai số nguyên dương Hàm số V (n) có giá trị tại n bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình Diophantine n = ab + cd (3.1) Đặt cd = k thì 1 ≤ k ≤ n − 1 và. .. 1.4 Chứng minh rằng n là số nguyên tố khi và chỉ khi d(n) = 2 Lời giải • Nếu n là số nguyên tố thì n là một số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước nào ngoài 1 và chính nó Do đó d(n) = 2 • Nếu d(n) = 2 thì số các ước số của số nguyên dương n là 2 Như vậy n là một số nguyên tố Ví dụ 1.5 Chứng minh rằng d(n) là số nguyên tố khi và chỉ khi n = pq−1 với q và p là các số nguyên tố Lời giải • Nếu d(n) là số nguyên... lý 2.3 Hàm số học σ(n) là hàm nhân tính Chứng minh Giả sử m và n là hai số nguyên tố cùng nhau Do không có số nguyên tố nào là ước của cả m và n, ta có σ(mn) = p|mn pνp (mn)+1 − 1 p−1 19 = p|m pνp (m)+1 − 1 p−1 p|n pνp (n)+1 − 1 p−1 = σ(m)σ(n) Vậy định lý được chứng minh 2.2 Số hoàn hảo và các số liên quan Định nghĩa 2.2 Số nguyên dương n được gọi là số hoàn hảo nếu σ(n) = 2n Một số được gọi là số thừa... µ ˜ ∗ d4 (pa ), với mọi lũy thừa của số nguyên tố pa Các hàm số d2 và µ ˜ ∗ d4 là các hàm nhân tính Vì các hàm nhân tính là các hàm hoàn toàn xác định bởi các giá trị là lũy thừa các số nguyên tố, ta suy ra được d2 (n) = µ ˜ ∗ d4 (n), với mọi số nguyên dương n Vậy định lí được chứng minh Định lý 2.2 [Ramanujan]Với x → ∞, ta có d2 (n) ∼ n≤x 1 x(log x)2 , 2 π 16 Chứng minh Theo định lí 1.12 với l = 4... l thừa số là l – bộ (d1 , , dl ) thỏa mãn n = d1 dl Hàm số các ước số d(n) xác định số bậc của sự phân tích của n thành hai thừa số, do vậy sự phân tích n = dd hoàn toàn xác định bởi thừa số thứ nhất d Với mọi số nguyên dương l, ta định nghĩa hàm số học dl (n) là số sự phân tích khác nhau của n thành đúng l thừa số Ví dụ, d1 (n) = 1 và d2 (n) = n với mọi n Định lý 1.11 Với mọi l ≥ 1, hàm dl... 9437056 = 9363584 (2.2) Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra điều phải chứng minh Định nghĩa 2.4 Với mỗi số nguyên dương n và số nguyên không âm k, số nguyên Sk (n) được xác định từ hàm số σ ∗ như sau S1 (n) = σ ∗ (n), S2 (n) = σ ∗ (S1 (n)), Sk+1 (n) = σ ∗ (Sk (n)), với mọi số nguyên dương k Dãy {Sk (n)}∞ k=0 được gọi là dãy các ước số của n Từ sự tồn tại của số thừa, số hoàn hảo và số thiếu, ta thấy rằng Sk+1... số nguyên dương Ta được Dl+1 (x) = dl+1 (n) n≤x = 1 n≤x d1 dl+1 =n = 1 n≤x d1 dl+1 |n = d1 dl+1 ≤x x d1 dl+1  = d1 dl+1  x +O d d l+1 ≤x 1 d 1 1 dl+1 ≤x x logl x = + O(x logl−1 x) + O(Dl (x)) l! x logl x = + O(x logl−1 x) l! Ta được điều phải chứng minh 14 Chương 2 Giá trị trung bình của một vài hàm số học sinh bởi các ước số 2.1 2.1.1 Giá trị trung bình của một vài hàm số học sinh bởi các. .. R là số nghiệm của phương trình (3.8) khi xảy ra đồng thời ac ≤ x và bd ≤ x Cố định các số nguyên dương a và c, ta kí hiệu ψ(a, c, l) số các cặp được sắp thứ tự (b, d) của số nguyên dương thỏa mãn ab − cd = l và 0 2n Một số được gọi là số thiếu nếu σ < 2n Ví dụ các số dưới đây là số hoàn hảo 6 = 2.3 = 21 (22 − 1) 26 = 4.7 = 22 (23 − 1) 496 = 16.31 = 24 (25 − 1) 8128 = 64.127 = 26 (27 − 1) Định lý 2.4 (Định lý Euler) Một số nguyên chẵn là hoàn hảo nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên tố p và q thỏa mãn q = 2p − 1, và n = 2p−1 q Chứng minh Nếu n = 2p−1 q thì q là số lẻ và 2n = 2p q Ta được σ(n) ... học đặc biệt lý thuyết số, hàm sinh ước số hàm số học liên quan đến tính toán ước số nguyên Hàm gắn với phép đếm số ước số số nguyên dạng toán liên quan đến biểu diễn ước số Các kết gắn với nghiên... ước khác số tự nhiên n ≥ hàm số học b) Hàm phi-Euler ϕ(n) hàm số học n = c) Hàm δ : Z+ → C, δ(n) = hàm số học n ≥ d) Hàm O : Z+ → C, O(n) = hàm số học Định nghĩa 1.5 Một hàm số học f gọi hàm nhân... đếm ước số d(n) Trình bày trình bày khái niệm, tính chất định lý vài hàm số học sinh ước số hàm d2 (n), hàm σ(n), ω(n), Trình bày số toán ứng dụng để nghiên cứu số hoàn hảo, số thừa, số học 46