Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng

5 2 Giá trị trung bình của một vài hàm số học sinh bởi các ước số 14 2.1 Giá trị trung bình của một vài hàm số học sinh bởi các ước số... Mở đầuTrong toán học và đặc biệt là trong lý thu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÚY HẰNG

HÀM SINH BỞI CÁC ƯỚC SỐ

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015

Mục lục

Mục lục i

Mở đầu 1 1 Hàm đếm các ước số d(n) 2 1.1 Một số kiến thức cơ bản của số học 2

1.1.1 Phép chia trong tập số nguyên 2

1.1.2 Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) 3

1.1.3 Số nguyên tố 5

1.2 Hàm đếm các ước 5

2 Giá trị trung bình của một vài hàm số học sinh bởi các ước số 14 2.1 Giá trị trung bình của một vài hàm số học sinh bởi các ước số 14

2.1.1 Định lí Ramanujan 14

2.2 Số hoàn hảo và các số liên quan 19

3 Một số bài toán áp dụng 24 3.1 Tổng và hiệu của tích các cặp số 24

3.2 Tập các bội số của một tập hợp cho trước 34

3.3 Tập các số thừa 38

Mở đầu

Trong toán học và đặc biệt là trong lý thuyết số, hàm sinh bởi cácước số là một hàm số học liên quan đến tính toán các ước của một sốnguyên Hàm này gắn với phép đếm số các ước số của một số nguyên vàcác dạng toán liên quan đến biểu diễn các ước số Các kết quả này gắnvới các nghiên cứu gần đây của nhà toán học Ấn Độ Ramanujan

Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu chi tiết các tính chất củahàm sinh bởi các ước số và xét các ứng dụng của nó trong việc giải cácbài toán liên quan trong số học

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành bachương đề cập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 trình bày về ước số và các tính chất liên quan

Chương 2 trình bày các giá trị trung bình của hàm sinh bởi các ướcsố

Chương 3 trình bày một số bài toán ứng dụng trong số học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Phó Giáo sư, Tiến sĩNông Quốc Chinh, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu

và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin,phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, TrườngTHPT Hòn Gai và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôihoàn thành bản luận văn này

Chương 1

Hàm đếm các ước số d(n)

1.1 Một số kiến thức cơ bản của số học

1.1.1 Phép chia trong tập số nguyên

Định nghĩa 1.1 Cho hai số nguyên a và b , với b 6= 0 Nếu có một sốnguyên q sao cho a = bq thì ta nói rằng b chia hết a hay a chia hết cho

b hoặc b là ước của a và ký hiệu là b | a hay a b

a) Sự tồn tại: Gọi M là tập hợp các bội của số b không vượt quá a:

M = {bx | x ∈ Z, bx ≤ a}.

Ta có M ⊂ Z và M 6= ∅ vì chẳng hạn −|b|.|a| ∈ M

M bị chặn trên, vậy nó có số lớn nhất, ta gọi đó là bq Số nguyên bq + |b|

là một bội của b và bq + |b| /∈ M , do đó ta có bq ≤ a < bq + |b|, từ đósuy ra 0 ≤ a − bq < |b|

bq + r = bq1 + r1 ⇒ r − r1 ≤ b(q − q1)

Nhưng |r − r1| < |b|, cho nên |b||q − q1| < |b|, nghĩa là |q − q1| < 1 Hệthức này buộc q − q1 = 0 nghĩa là q = q1, từ đó suy ra r = r1(điều phảichứng minh)

1.1.2 Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN)

Định nghĩa 1.2 Cho hai số nguyên a, b trong đó ít nhất một số khác

0 Số dương d được gọi là ƯSCLN của a, b và được ký hiệu là d := (a, b)nếu

1 d | a và d | b ( d là ước số chung của a và b)

Tính chất 1.2

1 (ac, bc) = (a, b).c với c 6= 0.

c với c là một ước chung của a,b.

3 Nếu (a, b) = 1 thì (ac, b) = (c, b)

4 Nếu (a, b) = 1 và b ac thì b c

5 (b, a1) = (b, a2) = 1 ⇒ (b, a1a2) = 1

6 Nếu a c1, a c2 mà (c1, c2) = 1 thì a c1c2

Thuật toán tìm ƯSCLN của hai số nguyên

Chú ý 1.1 Nếu giữa các số nguyên a, b, q, r có hệ thức a = bq + r thì

Theo chú ý ta có

(a, b) = (b, r1) = = (rn−1, rn) = rn

Như vậy, ƯSCLN của hai số a, b là số dư cuối cùng khác 0 trong thuậttoán Euclid thực hiện trên hai số a, b.

1.1.3 Số nguyên tố

Định nghĩa 1.3 Số nguyên tố là một số tự nhiên lớn hơn 1 và không

có ước nào khác ngoài 1 và chính nó

Định lý 1.2 Ước nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 làmột số nguyên tố

Định lý 1.3 Cho a là một số tự nhiên và p là một số nguyên tố, thếthì hoặc a nguyên tố cùng nhau với p, hoặc a chia hết cho p

Định lý 1.4 Nếu số nguyên tố p là ước của một tích nhiều số thì nóphải là ước của ít nhất một trong các thừa số đó

Định lý 1.5 Nếu một số nguyên tố p là ước của một tích nhiều sốnguyên tố thì p phải trùng với một trong các số nguyên tố đó

Định lý 1.6 (Về phân tích chính tắc của một số tự nhiên) Mọi số tựnhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành một tích các thừa số nguyên

tố và sự phân tích đó là duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)

Chú ý 1.2 Nói chung, một thừa số nguyên tố trong phân tích có thểlặp lại, bởi vậy để cho gọn, các thừa số lặp lại được viết dưới dạng lũythừa:

tố cùng nhau) hàm f gọi là hàm nhân tính mạnh.

Ví dụ 1.2 Ta có

µ(1) = 1, µ(6) = 1, µ(2) = −1, µ(7) = −1, µ(3) = −1µ(8) = 0, µ(4) = 0, µ(9) = 0, µ(5) = −1, µ(10) = 1Định nghĩa 1.6 Hàm số học xác định số các ước dương của một sốnguyên dương n được gọi là hàm đếm các ước và kí hiệu là d(n)

0 ≤ ap ≤ νp(n)

Vì mỗi số mũ ap có thể nhận vp(n) + 1 giá trịn khác nhau nên ta có

Vì (m, n) = 1 nên tập hợp các số nguyên tố là ước của m và tập hợp các

số nguyên tố là ước của n là rời nhau Vì vậy

d(14) = d(21.71) = (1 + 1)(1 + 1) = 4d(15) = d(31.31) = (1 + 1)(1 + 1) = 4d(16) = d(24) = 4 + 1 = 5

d(17) = d(171) = 1 + 1 = 2d(18) = d(21.32) = (1 + 1)(2 + 1) = 6d(19) = d(191) = 1 + 1 = 2

d(20) = d(22.51) = (2 + 1)(1 + 1) = 6d(21) = d(211) = 1 + 1 = 2

Ví dụ 1.4 Chứng minh rằng n là số nguyên tố khi và chỉ khi d(n) = 2.Lời giải

• Nếu n là số nguyên tố thì n là một số tự nhiên lớn hơn 1 và không

có ước nào ngoài 1 và chính nó Do đó d(n) = 2

• Nếu d(n) = 2 thì số các ước số của số nguyên dương n là 2 Nhưvậy n là một số nguyên tố

Ví dụ 1.5 Chứng minh rằng d(n) là số nguyên tố khi và chỉ khi n = pq−1với q và p là các số nguyên tố

Như vậy d(n) là số nguyên tố

Ta được điều phải chứng minh

d|n

d = p

a 1 (a 1 +1) 2

a 2 (a 2 +1) 2

2 p

a s (a s +1) 2

Cho ε > 0 Do hàm số f (n) = d(n)

nε là hàm nhân tính nên chỉ cần chứngminh:

lim

p k →∞f (pk) = 0,với mọi số nguyên tố p Ta được

k + 1

2kε2

,

(vì d(pk) = k + 1) nên bị chặn đối với k ≥ 1, và vì vậy

kε 2

kε 2

1 ≤ v ≤ x/u lưới điểm này có thể chia thành ba lớp rời nhau

(i) 1 ≤ u ≤ x/u và 1 ≤ u ≤ √

x,(ii) 1 ≤ u ≤ √

x và √

x ≤ v ≤ x/u,

− x + O √x

= x log x + (2γ − 1)x + O √

x
.Vậy suy ra điều phải chứng minh

Trừ đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai ta được

X

n≤x

(log n − d(n) + 2γ) = O(x1/2) − 2γ{x} + O(log x) = O(x1/2)

Suy ra điều phải chứng minh

Bậc của sự phân tích số nguyên dương n thành đúng l thừa số là l –

bộ (d1, , dl) thỏa mãn n = d1 dl Hàm số các ước số d(n) xác định

số bậc của sự phân tích của n thành hai thừa số, do vậy sự phân tích

n = dd0 hoàn toàn xác định bởi thừa số thứ nhất d Với mọi số nguyêndương l, ta định nghĩa hàm số học dl(n) là số sự phân tích khác nhaucủa n thành đúng l thừa số Ví dụ, d1(n) = 1 và d2(n) = n với mọi n.Định lý 1.11 Với mọi l ≥ 1, hàm dl(n) là hàm nhân tính và

Cho (m, n) = 1 Với mỗi bậc của sự phân tích của mn thành l nhân

tử ta có thể xác định bậc của sự phân tích m và n thành l phần Nếu

mn = d1 dl là bậc của sự phân tích của mn thành l phần, với mỗi

i = 1, l tồn tại duy nhất số nguyên ei và fi thỏa mãn ei chia hết cho

m và fi chia hết cho n và di = ei.fi Vì vậy m = e1 el và n = f1 fl

là bậc của sự phân tích m và n phân biệt Sự xây dựng này có thể nghịchđảo vì vậy ta có thiết lập song ánh giữa bậc của sự phân tích mn và cặpcủa bậc sự phân tích m và n Ta suy ra rằng dl(m, n) = dl(m)dl(n), do

đó hàm dl là hàm nhân tính

Một sự phân tích của lũy thừa số nguyên tố pa có thể viết một cách duynhất dưới dạng pa = pb1pb2 pbl với (b1, , bl) là bậc của l – bộ các sốnguyên không âm thỏa mãn b1+ · · · + bl = a Ta suy ra rằng dl(pa) là sốbậc của sự phân chia a thành l phần không âm Ta hình dung dãy của

a + l − 1 là các ô vuông màu đỏ Nếu ta chọn l − 1 ô vuông màu xanh thìcòn lại a ô vuông màu đỏ có thể chia thành l dãy con (có thể rỗng) liên

tục của ô vuông màu đỏ, được tách bởi các ô vuông màu xanh Mỗi bậccủa sự phân chia a thành l phần không âm có thể vẽ được trong phươngpháp này, vì vậy dl(pa) là số các phương pháp để chọn l − 1 hình chữnhật từ tập hợp a + l − 1 hình chữ nhật, nghĩa là

dl(pa) = a + l − 1

l − 1

!

.Vậy định lý đã được chứng minh

l−1x) + O(Dl(x))

= x log

l

xl! + O(x log

l−1

x)

Ta được điều phải chứng minh

Chương 2

Giá trị trung bình của một vài hàm

số học sinh bởi các ước số

2.1 Giá trị trung bình của một vài hàm số học sinh

bởi các ước số

2.1.1 Định lí Ramanujan

Trong định lí 1.9 ta tính toán được giá trị trung bình của hàm d(n).Trong phần này ta sẽ xác định giá trị trung bình của bình phương hàmd(n) Ta bắt đầu với sự biểu diễn của d2(n)



µ(√n) nếu n là số chính phương,

0 trong các trường hợp còn lại

Ta có ˜µ là hàm nhân tính Do tích chập Dirichle của các hàm nhân tính

là hàm nhân tính nên hàm số ˜µ ∗ d4 là hàm nhân tính,và

˜

µ ∗ d4(n) = X

d|n

˜µ(d)d4n

Ta sẽ chứng minh rằng ˜µ ∗ d4(pa) = (a + 1)2 với mọi số nguyên tố p và

d2(n) = ˜µ ∗ d4(n),với mọi số nguyên dương n

Vậy định lí được chứng minh

Chứng minh Theo định lí 1.12 với l = 4 ta được

X

δ≤ √ x

!

(−1)i X

δ≤ √ x

log3δδ

1

δ2 log2 x

δ2 ≤ x log2x X

δ≤ √ x

1

δ2  x log2x

Vậy ta đã chứng minh xong định lí Ramanujan

Định nghĩa 2.1 Hàm số học σ(n) được định nghĩa là tổng tất cả cácước dương của n.

Nếu n ≥ 2 thì σ(n) ≥ n + 1 Ta có thể sử dụng sự phân tích thành nhân

tử của n để tính σ(n) Ta bắt đầu với ví dụ sau

Ví dụ Xét 180 = 22325 Mọi ước d của 180 đều có dạng d = 2a3b5c, với

3 − 1

1 .

32 − 1

3 − 1 = 7.4 = 28σ(13) = σ(131) = 13

2 − 1

13 − 1 =

168

12 = 14σ(14) = σ(21.71) = 2

2 − 1

1 .

72 − 1

1 = 3.8 = 24σ(15) = σ(31.51) = 3

2 − 1

2 .

52 − 1

4 = 4.6 = 24σ(16) = σ(24) = 4

5 − 1

1 = 31σ(17) = σ(171) = 17

2 − 1

16 = 18σ(18) = σ(21.32) = 2

1 − 1

1 .

32 − 1

2 = 3.13 = 39σ(19) = σ(191) = 19

2 − 1

18 = 20σ(20) = σ(22.51) = 2

Giả sử m và n là hai số nguyên tố cùng nhau Do không có số nguyên

tố nào là ước của cả m và n, ta có

p|mn

pνp (mn)+1− 1

p − 1

Vậy định lý được chứng minh.

2.2 Số hoàn hảo và các số liên quan

Định nghĩa 2.2 Số nguyên dương n được gọi là số hoàn hảo nếu σ(n) =2n Một số được gọi là số thừa nếu σ(n) > 2n Một số được gọi là sốthiếu nếu σ < 2n

Ví dụ các số dưới đây là số hoàn hảo

Vậy n là số hoàn hảo

Ngược lại, nếu n là số hoàn hảo, σ(n) = 2n Do n là số chẵn nên ta viết

n dưới dạng

n = 2k−1m,

2k(2k − 1)l = (2k − 1)σ (2k − 1)l

.Nếu l > 1 thì 1, l và (2k − 1)l là các ước khác nhau của (2k− 1)l, và

2kl = σ (2k− 1)l

≤ 1 + l + (2k− 1)l = 2kl + 1,điều này vô lý Vì vậy l = 1 và

2k = σ(2k − 1)l = 1 + (2k − 1) + X

d|(2k−1)l 1<d<2 k −1

d

Suy ra 2k − 1 không có các ước thực sự, vì vậy 2k − 1 là số nguyên tố.Nếu số mũ k là hợp số thì k = k1k2 với 1 < k1 ≤ k2 < k và

2k − 1 = (2k1)k2 − 1 = (2k1 − 1)(1 + 2k1 + 22k1 + · · · + 2k1 (k 2 −1)).Đây là hợp số, điều này sai Vì vậy k = p là số nguyên tố, và m = q =

2p− 1

Suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.3 Số nguyên tố có dạng 2p− 1 với p là số nguyên tố đượcgọi là số nguyên tố Mersenne

Theo định lý 2.4, mỗi số hoàn hảo chẵn liên kết duy nhất với một

số nguyên tố Mersenne Chỉ có hữu hạn các số nguyên tố Mersenne đượctìm ra, vì vậy chúng ta chỉ biết một số hữu hạn các số hoàn hảo chẵn.Một vấn đề chưa được giải quyết là có tồn tại vô hạn các số hoàn hảohay không Cho đến nay, ta vẫn chưa biết một số hoàn hảo lẻ nào và câu

hỏi có tồn tại một số hoàn hảo lẻ hay không vẫn chưa được giải quyết.Đặt

σ∗(n) = σ(n) − n = X

d|n d<n

d

Ta định nghĩa σ∗(0) = 0 Cặp số nguyên dương (m, n) được gọi là cặpthân mật nếu

σ(m) = σ(n) = m + n,và

σ∗(284) = 220

Ta không biết được rằng có tồn tại vô hạn các cặp số thân mật hay không

Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng (9363584, 9437056) là cặp thân mật.Lời giải

Ta có

9363584 = 27 × 191 × 383,nên

= 18800640

Suy ra

σ∗(9363584) = σ(9363584) − 9363584

= 9437056 (2.1)Lại có

9437056 = 27 × 73727,nên

σ(9437056) = 2

8 − 1

1 × 73727

2 − 173726

= 1800640

Suy ra

σ∗(9437056) = σ(9437056) − 9437056

Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.4 Với mỗi số nguyên dương n và số nguyên không âm

k, số nguyên Sk(n) được xác định từ hàm số σ∗ như sau

Từ sự tồn tại của số thừa, số hoàn hảo và số thiếu, ta thấy rằng

Sk+1(n) > Sk(n), Sk+1(n) = Sk(n) hoặc Sk+1(n) < Sk(n) và vì vậy dãycác ước số có thể dao động tăng hoặc giảm

• Đối với các số nguyên dương n nhỏ, qua tính toán cụ thể người taluôn thấy phần tử sau của dãy là tuần hoàn Chẳng hạn, dãy cácước số của 12 là

12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0, 0,

• Nếu n là số hoàn hảo, thì Sk(n) = n với mọi k và dãy {Sk(n)}∞k=0

là có đúng không mệnh đề: Với mọi số nguyên dương n, dãy {Sk(n)}∞k=0

là dãy chứa các phần tử sau tuần hoàn Bài toán này được gọi là bàitoán Catalan – Dickson

Ta có thể mở rộng “hàm tổng các ước” như sau Với mỗi số thực hoặcphức α ta định nghĩa hàm số học

σα(n) = X

d|n d≥1

dα

Khi đó σ0(n) là hàm số các ước số d(n), và σ1(n) = σ(n) Hàm số σα(n)

là hàm nhân tính với mọi số α

với mọi số nguyên dương k, số nghiệm của phương trình (1.2) với cd = k

và ab = k + l là d(k)d(l + k) Kí hiệu Ul(n) là số nghiệm của phươngtrình (3.2) trong tập số nguyên dương với cd = k ≤ n, khi đó

nr 2 ≤x

µ(r)d(n)

nr2

= X

n≤x

d(n)n

và vì vậy ac ≤ n/2 hoặc bd ≤ n/2 Kí hiệu P là số nghiệm khi ac ≤ n/2

và kí hiệu Q là số nghiệm khi bd ≤ n/2 và R là kí hiệu số nghiệm khiđồng thời ac ≤ n/2 và bd ≤ n/2 Từ (a, b, c, d) là nghiệm của phươngtrình khi và chỉ khi (b, a, d, c) cũng là nghiệm, ta suy ra được P = Q và

V (n) = P + Q − R = 2P − R

Trước tiên ta tính P Cố định hai số nguyên dương a và c, kí hiệuΦ(a, c, n) là số nghiệm của phương trình ac + bd = n với b, d là các sốnguyên dương, khi đó

ac≤n/2

Φ(a, c, n)

Giả sử r = (a, c) là ước dương lớn nhất của a và c Nếu r không chia hết

n Thì Φ(a, c, n) = 0 Vì vậy ta có thể giả sử rằng r chia hết n, khi đótồn tại các số nguyên dương α, γ, và η sao cho a = rα, c = rγ, n = rη và(α, γ) = 1 Hơn nữa Φ(a, c, n) = Φ(α, γ, η)

Từ (α, γ) = 1 tồn tại các số nguyên b0 và d0 sao cho αb0 + γd0 = η, vàmọi nghiệm của phương trình ab + cd = n đều có dạng b = b0 + γh và

d = d0 − αh với h là một số nguyên nào đó Từ đó suy ra được rằngmọi nghiệm của phương trình ab + cd = n đều có dạng b = b0 + γh và

d = d0 − αh với h là một số nguyên nào đó Nếu b > 0 và d > 0 thì

−b0

γ < h <

d0

α.Suy ra

nrαγ + ϑ,với |ϑ| ≤ 1 Ta có

ac≤n/2

1





= nX

r|n

1r



log n2r2



log n2r2

π2nσ(n) log2n + O(nσ(n) log2n)

Tiếp theo ta tính R Ta cố định a và c phương trình Diophantine tuyếntính ab + cd = n giải được nếu và chỉ nếu n chia hết cho r = (a, c) Taviết lại sao cho a = rα, c = rγ, n = rη và (α, γ) = 1 Nếu số nguyên b0

và d0 là nghiệm của phương trình ab + cd = n, thì mọi nghiệm đều códạng

b = b0 + γh và d = d0 − αh,với h là một số nguyên nào đó

Giả sử a và c là các số nguyên dương với ac ≤ n/2 Cho ψ(a, c, n) là tậpnghiệm của phương trình ab + cd = n với các số nguyên dương b và dthỏa mãn bd ≤ n/2

Khi đó ψ(a, c, n) = ψ(α, λ, η) đếm số các số nguyên h thỏa mãn

b0 + γh > 0 và d0 − αh > 0, (3.4)(b0 + γh)(d0 − αh) ≤ n/2 (3.5)

Từ bất đẳng thức (3.5),ta suy ra

u(1 − u) ≤ ac

2n ≤ 1

4.Giải bất đẳng thức bậc hai,ta suy ra được

−b0

γ < h ≤

(1 − v)nr2ac − b0

γ ,

và bất đẳng thức (3.7) suy ra

0 < 1 − u ≤ 1 − v

2 ,tương đương với

2)nr2ac = r.

Từ đó suy ra rằng nếu a và c là các số nguyên dương thỏa mãn ac ≤ n/2