a, Các bước khảo sát hàm số Tìm tập xác định: Lưu ý: hàm số bậc 3, bậc 4 có tập xác định , hàm phân thức có tập xác định Sự biến thiên: • Xét chiều biến thiên: +)Tính y’ +) Tìm điểm tại đó y’=0 hoặc không xác định +) Xét dấu y’ và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số • Tìm cực trị: tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu Lưu ý: Hàm phân thức không có cực trị. • Tìm giới hạn • Lập bảng biến thiên Đồ thị +) Xác định giao điểm của đồ thị với ox, oy. Hoặc xác định tọa độ các điểm đồ thị đi qua +) Vẽ các đường tiệm cận( nếu có) +) Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Trang 1CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A- Kiến thức cần nhớ
a, Các bước khảo sát hàm số
- Tìm tập xác định:
Lưu ý: hàm số bậc 3, bậc 4 có tập xác định D=¡ , hàm phân thức
ax b
cx d
+
d D
c
−
¡
- Sự biến thiên:
• Xét chiều biến thiên:
+)Tính y’
+) Tìm điểm tại đó y’=0 hoặc không xác định +) Xét dấu y’ và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Tìm cực trị: tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu
Lưu ý: Hàm phân thức y ax b(ad bc 0,c 0)
cx d
+
trị
• Tìm giới hạn
• Lập bảng biến thiên
- Đồ thị
+) Xác định giao điểm của đồ thị với ox, oy Hoặc xác định tọa độ các điểm đồ thị đi qua
+) Vẽ các đường tiệm cận( nếu có)
+) Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị
b, Dạng bài toán liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành
độ x0 thuộc đồ thị
Phương pháp:
+) Tính y’
+) Tính f x'( )0
+) Tính f x( )0
+) Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng: y= f x'( )(0 x x− 0)+ f x( )0
- Viết phương trình tiếp tuyến, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k
Phương pháp:
+) Tính y’
+) Giải phương trình y'=k để tìm ra các giá trị x
+) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là x cụ thể ở trên
- Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y=ax+b
Trang 2Phương pháp:
+) Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: y=ax+bnên suy ra
hệ số góc của tiếp tuyến bằng a
+) Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc là a
- Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b
Phương pháp:
+) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là 1
a
−
+) Viết phương trình tiếp tuyến với hệ số góc là 1
a
−
c, Dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) xác định, liên tục trên [ ]a b;
Phương pháp:
+) Tính đạo hàm f’(x)
+) Tìm các điểm x x1, , 2 trên ( )a b; mà f x'( ) 0= hoặc f x'( )không xác định
+) Tính f x( ), ( ), , ( ), ( )1 f x2 f a f b
+) Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong các số trên tương ứng là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho
B- Bài tập vận dụng
Câu 1 (Tốt nghiệp bổ túc 2004)
Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có đồ thị (Cm), m là tham số
a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1
Câu 2 (Tốt nghiệp phổ thông 2004)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 3
2sin sin
3
y= x− x trên đoạn [0 ; π]
b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) 1 4
2
x x
= − + −
+ trên đoạn [-1;2].
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 4 9 2
f x = x − x + trên đoạn [-2;1].
d, Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= −x3 2x2−7x−1 trên đoạn [-2;2]
Câu 3 (Tốt nghiệp phổ thông 2009).
Trang 3Cho hàm số 2 1
2
x y x
+
=
− .
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5
Câu 4 (Tốt nghiệp phổ thông 2010)
Cho hàm số 1 3 3 2
5
y= x − x +
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b, Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt
Câu 5 : (Đề tốt nghiệp 2012)
4
y= f x = x − x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết
0
"( ) 1
f x = − .
Câu 6: (Đại học khối B - 2003)
- Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1) (m là tham số)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
b,Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x= + 4−x2
Câu 7: (Đại học khối B – 2004)
Cho hàm số 1 3 2
3
y= x − x + x (1) có đồ thị (C).
a, Khảo sát hàm số (1)
b, Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Câu 8: (Đại học khối D – 2005)
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 2 1
m
y= x − x + (*) ( m là tham số).
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 2
b, Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1.Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0
Câu 9: (Đại học khối B – 2008)
Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
Trang 4b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9)
Câu 10 (Cao đẳng 2010)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 – 1
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng – 1
Câu 11: Cao đẳng 2011
Cho hàm số: 1 3 2
2 3 1
3
y= − x + x − +x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Câu 12 CĐ- 2012
Cho hàm số 2 3 (1)
1
x y x
+
= +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc
với đường thẳng y = x + 2