bài toán tiệm cận và khảo sát hàm số

Bài 07: Tiệm cận và Khảo sát hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI TIỆM CẬN VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số 2 1 1 x x y x − + = − . Tìm ñiểm M nằm trên ñồ thị hàm số ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 tiệm cận là nhỏ nhất. Giải: Gọi ñiểm M trên ñồ thị hàm số có tọa ñộ là: 0 0 0 1 1 ; 1M x x x   + + +     Phương trình tiệm cận ñứng và tiệm cần xiên là: 1 0; 0 x x y − = − = 0 0 0 0 ( ) 1 1 ( ) 2 2 d M TCD x S x d M TCX x x  → =  ⇒ ⇒ = +  → =   Áp dụng BðT Côsi ta có: 4 4 4 1 2 8 in S= 8 2 S M≥ = ⇒ Dấu “=” xảy ra 2 4 0 0 0 2 4 0 1 1 1 2 2 2 x x x x ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Vậy có 2 ñiểm M thõa mãn là: 4 4 1 2 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ;1 2 ; 1 ;1 2 2 2 2 2 M M     + + + − − −         Bài 2: Cho hàm số 1 2 x y x + = − . Tìm ñ i ể m M n ằ m trên ñồ th ị hàm s ố ñể t ổ ng kho ả ng cách t ừ M ñế n 2 ti ệ m c ậ n là nh ỏ nh ấ t Giải: G ọ i ñ i ể m M trên ñồ th ị hàm s ố có t ọ a ñộ là: 0 0 3 2 ;1M x x   + +     Ph ươ ng trình ti ệ m c ậ n ñứ ng và ti ệ m c ầ n ngang là: 2 0; 1 0 x y − = − = 0 0 0 0 ( ) 1 3 ( ) d M TCD x S x d M TCN x x  → =  ⇒ ⇒ = +  → =   Áp d ụ ng B ð T Côsi ta có: 2 3 in S=2 3 S M≥ ⇒ D ấ u “=” x ả y ra 2 0 0 3 3 x x ⇔ = ⇔ = ± V ậ y có 2 ñ i ể m M thõa mãn là: ( ) ( ) 1 2 2 3;1 3 ; 2 3;1 3 M M+ + − − Bài 3: Cho hàm s ố 2 1 1 x mx y x + − = − . Tìm m ñể ti ệ m c ậ n xiên c ủ a ñồ th ị hàm s ố t ạ o v ớ i 2 tr ụ c t ọ a ñộ m ộ t tam giác có di ệ n tích là 8 Bài 07: Tiệm cận và Khảo sát hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Page 2 of 2 Giải: Ta tìm ñượ c PT ti ệ m c ậ n xiên là: : 1 m d y x m = + + Ta có ( ) ( ) Ox 0; 1 Oy ( 1);0 m m d A m d B m ∩ = +    ∩ = − +   ( ) 2 2 1 1 1 . 1 8 2 2 2 3 ( 1) 16 5 OAB A B S OA OB x y m m m m ⇒ = = = + = =  ⇔ + = ⇔  = −  △ Bài 4: Cho [ ] 2 2 cos 1 ( ) ; 0; 2sin x x α y f x α π x α + + = = ∈ + . Tìm α ñể kho ả ng cách t ừ g ố c T ọ a ñộ O là Max. Giải: Ta tìm ñượ c ti ệ m c ậ n xiên có PT là: 2( os sin ) : 2( os sin ) 0 y x c α α x y c α α = + − ⇔ − + − = △ [ ] 2 2 os 2( os sin ) 4 ( ) 2 os 2 4 2 2 0; 3 ( ) ax 2 4 os 1 4 π c α c α α π d O c α α π π d O TCX M α π c α   +   −     ⇒ → = = = + ≤      ∈  ⇒ → = ⇔ ⇔ =    + = ±       △ Bài 5: L ấ y ñ i ể m M b ấ t kì thu ộ c ñồ th ị hàm s ố 2 3 1 ( ) 2 x x y f x x + − = = − (C). CMR: Tích các kho ả ng cách t ừ M ñế n 2 ti ệ m c ậ n c ủ a (C) luôn không ñổ i. Giải: G ọ i ñ i ể m M trên ñồ th ị hàm s ố có t ọ a ñộ là: 0 0 0 9 2 ; 7M x x x   + + +     Ph ươ ng trình ti ệ m c ậ n ñứ ng và ti ệ m c ầ n xiên là: 2 0; 5 0 x x y − = − + = 0 0 0 0 ( ) 9 9 2 . ons 9 ( ) 2 2 2 d M TCD x P x c t d M TCX x x  → =  ⇒ ⇒ = = =  → =   ………………….Hết……………… Nguồn: Hocmai.vns . Bài 07: Tiệm cận và Khảo sát hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ. x x   + +     Ph ươ ng trình ti ệ m c ậ n ñứ ng và ti ệ m c ầ n ngang là: 2 0; 1 0 x y − = − = 0 0 0 0 ( ) 1 3 ( ) d M TCD x S x d M TCN x x  →