29 Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số docx

Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) (C): y = f(x) 1) Phương trình (1)  f(x) =m-1 2) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1 3) Chia ra các trường hợp để biện luận Nếu thì Bài 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3)Hàm số đồng biến trên tập xác định D  / y  0 x   D  0 0 a       Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3)Hàm số nghịch biến trên tập xác định D  / y  0 x   D  0 0 a       Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu) 1) Đạo hàm / y 2)Hàm số có hai cực trị  phương trình / y =0 có hai nghiệm phân biệt  0 0 a       Bài 5: Tìm m để để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 0 x 1) Đạo hàm / y 2)Hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 0 x  / 0 ( ) 0 y x   m=? 2) Thử lại với m=? thì / y =? 3) / y =0  0 x x     4) // ? y  ;   // 0 0 y x a    0 x là điểm cực tiểu   // 0 0 y x a    0 x là điểm cực đại 4) Vậy với m= ? thì hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = 0 x Bài 6: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3)Vì 0   suy ra / y  0 x   D nên hàm số đồng biến trên tập xác định Bài 7: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3) Vì 0   suy ra / y  0 x   D nên hàm số nghịch biến trên TXĐ D Bài 8: Chứng minh hàm số y = f(x) có hai cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu) 1) Đạo hàm / y 2) Vì 0   nên pt / y =0 có hai nghiệm phân biệt 3)Vậy hàm số đã cho luôn có hai cực trị Bài 9: Tìm m để hàm số y = f(x) có ba cực trị Đạo hàm / y 2) / y =0 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x          3)Hàm số có 3 cực trị  PT / y =0 có 3 nghiệm pb  g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 x 0 0 ( ) 0 g x        Bài 10: Tìm điểm cố định của đồ thị ( m C ): y=f(x) 1) y=f(x)  mg(x) +h(x) –y=0 2) Tọa độ của điểm cố định là nghiệm của hệ ( ) 0 ( ) 0 g x h x y        ( ) 0 ( ) g x y h x      3)vậy ( m C ) có các điểm cố định là A( : ) B( : ) Trung tâm dạy kèm toán lý hóa 140 LNQ Bài 11: Tìm k để đt d : y = kx +b cắt (C) ; y = f(x) tại 3 điểm phân biệt 1) Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của PT kx+b = f(x) (1) 2) (1) 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x          3) d cắt (C) tại 3 điểm  phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 x 0 0 ( ) 0 g x        Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 Bài11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b) 1) TXĐ: D = ? 2) đạo hàm / y cho / y =0 4) lập BBT 5) Kết luận d 1 ( ; ) ax ( ) c a b M y y f x   với 1 x ( ; ) a b  2 ( ; ) ( ) ct a b M iny y f x   với 2 x ( ; ) a b  Bài12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] 1)TXĐ: D = ? 2) đạo hàm / y cho / y =0  1 2 ( ; ) ( ; ) x x a b x x a b        3)Tính 1 ( ) ; ( ) ; ( ) y a m y b n y x p    giả sử p>n>m 4)Kết luận 1 [ ; ] ax ( ) a b M y y x p   [ ; ] ( ) a b M iny f a m   Bài 13: Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x) 1) TXĐ: D= ? 2) đạo hàm / y cho / y =0 (nếu có) 3) BBT 4) Kết luận Chú ý: + Giả sử 2 ax ( 0) y bx c a      nếu 2 4 b ac    <0 thì 0 y x R     + Giả sử 2 ax ( 0) y bx c a      nếu 2 4 b ac    <0 thì 0 y x R     + Giả sử 2 ax ( 0) y bx c a      nếu 2 4 b ac    =0 thì 0 y x R     + Giả sử 2 ax ( 0) y bx c a      nếu 2 4 b ac    =0 thì 0 y x R     Bài 14: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) 1)TXĐ: D= ? 2) đạo hàm / y cho / y =0  1 2 x x x x      3) // y =? Cách 1: Lập bảng biến thiên Căn cứ vào bảng biến thiên rút ra kêt luận Dấu hiệu 1 Cách 2: Đạo hàm cấp 2 // y Dấu hiệu 2 Nếu 1 ( ) 0 y x a    thì 1 x là điểm cực tiểu của hàm số Nếu 2 ( ) 0 y x b    thì 2 x là điểm cực đại của hàm số Bài 15: Viết PTTT của đồ thị (C) tại Điểm M có   : o o M x y a. Điểm M có hoành độ 0 x x  0 0 ( ) y f x y      0 0 ; M x y  b. Điểm M có tung độ 0 y y  0 0 0 0 ( ) ( ; ) y f x x x M x y      1) / y =?  Hệ số góc của tiếp tuyến tại   0 0 ; M x y là: 0 ( ) ? y x   2) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại   0 0 ; M x y là: y 0 0 0 ( )( ) y y x x x     Bài 16: Viết PTTT biết tiếp tuyến a)Tiếp tuyến có hệ số góc k  Tiếp tuyến d: y=kx+c b)Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=kx+b  Tiếp tuyến d: y=kx+c (c  b) c)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= 1 x b k    Tiếp tuyến d: y=kx+c d)Tiếp tuyến đi qua điểm   0 0 ; M x y có hệ số góc k  Tiếp tuyến d: y- 0 y =k(x- 0 x )  y=kx+c 1) d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) f x kx c f x k        2) Giải hệ phương trình tìm x  c=?. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=kx+c Chú ý: 1) Đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với đồ thị (C): y=f(x) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) f x a x b f x a        2) Tiếp tuyến d hợp với trục hoành 1 góc 0 45    tiếp tuyến có hệ số góc k=  tan 0 45 = 1  Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 Bài 17: Viết PT đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của đồ thị ( m c ): y=f(x) 1) Chia y cho / y được 2 ax bx c   dư ex +f ta có   / 2 . ax ex y y bx c f      2) Gọi     1 1 1 2 2 2 ; ; ; M x y M x y là 2 điểm cực trị của ( m c ) 3) Vì   1 1 1 ; ( ) m M x y C  nên ta có / 2 1 1 1 1 1 1 1 ( )(ax ) ex ex y y x bx c f y f         do / 1 ( ) 0 y x  Tương tự   2 2 2 ; ( ) m M x y C  nên ta có / 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(ax ) ex ex y y x bx c f y f         do / 2 ( ) 0 y x  2) Vậy đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của ( m c ) có phương trình là ex y f   Bài 18: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt 1) PT f(x) =0 0 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 x x x x g x g x          2) PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt  phương trình g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 0 ( ) 0 g x        Bài 19: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt  hàm số có 2 cực trị và d . 0 c ct y y   pt / 0 y  có hai nghiệm phân biệt và d . 0 c ct y y  0 . 0 cd ct y y        Sử dụng trong th không đoán trước 1 nghiệm hoặc không giải được bằng đồ thị Bài 20: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) sử dụng đồ thị 1) Phương trình (1)  f(x) =m-1 (C): y = f(x) 2)PT (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm )  đồ thị (C): y = f(x) cắt đường thẳng d: y = m-1 tại 3 điểm (2 điểm , 1 điểm )  Bài 21: Tìm m để đường thẳng d: y= am+b (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm) Đường thẳng d: y= m (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm)  ? < m < ? Bài 22: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (1nghiêm, 2 nghiệm) 1) Phương trình (1)  f(x) =m-1 (C): y = f(x) 2)Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1 1) Phương trình (1) có 3 nghiệm  d cắt (C) tại 3 điểm  ? < m-1 < ? Bài 23: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục tung Oy Gọi M=(C) I Oy  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ( ) 0 y f x x      Bài 24: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục hoành Ox Gọi M=(C) I Ox  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ( ) ( ) 0 0 0 y f x f x y y            Bài 25: 7 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y cho / y =0 nếu có 3) Chiều biến thiên (để trống 4 dòng) 4) Giới hạn 5) BBT 6) Cực trị 7) Vẽ Bài 26: Tìm m để hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (  ;+  ) 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2 ( ) y g x ax bx c     (a > 0 ) 3) lập  = ? 4) Nếu 0   thì / y  0 x R   nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên (  ;+  ) 5) Nếu 0   thì PT / y =0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x ( 1 2 x x  )BBT x Hàm số đồng biến trên (  ;+  )  PT / y =0 có 2 nghiệm pb 1 2 ; x x / y thỏa đk 1 2 x x a    0 ( ) 0 0 2 ag S               Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 Bài 27: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (  ;  ) 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2 ( ) y g x ax bx c     (a > 0 ) 3) lập  = ? 4) Nếu 0   thì / y  0 x R   nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên (  ;  ) o thỏa đkbt 5) Nếu 0   thì PT / y =0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x ( 1 2 x x  )BBT x Hàm số nghịch biến trên (  ;  )  PT / y =0 có 2 nghiệm pb 1 2 ; x x / y thỏa đk 1 2 x x       ( ) 0 ( ) 0 ag ag        y Bài 28: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (  ;+  ) 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2 ( ) y g x ax bx c     (a < 0 ) 3) lập  = ? 4) Nếu 0   thì / y  0 x R   nên hàm số nghịch biến trên R do đó nó nghịch biến trên (  ;+  ) 5) Nếu 0   thì PT / y =0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x ( 1 2 x x  ) x Hàm số nghịch biến trên (  ;+  )  pt / y =0 có 2 nghiệm pb 1 2 ; x x / y thỏa đk 1 2 x x a    0 ( ) 0 0 2 ag S               Bài 29: (C) : y= f(x) có đạo hàm / 2 ( ) y g x ax bx c     (a  0) 1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung Oy  hàm số có 2 (điểm ) cực trị trái dấu  PT / y =0 có 2 nghiệm trái dấu  P= 1 2 . 0 c x x a   2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục tung Oy  hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu  PT / y =0 có 2 nghiệm cùng dấu  0 0 P       3) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên phải đối với trục tung Oy  hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu dương  PT / y =0 có 2 nghiệm dương pb  0 0 0 c P a b S a                 4) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên trái đối với trục tung Oy  hàm số có 2 (điểm ) cực trị cùng dấu âm  PT / y =0 có 2 nghiệm âm pb  0 0 0 c P a b S a                 5) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục hoành Ox  hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu  PT / y =0 có 2 nghiệm pb và d . 0 c ct y y   0 . 0 cd ct y y        6) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành Ox  hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu  PT / y =0 có 2 nghiệm pb và d . 0 c ct y y   0 . 0 cd ct y y        Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655 . 1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3 )Hàm số đồng biến trên tập xác định D  / y  0 x   D  0 0 a       Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch. TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / y 3 )Hàm số nghịch biến trên tập xác định D  / y  0 x   D  0 0 a       Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai