một số bài toán khảo sát hàm số

Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè * T×m giao ®iÓm cña hai ® êng * ViÕt ph ¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đ ờng Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C 1 ) . Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C 1 ). Giải : M 0 (x 0 ;y 0 ) là giao điểm của (C) và (C 1 ) khi và chỉ khi (x 0 ;y 0 ) là nghiệm của hệ y = f(x) y = g(x) Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C 1 ) ta giải ph ơng trình : f(x) = g(x) (1) Nếu x 0 , x 1 là nghiệm của (1) thì các điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) ; M 1 (x 1 ; f(x 1 )) là các giao điểm của (C) và (C 1 ) ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số y = 2x 3x6x 2 + + Và y= x- m Giải : Xét ph ơng trình : mx 2x 3x6x 2 = + + ( X - 2 ) x 2 -6x+3 = (x-m)(x+2) (x - 2 ) x 2 -6x+3 = x 2 + (2-m)x-2m (x - 2 ) (8-m)x-3-2m = 0 (2) (x - 2 ) Biện luận * m=8 : (2) có dạng 0x-19 = 0 (2) vô nghiệm Không có giao điểm * m ≠ 8 : ph ¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt m8 m23 x − + = nghiÖm nµy kh¸c -2 , v× nÕu 2 m8 m23 −= − + ⇔ 3+2m =-16 +2m ⇔ 3= -16 (v« lý ) VËy trong tr êng hîp nµy , cã mét giao ®iÓm lµ (x;y) víi : m8 m23 x − + = ; y = x- m ( 8 - m ) x -2m -3 = 0 ( 2 ) y x 0 -1 1 -2 -4 -2-3 2 3 1 Ví dụ 2 a, Khảo sát hàm số : y =x 3 + 3x 2 - 4 b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của ph ơng trình : x 3 + 3x 2 - 4 =m (*) Giải a, Ta có đồ thị sau (C) b, Số nghiệm của ph ơng trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đ ờng thẳng y = m y =m y 0 -1 1 -2 -4 -2-3 2 3 1 y = m KÕt luËn : ⇒ Cã 1 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 1 nghiÖm y x 0 -1 1 -2 -4 -2-3 2 3 1 + + m = 0 m = - 4 ⇒ Cã 2 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 2 nghiÖm + - 4 < m < 0 ⇒ Cã 3 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 3 nghiÖm y= m m > 0 m < -4 Bài toán 2 : Viết ph ơng trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) . Gọi (C) là đồ thị , viết ph ơng trình tiếp tuyến của (C) biết : Tr ờng hợp 1 : Tiếp điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) (C) Giải : Ph ơng trình tiếp tuyến của (C) tại M 0 (x 0 ; y 0 ) là : y - y 0 = f (x 0 ) (x -x 0 ) Tr ờng hợp 2 : Đi qua điểm M 1 (x 1 ; y 1 ) Giải : - Đ ờng thẳng d đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ) và có hệ số góc k có ph ơng trình : y-y 1 = k(x-x 1 ) y= k (x-x 1 ) + y 1 - Để cho d là tiếp tuyến của (C) hệ sau có nghiệm : f(x) = k(x-x 1 ) + y 1 f (x) = k + x 0 y 0 ; f(x 0 ) + y 0 x 0 ; f(x 0 ) + f(x 0 ) x 0 ; y 0 (y 0 = f(x 0 ) ) (Gpt : f(x) =y 0 x 0 ) ( Gpt : f(x) = f(x 0 ) x 0 ) VÝ dô 3 : Cho ® êng cong y=x 3 . ViÕt ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ® êng cong ®ã : a, T¹i ®iÓm (-1 ;-1 ) b, BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 3 Gi¶i : a, y ’ =3x 2 ⇒ y ’ (-1) = 3 Ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ : y+1 =3(x+1) ⇔ y = 3x +2 b , Gi¶i ph ¬ng tr×nh : 3x 2 = 3 ⇔ x = ± 1 x= 1 ⇒ y(1) = 1 ⇒ pttt : y- 1 =3(x -1 ) ⇔ y = 3x -2 x =-1 ⇒ pttt : y =3x +2 Củng cố Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) và y =g(x) có đồ thị t ơng ứng là (C) và(C ) Hai đồ thị (C) và (C ) đ ợc gọi là tiếp xúc với nhau tại một điểm chung ,nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến, khi đó diểm chung đ ợc gọi là tiếp điểm Nh vậy ,hai đồ thị (C ) và (C ) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ ph ơng trình sau có nghiệm : f(x)=g(x) f(x) =g(x) . cña hai ® êng * ViÕt ph ¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đ ờng Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C 1 ) . Hãy tìm các giao điểm. y x 0 -1 1 -2 -4 -2-3 2 3 1 Ví dụ 2 a, Khảo sát hàm số : y =x 3 + 3x 2 - 4 b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của ph ơng trình : x 3 + 3x 2 - 4 =m (*) Giải a, Ta có đồ thị sau (C) b, Số nghiệm của ph ơng. < 0 ⇒ Cã 3 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 3 nghiÖm y= m m > 0 m < -4 Bài toán 2 : Viết ph ơng trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) . Gọi (C) là đồ thị , viết ph ơng trình tiếp tuyến của (C)