Một vài kết quả quen thuộc trong bài toán khảo sát hàm số

Khảo sát hàm số CÁC KẾT QUẢ QUEN THUỘC CỦA BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ Kết anh Popeye Nguyễn sưu tầm Mình bổ sung vài ý kèm theo chứng minh Nếu có sai sót bạn inbox cho qua facebook: Vệ Tâm Cám ơn người KẾT QUẢ 1: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d Điều kiện để hàm số có cực trị b2 − 3ac > phương trình đường thẳng qua hai cực trị đồ thị hàm số có dạng: 2c 2b2 − 9a x+d− bc 9a M AT H y= hay ∆ = 9a 9ay − y y Trong ∆ phương trình qua hai điểm cực trị Chứng minh Cho hàm số y = ax + bx + cx + d: Ta có: y = 3ax2 + 2bx + c y = 6ax + 2b Ta có: y = ⇒ 9ay = 3ax + b 9a (3ax2 + 2bx + c) + (6ac − 2b2 ) 9ad − bc x+ 9a 9a y y + Ax + B Ta không cần quan tâm A B có dạng = T (0) Nhập T (x) = 9ay − y y ta có: B A = T (1) − T (0) ax + b d a có TCĐ x = − TCN y = Đối với đồ thị cx + d c c ax2 + bx + c e a bd − ae y= ta có TCĐ x = − TCX y = x + dx + e d d d2 KẾT QUẢ 2: Đồ thị hàm số y = Ta thực phép chia ax2 Chứng minh + bx + c cho dx + e: a bd − ae x+ x→∞ d d2 cd2 − bde + ac2 = lim =0 x→∞ d2 (dx + e) a bd − ae Vậy TCX đồ thị là: y = x + d d2 Ta có: lim f (x) − ** Cách khác: Giả sử TCX đồ thị có dạng y = mx + n Ta tìm m n cách: f (x) x→∞ x n = lim (f (x) − mx) m = lim x→∞ Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453 Khảo sát hàm số KẾT QUẢ 3: Tích hai khoảng cách từ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = đến hai tiệm cận hàm số số không đổi Cụ thể số ax + b cx + d bc − ad c2 Chứng minh Gọi x0 hoành độ điểm M thuộc (C) Ta có: M x0 ; ax0 + b d a Tiệm cận đứng x = − tiệm cận ngang y = cx0 + d c c Khi tích hai khoảng cách đến hai tiệm cận là: x0 + ax0 + b a cx0 + d bc − ad bc − ad d = = − c cx0 + d c c c(cx0 + d) c2 KẾT QUẢ 4: Cho hàm số y = ax + b Khi điểm M có hoành độ x = ± cx + d c |bc − ad| − d c M AT H thuộc đồ thị hàm số điểm mà tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đồ thị hàm số nhỏ Chứng minh Gọi M ( x0 ; ax0 + b cx0 + d điểm thuộc đồ thị hàm số d c a c Hai tiệm cận có phương trình, TCĐ x = − TCN y = Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là: x0 + d ax0 + b a cx0 + d bc − ad − + = + ≥2 c cx0 + d c c c(cx0 + d) bc − ad (không đổi) c2 cx0 + d bc − ad = c c(cx0 + d) d 1√ bc − da − ⇔ (cx0 + d)2 = |bc − ad| ⇔ x0 = ± c c Dấu ” = ” xảy KẾT QUẢ 5: Cho đồ thị hàm số y = ax + b Gọi I tâm đối xứng đồ thị hàm số Khi cx + d không tồn tiếp tuyến đồ thị hàm số I Chứng minh a d d a TCĐ x = − ⇒ I − ; c c c c Và f (x) điểm I không tồn nên không tồn tiếp tuyến hàm số Ta có TCN y = KẾT QUẢ 6: Phương trình hoành độ giao điểm tiếp tuyến x0 hàm số y = f (x) (hàm bậc ba trùng phương ) với đồ thị hàm số y = f (x) có nghiệm kép x = x0 Chứng minh • Hàm bậc Ta có y = ax + bx + cx + d Tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 là: y = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d) Phương trình hoành độ giao điểm tiếp tuyến hàm số bậc ba là: ax3 + bx2 + cx + d = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d) ⇔ a(x − x0 )(x2 + xx0 + x20 ) + b(x − x0 )(x + x0 ) + c(x − x0 ) = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) ⇔ (x − x0 )(−2ax2 + x(ax0 − b) + bx0 + ax20 ) = ⇔ (x − x0 )(x − x0 )(2ax + ax0 + b) = ⇔ (x − x0 )2 (2ax + ax0 + b) = • Hàm bậc Ta có y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e bạn chứng minh tương tự KẾT QUẢ 7: Cho hàm số y = ax + b Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số, cx + d Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453 Khảo sát hàm số M điểm thuộc đồ thị Tiếp tuyến M đồ thị hàm số cắt hai tiệm cận A B Khi diện tích tam giác IAB không đổi hoành độ x = ± c |ad − bc| − bc − ad Và điểm M có c2 d điểm thỏa mãn điều kiện chu vi tam giác IAB nhỏ c Chứng minh Gọi M x0 ; ax0 + b cx0 + d d a c c điểm thuộc đồ thị hàm số Giao hai tiệm cận I − ; Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M có dạng ∆ : y = ad − bc ax0 + b (x − x ) + (cx0 + d)2 cx0 + d d d 2bc − ad + acx0 c c c(cx0 + d) 2cx0 + d a a Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang y = nên B ; c c c − → −→ 2cx0 + 2d 2bc − 2da ;0 Ta có: IA = 0; IB = c(cx0 + d) c 2cx0 + 2d bc − ad 1 2bc − 2ad =2 Ta thấy IA⊥IB nên SIAB = IA.IB = 2 c(cx0 + d) c c2 Chu vi ∆IAB là: √ PIAB = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB √ bc − ad Ta có IA + IB ≥ IA.IB = 2 c2 M AT H Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = − nên A − ; IA2 + IB ≥ 2IA.IB = ⇒ √ IA2 + IB ≥ ⇒ PIAB ≥ bc − ad c2 bc − ad c2 bc − ad +2 c2 Dấu ” = ” xảy bc − ad c2 2bc − 2ad 2cx0 + 2d = ⇔x=± c(cx0 + d) c c |ad − bc| − d c KẾT QUẢ 8: Để đồ thị hàm  số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm lập thành ac >   ab < cấp số cộng điều kiện  b2 = 100 ac Chứng minh Phương trình hoành độ giao điểm (C) Ox là: ax4 + bx2 + c = (1) ⇔ at2 + bt + c = (2) (t = x2 ≥ 0) Để phương (1) có nghiệm phương trình (2) phải có nghiệm phân biệt trình  phân biệt √ − 4ac > b −b − b − 4ac   b t1 =  √2a dương ⇒ − a > ⇒ −b + b2 − 4ac  c  >0 t2 = 2a a Từ ta suy nghiệm phương trình (1) là: x1 = − −b + √ b2 − 4ac ; x2 = − 2a −b − √ b2 − 4ac ; x3 = 2a −b − √ b2 − 4ac ; x4 = 2a Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453 −b + √ b2 − 4ac 2a Khảo sát hàm số + x3 = 2x2 Điều kiện để điểm lập thành cấp số cộng x x2 + x4 = 2x3 Ta cần trường hợp x1 + x3 = 2x2 √ b2 − 4ac −b + b2 − 4ac − = −2 ⇔ 2a 2a √ b c b2 − 4ac ⇔ =2 − a a a c(b − 4ac) 3b2 12c ⇔ = − a a a a ⇔ 136acb2 − 9b4 − 400a2 c2 = 100 ac ⇔ (9b2 − 100ac)(b2 − 4ac) = ⇔ b2 = √ −b − √ b2 − 4ac 2a M AT H −b − BÀI TẬP Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453