Khảo sát hàm số CÁC KẾT QUẢ QUEN THUỘC CỦA BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ Kết anh Popeye Nguyễn sưu tầm Mình bổ sung vài ý kèm theo chứng minh Nếu có sai sót bạn inbox cho qua facebook: Vệ Tâm Cám ơn người KẾT QUẢ 1: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d Điều kiện để hàm số có cực trị b2 − 3ac > phương trình đường thẳng qua hai cực trị đồ thị hàm số có dạng: 2c 2b2 − 9a x+d− bc 9a M AT H y= hay ∆ = 9a 9ay − y y Trong ∆ phương trình qua hai điểm cực trị Chứng minh Cho hàm số y = ax + bx + cx + d: Ta có: y = 3ax2 + 2bx + c y = 6ax + 2b Ta có: y = ⇒ 9ay = 3ax + b 9a (3ax2 + 2bx + c) + (6ac − 2b2 ) 9ad − bc x+ 9a 9a y y + Ax + B Ta không cần quan tâm A B có dạng = T (0) Nhập T (x) = 9ay − y y ta có: B A = T (1) − T (0) ax + b d a có TCĐ x = − TCN y = Đối với đồ thị cx + d c c ax2 + bx + c e a bd − ae y= ta có TCĐ x = − TCX y = x + dx + e d d d2 KẾT QUẢ 2: Đồ thị hàm số y = Ta thực phép chia ax2 Chứng minh + bx + c cho dx + e: a bd − ae x+ x→∞ d d2 cd2 − bde + ac2 = lim =0 x→∞ d2 (dx + e) a bd − ae Vậy TCX đồ thị là: y = x + d d2 Ta có: lim f (x) − ** Cách khác: Giả sử TCX đồ thị có dạng y = mx + n Ta tìm m n cách: f (x) x→∞ x n = lim (f (x) − mx) m = lim x→∞ Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453 Khảo sát hàm số KẾT QUẢ 3: Tích hai khoảng cách từ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = đến hai tiệm cận hàm số số không đổi Cụ thể số ax + b cx + d bc − ad c2 Chứng minh Gọi x0 hoành độ điểm M thuộc (C) Ta có: M x0 ; ax0 + b d a Tiệm cận đứng x = − tiệm cận ngang y = cx0 + d c c Khi tích hai khoảng cách đến hai tiệm cận là: x0 + ax0 + b a cx0 + d bc − ad bc − ad d = = − c cx0 + d c c c(cx0 + d) c2 KẾT QUẢ 4: Cho hàm số y = ax + b Khi điểm M có hoành độ x = ± cx + d c |bc − ad| − d c M AT H thuộc đồ thị hàm số điểm mà tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đồ thị hàm số nhỏ Chứng minh Gọi M ( x0 ; ax0 + b cx0 + d điểm thuộc đồ thị hàm số d c a c Hai tiệm cận có phương trình, TCĐ x = − TCN y = Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là: x0 + d ax0 + b a cx0 + d bc − ad − + = + ≥2 c cx0 + d c c c(cx0 + d) bc − ad (không đổi) c2 cx0 + d bc − ad = c c(cx0 + d) d 1√ bc − da − ⇔ (cx0 + d)2 = |bc − ad| ⇔ x0 = ± c c Dấu ” = ” xảy KẾT QUẢ 5: Cho đồ thị hàm số y = ax + b Gọi I tâm đối xứng đồ thị hàm số Khi cx + d không tồn tiếp tuyến đồ thị hàm số I Chứng minh a d d a TCĐ x = − ⇒ I − ; c c c c Và f (x) điểm I không tồn nên không tồn tiếp tuyến hàm số Ta có TCN y = KẾT QUẢ 6: Phương trình hoành độ giao điểm tiếp tuyến x0 hàm số y = f (x) (hàm bậc ba trùng phương ) với đồ thị hàm số y = f (x) có nghiệm kép x = x0 Chứng minh • Hàm bậc Ta có y = ax + bx + cx + d Tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 là: y = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d) Phương trình hoành độ giao điểm tiếp tuyến hàm số bậc ba là: ax3 + bx2 + cx + d = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d) ⇔ a(x − x0 )(x2 + xx0 + x20 ) + b(x − x0 )(x + x0 ) + c(x − x0 ) = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) ⇔ (x − x0 )(−2ax2 + x(ax0 − b) + bx0 + ax20 ) = ⇔ (x − x0 )(x − x0 )(2ax + ax0 + b) = ⇔ (x − x0 )2 (2ax + ax0 + b) = • Hàm bậc Ta có y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e bạn chứng minh tương tự KẾT QUẢ 7: Cho hàm số y = ax + b Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số, cx + d Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453 Khảo sát hàm số M điểm thuộc đồ thị Tiếp tuyến M đồ thị hàm số cắt hai tiệm cận A B Khi diện tích tam giác IAB không đổi hoành độ x = ± c |ad − bc| − bc − ad Và điểm M có c2 d điểm thỏa mãn điều kiện chu vi tam giác IAB nhỏ c Chứng minh Gọi M x0 ; ax0 + b cx0 + d d a c c điểm thuộc đồ thị hàm số Giao hai tiệm cận I − ; Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M có dạng ∆ : y = ad − bc ax0 + b (x − x ) + (cx0 + d)2 cx0 + d d d 2bc − ad + acx0 c c c(cx0 + d) 2cx0 + d a a Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang y = nên B ; c c c − → −→ 2cx0 + 2d 2bc − 2da ;0 Ta có: IA = 0; IB = c(cx0 + d) c 2cx0 + 2d bc − ad 1 2bc − 2ad =2 Ta thấy IA⊥IB nên SIAB = IA.IB = 2 c(cx0 + d) c c2 Chu vi ∆IAB là: √ PIAB = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB √ bc − ad Ta có IA + IB ≥ IA.IB = 2 c2 M AT H Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = − nên A − ; IA2 + IB ≥ 2IA.IB = ⇒ √ IA2 + IB ≥ ⇒ PIAB ≥ bc − ad c2 bc − ad c2 bc − ad +2 c2 Dấu ” = ” xảy bc − ad c2 2bc − 2ad 2cx0 + 2d = ⇔x=± c(cx0 + d) c c |ad − bc| − d c KẾT QUẢ 8: Để đồ thị hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm lập thành ac > ab < cấp số cộng điều kiện b2 = 100 ac Chứng minh Phương trình hoành độ giao điểm (C) Ox là: ax4 + bx2 + c = (1) ⇔ at2 + bt + c = (2) (t = x2 ≥ 0) Để phương (1) có nghiệm phương trình (2) phải có nghiệm phân biệt trình phân biệt √ − 4ac > b −b − b − 4ac b t1 = √2a dương ⇒ − a > ⇒ −b + b2 − 4ac c >0 t2 = 2a a Từ ta suy nghiệm phương trình (1) là: x1 = − −b + √ b2 − 4ac ; x2 = − 2a −b − √ b2 − 4ac ; x3 = 2a −b − √ b2 − 4ac ; x4 = 2a Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453 −b + √ b2 − 4ac 2a Khảo sát hàm số + x3 = 2x2 Điều kiện để điểm lập thành cấp số cộng x x2 + x4 = 2x3 Ta cần trường hợp x1 + x3 = 2x2 √ b2 − 4ac −b + b2 − 4ac − = −2 ⇔ 2a 2a √ b c b2 − 4ac ⇔ =2 − a a a c(b − 4ac) 3b2 12c ⇔ = − a a a a ⇔ 136acb2 − 9b4 − 400a2 c2 = 100 ac ⇔ (9b2 − 100ac)(b2 − 4ac) = ⇔ b2 = √ −b − √ b2 − 4ac 2a M AT H −b − BÀI TẬP Nhận luyện thi Toán theo nhóm TPHCM - Liên hệ sđt: 0931438453