Lê Vũ Minh Huy (Nick diễn đàn: Super Fields) 9A-THCS Trần Quốc Toản-Tp.Tuy Hòa-Phú Yên Bài viết tham dự Cuộc thi Viết kỉ niệm 10 năm thành lập diễn đàn toán học VFM: Tuy Hòa, ngày 20 tháng năm 2014 VẺ ĐẸP CỦA NHỮNG CON SỐ -Lời nói đầu: Rảo vòng BOM2005 diễn đàn, Super Fields thấy viết “Vẻ đẹp số” tác giả Trần Vĩnh Phúc (nick: phuc_nkht) hay! Nhưng muốn có “con số” tổng quát Chính thi năm nay, Super Fields muốn gửi đến bạn viết số cụ thể mà tập hợp số, để bạn có nhìn toàn diện Và thấy số không khô khan, tìm niềm vui, nét đẹp số -Bài viết có trợ giúp từ: Sách “ SỰ KÌ DIỆU CỦA TOÁN HỌC” NXB Kim Đồng Hình ảnh, tư liệu từ Wikipedia, Google -Xin mượn câu thơ thầy Văn Như Cương, để bắt đầu viết: “Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn Mong Toán học bớt khô khan Em Toán nhiều công thức Đã đẹp hoa lại chẳng tàn.” - Một số người nghĩ phép tính số kết nhận dường ẩn chứa tính chất thần kì Có lẽ cảm giác thần kì tăng lên có nhiều loại số khác nhau, loại số dường nhà toán học nghĩ cách tình cờ Ở cấp học số tự nhiên Nhiệm vụ học đếm sau học làm phép tính với chúng Ngay từ ta tưởng thành thạo với số từ đâu phân số, số thập phân, số nguyên dưng … xuất Ôi! Đôi chúng xuất đầu lộ diện có toán tưởng không giải Chúng thể cứu cánh cuối cùng, ví chia bao nhiêu, mà 4, biết đến số Điều lí thú có loại số có tất cách phân loại chúng theo đặc điểm riêng Dường số lại tự sinh số khác Sau danh sách loại số với vài mô tả chúng: Số đếm(còn gọi số tự nhiên): 0;1;2;3;… N Số nguyên: -3;-2;-1;0;1;2;3;… Số hữu tỉ (gồm phân số; hợp số; phân số không thực sự; phân số thực sự; số thập phân số thập phân vô hạn tuần hoàn) Số vô tỉ (gồm số thập phân vô hạn không tuần hoàn, số, ; c ; ) Số thực; số ảo; số phức; số siêu việt; số siêu hạn; số hoàn hảo … Super Fields xin đề cập đến vài số với tính chất, đặc điểm chúng mà bạn chưa biết, đồng thời bạn tìm hiểu tường tận số mà bạn biết lâu : Số Quaternion: Trước hết, đến với khái niệm số Quaternion để có cách nhìn khái quát số qua câu chuyện Super Fields trình bày sau : Thật khó để người bình thường hiểu thấu đáo cách thức mô tả số có chiều khác Xưa số số, vốn dùng để biểu diễn lượng cụ thể Vậy số có nhiều chiều nào? Chúng ta dành câu hỏi cho nhà toán học, người dưa đặc điểm cho số Họ xem số thực hay số ảo số chiều, có thành phần nói lên giá trị chúng Hơn chúng biểu diễn đường thẳngmột đối tượng chiều Nhưng số phức lại số hai chiều chúng tạo nên từ số thực số ảo Khi cần biểu diễn số nằm mặt phẳng, gọi mặt phẳng thức- đối tượng hai chiều Đến có lẽ bạn thắc mác số hai chiều dùng để làm cần phải tìm hiểu thứ trừu tượng này! Câu trả lời đơn giản số hai chiều hay nhiều chiều sở để thành lập nên số Quaternion mà đề cập từ đầu Có nhiều trường hợp ý tưởng toán học phát minh hôm nay, ứng dụng chúng trở nên sáng tỏ sau nhiều năm hay chí nhiều kỉ sau Số phức nằm hoàn cảnh tương tự Ngày người ta sử dụng chúng để mô tả dòng hình thủy động thủy động học, mô tả dòng điện hình dạng cánh máy bay… Số phức hữu ích hiệu việc giải nhiều toán khác người ta nghĩ bước cần phải làm đương nhiên tìm kiếm số ba chiều Mặc dù việc tìm kiếm không thành công, song lại giúp nhà khoa học phát số bốn chiều – Quaternion A! Nó xuất Quaternion William Hamilton tìm vào năm 1843 Giống số phức, tồn chúng gặp phải bàn tán thái độ hoài nghi người Một ứng dụng phổ biến truyền thông tin đồ họa máy vi tính việc đưa dẫn phép quay hình không gian ba chiều Câu chuyện sau cho thấy quaternion giống số khác, có đặc điểm riêng : Đại hội số: Vâng! Và câu chuyện bắt đầu: Như thông lệ, họp số, phe phái bắt đầu hình thành Thật đáng xấu hổ cho số chúng nghĩ thành viên đại gia đình hạnh phúc.! Từ xa xưa, lúc có số đếm số chẵn số lẻ không ngớt lời cãi xem hữu ích Ấy chúng đồng tâm hiệp lực lại với tập hợp số nguyên đem số âm tiến vào hội trường Bây đã bắt đầu để bàn luận vấn đề lớn Đó chấp nhận số đến – Quaternion? Các số đếm phản đối đầu tiên, chúng công nhận số nguyên lớn mà Tất thành viên số đếm mặc trang phục riêng đứng theo thứ tự tăng dần, số sau lớn số trước đơn vị Chúng phải nghiên cứu kẻ đến định xem liệu có thuộc gia đình, dòng họ hay không Số nguyên vừa đồng ý lại vừa phản đối, số tỏ thái độ trung lập, không theo phe phái nào, số âm mà số dương Chắc chắn số hữu tỉ phải xem xét quaternion đến cách cẩn thận Nhưng phân số, thường lệ, quan tâm tới biểu diễn tử số nói chuyện với số thập phân Mãi số thập phân quen dần, chúng không phiền lòng thái độ đáng buồn cười phân số Các số thập phân biết người làm phép tính với chúng thuận tiện nhiều so với phân số, đặc biệt máy tính Thậm chí số nói phân số lỗi thời Thấy số liền nhảy vào phát biểu: “ Mặc dù người phải tìm mẫu số chung muốn cộng hay trừ chúng tôi, phải làm sô động tác nhân chia, hay thích dạng đơn giản hơn, vài số thập phân bạn không chúng tối Thực tế, số nhớ máy tính lưu trữ hết biểu diễn thập phân bạn” Cứ vậy, số hữu tỉ, bao gồm số tự nhiên, số nguyên, phân số số thập phân tiếp tục tranh cãi Chứng kiến cãi vã số hữu tỉ, quaternion dĩ nhiên cảm thấy sợ lây nhóm số đứng gần quán bar gồm √ √ √ Quaternion nghe nói việc số vô tỉ tới mức Nhưng trái với suy nghĩ mình, quaternion rấy ngạc nhiên nhận chúng thực lại dễ gần “Là này, nghe nói bạn có số thành phần người ta gọi số bốn chiều” √ nói “Nhưng mà đừng buồn điều đó, thân vô hạn không tuần hoàn, viể dạng số thập phân Thật nặng nề phải mang vác ngần chữ số, nên thích khoác lên áo bậc hai Có lẽ bạn nên tìm lấy cách viết tắt để biểu diễn thân thôi.” Quaternion hào hứng lên chút cảm thấy thư giản Không muốn làm cho quaternion hi vọng nhiều, √ nói thêm: “Bạn cần phải giải thích rõ với tập hợp số phức Bởi tập hợp đại diện cho tất tập hợp chúng tôi: số đếm, số nguyên, số vô tỉ, số thực số ảo nữa.” “Nhưng theo biết tập số phức có tính cách chia hai thay đổi thất thường số thực số ảo” Quaternion nói Đúng lúc số phức đứng lên nói: -Bạn đấy, mặt phẳng phức cho số điểm để Khi thứ trở nên tồi tệ nhất, ẩn nơi Tôi biết điểm riêng tôi, không tôi, riêng tư để thứ tĩnh lại, để nghỉ ngơi suy ngẫm Chúng số có nơi để gọi nhà -Bạn có tính chất phức tạp với vectơ đại lượng vô hướng –Số nói với quaternion – Tôi chắn mặt phẳng thức chỗ dành cho bạn đâu -Tôi hi vọng tìm thấy điểm nhà riêng – Quaternion nói Và với giọng buồn bã, tiếp tục – Tôi phải tiếp đường nào, hay nói phải tìm tập hợp số -Điều đương nhiên khó khăn rồi! – Một giọng nói trầm ấm từ đâu cất lên Quaternion quay lại thấy số – Tôi gặp phải nhiều khó khăn số thực chấp nhận Mặc dù số vô tỉ √ số khác, họ không cho vào tập số thực với lí cách để xác định xác vị trí đường thẳng thực, không giống √ √ ;√ ,… sử dụng định lí Pythagoras để tìm xác vị trí họ Vậy, giải vấn đề nào? Tôi phải có vài buổi nói chuyện với số thực cuối số thực hiểu số vô tỉ quan trọng đến nào, tất đường tròn dựa vào để tính chu vi, diện tích chất số siêu việt - Ồ, số , bạn thể cho bạn số siêu việt – Số , vốn biết kẻ khoe khoang lên tiếng – Tôi số siêu việt , số phép lấy lôgarit tự nhiên việc sử dụng tính toán, tìm thấy rộng khắp tự nhiên cơ! Quaternion bắt đầu cảm thấy đau đầu mệt mỏi tất trò trêu chọc, cãi vã xảy - Có lẽ không thuộc nơi đây! - Đúng Có lẽ bạn không thuộc nơi đâu! – Tất số phức đồng lên – Thế bạn thuộc đâu? – Chúng hỏi tiếp Quaternion - Tôi khác với tất bạn Tôi có ý nghĩa sâu xa hơn, nhiều chiều bạn Có lẽ thuộc tập hợp riêng Phải, thế! Tôi thành viên tập Quaternion, tập hợp số bốn chiều , hình dạng , “a” thành phần vô hướng (một số), “ ” vectơ, “ ” số thực Vừa nói, quaternion vừa đứng dậy khỏi sảnh đại hội biến mất, y thể bay vào chiều không gian khác Sức quyến rũ số : Nhiều năm trước, bữa tiệc tổ chức dành cho số thời Số có mặt suốt bữa tiệc Số xuất với tất số chẵn khác theo sau Tất số nguyên tố biết đến đến dự Thậm chí có vài phân số , Một số số xuất hiện, √ ;√ cưỡi cạnh tam giác vuông đến với số Nhưng số lăn vào, tất số hỏi: “Ai mời bạn đến vậy?” “Các bạn hỏi sao? Ai mời ư?”, Số ngạc nhiên, “ Tôi số mà” “ Đúng vậy, bạn số Nhưng vị trí bạn trục số đâu vậy?” “ Thế √ sao?”- hỏi lại “ Cảm ơn bạn, nhờ định lí Pythagoras compa, tối biết xác nằm đâu trục số.”√ tự tin trả lời cảm thấy bị tổn thương bối rối, nói: “Tôi đứng sau số chút” “Nhưng xác đâu?”, Tất đồng Là ước số số khác, số cảm nhận nỗi đau , Nó lên tiếng :“Chúng ta cho hội để mô tả mình” Mượn cỗ máy thời gian Đô-rê-mon, đến năm 2014 tra Wikipedia lịch sử bất ngờ sức quyến rũ Quay về, tự hào kể hấp dẫn mình: Thuật toán chặt chẽ ghi chép để tính giá trị cách tiếp cận hình học sử dụng đa giác, phát minh vào khoảng năm 250 tr CN nhà toán học người Hy Lạp Archimedes Thuật toán đa giác Archimedes thống trị suốt 1000 năm, khiến cho gọi "hằng số Archimedes" Archimedes tính toán giới hạn cách vẽ hai đa giác có số cạnh, nội tiếp ngoại tiếp với hình tròn, sau từ từ tăng số cạnh lên gấp đạt đến đa giác 96 cạnh Bằng cách tính chu vi đa giác này, ông chứng minh 223/71 < < 22/7 (3,1408 < < 3,1429) Có thể cận 22/7 phép tính dẫn đến việc nhiều người cho 22/7 Khoảng năm 150 CN, nhà khoa học Hy Lạp-La Mã Ptolemaeus, Almagest mình, đưa giá trị 3,1416, có lẽ lấy lại kết tính toán Archimedes Apollonius xứ Pergaeus Các nhà toán học, cách sử dụng thuật toán đa giác, tính tới chữ số thứ 39 vào năm 1630, kỉ lục mà đến năm 1699 phá vỡ chữ số thứ 71 tính phương pháp chuỗi vô hạn Archimedes phát triển cách tiếp cận đa giác để tính toán số Ở Trung Hoa cổ đại, giá trị bao gồm 3,1547 (khoảng năm thứ sau Công nguyên), √ (100 sau Công nguyên, xấp xỉ 3,1623) 142/45 (thế kỉ thứ 3, xấp xỉ 3,1556) Vào khoảng năm 265, nhà toán học triều Tào Ngụy tên Lưu Huy phát minh thuật toán lặp dựa đa giác (thuật toán Lưu Huy) sử dụng với đa giác 3072 cạnh để thu giá trị 3,1416 Cũng Lưu Huy sau phát triển phương pháp nhanh để tính thu giá trị 3,14 với đa giác 96 cạnh, cách lợi dụng tính chất hiệu diện tích đa giác liên tiếp tạo nên dãy cấp số nhân với hệ số Vào khoảng năm 480, nhà toán học Trung Quốc khác Tổ Xung Chi tính toán ≈ 355/113, sử dụng thuật toán Lưu Huy cho đa giác 12.288 cạnh Với giá trị xác bảy chữ số thập phân đầu tiên, giá trị 3,141592920 giá trị gần xác mà người tính suốt 800 năm sau Trong đó, nhà thiên văn người Ấn Độ Aryabhata sử dụng giá trị 3,1416 sách Āryabhaṭīya ông (499 sau Công nguyên) Fibonacci vào khoảng năm 1220 tính giá trị 3,1418 phương pháp đa giác khác với phương pháp Archimedes Văn hào người Ý Dante dường sử dụng giá trị ≈ 3,14142… √ Nhà thiên văn Ba Tư Jamshīd al-Kāshī tìm 16 chữ số vào năm 1424 cách sử dụng đa giác có 3×228 cạnh, xác lập kỉ lục giới tồn khoảng 180 năm Nhà toán học Pháp François Viète vào năm 1579 tính chữ số đa giác 3×217 cạnh Nhà toán học xứ Flanders Adriaan van Roomen đạt tới chữ số 15 vào năm 1593 Năm 1596, nhà toán học người Hà Lan Ludolph van Ceulen đạt tới 20 chữ số, kỉ lục ông sau nới rộng lên thành 35 chữ số (kết số gọi "số Ludolph" tiếng Đức tận đầu kỉ 20) Khoa học gia người Hà Lan Willebrord Snellius đạt tới 34 chữ số vào năm 1621 nhà thiên văn học người Áo Christoph Grienberger đạt tới 39 chữ số vào năm 1630, đến kết xác tính thủ công thuật toán sử dụng đa giác Trong kỉ 21, nhà toán học nhà khoa học máy tính khám phá cách tiếp cận - kết hợp với sức mạnh tính toán ngày cao - để mở rộng khả biểu diễn thập phân số tới 10 nghìn tỉ (1013) chữ số Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không 40 chữ số , động lực tính toán chủ yếu tham vọng người muốn đạt tới kỉ lục mới, tính toán sử dụng để kiểm tra siêu máy tính thuật toán tính nhân với độ xác cao Sự có mặt rộng khắp số khiến trở thành số toán học biết đến nhiều nhất, bên lẫn bên giới khoa học: số sách viết riêng số xuất bản; có Ngày số pi; báo chí thường đặt tin kỉ lục tính toán chữ số trang Một số người cố gắng ghi nhớ giá trị với độ xác ngày tăng, đạt tới kỉ lục 67.000 chữ số Ừm! “Không cần nói đâu” Số la lên Rồi nói tiếp: “Tôi tin tất đồng ý số nỏi tiếng phải công nhận phần số Dù hiểu có điểm riêng trục số Không số có điểm số khác có điểm riêng bạn Chúng ta không thiết phải biết vị trí xác số trục số đâu.” “Đồng ý!” Số – số bí ẩn kêu lên “ Tôi nghĩ làm bữa tiệc hôm thêm phần bí ẩn, phong phú có ý nghĩa đấy!” √ tiếp lời số : “ Chào mừng bạn!”, số khác đồng “Vậy khởi động bữa tiệc Chúng ta đếm nào!”, vui vẻ kết lời Đôi điều số nguyên tố: Số nguyên tố số tự nhiên chia hết cho Ngoài không chia hết cho số khác Số không coi số nguyên tố Các số nguyên tố từ đến 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.[2] Số số nguyên tố nhỏ nhất, số nguyên tố chẵn