Hai thuật toán chiếu tìm nghiệm chung của các bài toán bao hàm đơn điệu, điểm bất động và không điểm

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ ĐẶNG THỊ HƢƠNG HAI THUẬT TOÁN CHIẾU TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA CÁC BÀI TỐN BAO HÀM ĐƠN ĐIỆU, Trang 2 Mục lụcMở đầu 1Lời cảm ơn 5C

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG THỊ HƢƠNG HAI THUẬT TOÁN CHIẾU TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA CÁC BÀI TOÁN BAO HÀM ĐƠN ĐIỆU, ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ KHÔNG ĐIỂM Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2023 ii Mục lục Mở đầu 1 Lời cảm ơn 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Về một số đặc trưng của không gian Hilbert 6 1.2 Phép chiếu mêtric 9 1.3 Một số lớp ánh xạ kiểu không giãn 13 1.4 Toán tử đơn điệu 16 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 20 Chương 2 Hai thuật toán chiếu tìm nghiệm chung của các bài toán bao hàm đơn điệu, điểm bất động và không điểm 25 2.1 Phương pháp chiếu thu hẹp 25 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 30 2.3 Một số hệ quả 33 2.3.1 Nghiệm chung cho các bài toán bao hàm đơn điệu 33 2.3.2 Điểm bất động chung của ánh xạ nửa khoảng cách 35 2.3.3 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu cực đại 36 2.4 Ví dụ số minh họa 37 Kết luận 41 iii Danh mục ký hiệu R trường số thực H không gian Hilbert I toán tử đồng nhất J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x M ⊂N M là tập con của N M ∩N giao của hai tập hợp M và N M ∪N hợp của hai tập hợp M và N sup M cận trên đúng của tập hợp số M inf M cận dưới đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M |x| giá trị tuyệt đối của x ∥x∥ chuẩn của véctơ x ⟨x, y⟩ tích vô hướng của x và y xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0 xn ⇀ x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0 iv l2 không gian các hàm bình phương khả tổng giới hạn trên của dãy số {xn} lim sup xn giới hạn dưới của dãy số {xn} n→∞ phép chiếu mêtric lên C tập điểm bất động của ánh xạ T lim inf xn miền xác định của toán tử A miền ảnh của toán tử A n→∞ đồ thị của toán tử A nghịch đảo của toán tử A PC toán tử giải của A Fix(T ) bao đóng miền xác định của toán tử A hàm chỉ của tập lồi C D(A) tập các điểm cực tiểu của hàm f trên K R(A) Gr(A) A−1 J Aλ D(A) iC arg minu∈K f (u) 1 Mở đầu Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H Cho f : H → R là một hàm lồi và nửa liên tục dưới Ta biết rằng bài toán tối ưu lồi có ràng buộc minx∈Cf (x) tương đương với bài toán tìm phần tử x∗ ∈ H sao cho 0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗), (0.1) trong đó ∂f là dưới vi phân của hàm f , nghĩa là ∂f (x) = {u ∈ H : f (y) − f (x) ≥ ⟨u, y − x⟩, y ∈ H} và NC(x) là nón pháp tuyến của C tại x, tức là NC(x) = {u ∈ H : ⟨u, y − x⟩ ≤ 0, ∀y ∈ C} Dạng tổng quát của bài toán bao hàm biến phân (0.1) được phát biểu như sau: Cho A và B là các toán tử đơn điệu trên không gian Hilbert thực H, sao cho Ω := (A + B)−1(0)̸ = ∅ Bài toán bao hàm biến phân của A và B là bài toán tìm một phần tử trong Ω Vấn đề này đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học, và do đó, có nhiều phương pháp lặp để nhằm giải quyết nó được đề xuất; ví dụ, phương pháp tách tiến-lùi, Thuật toán Peaceman–Rachford và Thuật toán Douglas–Rachford Năm 2017, Takahashi [9] đã giới thiệu một lớp ánh xạ phi tuyến mới trong không gian Banach như sau: Cho E là không gian Banach trơn, C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E và cho η là một số thực với 2 η ∈ (−∞, 1) Một ánh xạ T : C → E với Fix(T ) = {x ∈ C : T x = x}̸ = ∅ được gọi là một ánh xạ η-nửa khoảng cách nếu với mọi x ∈ C và p ∈ Fix(T ), bất đẳng thức sau đúng: 2⟨x − p, J(x − T x)⟩ ≥ (1 − η)∥x − T x∥2, ở đây J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E Như đã được khẳng định trong [10], lớp ánh xạ η-nửa khoảng cách chứa một số lớp ánh xạ phi tuyến quan trọng khác, chẳng hạn, (α, β)-phép chiếu lai ghép tổng quát T (xem [6]) với Fix(T )̸ = ∅ là 0-nửa khoảng cách và giải mêtric JG = (I + rG)−1 của toán tử đơn điệu cực đại G trên E với G−1(0) ̸= ∅ là r (−1)-nửa khoảng cách, với mọi r > 0 Do đó, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ η-nửa khoảng cách đóng một vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến Takahashi [10] giới thiệu một phương pháp chiếu thu hẹp mới để tìm một điểm chung của tập hợp các không điểm của toán tử đơn điệu cực đại, điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ nửa khoảng cách và nghiệm chung của một họ hữu hạn bài toán bao hàm đơn điệu trong không gian Hilbert thực Ông đã chứng minh định lý sau: Định lý 0.0.1 (xem [10]) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H Cho {k1, k2, , kM } ⊂ (−∞, 1) và {µ1, µ2, , µN } ⊂ (0, ∞) Cho {Tj}Mj=1 là họ hữu hạn các ánh xạ kj-nửa khoảng cách và nửa đóng từ C vào chính nó và cho {Bi}Ni=1là một họ hữu hạn các toán tử µi-đơn điệu mạnh ngược từ C vào H Cho A và G là các toán tử đơn điệu cực đại trên H Giả sử rằng Ω = A−1(0) ∩ (∩Mj=1Fix(Tj)) ∩ (∩Ni=1(Bi + G)−1(0))̸ = ∅ Với x1 ∈ C và C1 = C, giả sử {xn} là một dãy được xác định bởi M yn = ζj ((1 − λn)I + λnTj) xn, j=1 3 N zn = σiJηn G (I − ηnBi)yn, i=1 un = Jrn A zn, Cn+1 = z ∈ Cn : ∥yn − z∥ ≤ ∥xn − z∥, ∥zn − z∥ ≤ ∥yn − z∥ và ⟨zn − z, zn − un⟩ ≥ ∥zn − un∥2 , xn+1 = PCn+1x1, ∀n ≥ 1, trong đó {λn}, {ηn}, {rn} ⊂ (0, ∞), (ζ1, , ζM ), (σ1, , σN ) ⊂ (0, 1) và a, b, c ∈ R thỏa mãn: (1) 0 < a ≤ λn ≤ min{1 − k1, , 1 − kM }, ∀n ≥ 1; (2) 0 < b ≤ ηn ≤ 2 min{µ1, , µN }, ∀n ≥ 1; (3) 0 < c ≤ rn, ∀n ≥ 1; (4) j=1 M ζj = 1 và i=1 N σi = 1 Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về điểm x∗ = PΩx1 ∈ Ω, trong đó PΩ là phép chiếu mêtric từ H lên Ω Trong luận văn này, ta xét bài toán sau: Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H Cho {k1, k2, , kM } ⊂ (−∞, 1) và {µ1, µ2, , µN } ⊂ (0, ∞) Cho {Tj}Mj=1 là một họ hữu hạn ánh xạ kj-nửa khoảng cách và nửa đóng từ C vào chính nó và cho {Bi}Ni=1là một họ hữu hạn các toán tử µi-đơn điệu mạnh ngược từ C vào H Cho {Ak}Kk=1 và {Gi}Ni=1 là các toán tử đơn điệu cực đại trên H Giả sử rằng S := ∩Kk=1A−1 k (0) ∩ ∩Mj=1Fix(Tj) ∩ ∩Ni=1(Bi + Gi)−1(0)̸ = ∅ Tìm x∗ ∈ S (0.2) Để giải quyết bài toán (0.2), sử dụng ý tưởng của Takahashi trong tài liệu [10] các tác giả Tuyen T.M và Trang N.M [12] đã đề xuất và nghiên 4 cứu các thuật toán lặp song song dựa trên các phương pháp chiếu thu hẹp hoặc lai ghép và thiết lập hai định lý hội tụ mạnh tương ứng cho chúng Lưu ý rằng, kết quả trong tài liệu [12] cho phương pháp chiếu thu hẹp, tập Cn+1 được xây dựng đơn giản hơn so với kết quả của Takahashi trong Định lý 0.0.1 Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết các kết quả của Tuyen T.M và Trang N.M [12] Đồng thời xây dựng các ví dụ số minh họa thêm cho sự hội tụ của các thuật toán Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu và danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn được viết trong hai chương chính Chương 1 “Một số kiến thức chuẩn bị”, nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về: không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, một số lớp ánh xạ kiểu không giãn, toán tử đơn điệu và một số bổ đề bổ trợ Đây là những kiến thức cơ sở phục vụ việc chứng minh các kết quả chính ở Chương 2 Chương 2 “Hai thuật toán chiếu tìm nghiệm chung của các bài toán bao hàm đơn điệu, điểm bất động và không điểm”, trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của Tuyen T.M và Trang N.M trong tài liệu [12] về Phương pháp chiếu thu hẹp và Phương pháp chiếu lai ghép Một số hệ quả cho các bài toán liên quan khác được giới thiệu trong Mục 2.3 của luận văn Cuối chương, luận văn trình bày ba ví dụ số được thực hiện trên MATLAB để minh họa thêm cho các kết quả lý thuyết 5 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn em đã nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè Trước hết em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã nhiệt tình trong việc truyền đạt vốn kiến thức quý báu cũng như giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian em học tập tại trường Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Trương Minh Tuyên, Trưởng khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên - người trực tiếp hướng dẫn luận văn cho em Thầy đã đôn đốc, nhắc nhở kịp thời và giúp đỡ để em hoàn thành luận văn đúng tiến độ Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và tập thể thầy cô trong Tổ Toán của trường THPT Bắc Sơn đã tạo điều kiện thuận lợi, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt thời gian đi học cao học Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình thân yêu, bạn bè, các anh/chị em cùng lớp cao học vì đã luôn ủng hộ, động viên, quan tâm và tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành luận văn này Thái Nguyên, ngày 15 tháng 04 năm 2023 Học viên Đặng Thị Hương 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương 1 của luận văn bao gồm 05 mục chính Mục 1.1 trình bày về một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu về phép chiếu mêtric cùng một số tính chất đặc trưng Mục 1.3 và Mục 1.4, lần lượt trình bày về một số lớp ánh xạ kiểu không giãn và toán tử đơn điệu Mục 1.5 đề cập đến một số bổ đề bổ trợ được sử dụng đến trong việc chứng minh các kết quả chính ở Chương 2 của luận văn Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 7, 10] và [11] 1.1 Về một số đặc trưng của không gian Hilbert Mệnh đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwars) Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈ H ta đều có |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ Chứng minh Nếu y = 0 thì bất đẳng thức trên đúng Giả sử y̸ = 0, khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có 0 ≤ ∥x − λy∥2 = λ2∥y∥2 − 2λ⟨x, y⟩ + ∥x∥2, ⟨x, y⟩ với mọi λ ∈ R Lấy λ = ∥y∥2 , thì bất đẳng thức trên trở thành |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ Mệnh đề được chứng minh