Một số kết quả về sự hội tụ của dãy lặp đến điểm chung của tập điểm bất động và tập điểm cân bằng trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ HUYỀN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP ĐẾN ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ TẬP ĐIỂM CÂN BẰNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ HUYỀN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP ĐẾN ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ TẬP ĐIỂM CÂN BẰNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thanh Hà THANH HÓA, NĂM 2015 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Huyền ii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin chân thành cảm ơn trường Đại học Hồng Đức, nơi mà em hồn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết Thầy, Cơ Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thanh Hà, người Cô trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với em suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2015 Nguyễn Thị Huyền iii Mục lục Phần mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số tính chất không gian Hilbert 1.2 Một số cấu trúc hình học khơng gian Banach 1.3 Điểm bất động ánh xạ không giãn 1.4 Một số loại ánh xạ 13 1.5 Điểm bất động tiệm cận ánh xạ 14 1.6 Bài toán điểm cân 15 1.6.1 Khái niệm toán điểm cân 15 1.6.2 Bất đẳng thức KyFan số mệnh đề 15 Chương Phương pháp xấp xỉ nhớt cho toán cân toán điểm bất động 20 2.1 Giới thiệu 20 2.2 Định lý hội tụ mạnh 21 Chương Phương pháp lặp kiểu Takahashi - Tada cho toán cân toán điểm bất động 31 3.1 Định lý hội tụ mạnh 31 3.2 Định lý hội tụ yếu 39 iv Chương Phương pháp lặp kiểu Halpern cho toán cân toán điểm bất động ánh xạ tựa - không giãn 45 4.1 Giới thiệu 45 4.2 Định lý hội tụ mạnh phép lặp kiểu Halpern 48 4.3 Ứng dụng 55 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Năm 2007, Satoru Takahashi Wataru Takahashi giới thiệu sơ đồ lặp phương pháp xấp xỉ nhớt để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nguồn gốc phương pháp thừa kế từ kết Combetter Histoaga Năm 2007, A.Tada W.Takahashi giới thiệu sơ đồ lặp khác cho việc tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert sau đưa định lí hội tụ mạnh định lí hội tụ yếu Năm 2013, Chuang - Lin - Takahashi đưa phương pháp lặp kiểu Halpern để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ tựa không giãn không gian Hilbert Dùng kết họ có định lí hội tụ mạnh khơng gian Hilbert Để hiểu sâu sắc vấn đề em chọn đề tài nghiên cứu luận văn :” Một số kết hội tụ dãy lặp đến điểm chung tập điểm bất động tập điểm cân khơng gian Hilbert” Nội dung luận văn bao gồm bốn chương: Chương 1: Chúng đưa kiến thức không gian Hilbert, số tính chất ánh xạ khơng giãn, ánh xạ tựa - không giãn, kiến thức điểm bất động toán cân Chương 2: Giới thiệu phương pháp lặp nhớt để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, sau chứng minh định lý hội tụ mạnh Chương 3: Giới thiệu phương pháp lặp kiểu Takahashi - Tada để tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương ta chứng minh hai định lý hội tụ mạnh định lý hội tụ yếu Chương 4: Giới thiệu phương pháp lặp kiểu Halpern để tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ tựa - khơng giãn Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm sơ đồ lặp cho việc tìm điểm chung tập điểm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ tựa - không giãn không gian Hilbert dựa kết Takahashi – Tada Halpern vào năm 2012 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp lặp để tìm điểm chung tập điểm cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, chứng minh chi tiết kết báo Cụ thể: + Phương pháp lặp nhớt; + Phương pháp lặp kiểu Takahashi - Tada; + Phương pháp lặp kiểu Halpern Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ không giãn, tập điểm cân bằng, tập điểm bất động phương pháp lặp tìm điểm chung Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp lặp ánh xạ không giãn tựa không giãn không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ không gian Hilbert để tìm điểm chung tập điểm cân tập điểm bất động không gian Hilbert Dự kiến đóng góp Thanh Hóa, tháng năm 2015 Nguyễn Thị Huyền 31 Chương Phương pháp lặp kiểu Takahashi - Tada cho toán cân toán điểm bất động Trong chương này, giới thiệu hai sơ đồ lặp để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert Sau chứng minh định lý hội tụ mạnh định lý hội tụ yếu 3.1 Định lý hội tụ mạnh Trong phần nói định lý hội tụ mạnh để giải vấn đề tìm điểm chung cho tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Định lý 3.1.1 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H, cho F : C ×C → 32 R thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) S : C → H ánh xạ không giãn cho F (S) ∩ EP (F) 6= φ Giả sử {xn } {un } dãy sinh x1 = x ∈ H un ∈ C cho F (un , y) + hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ C, rn wn = (1 − αn ) xn + αn Sun , Cn = {z ∈ H/ kwn − zk ≤ kxn − zk} , Dn = {z ∈ H/ hxn − z, x − xn i ≥ 0} , xn+1 = PCn ∩Dn (x) , với n ∈ N, {αn } ∈ [a, 1] với a thuộc (0, 1) {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rn > Khi đó, {xn } hội tụ mạnh tới PF(S)∩EP(F) (x) n→∞ Chứng minh Trước hết, ta thấy {xn } dãy định nghĩa cách đắn Hiển nhiên Cn đóng Dn lồi, đóng với n ∈ N Từ Cn = n o k hw z ∈ H/kwn − xn + n − xn , xn − zi ≤ , Cn tập lồi Vì Cn ∩ Dn tập đóng, lồi H, ∀n ∈ N Cho v ∈ F (S) ∩ EP (F) Vì un = Trn xn nên kun − vk = kTrn xn − Trn vk ≤ kxn − vk , ∀n ∈ N (3.1) Từ ta có kwn − vk ≤ (1 − αn ) kxn − vk + αn kSun − vk ≤ (1 − αn ) kxn − vk + αn kun − vk ≤ (1 − αn ) kxn − vk + αn kxn − vk = kxn − vk (3.2) Vì v ∈ Cn , suy F (S) ∩ EP (F) ⊂ Cn , ∀n ∈ N (3.3) 33 Tiếp theo chứng tỏ F (S) ∩ EP (F) ⊂ Cn ∩ Dn , ∀n ∈ N quy nạp Vì F (S) ∩ EP (F) ⊂ C1 D1 = H nên ta có F (S) ∩ EP (F) ⊂ C1 ∩ D1 Giả sử F (S) ∩ EP (F) ⊂ Ck ∩ Dk với k ∈ N Khi tồn xk+1 ∈ Ck ∩ Dk cho xk+1 = PCk ∩Dk (x) Do đó, với z ∈ Ck ∩ Dk , ta có hxk+1 − z, x − xk+1 i ≥ Bởi F (S) ∩ EP (F) ⊂ Ck ∩ Dk , nên với z ∈ F (S) ∩ EP (F) ta có hxk+1 − z, x − xk+1 i ≥ 0, suy z ∈ Dk+1 Vì F (S) ∩ EP (F) ⊂ Dk+1 Từ (3.3), ta có F (S) ∩ EP (F) ⊂ Ck+1 ∩ Dk+1 Điều có nghĩa {xn } dãy định nghĩa cách đắn Từ mệnh đề 1.6.2, {un } dãy định nghĩa cách đắn Vì F (S) ∩ EP (F) tập lồi, đóng, khác rỗng H nên tồn z0 ∈ F (S) ∩ EP (F) cho z0 = PF(S)∩EP(F) (x) 34 Bởi xn+1 = PCn ∩Dn (x), ta có kxn+1 − xk ≤ kz − xk ∀z ∈ Cn ∩ Dn Vì z0 ∈ F (S) EP (F) ⊂ Cn ∩ Dn nên kxn+1 − xk ≤ z0 − x , (3.4) ∀n ∈ N Do đó, {xn } dãy bị chặn Từ (3.1) (3.2), suy {un } {wn } dãy bị chặn Từ định nghĩa Dn ta có xn = PDn (x) xn+1 ∈ Dn nên kx − xn k ≤ kx − xn+1 k ∀n ∈ N Vì {xn } dãy bị chặn nên {kx − xn k} dãy bị chặn khơng giảm Vì vậy, tồn c ∈ R cho c = lim kx − xn k n→∞ Do xn = PDn (x) , xn+1 ∈ Dn , xn +xn+1 ∈ Dn ta có 2 x + x n n+1 kx − xn k2 ≤ x − 2 1 = (x − x ) + (x − x ) n n+1 2 1 = kx − xn k2 + kx − xn+1 k2 − kxn − xn+1 k2 2 Vì 1 kxn − xn+1 k2 ≤ kx − xn+1 k2 − kx − xn k2 2 Bởi lim kx − xn k = c nên n→∞ lim kxn − xn+1 k = n→∞ (3.5) 35 Lại xn+1 ∈ Cn , ta có kxn − wn k ≤ kxn − xn+1 k + kxn+1 − wn k ≤ kxn − xn+1 k Bởi (3.5) suy lim kxn − wn k = n→∞ (3.6) Với v ∈ F (S) ∩ EP (F), từ mệnh đề 1.6.3 ta có kun − vk2 = kTrn xn − Trn vk2 ≤ hTrn xn − Trn v, xn − vi = hun − v, xn − vi o 1n 2 kun − vk + kxn − vk − kxn − un k , = kun − vk2 ≤ kxn − vk2 − kxn − un k2 Vì theo tính chất lồi k.k2 , ta có kwn − vk2 ≤ (1 − αn ) kxn − vk2 + αn kSun − vk2 ≤ (1 − αn ) kxn − vk2 + αn kun − vk2 n o 2 ≤ (1 − αn ) kxn − vk + αn kxn − vk − kxn − un k = kxn − vk2 − αn kxn − un k2 Bởi {αn } ⊂ [a, 1] suy akxn − un k2 ≤ αn kxn − un k2 ≤ kxn − vk2 − kwn − vk2 ≤ kxn − wn k {kxn − vk + kwn − vk} Từ (3.6), có lim kxn − un k = n→∞ (3.7) 36 Vì lim inf rn > nên n→∞ xn − un = lim kxn − un k = lim n→∞ rn n→∞ rn (3.8) Do αn Sun = wn − (1 − αn ) xn nên ta có a kun − Sun k ≤ αn kSun − un k = kwn − (1 − αn ) xn − αn un k ≤ (1 − αn ) kun − xn k + kwn − un k ≤ kun − xn k + kwn − xn k + kxn − un k = kxn − un k + kxn − wn k Từ (3.6) (3.7), ta thu lim kun − Sun k = n→∞ (3.9) Bởi {xn } dãy bị chặn nên tồn dãy {xni } cho xni * w Từ (3.7), ta có uni * w Vì {uni } ⊂ C C tập đóng lồi nên C đóng yếu, suy w ∈ C Chúng ta chứng tỏ w ∈ EP(F) Bởi un = Trn xn nên F (un , y) + hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ C rn Từ tính đơn điệu F suy hy − un , un − xn i ≥ F (y, un ) , ∀y ∈ C rn Do   uni − xni y − uni , ≥ F (y, uni ) , ∀y ∈ C rni Từ (3.8) điều kiện (A4), ta có ≥ F (y, w) , ∀y ∈ C 37 Cho t với < t ≤ y ∈ C, đặt yt = ty + (1 − t)w Vì y ∈ C w ∈ C, C lồi nên yt ∈ C F(yt , w) ≤ Bởi nên = F (yt , yt ) ≤ tF (yt , y) + (1 − t) F (yt , w) ≤ tF (yt , y) Chia hai vế cho t, ta F (yt , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Cho t ↓ từ (A3), ta có F (w, y) ≥ 0, ∀y ∈ C Do w ∈ EP(F) Tiếp theo chứng tỏ w ∈ F(S) Giả sử w ∈ / F (S) Khi đó, từ định lý Opial (3.9) ta có lim inf kuni − wk < lim inf kuni − Swk t→∞ t→∞ ≤ lim inf {kuni − Suni k + kSuni − Swk} t→∞ ≤ lim inf kuni − wk , t→∞ vô lý Vì w ∈ F(S), w ∈ F (S) ∩ EP (F) Từ z0 = PF(S)∩EP(F) (x) (3.4) có x − z0 ≤ kx − wk ≤ lim inf kx − xn k i i→∞ ≤ lim sup kx − xn k ≤ x − z0 , i→∞ i lim kx − xni k = kx − wk = x − z0 i→∞ 38 Vì H không gian Hilbert nên xni → w = z0 Bởi z0 = PF(S)∩EP(F) (x), kết luận xn → PF(S)∩EP(F) (x) Định lý chứng minh Từ định lý 3.1.1, thu hai hệ sau Hệ 3.1.2 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H, F : C ×C → R hàm hai biến thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) cho EP(F) 6= φ Giả sử {xn } {un } dãy sinh x1 = x ∈ H un ∈ C cho F (un , y) + hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ C, rn Cn = {z ∈ H/ kun − zk ≤ kxn − zk} , Dn = {z ∈ H/ hxn − z, x − xn i ≥ 0} , xn+1 = PCn ∩Dn (x) , ∀n ∈ N, {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rn > Khi đó, {xn } hội tụ n→∞ tới PEP(F) (x) Chứng minh Đặt S = I αn = định lý 3.1.1, ta điều phải chứng minh Hệ 3.1.3 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H S : C −→ H ánh xạ không giãn cho F(S) 6= φ Giả sử {xn } {un } dãy sinh 39 x1 = x ∈ H un ∈ C cho hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ C, wn = (1 − αn ) xn + αn Sun , Cn = {z ∈ H/ kwn − zk ≤ kxn − zk} , Dn = {z ∈ H/ hxn − z, x − xn i ≥ 0} , xn+1 = PCn ∩Dn (x) , với n ∈ N, {αn } ⊂ [a, 1] với a thuộc (0, 1) Khi đó, {xn } hội tụ mạnh tới PF(S) (x) Chứng minh Đặt F(x, y) = với x, y ∈ C rn = định lý 3.1.1 có hệ 3.1.3 3.2 Định lý hội tụ yếu Trong phần nghiên cứu định lý hội tụ yếu khởi nguồn [16] Để chứng minh nó, trước hết đưa hai bổ đề sau Bổ đề 3.2.1 [16] Cho {αn } dãy số thực sau < a ≤ αn ≤ b < 1, ∀n ∈ N Giả sử {vn } {wn } dãy H cho lim sup kvn k ≤ c, n→∞ lim sup kwn k ≤ c, n→∞ lim kαn + (1 − αn ) wn k = c, n→∞ với c lớn Khi đó, lim kvn − wn k = n→∞ 40 Bổ đề 3.2.2 [16] Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H {xn } dãy H Giả sử rằng, với y ∈ C kxn+1 − yk ≤ kxn − yk với n ∈ N Khi đó, {PC (xn )} hội tụ mạnh tới z thuộc C Bây đưa định lý hội tụ yếu để giải vấn đề tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Định lý 3.2.3 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H, F : C ×C −→ R thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) S : C −→ H ánh xạ không giãn cho F (S) ∩ EP (F) 6= φ Giả sử {xn } {un } dãy xác định x1 = x ∈ H un ∈ C cho F (un , y) + hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ C, rn xn+1 = αn xn + (1 − αn ) Sun , với n ∈ N, {αn } ⊂ [a, b] với a, b thuộc (0, 1) {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rn > Khi đó, {xn } hội tụ yếu tới w ∈ F (S) ∩ EP (F), n→∞ w = lim PF(S)∩EP(F) (xn ) n→∞ Chứng minh Từ mệnh đề 1.6.2.2, {un } {xn } dãy định nghĩa cách đắn Cho v ∈ F (S) ∩ EP (F) un = Trn xn Với n ∈ N, ta có kun − vk = kTrn xn − Trn vk ≤ kxn − vk 41 Do kxn+1 − vk ≤ αn kxn − vk + (1 − αn ) kSun − vk ≤ αn kxn − vk + (1 − αn ) kun − vk ≤ αn kxn − vk + (1 − αn ) kxn − vk = kxn − vk (3.10) Vì vậy, tồn c ∈ R cho c = lim kxn − vk n→∞ (3.11) Suy {xn } {un } dãy bị chặn Khi đó, v ∈ F (S) ∩ EP (F), chứng minh định lý 3.1.1, có kun − vk2 ≤ kxn − vk2 − kxn − un k2 Bởi thế, theo tính chất lồi k.k2 ta có kxn+1 − vk2 ≤ αn kxn − vk2 + (1 − αn ) kSun − vk2 ≤ αn kxn − vk2 + (1 − αn ) kun − vk2   2 ≤ αn kxn − vk + (1 − αn ) kxn − vk − kxn − un k = kxn − vk2 − (1 − αn ) kxn − un k2 ≤ kxn − vk2 − (1 − b) kxn − un k2 Vì (1 − b) kxn − un k2 ≤ kxn − vk2 − kxn+1 − vk2 Từ (3.11), ta lim kxn − un k = n→∞ 42 Vì lim inf rn > nên n→∞ xn − un = lim n→∞ rn Do {xn } bị chặn nên tồn dãy {xni } {xn } hội tụ yếu tới w Từ kxn − un k → 0, ta có uni * w Bởi {uni } ⊂ C C đóng yếu nên w ∈ C Ta chứng minh w ∈ F (S) ∩ EP (F) Đầu tiên, chứng minh định lý 3.1.1, ta có w ∈ EP(F) Bây ta chứng tỏ w ∈ F(S) Cho v ∈ F (S)∩EP (F) Vì kSun − vk ≤ kun − vk ≤ kxn − vk, từ (3.11), ta có lim sup kSun − vk ≤ c n→∞ Hơn lim kαn (xn − v) + (1 − αn ) (Sun − v)k = lim kxn+1 − vk = c n→∞ n→∞ Từ bổ đề 3.2.1, ta lim kSun − xn k = n→∞ Mặt khác, ta có kSun − un k ≤ kSun − xn k + kxn − un k Từ từ uni * w, có w ∈ F(S) Do w ∈ F (S) ∩ EP (F)  Cho xn j dãy khác {xn } cho xn j * w0 Khi đó, chứng minh giống ta có w0 ∈ F (S) ∩ EP (F) 43 Nếu w 6= w0 , từ định lý Opial ta có lim kxn − wk = lim inf kxni − wk < lim inf xni − w0 n→∞ i→∞ i→∞ = lim xn − w0 = lim inf xn j − w0 n→∞ j→∞ < lim inf xn j − w = lim kxn − wk , n→∞ j→∞ vô lý Vì w = w0 Điều chứng tỏ xn * w ∈ F (S) ∩ EP (F) Cho zn = PF(S)∩EP(F) (xn ) Vì w ∈ F (S) ∩ EP (F) nên hxn − zn , zn − wi ≥ Dùng (3.10) bổ đề 3.2.2, có {zn } hội tụ tới w0 ∈ F (S) ∩ EP (F) Từ {xn } hội tụ yếu tới w, có hw − w0 , w0 − wi ≥ Do w = w0 = lim PF(S)∩EP(F) (xn ) n→∞ Từ đây, thu hai hệ trực tiếp định lý 3.2.3 Hệ 3.2.4 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H, F : C ×C −→ R ánh xạ thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) cho EP(F) 6= φ Giả sử {xn } {un } dãy sinh x1 = x ∈ H un ∈ C cho F (un , y) + hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ C, rn xn+1 = αn xn + (1 − αn ) un , 44 với n ∈ N, {αn } ⊂ [a, b] với a, b thuộc (0, 1) {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn điều kiện lim inf rn > n→∞ Khi đó, {xn } hội tụ yếu tới w ∈ EP(F), w = lim PEP(F) (xn ) n→∞ Chứng minh Đặt S = I định lý 3.2.3, có hệ 3.2.4 Hệ 3.2.5 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H S : C −→ H ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện F(S) 6= φ Giả sử {xn } {un } dãy sinh x1 = x ∈ H un ∈ C cho hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ C, xn+1 = αn xn + (1 − αn ) Sun , với n ∈ N, {αn } ⊂ [a, b] với a, b thuộc (0, 1) Khi đó, {xn } hội tụ yếu tới w ∈ F(S), w = lim PF(S) (xn ) n→∞ Chứng minh Đặt F(x, y) = với x, y ∈ C rn = định lý 3.2.3 thu hệ 3.2.5 45 Chương Phương pháp lặp kiểu Halpern cho toán cân toán điểm bất động ánh xạ tựa - không giãn 4.1 Giới thiệu Trong chương này, nghiên cứu phương pháp lặp kiểu Halpern để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ tựa - không giãn với nhiễu không gian Hilbert sau chứng minh định lý hội tụ mạnh cho dãy lặp Dùng kết ta thu định lý hội tụ mạnh không gian Hilbert Nói riêng, kết